Kontinuitätsgleichung (Quantenmechnik)

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Kontinuitätsgleichung (Quantenmechnik) basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 1.Kapitels (Abschnitt 4) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Schrödingergleichung für Teilchen in Potenzialen V und A (beide reell):

${\begin{aligned}&i\hbar {\dot {\Psi }}({\bar {r}},t)={\hat {H}}\Psi ={\frac {1}{2m}}{{\left({\frac {\hbar }{i}}\nabla -e{\bar {A}}\right)}^{2}}\Psi ({\bar {r}},t)+V\Psi ({\bar {r}},t)\\&V=e\Phi \\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&i\hbar {\dot {\Psi }}({\bar {r}},t)={\frac {1}{2m}}\left({\frac {\hbar }{i}}\nabla -e{\bar {A}}\right)\left({\frac {\hbar }{i}}\nabla -e{\bar {A}}\right)\Psi ({\bar {r}},t)+V\Psi ({\bar {r}},t)\\&={\frac {1}{2m}}\left[-{{\hbar }^{2}}\Delta \Psi +i\hbar e\nabla \left({\bar {A}}\Psi \right)+i\hbar e{\bar {A}}\left(\nabla \Psi \right)+{{e}^{2}}{{A}^{2}}\Psi \right]+V\Psi ({\bar {r}},t)\\\end{aligned}}$

Dabei sind alle Terme außer dem ersten und dem letzten (V) magnetfeldabhängig, also abhängig von

${\bar {A}}({\bar {r}},t)$

Die Gleichung kann komplex konjugiert werden:

$i\hbar {\dot {\Psi }}*({\bar {r}},t)={\frac {1}{2m}}\left[-{{\hbar }^{2}}\Delta \Psi *-i\hbar e\nabla \left({\bar {A}}\Psi *\right)-i\hbar e{\bar {A}}\left(\nabla \Psi *\right)+{{e}^{2}}{{A}^{2}}\Psi *\right]+V\Psi *({\bar {r}},t)$

Damit ergibt sich eine Bewegungsgleichung für die Wahrscheinlichkeitsdichte:

${\begin{aligned}&i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{{\left|\Psi ({\bar {r}},t)\right|}^{2}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\Psi ({\bar {r}},t)\Psi *({\bar {r}},t)\right)=\Psi *({\bar {r}},t)i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi ({\bar {r}},t)+\Psi ({\bar {r}},t)i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi *({\bar {r}},t)\\&i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{{\left|\Psi ({\bar {r}},t)\right|}^{2}}=i\hbar \left(\Psi *({\bar {r}},t){\dot {\Psi }}({\bar {r}},t)+{\dot {\Psi }}*({\bar {r}},t)\Psi ({\bar {r}},t)\right)=\Psi *{\hat {H}}\Psi -\Psi ({\hat {H}}\Psi )*\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{{\left|\Psi ({\bar {r}},t)\right|}^{2}}={\frac {-{{\hbar }^{2}}}{2m}}\left(\Psi *\Delta \Psi -\Psi \Delta \Psi *\right)+{\frac {{e}^{2}}{2m}}\left[\Psi *{{\bar {A}}^{2}}\Psi -\Psi {{\bar {A}}^{2}}\Psi *\right]+\Psi *V\Psi -\Psi V\Psi *\\&\quad \quad \quad \quad \quad \quad +{\frac {i\hbar e}{2m}}\left(\Psi *\nabla \left({\bar {A}}\Psi \right)+{\bar {A}}\Psi \nabla \Psi *+\Psi \nabla \left({\bar {A}}\Psi *\right)+{\bar {A}}\Psi *\nabla \Psi \right)\\&\Psi *{{\bar {A}}^{2}}\Psi -\Psi {{\bar {A}}^{2}}\Psi *=0\\&\Psi *V\Psi -\Psi V\Psi *=0\\&\Psi *\nabla \left({\bar {A}}\Psi \right)+{\bar {A}}\Psi \nabla \Psi *=\Psi \nabla \left({\bar {A}}\Psi *\right)+{\bar {A}}\Psi *\nabla \Psi =\nabla \left(\Psi {\bar {A}}\Psi *\right)\\&\Rightarrow i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{{\left|\Psi ({\bar {r}},t)\right|}^{2}}={\frac {-{{\hbar }^{2}}}{2m}}\left(\Psi *\Delta \Psi -\Psi \Delta \Psi *\right)+{\frac {i\hbar e}{m}}\nabla \left(\Psi {\bar {A}}\Psi *\right)\\&\Psi *\Delta \Psi -\Psi \Delta \Psi *=\nabla \left(\Psi *\nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi *\right)-\left(\nabla \Psi *\nabla \Psi -\nabla \Psi \nabla \Psi *\right)\\&\left(\nabla \Psi *\nabla \Psi -\nabla \Psi \nabla \Psi *\right)=0\\&\Rightarrow i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{{\left|\Psi ({\bar {r}},t)\right|}^{2}}={\frac {-{{\hbar }^{2}}}{2m}}\nabla \left(\Psi *\nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi *\right)+{\frac {i\hbar e}{m}}\nabla \left(\Psi {\bar {A}}\Psi *\right)\\&\Rightarrow i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{{\left|\Psi ({\bar {r}},t)\right|}^{2}}=\nabla \left[{\frac {-{{\hbar }^{2}}}{2m}}\left(\Psi *\nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi *\right)+{\frac {i\hbar e}{m}}\left(\Psi {\bar {A}}\Psi *\right)\right]\\\end{aligned}}$

