Kugelsymmetrische Potentiale

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Kugelsymmetrische Potentiale basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 3) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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${\begin{aligned}&\left[{{\hat {L}}_{3}},{{\hat {r}}_{1}}\right]=\left[\left({{\hat {r}}_{1}}{{\hat {p}}_{2}}-{{\hat {r}}_{2}}{{\hat {p}}_{1}}\right),{{\hat {r}}_{1}}\right]=-{{\hat {r}}_{2}}\left[{{\hat {p}}_{1}},{{\hat {r}}_{1}}\right]=i\hbar {{\hat {r}}_{2}}\\&\left[{{\hat {L}}_{3}},{{\hat {r}}_{2}}\right]=\left[\left({{\hat {r}}_{1}}{{\hat {p}}_{2}}-{{\hat {r}}_{2}}{{\hat {p}}_{1}}\right),{{\hat {r}}_{2}}\right]={{\hat {r}}_{1}}\left[{{\hat {p}}_{2}},{{\hat {r}}_{2}}\right]=-i\hbar {{\hat {r}}_{1}}\\&\left[{{\hat {L}}_{3}},{{\hat {r}}_{3}}\right]=\left[\left({{\hat {r}}_{1}}{{\hat {p}}_{2}}-{{\hat {r}}_{2}}{{\hat {p}}_{1}}\right),{{\hat {r}}_{3}}\right]=0\\\end{aligned}}$

Allgemein:

${\begin{aligned}&\left[{{\hat {L}}_{j}},{{\hat {r}}_{k}}\right]=i\hbar {{\hat {r}}_{l}}\\&\left[{{\hat {L}}_{j}},{{\hat {r}}_{k}}\right]=i\hbar {{\varepsilon }_{jkl}}{{\hat {r}}_{l}}\\\end{aligned}}$

mit j,k,l zyklisch

Analog:

$\left[{{\hat {L}}_{j}},{{\hat {p}}_{k}}\right]=i\hbar {{\varepsilon }_{jkl}}{{\hat {p}}_{l}}$

${\begin{aligned}&\left[{{\hat {L}}_{3}},{{\hat {r}}_{1}}^{2}\right]=\left[{{\hat {L}}_{3}},{{\hat {r}}_{1}}\right]{{\hat {r}}_{1}}+{{\hat {r}}_{1}}\left[{{\hat {L}}_{3}},{{\hat {r}}_{1}}\right]=i\hbar {{\hat {r}}_{2}}{{\hat {r}}_{1}}+{{\hat {r}}_{1}}i\hbar {{\hat {r}}_{2}}=2i\hbar {{\hat {r}}_{2}}{{\hat {r}}_{1}}\\&\left[{{\hat {L}}_{3}},{{\hat {r}}_{2}}^{2}\right]=\left[{{\hat {L}}_{3}},{{\hat {r}}_{2}}\right]{{\hat {r}}_{2}}+{{\hat {r}}_{2}}\left[{{\hat {L}}_{3}},{{\hat {r}}_{2}}\right]=-i\hbar {{\hat {r}}_{1}}{{\hat {r}}_{2}}-{{\hat {r}}_{2}}i\hbar {{\hat {r}}_{1}}=-2i\hbar {{\hat {r}}_{2}}{\hat {r}}\\&\left[{{\hat {L}}_{3}},{{\hat {r}}_{3}}^{2}\right]=\left[{{\hat {L}}_{3}},{{\hat {r}}_{3}}\right]{{\hat {r}}_{3}}+{{\hat {r}}_{3}}\left[{{\hat {L}}_{3}},{{\hat {r}}_{3}}\right]=0\\\end{aligned}}$

Damit folgt jedoch für die gesamten Vektoren:

$\left[{{\hat {L}}_{j}},{{\hat {r}}^{2}}\right]=\left[{{\hat {L}}_{j}},{{\hat {p}}^{2}}\right]=0$

j=1,2,3

$\left[{{\hat {L}}_{j}},H\right]=0$

,

falls $H={\hat {H}}({{\hat {r}}^{2}},{{\hat {p}}^{2}})$

Also ${\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+V(r)$

mit Zentralpotenzial V(r)

Theorem

Für alle rotationssymmetrischen Hamiltonoperatoren gilt:

