Ortsdarstellung des Bahndrehimpulses: Difference between revisions

Latest revision as of 00:44, 13 September 2010

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Ortsdarstellung des Bahndrehimpulses basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 2) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

|}}

{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=3|Abschnitt=2}} Kategorie:Quantenmechanik __SHOWFACTBOX__

\begin{array}{l} ⟨ \bar{r} | \hat{\bar{p}} | l, m ⟩ = \frac{ℏ}{i} \nabla Ψ_{l m} (\bar{r}) \\ ⟨ \bar{r} | \bar{r} | l, m ⟩ = \bar{r} Ψ_{l m} (\bar{r}) \end{array}

\hat{\bar{L}} = \hat{\bar{r}} \times \hat{\bar{p}}

ergibt:

⟨ \bar{r} | {\hat{L}}_{3} | l, m ⟩ = \frac{ℏ}{i} ({\hat{x}}_{1} \partial_{2} - {\hat{x}}_{2} \partial_{1}) Ψ_{l m} (\bar{r}) = ℏ m Ψ_{l m} (\bar{r})

In Kugelkoordinaten:

\begin{array}{l} x_{1} = r \sin ϑ \cos ϕ \\ x_{2} = r \sin ϑ \sin ϕ \\ x_{3} = r \cos ϑ \\ x_{1} \partial_{2} - x_{2} \partial_{1} = \frac{\partial}{\partial ϕ} \end{array}

Aber:

\begin{array}{l} x_{1} \partial_{2} - x_{2} \partial_{1} = \frac{\partial}{\partial ϕ} = \frac{i}{ℏ} {\hat{L}}_{z} \\ \Rightarrow {\hat{L}}_{z} = \frac{ℏ}{i} \frac{\partial}{\partial ϕ} \end{array}

in Kugelkoordinaten!

\Rightarrow \frac{ℏ}{i} \frac{\partial}{\partial ϕ} Ψ_{l m} (r, ϑ, ϕ) = ℏ m Ψ_{l m} (r, ϑ, ϕ)

Eigenwertgleichung für ${\hat{L}}_{3}$ .

Lösung

\begin{array}{l} Ψ_{l m} (r, ϑ, ϕ) = e^{i m ϕ} f_{l m} (r, ϑ) \\ m = - l, . . ., l \end{array}

Eindeutigkeit:

\begin{array}{l} e^{i m ϕ} = e^{i m (ϕ + 2 π)} \\ \Rightarrow m \in Z \end{array}

\Rightarrow

Für Bahndrehimpulse sind nur GANZZAHLIGE l-WERTE zulässig.

Prosaisch: Die Wellenfunktion muss eindeutig sein. Durch Drehung um 360 ° muss sie also in sich selbst übergehen. Damit fällt jedoch wegen ${\hat{L}}_{z} = \frac{ℏ}{i} \frac{\partial}{\partial ϕ}$

die Möglichkeit weg, dass magnetische Drehimpulsquantenzahlen halbzahlig sind, sonst wuerde die Wellenfunktion bei Drehung um 360 ° ihr Vorzeichen wechseln wegen $e^{i \frac{1}{2} ϕ} = - e^{i \frac{1}{2} (ϕ + 2 π)} = e^{i π} e^{\frac{1}{2} ϕ}$

Widerspruch zur Eindeutigkeit!!!

\begin{array}{l} e^{i m ϕ} = e^{i m (ϕ + 2 π)} \\ \Rightarrow m \in Z \end{array}

Leiteroperatoren:

\begin{array}{l} ⟨ \bar{r} | {\hat{L}}_{\pm} | l, m ⟩ = \frac{ℏ}{i} ({\hat{x}}_{2} \partial_{3} - {\hat{x}}_{3} \partial_{2} \pm i {\hat{x}}_{3} \partial_{1} \mp i {\hat{x}}_{1} \partial_{3}) Ψ_{l m} (\bar{r}) = ℏ e^{\pm i ϕ} (\pm \frac{\partial}{\partial ϑ} + i \cot ϑ \frac{\partial}{\partial ϕ}) Ψ_{l m} (r, ϑ, ϕ) \\ ℏ e^{\pm i ϕ} (\pm \frac{\partial}{\partial ϑ} + i \cot ϑ \frac{\partial}{\partial ϕ}) Ψ_{l m} (r, ϑ, ϕ) = ℏ e^{i (m \pm 1) ϕ} (\pm \frac{\partial}{\partial ϑ} - m \cot ϑ) f_{l m} (r, ϑ) \end{array}

