Magnetisches Moment und Zeeman- Effekt

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel Magnetisches Moment und Zeeman- Effekt basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 5) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Hamilton- Operator mit äußerem Magnetfeld:

$H=\frac{1}{2m_0}{(\overline{p}-e\overline{A})}^2+V(r)$

mit kugelsymmetrischem Potenzial

Durch den kinetischen Impulsoperator: $(\overline{p}-e\overline{A})$

ist der Einfluss von äußeren Feldern auf den Bahndrehimpuls schon in der Gleichungen enthalten. Es folgt bereits der Zeemann Effekt aus dem gemachten Ansatz. Würde man dagegen auf Effekte hoffen, die erst angesichts des Spins von Elektronen auftreten, so wäre dies vergebens. Effekte des Spins sind in die Gleichung noch nicht eingebaut!

$H=\frac{1}{2m_0}({\overline{p}}^2-2e\overline{A}\overline{p}+e^2{\overline{A}}^2)+V(r)$

Verwende: Coulombeichung: $\mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}=0$

→ $\overline{A}\overline{p}=\overline{p}\overline{A}$

für Operatoren

$e^2{\overline{A}}^2$

sei für Atome vernachlässigbar, falls $⟨L_3⟩\ne 0$ ,

falls $B<{10}^{5}G$

vergl. Schwabl S. 128

Homogenes Magnetfeld: $\overline{A}=\frac{1}{2}(\overline{B}\times \overline{r})$

wegen $\overline{B}=\mathrm{\nabla }\times \overline{A}=\frac{1}{2}\left(\overline{B}(\mathrm{\nabla }\cdot \overline{r})\right)-\frac{1}{2}(\overline{B}\cdot \mathrm{\nabla })\overline{r}=\frac{1}{2}(\mathrm{\nabla }\times (\overline{B}\times \overline{r}))=\overline{B}$

Da ja $(\mathrm{\nabla }\cdot \overline{r})=3,(\overline{B}\cdot \mathrm{\nabla })\overline{r}=\overline{B}$

Somit:

$\frac{\hslash }{i}(\overline{A}\cdot \mathrm{\nabla }\mathrm{\Psi })=\frac{\hslash }{2i}(\overline{B}\times \overline{r})\mathrm{\nabla }\mathrm{\Psi }=\frac{\hslash }{2i}\overline{B}(\overline{r}\times \mathrm{\nabla })\mathrm{\Psi }=\frac{1}{2}(\overline{B}\cdot \overline{L})\mathrm{\Psi }$

Sei

$\overline{B}=(0,0,B)\Rightarrow \overline{B}\cdot \overline{L}=B{L}_3$

Schrödinger- Gleichung:

$\begin{array}{ll}& -\frac{{\hslash }^2}{2m_0}\mathrm{\Delta }\mathrm{\Psi }+(V-E-\frac{e}{2m_0}B{L}_3)\mathrm{\Psi }=0\\ & L_3\mathrm{\Psi }=\hslash m\mathrm{\Psi }\\ \end{array}$

Wobei

$L_3\mathrm{\Psi }=\hslash m\mathrm{\Psi }$

für Drehimpuls- Eigenzustände

$\Rightarrow -\frac{{\hslash }^2}{2m_0}\mathrm{\Delta }\mathrm{\Psi }+(V(r)-E-\frac{e}{2m_0}\hslash mB)\mathrm{\Psi }=0$

mit

$\frac{e}{2m_0}\hslash m:={\mu }_3$

(magnetisches Moment)

Klassisch:

$\overline{\mu }=-\frac{\partial H}{\partial \overline{B}}=\frac{e}{2m_0}\overline{L}$

Der Term im Hamiltonian der magnetischen Wechselwirkung.

$\begin{array}{ll}& H_{mag.}={\mu }_B\overline{B}=\frac{e\overline{B}\cdot \overline{L}}{2m_0}=\frac{eB{L}_3}{2m_0}\\ & {\mu }_B=\frac{\hslash e}{2m_0}\\ \end{array}$

Normaler Zeeman- Effekt:

Atom im homogenen Magnetfeld:

$(H_0-E-{\mu }_{3}B)\mathrm{\Psi }=0$

H0: Hamiltonoperator ohne B- Feld

$\frac{e}{2m_0}\hslash m:={\mu }_3$

$\frac{e\hslash }{2m_0}:={\mu }_B$

Bohrsches Magneton: e<0

$H_0{\mathrm{\Psi }}_{nlm}=E_{nl}{\mathrm{\Psi }}_{nlm}$

$\Rightarrow E=E_{nl}-\frac{\hslash eB}{2m_0}m$

→ Die m- Entartung wird vollständig aufgehoben

Das heißt: für jedes m ergibt sich eine eigene Energie!

$m=-l,...,+l$

→ Aufspaltung in $2l+1$

- Niveaus (Multipletts) mit m = magnetische Quantenzahl

Achtung! Die l- Entartung wird keineswegs aufgehoben. Allerdings ist natürlich m abhängig von l

Nebenbemerkung: Anomaler Zeeman- Effekt → Effekt des Spins (vergl. nächstes Kapitel)

H- Atom: l- Entartung

Atome mit ungerader Kernladungszahl: Spin- Bahn - Zustände!