$\left[{{\hat {L}}_{j}},H\right]=0$

$\left[{{\hat {L}}^{2}},H\right]=0$

Und der Drehimpuls ist eine Erhaltungsgröße, also

${\dot {\bar {L}}}=0$

Analogie in der KLASSISCHEN Mechanik:

Im Zentralpotenzial ist der Drehimpuls eine Erhaltungsgröße

Tieferer Grund: ${\bar {L}}$

ist die Erzeugende infinitesimaler Drehungen

Wegen $\left[{{\hat {L}}^{2}},H\right]={\hat {L}}\left[{\hat {L}},H\right]+\left[{\hat {L}},H\right]{\hat {L}}\Rightarrow \left[{{\hat {L}}^{2}},H\right]=0\Rightarrow \left[{{\hat {L}}_{j}},H\right]=0$

Sei V(r) im Folgenden kugelsymmetrisch.

Dann gibt es gemeinsame Eigenzustände von $H$

und${{\hat {L}}_{j}}$

für jedes j aber nicht zu $H$

und${\bar {L}}$ .

(H läßt sich als L² darstellen (siehe im Folgenden!) und mit L² vertauscht immer nur eine Komponente, die anderen nicht, da ja die Komponenten des Drehimpulses untereinander nicht vertauschen!)

Wegen

$\left[{{\hat {L}}_{3}},H\right]=0$

$\left[{{\hat {L}}^{2}},H\right]=0$

$\left[{{\hat {L}}^{2}},{{\hat {L}}_{3}}\right]=0$

können wir gemeinsame Eigenzustände zu $H$ , ${{\hat {L}}^{2}}$

und ${{\hat {L}}_{3}}$

finden.

Zusammenhang zwischen ${{\hat {L}}^{2}}$

und $H={\frac {{p}^{2}}{2m}}+V$

${\begin{aligned}&{{\hat {L}}^{2}}={{\varepsilon }_{jkl}}{{\varepsilon }_{jmn}}{{x}_{k}}{{p}_{l}}{{x}_{m}}{{p}_{n}}\\&{{\varepsilon }_{jkl}}{{\varepsilon }_{jmn}}={{\delta }_{km}}{{\delta }_{\ln }}-{{\delta }_{kn}}{{\delta }_{lm}}\\&{{\hat {L}}^{2}}={{\varepsilon }_{jkl}}{{\varepsilon }_{jmn}}{{x}_{k}}{{p}_{l}}{{x}_{m}}{{p}_{n}}=\left({{\delta }_{km}}{{\delta }_{\ln }}-{{\delta }_{kn}}{{\delta }_{lm}}\right){{x}_{k}}{{p}_{l}}{{x}_{m}}{{p}_{n}}\\\end{aligned}}$

Summationskonvention!!

Es folgt:

${\begin{aligned}&{{\hat {L}}^{2}}={{\varepsilon }_{jkl}}{{\varepsilon }_{jmn}}{{x}_{k}}{{p}_{l}}{{x}_{m}}{{p}_{n}}=\left({{\delta }_{km}}{{\delta }_{\ln }}-{{\delta }_{kn}}{{\delta }_{lm}}\right){{x}_{k}}{{p}_{l}}{{x}_{m}}{{p}_{n}}=\\&={{x}_{m}}{{p}_{n}}{{x}_{m}}{{p}_{n}}-{{x}_{n}}{{p}_{m}}{{x}_{m}}{{p}_{n}}\\&{{p}_{n}}{{x}_{m}}={{x}_{m}}{{p}_{n}}-i\hbar {{\delta }_{mn}}\\&{{x}_{n}}{{p}_{m}}={{p}_{m}}{{x}_{n}}+i\hbar {{\delta }_{mn}}\\&\Rightarrow {{\hat {L}}^{2}}={{x}_{m}}{{x}_{m}}{{p}_{n}}{{p}_{n}}-{{p}_{m}}{{x}_{n}}{{x}_{m}}{{p}_{n}}-2i\hbar {{x}_{m}}{{p}_{m}}\\&{{p}_{m}}{{x}_{n}}{{x}_{m}}{{p}_{n}}={{p}_{m}}{{x}_{m}}{{x}_{n}}{{p}_{n}}\\&{{p}_{m}}{{x}_{m}}={{x}_{m}}{{p}_{m}}-i\hbar {{\delta }_{mm}}\\&{{\delta }_{mm}}=3\\&\Rightarrow {{\hat {L}}^{2}}={{x}_{m}}{{x}_{m}}{{p}_{n}}{{p}_{n}}-{{p}_{m}}{{x}_{n}}{{x}_{m}}{{p}_{n}}-2i\hbar {{x}_{m}}{{p}_{m}}={{x}_{m}}^{2}{{p}_{n}}^{2}-{{x}_{m}}{{p}_{m}}{{x}_{n}}{{p}_{n}}+3i\hbar {{x}_{n}}{{p}_{n}}-2i\hbar {{x}_{m}}{{p}_{m}}\\&\Rightarrow {{\hat {L}}^{2}}={{x}_{m}}^{2}{{p}_{n}}^{2}-\left({{x}_{m}}{{p}_{m}}\right)\left({{x}_{n}}{{p}_{n}}\right)+i\hbar {{x}_{m}}{{p}_{m}}\\&{{\hat {L}}^{2}}={{r}^{2}}{{p}^{2}}-{{\left({\bar {r}}\cdot {\bar {p}}\right)}^{2}}+i\hbar \left({\bar {r}}\cdot {\bar {p}}\right)\\\end{aligned}}$