Für m=l (Maximalwert) ist

\begin{array}{l} {\hat{L}}_{+} | l, l ⟩ = 0 \\ \Rightarrow ℏ e^{i (l + 1) ϕ} (\frac{\partial}{\partial ϑ} - l \cot ϑ) f_{l l} (r, ϑ) = 0 \end{array}

Lösung:

\int_{}^{} \frac{d f_{l l} (r, ϑ)}{f} = l \int_{}^{} \cot ϑ d ϑ

f_{l l} (r, ϑ) = {(- 1)}^{l} \sqrt{\frac{(2 l + 1)!}{2}} \frac{1}{2^{l} l!} {(\sin ϑ)}^{l} R_{l l} (r)

Mit dem Normierungsfaktor

\sqrt{\frac{(2 l + 1)!}{2}} \frac{1}{2^{l} l!}

Erzeugung der anderen $f_{l m} (r, ϑ)$

Ψ_{l, l - 1} (\bar{r}) \propto ⟨ \bar{r} | {\hat{L}}_{-} | l l ⟩ = ℏ e^{i (l - 1) ϕ} (- \frac{\partial}{\partial ϑ} - l \cot ϑ) f_{l l} (r, ϑ) = ℏ e^{i (l - 1) ϕ} {(\sin ϑ)}^{1 - l} \frac{\partial}{\partial \cos ϑ} [{(\sin ϑ)}^{l} f_{l l} (r, ϑ]

Normierung:

Ψ_{l, m} (r, ϑ, ϕ) = R_{l m} (r) {Y_{l}}^{m} (ϑ, ϕ)

Mit den Kugelflächenfunktionen

\begin{array}{l} {Y_{l}}^{m} (ϑ, ϕ) = \frac{e^{i m ϕ}}{\sqrt{2 π}} \cdot \frac{{(- 1)}^{m}}{2^{l} l!} \sqrt{\frac{(2 l + 1) (l - m)!}{2 (l + m)!}} \frac{1}{{(\sin ϑ)}^{m}} \frac{d^{l - m}}{d {(\cos ϑ)}^{l - m}} {(\sin ϑ)}^{2 l} \\ {Y_{l}}^{m} (ϑ, ϕ) = \frac{e^{i m ϕ}}{\sqrt{2 π}} \cdot {(- 1)}^{m} \sqrt{\frac{(2 l + 1) (l - m)!}{2 (l + m)!}} {P^{m}}_{l} (\cos ϑ) \end{array}

Wobei

P_{l} (x) : = \frac{1}{2^{l} l!} \frac{d^{l}}{{(d x)}^{l}} {(x^{2} - 1)}^{l}

Legendre- Polynom l- ten Grades

{P_{l}}^{m} (x) : = {(1 - x^{2})}^{\frac{m}{2}} \frac{d^{m}}{{(d x)}^{m}} P_{l} (x)

zugeordnetes Legendre- Polynom

Dabei variiert die Definition in der Literatur je nach Wahl der Phase

Die Kugelflächenfunktionen sind orthonormiert

\int_{0}^{2 π} d ϕ \int_{0}^{π} d ϑ \sin ϑ {[{Y_{l}}^{m} (ϑ, ϕ)]}^{*} {Y_{l \overset{´}{}}}^{m \overset{´}{}} (ϑ, ϕ) = δ_{l l \overset{´}{}} δ_{m m \overset{´}{}}

Dies bedeutet:

\int_{0}^{2 π} d ϕ \int_{0}^{π} d ϑ \sin ϑ {[{Y_{l}}^{m} (ϑ, ϕ)]}^{*} {Y_{l}}^{m} (ϑ, ϕ) = 1

oder in einer diskreten Basis:

\sum_{l, m} {({Y_{l}}^{m})}^{*} {Y_{l}}^{m} = 1

→ was an bekannte Vollständigkeitsbedingungen erinnert!

