D'Alembertsches Prinzip der virtuellen Arbeit

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel D'Alembertsches Prinzip der virtuellen Arbeit basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 1.Kapitels (Abschnitt 3) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Gegeben sei ein System von N Massepunkten mit beliebigen (holonomen oder nicht holonomen) Zwangsbed.

Schreiben wir die Bewegungsgleichungen mit den Zwangskräften $Z_{i}$ als:

${\begin{aligned}&{{m}_{i}}{{\ddot {\vec {r}}}_{i}}(t)-{{\vec {X}}_{i}}={{\vec {Z}}_{i}}\quad i=1...N\\&\to \sum \limits _{i}{\left({{m}_{i}}{{\ddot {\vec {r}}}_{i}}(t)-{{\vec {X}}_{i}}\right)\delta {{\vec {r}}_{i}}=}\sum \limits _{i}{{{\vec {Z}}_{i}}\delta {{\vec {r}}_{i}}}\\\end{aligned}}$

Dabei versteht man $\sum \limits _{i}{{{\vec {X}}_{i}}\delta {{\vec {r}}_{i}}}$ als virtuelle Arbeit der eingeprägten Kräfte und $\sum \limits _{i}{{{\vec {Z}}_{i}}\delta {{\vec {r}}_{i}}}$ als virtuelle Arbeit der Zwangskräfte.

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Beispiel: Bewegung auf einer Fläche $f({{\vec {r}}_{i}},t)=0$ das ist auf der Ebene gerade durch die Normale auszudrücken: ${\vec {a}}\cdot ({\vec {r}}-{{\vec {r}}_{o}}(t))=0$ Annahme: Alle Zwangskräfte stehen senkrecht auf die Fläche: ${\begin{aligned}&{{\vec {Z}}_{i}}={{\lambda }_{i}}({{\vec {r}}_{1}},{{\vec {r}}_{2}},...,{{\vec {r}}_{N}}){{\nabla }_{ri}}f\\&{{\nabla }_{ri}}f\quad z.B.{\vec {a}}\ f{\ddot {u}}r\ Ebene\\\end{aligned}}$ Die Virtuelle Arbeit der Zwangskräfte verschwindet nun: ${{\vec {Z}}_{i}}\delta {{\vec {r}}_{i}}=0={{\lambda }_{i}}({{\vec {r}}_{1}},{{\vec {r}}_{2}},...,{{\vec {r}}_{N}}){{\nabla }_{ri}}f\delta {{\vec {r}}_{i}}={{\lambda }_{i}}\delta f$ Begründung: ${{\nabla }_{ri}}f\delta {{\vec {r}}_{i}}$ ist als Variation der Zwangsbedingung zu verstehen: ${{\nabla }_{ri}}f$ ist ein Differenzial senkrecht auf die Fläche $f\delta {{\vec {r}}_{i}}$ ein Differenzial parallel zur Fläche Also folgt: $\sum \limits _{i}{{{\vec {Z}}_{i}}\delta {{\vec {r}}_{i}}}=0$ Die reale Arbeit der Zwangskräfte verschwindet dagegen im Allgemeinen nicht: $\sum \limits _{i}{{{\vec {Z}}_{i}}d{{\vec {r}}_{i}}}\neq 0$

Beispiel: Starrer Körper ${{f}_{\lambda }}=\left|{{\vec {r}}_{i}}-{{\vec {r}}_{j}}\right|-{{l}_{ij}}:={{r}_{ij}}-{{l}_{ij}}=0$ Annahme: Die Zwangskräfte wirken in Richtung ${{\vec {r}}_{i}}-{{\vec {r}}_{j}}$ ${{\vec {Z}}_{ij}}={{\lambda }_{ij}}{\frac {{{\vec {r}}_{i}}-{{\vec {r}}_{j}}}{{r}_{ij}}}$ Das Vorgehen läßt sich also folgendermaßen schematisieren: Bestimme die Richtung der Zwangskraft und multipliziere einen beliebigen skalaren Faktor mit dieser Richtung. Falls die Richtungen für verschiedene Zwangskräfte verschieden sind, so muss man diese indizieren (mit einem Index kenntlich machen). Die Zwangskräfte erhalten dann ebenso indizierte skalare Faktoren. Mit Hilfe des 3. Newtonschen Axioms können wir weiter einschränken: ${{\vec {Z}}_{ij}}=-{{\vec {Z}}_{ji}}\Rightarrow {{\lambda }_{i{{j}_{}}}}={{\lambda }_{ji}}$ Auf das Teilchen i wirkt also insgesamt die Zwangskraft: ${{\vec {Z}}_{i}}=\sum \limits _{j\neq i}{{Z}_{ij}}=\sum \limits _{j}{{{\lambda }_{ij}}{\frac {{{\vec {r}}_{i}}-{{\vec {r}}_{j}}}{{r}_{ij}}}}$ ${{\vec {Z}}_{i}}\delta {{\vec {r}}_{i}}\neq 0$ im Allgemeinen. Es verschwindet also nicht die virtuelle Arbeit für jede Masse einzeln. Jedoch gilt: $\sum \limits _{i}{{{\vec {Z}}_{i}}{{\delta }_{}}{{\vec {r}}_{i}}}=\sum \limits _{i,j}{{{\lambda }_{ij}}{\frac {{{\vec {r}}_{i}}-{{\vec {r}}_{j}}}{{r}_{ij}}}{{\delta }_{}}{{\vec {r}}_{i}}}={\frac {1}{2}}\sum \limits _{i,j}{{{\lambda }_{ij}}{\frac {{{\vec {r}}_{i}}-{{\vec {r}}_{j}}}{{r}_{ij}}}}{{\delta }_{}}{{({{\vec {r}}_{i}}-{{\vec {r}}_{j}})}_{}}={\frac {1}{2}}\sum \limits _{i,j}{{\lambda }_{ij}}{{\delta }_{}}{{r}_{ij}}=0$ Beweis: $\delta |r|=\delta {{({\vec {r}}\cdot {\vec {r}})}^{\frac {1}{2}}}={\frac {1}{2}}{{({\vec {r}}\cdot {\vec {r}})}^{-{\frac {1}{2}}}}2{\vec {r}}\delta {\vec {r}}={\frac {{\vec {r}}\delta {\vec {r}}}{r}}$ und ${{\delta }_{}}{{r}_{ij}}=0$