Somit:

${\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}={\frac {1}{2m{{r}^{2}}}}\left[{{\left({\hat {\bar {r}}}\cdot {\hat {\bar {p}}}\right)}^{2}}-i\hbar \left({\hat {\bar {r}}}\cdot {\hat {\bar {p}}}\right)+{{\hat {L}}^{2}}\right]$

Klassisch:

${\begin{aligned}&{\frac {{p}^{2}}{2m}}={\frac {1}{2m{{r}^{2}}}}\left[{{\left({\bar {r}}\cdot {\bar {p}}\right)}^{2}}+{{L}^{2}}\right]\\&mit\left({\bar {r}}\cdot {\bar {p}}\right)=r{{p}_{r}}\\\end{aligned}}$

Ortsdarstellung in Kugelkoordinaten

${\begin{aligned}&{{x}_{1}}=r\sin \vartheta \cos \phi \\&{{x}_{2}}=r\sin \vartheta \sin \phi \\&{{x}_{3}}=r\cos \vartheta \\\end{aligned}}$

Die Differenziale transformieren sich dabei folgendermaßen:

${\frac {\partial }{\partial r}}={\frac {\partial {{x}_{j}}}{\partial r}}{{\partial }_{j}}={\frac {{x}_{j}}{r}}{{\partial }_{j}}$

Wobei der letzte Zusammenhang natürlich nur für die obigen Vektorkomponenten gilt!

Somit:

${\bar {r}}\cdot {\bar {p}}={\frac {\hbar }{i}}{{x}_{j}}{{\partial }_{j}}={\frac {\hbar }{i}}r{\frac {\partial }{\partial r}}$

wegen ${\frac {\partial }{\partial r}}={\frac {{x}_{j}}{r}}{{\partial }_{j}}$

${\begin{aligned}&{\hat {\bar {p}}}=-i\hbar \nabla \\&{{\hat {p}}_{r}}-i\hbar {\frac {\partial }{\partial r}}\\&{\hat {\bar {r}}}{\hat {\bar {p}}}={\hat {r}}{{\hat {p}}_{r}}={\frac {\hbar }{i}}r{\frac {\partial }{\partial r}}\\&{{\hat {L}}_{z}}={\frac {i}{\hbar }}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\\\end{aligned}}$

Operator der kinetischen Energie:

${\begin{aligned}&\left({\bar {r}}\cdot {\bar {p}}\right)\left[\left({\bar {r}}\cdot {\bar {p}}\right)+{\frac {\hbar }{i}}\right]\Psi (r,\vartheta ,\phi )=-{{\hbar }^{2}}r{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial }{\partial r}}+1\right)\Psi (r,\vartheta ,\phi )\\&=-{{\hbar }^{2}}r\left[{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial \Psi }{\partial r}}\right)+{\frac {\partial \Psi }{\partial r}}\right]=-{{\hbar }^{2}}r\left[\left(r{\frac {{{\partial }^{2}}\Psi }{\partial {{r}^{2}}}}\right)+2{\frac {\partial \Psi }{\partial r}}\right]=-{{\hbar }^{2}}r{\frac {{\partial }^{2}}{\partial {{r}^{2}}}}\left(r\Psi \right)\\\end{aligned}}$