Die Kugelflächenfunktionen sind also ein vollständiges Orthonormalsystem, nach dem sich alle Funktionen auf der Einheitskugel entwickeln lassen:

F (ϑ, ϕ) = \sum_{l = 0}^{\infty} \sum_{m = - l}^{l} {c_{l}}^{m} {Y_{l}}^{m} (ϑ, ϕ)

Eine weitere Eigenschaft der Kugelflächenfunktionen:

Y_{l} {^{m}}^{*} (ϑ, ϕ) = {(- 1)}^{m} Y_{l} {^{- m}}^{}

Die Inversion am Ursprung liefert: (also: $\bar{r} \to - {\bar{r}}^{}$ ) , also $(ϑ, ϕ) \to (π - ϑ, ϕ + π)$

Fazit: Die Bahndrehimpuls Eigenzustände ${| l, m ⟩}^{}$

haben die Parität ${(- 1)}^{l}$

(steckt ebenfalls in den Eigenschaften der Kugelfunktionen, Legendre Polynome, wie auch immer, die sich eben als Eigenvektoren unseres Drehimpulsproblems ergeben haben!)

Eigenfunktion Knotenlinien von $R e {{Y_{l}}^{m}}$ l m Bemerkungen/ Parität

{Y_{0}}^{0} = \sqrt{\frac{1}{4 π}}

0 0 0 gerade (s-Orbitale)

{Y_{1}}^{0} = \sqrt{\frac{3}{4 π}} \cos ϑ

1 1 0 ungerade (p-Orbitale)

{Y_{1}}^{\pm 1} = \mp \sqrt{\frac{3}{8 π}} \sin ϑ e^{\pm i ϕ}

1 1 $\pm 1$ ungerade (ebenfalls p-Orb.)

Ψ_{P_{x}} = \sqrt{\frac{3}{4 π}} \sin ϑ \cos ϕ

Ψ_{P_{y}} = \sqrt{\frac{3}{4 π}} \sin ϑ \sin ϕ

{Y_{2}}^{0} = \sqrt{\frac{5}{16 π}} (3 \cos^{2} ϑ - 1)

2 2 0 gerade (d-Orbitale)

{Y_{2}}^{\pm 1} = \mp \sqrt{\frac{15}{8 π}} \sin ϑ \cos ϑ e^{\pm i ϕ}

2 2 $\pm 1$ gerade (d-Orbitale)

{Y_{2}}^{\pm 2} = \sqrt{\frac{15}{32 π}} \sin^{2} ϑ e^{\pm 2 i ϕ}

2 2 $\pm 2$ gerade (d-Orbitale)

Keine Knotenlinie

{Y_{0}}^{0} = \sqrt{\frac{1}{4 π}}

n=1 à m=0, l=0

Eine Knotenlinie

{Y_{1}}^{0} = \sqrt{\frac{3}{4 π}} \cos ϑ

n=2, l=1, m=0

Merke: Wir haben prinzipiell immer den gleichen Gesamtdrehimpuls in diesen Zuständen! Nur einmal ist eben die z- Komponente Null (wie hier) und einmal nicht (dafür wäre z.B. die x- Komponente des Drehimpuls im folgenden Beispiel ${Y_{1}}^{\pm 1} = \mp \sqrt{\frac{3}{8 π}} \sin ϑ e^{\pm i ϕ}$

NULL!)

{Y_{1}}^{\pm 1} = \mp \sqrt{\frac{3}{8 π}} \sin ϑ e^{\pm i ϕ}

n=2, l=1, m=

\pm 1

Zwei Knotenlinien

{Y_{2}}^{0} = \sqrt{\frac{5}{16 π}} (3 \cos^{2} ϑ - 1)