Diese Gleichung hat die Form einer Kontinuitätsgleichung der lokalen Wahrscheinlichkeitserhaltung für die Wahrscheinlichkeitsdichte quantenmechanischer Wellenfunktionen im elektromagnetischen Feld

${\frac {\partial }{\partial t}}{{\left|\Psi ({\bar {r}},t)\right|}^{2}}+\nabla \cdot {\bar {j}}=0$

Die Wahrscheinlichkeitsstromdichte lautet:

${\begin{aligned}&{\bar {j}}={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi *\nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi *\right)-{\frac {e}{m}}\left(\Psi {\bar {A}}\Psi *\right)\\&={\frac {1}{2m}}\left\{\Psi *\left({\frac {\hbar }{i}}\nabla -e{\bar {A}}\right)\Psi +\Psi \left(-{\frac {\hbar }{i}}\nabla -e{\bar {A}}\right)\Psi *\right\}\\\end{aligned}}$

Denn: Wenn die Kontinuitätsgleichung ${\frac {\partial }{\partial t}}{{\left|\Psi ({\bar {r}},t)\right|}^{2}}+\nabla \cdot {\bar {j}}=0$erfüllt sein soll, so muss der Wahrscheinlichkeitsstrom die obige Form haben! Die Kontinuitätsgleichung erhält man sauber durch Anwenden der Schrödingergleichung auf Die Wahrscheinlichkeit! Dabei bezeichnet man

${\bar {j}}={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi *\nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi *\right)$ als die freie Wahrscheinlichkeitsstromdichte, die im elektromagnetischen Potenzial durch den Potenzialterm $-{\frac {e}{m}}\left(\Psi {\bar {A}}\Psi *\right)$ ergänzt wird

${\bar {j}}={\frac {1}{2m}}\left\{\Psi *{{\hat {\bar {P}}}_{kin}}\Psi +\Psi \left({{\hat {\bar {P}}}_{kin}}\Psi \right)*\right\}$

Mit dem kinetischen Impulsoperator

${{\hat {\bar {P}}}_{kin}}:={\frac {\hbar }{i}}\nabla -e{\bar {A}}$

Führt man den kinetischen Impuls ein, so ist die Form analog zur Darstellung der freien Wahrscheinlichkeitsstromdichte verallgemeinert! Bemerkungen

1. Neben dem kanonischen Impulsoperator: ${{\hat {\bar {P}}}_{}}:={\frac {\hbar }{i}}\nabla$, wobei klassisch ${{p}_{i}}={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{i}}}}$ haben wir es nun mit dem kinetischen Impulsoperator ${{\hat {\bar {P}}}_{kin}}:={\frac {\hbar }{i}}\nabla -e{\bar {A}}$zu tun. Dieser hängt mit dem Geschwindigkeitsoperator ${\hat {\bar {v}}}:={\frac {{\hat {\bar {P}}}_{kin}}{m}}$zusammen, wobei der Geschwindigkeitsoperator ${\hat {\bar {v}}}:={\frac {{\hat {\bar {P}}}_{kin}}{m}}$NICHT die Zeitableitung des Orts- Operators repräsentiert.