Alternativ:

$\left({\bar {r}}\cdot {\bar {p}}\right)\left[\left({\bar {r}}\cdot {\bar {p}}\right)+{\frac {\hbar }{i}}\right]\Psi (r,\vartheta ,\phi )==-{{\hbar }^{2}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left({{r}^{2}}{\frac {\partial \Psi }{\partial r}}\right)$

Also: (Im quantenmechanischen Fall sei ${\bar {r}}={\hat {\bar {r}}},{\bar {p}}={\hat {\bar {p}}}$

${\frac {{p}^{2}}{2m}}\Psi (r,\vartheta ,\phi )={\frac {-{{\hbar }^{2}}}{2m}}{\frac {1}{r}}{\frac {{\partial }^{2}}{\partial {{r}^{2}}}}\left(r\Psi \right)+{\frac {{L}^{2}}{2m{{r}^{2}}}}\Psi$

einen einfachen Ausdruck hätte man auch erhalten, indem man einfach Laplace, also ${\frac {{p}^{2}}{2m}}={\frac {-{{\hbar }^{2}}}{2m}}\Delta$

in Kugelkoordinaten schreibt

Es gilt für den Operator der kinetischen Energie

${\hat {\bar {T}}}={\frac {{\hat {\bar {p}}}^{2}}{2m}}={\frac {-{{\hbar }^{2}}}{2m}}\Delta$

Laplaceoperator in Kugelkoordinaten:

$\Delta \Psi ={\frac {1}{{r}^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left({{r}^{2}}{\frac {\partial }{\partial r}}\Psi \right)+{\frac {1}{{{r}^{2}}\sin \vartheta }}{\frac {\partial }{\partial \vartheta }}\left(\sin \vartheta {\frac {\partial }{\partial \vartheta }}\Psi \right)+{\frac {1}{{{r}^{2}}{{\sin }^{2}}\vartheta }}{\frac {{\partial }^{2}}{{{\partial }^{2}}\phi }}\Psi$

Schrödingergleichung für $\Psi (r,\vartheta ,\phi )$

$H\Psi (r,\vartheta ,\phi )={\frac {{p}^{2}}{2m}}\Psi (r,\vartheta ,\phi )+V(r)\Psi (r,\vartheta ,\phi )={\frac {-{{\hbar }^{2}}}{2m}}{\frac {1}{r}}{\frac {{\partial }^{2}}{\partial {{r}^{2}}}}\left(r\Psi \right)+\left[{\frac {{L}^{2}}{2m{{r}^{2}}}}+V(r)\right]\Psi =E\Psi (r,\vartheta ,\phi )$

In Analogie zur klassischen Hamiltonfunktion identifiziert man

${{\hat {p}}_{r}}={\frac {\hbar }{i}}\left({\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {1}{r}}\right)$

als Radialimpuls- Operator

mit der Vertauschungsrelation:

$\left[{{\hat {p}}_{r}},{\hat {r}}\right]={\frac {\hbar }{i}}$

Es gilt:

${\frac {{p}^{2}}{2m}}={\frac {{{p}_{r}}^{2}}{2m}}+{\frac {{L}^{2}}{2m{{r}^{2}}}}$

Nachrechnen!

Ortsdarstellung von L²:

${{L}^{2}}\Psi (r,\vartheta ,\phi )=-{{\hbar }^{2}}\left\{{\frac {1}{\sin \vartheta }}{\frac {\partial }{\partial \vartheta }}\left(\sin \vartheta {\frac {\partial \Psi (r,\vartheta ,\phi )}{\partial \vartheta }}\right)+{\frac {1}{{{\sin }^{2}}\vartheta }}{\frac {{{\partial }^{2}}\Psi (r,\vartheta ,\phi )}{\partial {{\phi }^{2}}}}\right\}$

Nebenbemerkung:

H erhält man auch direkt durch die Transformation von

${\frac {-{{\hbar }^{2}}}{2m}}\Delta \Psi +V\Psi =E\Psi$

´ auf Kugelkoordinaten (Laplace- Operator in Kugelkoordinaten ausdrücken!)