n=3, l=2, m=0

{Y_{2}}^{\pm 1} = \mp \sqrt{\frac{15}{8 π}} \sin ϑ \cos ϑ e^{\pm i ϕ}

n=3, l=2, m= $\pm 1$

{Y_{2}}^{\pm 2} = \sqrt{\frac{15}{32 π}} \sin^{2} ϑ e^{\pm 2 i ϕ}

n=3, l=2, m= $\pm 2$

@@ Line 1: / Line 1: @@
 <noinclude>{{Scripthinweis|Quantenmechanik|3|2}}</noinclude>
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & \left\langle  {\bar{r}} \right|\hat{\bar{p}}\left| l,m \right\rangle =\frac{\hbar }{i}\nabla {{\Psi }_{lm}}(\bar{r}) \\
@@ Line 9: / Line 9: @@
 \end{align}</math>
-<math>\hat{\bar{L}}=\hat{\bar{r}}\times \hat{\bar{p}}</math>
+:<math>\hat{\bar{L}}=\hat{\bar{r}}\times \hat{\bar{p}}</math>
 ergibt:
-<math>\left\langle  {\bar{r}} \right|{{\hat{L}}_{3}}\left| l,m \right\rangle =\frac{\hbar }{i}\left( {{{\hat{x}}}_{1}}{{\partial }_{2}}-{{{\hat{x}}}_{2}}{{\partial }_{1}} \right){{\Psi }_{lm}}(\bar{r})=\hbar m{{\Psi }_{lm}}(\bar{r})</math>
+:<math>\left\langle  {\bar{r}} \right|{{\hat{L}}_{3}}\left| l,m \right\rangle =\frac{\hbar }{i}\left( {{{\hat{x}}}_{1}}{{\partial }_{2}}-{{{\hat{x}}}_{2}}{{\partial }_{1}} \right){{\Psi }_{lm}}(\bar{r})=\hbar m{{\Psi }_{lm}}(\bar{r})</math>
 In Kugelkoordinaten:
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & {{x}_{1}}=r\sin \vartheta \cos \phi  \\
@@ Line 31: / Line 31: @@
 Aber:
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & {{x}_{1}}{{\partial }_{2}}-{{x}_{2}}{{\partial }_{1}}=\frac{\partial }{\partial \phi }=\frac{i}{\hbar }{{{\hat{L}}}_{z}} \\
@@ Line 39: / Line 39: @@
 \end{align}</math>
-in Kugelkoordinaten !
+in Kugelkoordinaten!
-<math>\Rightarrow \frac{\hbar }{i}\frac{\partial }{\partial \phi }{{\Psi }_{lm}}(r,\vartheta ,\phi )=\hbar m{{\Psi }_{lm}}(r,\vartheta ,\phi )</math>
+:<math>\Rightarrow \frac{\hbar }{i}\frac{\partial }{\partial \phi }{{\Psi }_{lm}}(r,\vartheta ,\phi )=\hbar m{{\Psi }_{lm}}(r,\vartheta ,\phi )</math>
 Eigenwertgleichung für <math>{{\hat{L}}_{3}}</math>
+.
-.
 '''Lösung'''
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & {{\Psi }_{lm}}(r,\vartheta ,\phi )={{e}^{im\phi }}{{f}_{lm}}(r,\vartheta ) \\
@@ Line 59: / Line 59: @@
 Eindeutigkeit:
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & {{e}^{im\phi }}={{e}^{im\left( \phi +2\pi  \right)}} \\
@@ Line 67: / Line 67: @@
 \end{align}</math>
-<math>\Rightarrow </math>
+:<math>\Rightarrow </math>
 Für Bahndrehimpulse sind nur GANZZAHLIGE l-WERTE zulässig.
@@ Line 75: / Line 75: @@
 die Möglichkeit weg, dass magnetische Drehimpulsquantenzahlen halbzahlig sind, sonst wuerde die Wellenfunktion bei Drehung um 360 ° ihr Vorzeichen wechseln wegen <math>{{e}^{i\frac{1}{2}\phi }}=-{{e}^{i\frac{1}{2}\left( \phi +2\pi  \right)}}={{e}^{i\pi }}{{e}^{\frac{1}{2}\phi }}</math>
-Widerspruch zur Eindeutigkeit !!!
+Widerspruch zur Eindeutigkeit!!!