Also: ${{\hat {\bar {P}}}_{kin}}=m{\hat {\bar {v}}}$und ${\hat {p}}\neq m{\hat {\bar {v}}}$

1. Mit Hilfe des Geschwindigkeitsoperators lautet die Kontinuitätsgleichung

${\frac {\partial }{\partial t}}{{\left|\Psi ({\bar {r}},t)\right|}^{2}}+\nabla \cdot {\bar {j}}=0$mit ${\bar {j}}={\frac {1}{2}}\left\{\Psi *{\hat {\bar {v}}}\Psi +\Psi \left({\hat {\bar {v}}}\Psi \right)*\right\}$

Dies ist ganz analog zur Kontinuitätsgleichung für klassische Dichten:

${\dot {\rho }}+\nabla \cdot {\bar {j}}=0$mit ${\bar {j}}=\rho \cdot {\bar {v}}$

Quantenmechanisch muss man lediglich die symmetrische reelle Form ${\bar {j}}=\operatorname {Re} \left\{\Psi *{\hat {\bar {v}}}\Psi \right\}$wählen, da hier $\rho \cdot {\hat {\bar {v}}}$oder ${\hat {\bar {v}}}\rho$nicht wohldefiniert ist. (Worauf wirkt der Operator ?)

1. In ${\hat {H}}={\frac {1}{2m}}{{\left({\hat {\bar {p}}}-e{\bar {A}}({\hat {\bar {r}}},t)\right)}^{2}}={\frac {1}{2m}}\left({{\hat {\bar {p}}}^{2}}-e{\hat {\bar {p}}}{\bar {A}}-e{\bar {A}}{\hat {\bar {p}}}+{{e}^{2}}{{A}^{2}}\right)$ ist die Reihenfolge der Faktoren zu beachten!

Nur in der Coulomb- Eichung $\nabla \cdot {\bar {A}}=0$gilt:

${\begin{aligned}&\left({\hat {\bar {p}}}{\bar {A}}+{\bar {A}}{\hat {\bar {p}}}\right)\Psi ={\frac {\hbar }{i}}\left[\nabla \left({\bar {A}}\Psi \right)+{\bar {A}}\left(\nabla \Psi \right)\right]={\frac {\hbar }{i}}\left[\left(\nabla \cdot {\bar {A}}\right)\Psi +2{\bar {A}}\left(\nabla \Psi \right)\right]\\&\nabla \cdot {\bar {A}}=0\\\end{aligned}}$

Im Spezialfall der Coulomb- Eichung. Somit:

$\left({\hat {\bar {p}}}{\bar {A}}+{\bar {A}}{\hat {\bar {p}}}\right)\Psi =2{\bar {A}}{\hat {\bar {p}}}\Psi$

Also in diesem Fall:

${\hat {H}}={\frac {1}{2m}}{{\left({\hat {\bar {p}}}-e{\bar {A}}({\hat {\bar {r}}},t)\right)}^{2}}={\frac {1}{2m}}\left({{\hat {\bar {p}}}^{2}}-2e{\bar {A}}{\hat {\bar {p}}}+{{e}^{2}}{{A}^{2}}\right)$

Merke: Die Coulombeichung bringt ${\bar {A}}$und ${\hat {p}}$zum Vertauschen!

1. Im Gaußschen Maßsystem gilt:

${\hat {H}}={\frac {1}{2m}}{{\left({\hat {\bar {p}}}-{\frac {e}{c}}{\bar {A}}\right)}^{2}}$