Lösung der Schrödingergleichung durch Separationsansatz:

$\Psi (r,\vartheta ,\phi )=R(r)Y(\vartheta ,\phi )$

mit${{L}^{2}}Y(\vartheta ,\phi )={{\hbar }^{2}}l(l+1)Y(\vartheta ,\phi )$

Also:

${\begin{aligned}&-{\frac {{\hbar }^{2}}{2m}}{\frac {Y}{r}}{\frac {{d}^{2}}{d{{r}^{2}}}}\left(rR\right)+{\frac {R}{2m{{r}^{2}}}}\left({{L}^{2}}Y\right)+Y\left(V(r)-E\right)R=0\\&{{L}^{2}}Y={{\hbar }^{2}}l(l+1)Y\\&\Rightarrow -{\frac {{\hbar }^{2}}{2m}}{\frac {Y}{r}}{\frac {{d}^{2}}{d{{r}^{2}}}}\left(rR\right)+{\frac {R}{2m{{r}^{2}}}}\left({{\hbar }^{2}}l(l+1)Y\right)+Y\left(V(r)-E\right)R=0\\&\Rightarrow -{\frac {{\hbar }^{2}}{2m}}{\frac {{d}^{2}}{d{{r}^{2}}}}\left(rR\right)+\left({\frac {{{\hbar }^{2}}l(l+1)}{2m{{r}^{2}}}}+V(r)-E\right)\left(rR\right)=0\\\end{aligned}}$

(Laguerre Differenzialgleichung!)

Dabei wird ${\frac {{{\hbar }^{2}}l(l+1)}{2m{{r}^{2}}}}$

analog zur klassischen Mechanik als Zentrifugalpotenzial bezeichnet

Im Endeffekt können wir von einer radialen Schrödingergelichung mit einem effektiven Potenzial sprechen:

${{V}_{eff.}}={\frac {{{\hbar }^{2}}l(l+1)}{2m{{r}^{2}}}}+V(r)$

Merke als Kurzform für Differenziale:

${{d}^{2}}\left(rR\right)=d\left(R+rdR\right)=2dR+r{{d}^{2}}R$

für ein Differenzial entlang der Radiusvariable!

Bindungszustände im anziehenden Zentralpotenzial:

Sei ${\begin{matrix}\lim \\r\to 0\\\end{matrix}}\left|V(r)\right|\leq {\frac {M}{{r}^{\alpha }}}$

mit $\alpha <2$

Also: dominiere das Zentrifugalpotenzial gegenüber V für r→ 0,

so gilt:

Es existieren für ein anziehendes Potenzial $V(r)$ ,

also negatives Potenzial  wie im 1dimensionalen Fall grundsätzlich endlich oder unendlich viele gebundene Zustände. Dabei sind es unendlich viele für $\alpha <2$

,

ansonsten nur endlich viele (Potenzialtopf!). Bei Kugelsymmetrie des Potenzialtopfs existiert immer mindestens EIN gebundener Zustand!

Dabei existiert eine Serie ${{E}_{nl}}$

n=0,1,2,3,... usw... zu jedem l < n

Jeder Zustand ist dabei bezüglich m (m=-l,...,+l ) 2l+1 fach entartet.

Also: es existieren endlich oder unendlich viele ${{E}_{nl}}$

zu jedem $l$

mit jeweils $2l+1$

facher Entartung. Voraussetzung: Am Ursprung muss die Zentrifugalbarriere dominieren!

Zusammenfassung Kugelsymmetrsiche Potenziale:

Jeweils vertauschbar sind:

${{L}^{2}}$

mit ${{L}_{j}},H$

und H mit ${{L}^{2}},{{L}_{j}}$ .

Also existieren gemeinsame Eigenzustände zu $H$ , ${{L}^{2}},{{L}_{3}}$ .

Es ist möglich, einen Operator, z.B. den Hamiltonian durch diese Größen auszudrücken

ALSO: Schreibe die vertauschenden Operatoren auf!