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & {{e}^{im\phi }}={{e}^{im\left( \phi +2\pi  \right)}} \\
@@ Line 87: / Line 87: @@
 <u>'''Leiteroperatoren:'''</u>
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & \left\langle  {\bar{r}} \right|{{{\hat{L}}}_{\pm }}\left| l,m \right\rangle =\frac{\hbar }{i}\left( {{{\hat{x}}}_{2}}{{\partial }_{3}}-{{{\hat{x}}}_{3}}{{\partial }_{2}}\pm i{{{\hat{x}}}_{3}}{{\partial }_{1}}\mp i{{{\hat{x}}}_{1}}{{\partial }_{3}} \right){{\Psi }_{lm}}(\bar{r})=\hbar {{e}^{\pm i\phi }}\left( \pm \frac{\partial }{\partial \vartheta }+i\cot \vartheta \frac{\partial }{\partial \phi } \right){{\Psi }_{lm}}(r,\vartheta ,\phi ) \\
@@ Line 95: / Line 95: @@
 \end{align}</math>
-Für m=l  ( Maximalwert) ist
+Für m=l  (Maximalwert) ist
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & {{{\hat{L}}}_{+}}\left| l,l \right\rangle =0 \\
@@ Line 107: / Line 107: @@
 '''Lösung:'''
-<math>\int_{{}}^{{}}{{}}\frac{d{{f}_{ll}}(r,\vartheta )}{f}=l\int_{{}}^{{}}{{}}\cot \vartheta d\vartheta </math>
+:<math>\int_{{}}^{{}}{{}}\frac{d{{f}_{ll}}(r,\vartheta )}{f}=l\int_{{}}^{{}}{{}}\cot \vartheta d\vartheta </math>
-<math>{{f}_{ll}}(r,\vartheta )={{\left( -1 \right)}^{l}}\sqrt{\frac{\left( 2l+1 \right)!}{2}}\frac{1}{{{2}^{l}}l!}{{\left( \sin \vartheta  \right)}^{l}}{{R}_{ll}}(r)</math>
+:<math>{{f}_{ll}}(r,\vartheta )={{\left( -1 \right)}^{l}}\sqrt{\frac{\left( 2l+1 \right)!}{2}}\frac{1}{{{2}^{l}}l!}{{\left( \sin \vartheta  \right)}^{l}}{{R}_{ll}}(r)</math>
 Mit dem Normierungsfaktor
-<math>\sqrt{\frac{\left( 2l+1 \right)!}{2}}\frac{1}{{{2}^{l}}l!}</math>
+:<math>\sqrt{\frac{\left( 2l+1 \right)!}{2}}\frac{1}{{{2}^{l}}l!}</math>
 Erzeugung der anderen <math>{{f}_{lm}}(r,\vartheta )</math>
@@ Line 119: / Line 119: @@
 :
-<math>{{\Psi }_{l,l-1}}(\bar{r})\propto \left\langle  {\bar{r}} \right|{{\hat{L}}_{-}}\left| ll \right\rangle =\hbar {{e}^{i(l-1)\phi }}\left( -\frac{\partial }{\partial \vartheta }-l\cot \vartheta  \right){{f}_{ll}}(r,\vartheta )=\hbar {{e}^{i(l-1)\phi }}{{\left( \sin \vartheta  \right)}^{1-l}}\frac{\partial }{\partial \cos \vartheta }\left[ {{\left( \sin \vartheta  \right)}^{l}}{{f}_{ll}}(r,\vartheta  \right]</math>
+:<math>{{\Psi }_{l,l-1}}(\bar{r})\propto \left\langle  {\bar{r}} \right|{{\hat{L}}_{-}}\left| ll \right\rangle =\hbar {{e}^{i(l-1)\phi }}\left( -\frac{\partial }{\partial \vartheta }-l\cot \vartheta  \right){{f}_{ll}}(r,\vartheta )=\hbar {{e}^{i(l-1)\phi }}{{\left( \sin \vartheta  \right)}^{1-l}}\frac{\partial }{\partial \cos \vartheta }\left[ {{\left( \sin \vartheta  \right)}^{l}}{{f}_{ll}}(r,\vartheta  \right]</math>
 '''Normierung:'''
-<math>{{\Psi }_{l,m}}(r,\vartheta ,\phi )={{R}_{lm}}(r){{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi )</math>