Wir haben jedoch gesehen, dass

$\left[{{\hat {L}}_{j}},{{\hat {L}}_{k}}\right]=i\hbar {{\varepsilon }_{jkl}}{{\hat {L}}_{l}}$

$\Leftrightarrow {\hat {L}}\times {\hat {L}}=i\hbar {\hat {L}}$

ALSO: Schreibe die Quantisierungsbedingungen (Kommutatoren) auf!

Wir haben als Leiteroperatoren:

${\begin{aligned}&{{\hat {L}}_{+}}:={{\hat {L}}_{1}}+i{{\hat {L}}_{2}}\\&{{\hat {L}}_{-}}:={{\hat {L}}_{1}}-i{{\hat {L}}_{2}}\\\end{aligned}}$

nicht hermitesch

mit ${{\hat {L}}_{\pm }}\left|l,m\right\rangle {\tilde {\ }}\left|l,m\pm 1\right\rangle$

nicht hermitesch. Es handelt sich also um Leiteroperatoren für die magnetische Quantenzahl.

$\Rightarrow {{\hat {L}}^{2}}\left|l,m\right\rangle ={{\hbar }^{2}}l(l+1)\left|l,m\right\rangle$

${{\hat {L}}_{3}}\left|l,m\right\rangle =\hbar m\left|l,m\right\rangle$

${\begin{aligned}&\Rightarrow l=0,{\frac {1}{2}},1,...\\&m=-l,-l+1,....,l\\\end{aligned}}$

ALSO: Suche einen vollständigen Satz vertauschbarer Operatoren!

Durch die Untersuchung der Wirkung von Produkten von Operatoren kann dann das Eigenwertproblem eingegrenzt oder sogar gelöst werden.

Der Bahndrehimpulsoperator kann zusammengesetzt werden:

${\hat {\bar {L}}}={\hat {\bar {r}}}\times {\hat {\bar {p}}}$

Das Spektrum ist einzuschränken:

${\begin{aligned}&\Rightarrow l=0,1,2...\\&m=-l,-l+1,....,l\\\end{aligned}}$

Schließlich kann eine Wellenfunktion in der Ortsdarstellung angegeben werden:

$\left\langle {\hat {\bar {r}}}|nlm\right\rangle ={{\Psi }_{nlm}}=\Psi (r,\vartheta ,\phi )={{R}_{nl}}(r){{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi )$

als Separationsansatz.

Direkt aus der Existenz gemeinsamer Eigenzustände zu $H$ , ${{L}^{2}},{{L}_{3}}$

kann man den Hamiltonian zusammenstellen:

${\begin{aligned}&H\Psi =\left({\frac {{p}^{2}}{2m}}+V(r)\right)\Psi =\left({\frac {\left({\bar {r}}\cdot {\bar {p}}\right)\left[\left({\bar {r}}\cdot {\bar {p}}\right)+{\frac {\hbar }{i}}\right]}{2m{{r}^{2}}}}+{\frac {{L}^{2}}{2m{{r}^{2}}}}+V(r)\right)\Psi \\&=H\Psi ={\frac {1}{2m}}\left[-{\frac {{\hbar }^{2}}{r}}{\frac {{\partial }^{2}}{\partial {{r}^{2}}}}\left(r\Psi \right)\right]+{\frac {{L}^{2}}{2m{{r}^{2}}}}\Psi +V(r)\Psi \\&-{\frac {{\hbar }^{2}}{r}}{\frac {{\partial }^{2}}{\partial {{r}^{2}}}}\left(r\Psi \right)={{p}_{r}}^{2}\\\end{aligned}}$

Dabei:

${{p}_{r}}^{2}\neq {\frac {{\left({\bar {r}}\cdot {\bar {p}}\right)}^{2}}{{r}^{2}}}$

(klassisch)

Es ergibt sich die Schrödingergleichung:

$-{\frac {{\hbar }^{2}}{2m}}{\frac {{d}^{2}}{d{{r}^{2}}}}\left(rR\right)+\left({\frac {{{\hbar }^{2}}l(l+1)}{2m{{r}^{2}}}}+V(r)-E\right)\left(rR\right)=0$

als radiale Schrödingergleichung mit dem Zentrifugalpotenzial ${\frac {{{\hbar }^{2}}l(l+1)}{2m{{r}^{2}}}}$

und dem effektiven Potenzial ${{V}_{eff.}}(r)=V(r)+{\frac {{{\hbar }^{2}}l(l+1)}{2m{{r}^{2}}}}$

Der Separationsansatz liefert den Zustand als Produkt:

${\begin{aligned}&\left\langle {\hat {\bar {r}}}|nlm\right\rangle ={{\Psi }_{nlm}}({\bar {r}})=\Psi (r,\vartheta ,\phi )={{R}_{nl}}(r){{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi )={\frac {{{u}_{nl}}(r)}{r}}{{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi )\\&{{R}_{nl}}(r)={\frac {{{u}_{nl}}(r)}{r}}\\\end{aligned}}$

Aus der Normierbarkeit

$\int _{}^{}{{{d}^{3}}r}{{\left|{{\Psi }_{nlm}}\right|}^{2}}=\int _{}^{}{d\Omega }{{\left|{{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi )\right|}^{2}}\int _{0}^{\infty }{{{r}^{2}}{{\left|{\frac {{{u}_{nl}}(r)}{r}}\right|}^{2}}=}\int _{}^{}{d\Omega }{{\left|{{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi )\right|}^{2}}\int _{0}^{\infty }{{\left|{{u}_{nl}}(r)\right|}^{2}}<\infty$

folgt:

${\begin{aligned}&{\begin{matrix}\lim \\r\to \infty \\\end{matrix}}\left|{{u}_{nl}}(r)\right|\leq {\frac {a}{{r}^{\varepsilon }}}\\&mit\varepsilon >{\frac {1}{2}}\\\end{aligned}}$

Asymptotisches Verhalten für $r\to \infty$

${\begin{aligned}&-{\frac {{\hbar }^{2}}{2m}}{\frac {{d}^{2}}{d{{r}^{2}}}}u=Eu\\&\Rightarrow u{\tilde {\ }}{{e}^{-kr}}\\&k:={\frac {1}{\hbar }}{\sqrt {2m\left(-E\right)}}\\\end{aligned}}$

Verhalten für $r\to 0$

$\left[-{\frac {{\hbar }^{2}}{2m}}{\frac {{d}^{2}}{d{{r}^{2}}}}+{\frac {{{\hbar }^{2}}l(l+1)}{2m{{r}^{2}}}}\right]u=0$

Ansatz: $u(r){\tilde {\ }}{{r}^{s}}$

${\begin{aligned}&-s(s-1)+l(l+1)=0\\&\Rightarrow {{s}_{1}}=l+1;{{s}_{2}}=-l\\\end{aligned}}$

Jedoch ist ${{s}_{2}}=-l$ nicht zulässig, da $R(r){\tilde {\ }}{{r}^{-l-1}}$ singulär an der Stelle r=0 Es ist notwendig, dass ${\begin{matrix}\lim \\r->0\\\end{matrix}}u(r)=0$

Nebenbemerkung: Für l=0 ist die radiale Schrödingergleichung

$-{\frac {{\hbar }^{2}}{2m}}{\frac {{d}^{2}}{d{{r}^{2}}}}u+\left(V(r)-E\right)u=0$

mit $u(0)=0$ äquivalent zur eindimensionalen Schrödingergleichung mit

${\begin{aligned}&{{V}_{1}}(x)=V(x)f{\ddot {u}}r\ x>0\\&{{V}_{1}}(x)=\infty \ x\leq 0\\\end{aligned}}$

Vergleiche: Harmonischer Oszi! Symmetrische Fortsetzung des Potenzials ${{V}_{s}}$

Nur die antisymmetrischen Eigenzustände von ${{V}_{s}}$ sind auch Eigenzustände von ${{V}_{1}}$

Fazit: Der Grundzustand von ${{V}_{1}}$ entspricht dem ersten angeregten Zustand von ${{V}_{s}}$ (radialsymmetrisches Potenzial der Schrödingergleichung). Es gilt: Das eindimensionale symmetrische Potenzial besitzt mindestens einen Bindungszustand! Dreidimensionale Potenziale besitzen dagegen nicht immer Bindungszustände.