+:<math>{{\Psi }_{l,m}}(r,\vartheta ,\phi )={{R}_{lm}}(r){{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi )</math>
 Mit den Kugelflächenfunktionen
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & {{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi )=\frac{{{e}^{im\phi }}}{\sqrt{2\pi }}\cdot \frac{{{\left( -1 \right)}^{m}}}{{{2}^{l}}l!}\sqrt{\frac{\left( 2l+1 \right)\left( l-m \right)!}{2\left( l+m \right)!}}\frac{1}{{{\left( \sin \vartheta  \right)}^{m}}}\frac{{{d}^{l-m}}}{d{{\left( \cos \vartheta  \right)}^{l-m}}}{{\left( \sin \vartheta  \right)}^{2l}} \\
@@ Line 137: / Line 137: @@
 Wobei
-<math>{{P}_{l}}(x):=\frac{1}{{{2}^{l}}l!}\frac{{{d}^{l}}}{{{\left( dx \right)}^{l}}}{{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{l}}</math>
+:<math>{{P}_{l}}(x):=\frac{1}{{{2}^{l}}l!}\frac{{{d}^{l}}}{{{\left( dx \right)}^{l}}}{{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{l}}</math>
 Legendre- Polynom l- ten Grades
-<math>{{P}_{l}}^{m}(x):={{\left( 1-{{x}^{2}} \right)}^{\frac{m}{2}}}\frac{{{d}^{m}}}{{{\left( dx \right)}^{m}}}{{P}_{l}}(x)</math>
+:<math>{{P}_{l}}^{m}(x):={{\left( 1-{{x}^{2}} \right)}^{\frac{m}{2}}}\frac{{{d}^{m}}}{{{\left( dx \right)}^{m}}}{{P}_{l}}(x)</math>
 zugeordnetes Legendre- Polynom
@@ Line 149: / Line 149: @@
 Die Kugelflächenfunktionen sind orthonormiert
-<math>\int\limits_{0}^{2\pi }{d\phi \int\limits_{0}^{\pi }{d\vartheta \sin \vartheta }}{{\left[ {{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi ) \right]}^{*}}{{Y}_{l\acute{\ }}}^{m\acute{\ }}(\vartheta ,\phi )={{\delta }_{ll\acute{\ }}}{{\delta }_{mm\acute{\ }}}</math>
+:<math>\int\limits_{0}^{2\pi }{d\phi \int\limits_{0}^{\pi }{d\vartheta \sin \vartheta }}{{\left[ {{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi ) \right]}^{*}}{{Y}_{l\acute{\ }}}^{m\acute{\ }}(\vartheta ,\phi )={{\delta }_{ll\acute{\ }}}{{\delta }_{mm\acute{\ }}}</math>
 Dies bedeutet:
-<math>\int\limits_{0}^{2\pi }{d\phi \int\limits_{0}^{\pi }{d\vartheta \sin \vartheta }}{{\left[ {{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi ) \right]}^{*}}{{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi )=1</math>
+:<math>\int\limits_{0}^{2\pi }{d\phi \int\limits_{0}^{\pi }{d\vartheta \sin \vartheta }}{{\left[ {{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi ) \right]}^{*}}{{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi )=1</math>
 oder in einer diskreten Basis:
-<math>\sum\limits_{l,m}{{}}{{\left( {{Y}_{l}}^{m} \right)}^{*}}{{Y}_{l}}^{m}=1</math>
+:<math>\sum\limits_{l,m}{{}}{{\left( {{Y}_{l}}^{m} \right)}^{*}}{{Y}_{l}}^{m}=1</math>
--> was an bekannte Vollständigkeitsbedingungen erinnert !
+→ was an bekannte Vollständigkeitsbedingungen erinnert!
 Die Kugelflächenfunktionen sind also ein vollständiges Orthonormalsystem, nach dem sich alle Funktionen auf der Einheitskugel entwickeln lassen:
-<math>F(\vartheta ,\phi )=\sum\limits_{l=0}^{\infty }{\sum\limits_{m=-l}^{l}{{}}}{{c}_{l}}^{m}{{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi )</math>
+:<math>F(\vartheta ,\phi )=\sum\limits_{l=0}^{\infty }{\sum\limits_{m=-l}^{l}{{}}}{{c}_{l}}^{m}{{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi )</math>
 Eine weitere Eigenschaft der Kugelflächenfunktionen:
-<math>{{Y}_{l}}{{^{m}}^{*}}(\vartheta ,\phi )={{\left( -1 \right)}^{m}}{{Y}_{l}}{{^{-m}}^{{}}}</math>
+:<math>{{Y}_{l}}{{^{m}}^{*}}(\vartheta ,\phi )={{\left( -1 \right)}^{m}}{{Y}_{l}}{{^{-m}}^{{}}}</math>
-Die Inversion am Ursprung liefert: ( also: <math>\bar{r}\to -{{\bar{r}}^{{}}}</math>
-), also <math>(\vartheta ,\phi )\to (\pi -\vartheta ,\phi +\pi )</math>
+Die Inversion am Ursprung liefert: (also: <math>\bar{r}\to -{{\bar{r}}^{{}}}</math>
+)
+, also <math>(\vartheta ,\phi )\to (\pi -\vartheta ,\phi +\pi )</math>
 :
@@ Line 179: / Line 179: @@
 haben die Parität <math>{{\left( -1 \right)}^{l}}</math>
-( steckt ebenfalls in den Eigenschaften der Kugelfunktionen, Legendre Polynome, wie auch immer, die sich eben als Eigenvektoren unseres Drehimpulsproblems ergeben haben !)
+(steckt ebenfalls in den Eigenschaften der Kugelfunktionen, Legendre Polynome, wie auch immer, die sich eben als Eigenvektoren unseres Drehimpulsproblems ergeben haben!)
@@ Line 189: / Line 189: @@
 	'''m'''
 	'''Bemerkungen/ Parität'''
-<math>{{Y}_{0}}^{0}=\sqrt{\frac{1}{4\pi }}</math>
+:<math>{{Y}_{0}}^{0}=\sqrt{\frac{1}{4\pi }}</math>
 	'''0'''
 	'''0'''
 	'''0'''
 	'''gerade (s-Orbitale)'''
-<math>{{Y}_{1}}^{0}=\sqrt{\frac{3}{4\pi }}\cos \vartheta </math>
+:<math>{{Y}_{1}}^{0}=\sqrt{\frac{3}{4\pi }}\cos \vartheta </math>
 	'''1'''
 	'''1'''
@@ Line 200: / Line 200: @@
 	'''ungerade (p-Orbitale)'''
-<math>{{Y}_{1}}^{\pm 1}=\mp \sqrt{\frac{3}{8\pi }}\sin \vartheta {{e}^{\pm i\phi }}</math>
+:<math>{{Y}_{1}}^{\pm 1}=\mp \sqrt{\frac{3}{8\pi }}\sin \vartheta {{e}^{\pm i\phi }}</math>
 	'''1'''
 	'''1'''
 	<math>\pm 1</math>
-	ungerade ( ebenfalls p-Orb.)
+	ungerade (ebenfalls p-Orb.)
-<math>{{\Psi }_{{{P}_{x}}}}=\sqrt{\frac{3}{4\pi }}\sin \vartheta \cos \phi </math>
+:<math>{{\Psi }_{{{P}_{x}}}}=\sqrt{\frac{3}{4\pi }}\sin \vartheta \cos \phi </math>
-<math>{{\Psi }_{{{P}_{y}}}}=\sqrt{\frac{3}{4\pi }}\sin \vartheta \sin \phi </math>
+:<math>{{\Psi }_{{{P}_{y}}}}=\sqrt{\frac{3}{4\pi }}\sin \vartheta \sin \phi </math>
-<math>{{Y}_{2}}^{0}=\sqrt{\frac{5}{16\pi }}\left( 3{{\cos }^{2}}\vartheta -1 \right)</math>
+:<math>{{Y}_{2}}^{0}=\sqrt{\frac{5}{16\pi }}\left( 3{{\cos }^{2}}\vartheta -1 \right)</math>
 	'''2'''
 	'''2'''
 	'''0'''
 	'''gerade (d-Orbitale)'''
-<math>{{Y}_{2}}^{\pm 1}=\mp \sqrt{\frac{15}{8\pi }}\sin \vartheta \cos \vartheta {{e}^{\pm i\phi }}</math>
+:<math>{{Y}_{2}}^{\pm 1}=\mp \sqrt{\frac{15}{8\pi }}\sin \vartheta \cos \vartheta {{e}^{\pm i\phi }}</math>
 	'''2'''
 	'''2'''
 	<math>\pm 1</math>
 	'''gerade (d-Orbitale)'''
-<math>{{Y}_{2}}^{\pm 2}=\sqrt{\frac{15}{32\pi }}{{\sin }^{2}}\vartheta {{e}^{\pm 2i\phi }}</math>
+:<math>{{Y}_{2}}^{\pm 2}=\sqrt{\frac{15}{32\pi }}{{\sin }^{2}}\vartheta {{e}^{\pm 2i\phi }}</math>
 	'''2'''
 	'''2'''
@@ Line 228: / Line 228: @@
 <u>'''Keine Knotenlinie'''</u>
-<math>{{Y}_{0}}^{0}=\sqrt{\frac{1}{4\pi }}</math>
+:<math>{{Y}_{0}}^{0}=\sqrt{\frac{1}{4\pi }}</math>
-			n=1   m=0, l=0
+			n=1 à  m=0, l=0
 <u>'''Eine Knotenlinie'''</u>
-<math>{{Y}_{1}}^{0}=\sqrt{\frac{3}{4\pi }}\cos \vartheta </math>
+:<math>{{Y}_{1}}^{0}=\sqrt{\frac{3}{4\pi }}\cos \vartheta </math>
 		n=2, l=1, m=0
-Merke: Wir haben  prinzipiell immer den gleichen Gesamtdrehimpuls in diesen Zuständen ! Nur einmal ist eben die z- Komponente Null ( wie hier) und einmal nicht ( dafür wäre z.B. die x- Komponente des Drehimpuls im folgenden Beispiel <math>{{Y}_{1}}^{\pm 1}=\mp \sqrt{\frac{3}{8\pi }}\sin \vartheta {{e}^{\pm i\phi }}</math>
+Merke: Wir haben  prinzipiell immer den gleichen Gesamtdrehimpuls in diesen Zuständen! Nur einmal ist eben die z- Komponente Null (wie hier) und einmal nicht (dafür wäre z.B. die x- Komponente des Drehimpuls im folgenden Beispiel <math>{{Y}_{1}}^{\pm 1}=\mp \sqrt{\frac{3}{8\pi }}\sin \vartheta {{e}^{\pm i\phi }}</math>
-NULL !)
+NULL!)
-<math>{{Y}_{1}}^{\pm 1}=\mp \sqrt{\frac{3}{8\pi }}\sin \vartheta {{e}^{\pm i\phi }}</math>
+:<math>{{Y}_{1}}^{\pm 1}=\mp \sqrt{\frac{3}{8\pi }}\sin \vartheta {{e}^{\pm i\phi }}</math>
 :	n=2, l=1, m=<math>\pm 1</math>
@@ Line 249: / Line 249: @@
 <u>'''Zwei Knotenlinien'''</u>
-<math>{{Y}_{2}}^{0}=\sqrt{\frac{5}{16\pi }}\left( 3{{\cos }^{2}}\vartheta -1 \right)</math>
+:<math>{{Y}_{2}}^{0}=\sqrt{\frac{5}{16\pi }}\left( 3{{\cos }^{2}}\vartheta -1 \right)</math>
 	 	n=3, l=2, m=0
-<math>{{Y}_{2}}^{\pm 1}=\mp \sqrt{\frac{15}{8\pi }}\sin \vartheta \cos \vartheta {{e}^{\pm i\phi }}</math>
+:<math>{{Y}_{2}}^{\pm 1}=\mp \sqrt{\frac{15}{8\pi }}\sin \vartheta \cos \vartheta {{e}^{\pm i\phi }}</math>
 		n=3, l=2, m=<math>\pm 1</math>
-<math>{{Y}_{2}}^{\pm 2}=\sqrt{\frac{15}{32\pi }}{{\sin }^{2}}\vartheta {{e}^{\pm 2i\phi }}</math>
+:<math>{{Y}_{2}}^{\pm 2}=\sqrt{\frac{15}{32\pi }}{{\sin }^{2}}\vartheta {{e}^{\pm 2i\phi }}</math>
 		n=3, l=2, m=<math>\pm 2</math>

Ortsdarstellung des Bahndrehimpulses: Difference between revisions

Latest revision as of 00:44, 13 September 2010

Navigation menu

Search