Allgemeine Forderung

Allgemein kann man fordern:

$\sum \limits _{i}{{{\vec {Z}}_{i}}{{\delta }_{}}{{\vec {r}}_{i}}}=0$

für alle betrachteten Zwangskräfte.

Das bedeutet: Gleitreibungskräfte längs einer Fläche sind als Zwangskräfte ausgeschlossen.

Somit folgt als d'Alembertsches Prinzip: $\sum \limits _{i}{{{\vec {Z}}_{i}}{{\delta }_{}}{{\vec {r}}_{i}}}=\sum \limits _{i}{\left({{m}_{i}}{{\ddot {\vec {r}}}_{i}}-{{\vec {X}}_{i}}\right)}\delta {{\vec {r}}_{i}}=0$

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Das d´Alembertsche Prinzip gilt gleichermaßen für holonome und anholonome Zwangsbedingungen

Beispiel für ein Variationsprinzip{{#set:Fachbegriff=Variationsprinzip|Index=Variationsprinzip}}:

Differentialprinzip{{#set:Fachbegriff=Differentialprinzip|Index=Differentialprinzip}}: (für infinitesimal kleine Variationen):

Der wirklich angenommene Zustand eines Systems ist in Extremalzustand in dem Sinn, dass die gesamte virtuelle Arbeit Null ist. Dieser Zustand ist stabil gegen kleine Verrückungen der Bahn

$\left\{\delta {{\vec {r}}_{i}}\right\}$.

Variationsprinzip mit Nebenbedingungen

Wir numerieren nun die Vektorkoordinaten um:

${\begin{aligned}&{\vec {r}}\to {{r}_{j}}(j=1...3)\\&{\vec {X}}\to {{X}_{j}}\\&{\vec {a}}\to {{b}_{j}}^{n}\\\end{aligned}}$

Aus dem d´Alembertschen Prinzip gewinnen wir:

$\sum \limits _{i=1}^{3N}{{{Z}_{i}}{{\delta }_{}}{{r}_{i}}}=\sum \limits _{i=1}^{3N}{\left({{m}_{i}}{{\ddot {r}}_{i}}-{{X}_{i}}\right)\delta {{r}_{i}}=0}$

Nebenbedingung:

$\sum \limits _{i=1}^{3N}{{{b}_{i}}^{n}\delta {{r}_{i}}=0\quad n=1,...,\nu }$

$\nu$ charakterisiert auch hier die Zahl der Nebenbedingungen, der Index n steht für die n-te Nebenbedingung

Dies ist lösbar mit der Methode der Lagrange-Multiplikatoren{{#set:Fachbegriff=Methode der Lagrange-Multiplikatoren|Index=Methode der Lagrange-Multiplikatoren}}.

Denn: Wenn die Vektorkomponenten ${{r}_{i}}$ frei variierbar wären, also $\delta {{r}_{i}}$ beliebig, so müsste gelten:

${{m}_{i}}{{\ddot {r}}_{i}}-{{X}_{i}}=0$

Also wäre es sinnvoll, das lineare Gleichungssystem so umzuschreiben, dass ein Satz von Faktoren frei variierbar ist:

• Zuerst addieren wir die Nebenbedingungen mit noch beliebigen Lagrangemultiplikatoren{{#set:Fachbegriff=Lagrangemultiplikatoren|Index=Lagrangemultiplikatoren}} ${{\lambda }_{n}}$ Wir erhalten:
  • $\sum \limits _{j=1}^{3N}{\left({{m}_{j}}{{\ddot {r}}_{j}}-{{X}_{j}}-\sum \limits _{n=1}^{\nu }{{{\lambda }_{n}}{{b}_{j}}^{n}}\right)\delta {{r}_{j}}=0}$
• Nun sind $\delta {{r}_{1}},\delta {{r}_{2}},...,\delta {{r}_{\nu }}$ aus den Nebenbedingungen zu eliminieren. Die verbleibenden $\delta {{r}_{\nu +1}},...,\delta {{r}_{3N}}$ sind nun frei variierbar.
• Nun kann das Summenzeichen weggelassen werden, da die verbleibenden Vektorkomponenten frei variiert werden können und dementsprechend jeder Summand für sich Null sein muss:
  • Es lassen sich ${{\lambda }_{1,}}...,{{\lambda }_{\nu }}$ derart bestimmen, dass
  • ${{m}_{j}}{{\ddot {r}}_{j}}-{{X}_{j}}-\sum \limits _{n=1}^{\nu }{{{\lambda }_{n}}{{b}_{j}}^{n}}=0\quad j=1,...,\nu$
  • Das heißt, wir suchen die ${{\lambda }_{1,}}...,{{\lambda }_{\nu }}$ aus diesem gegebenen linearen Gleichungssystem für die ${{\lambda }_{n}}(t)$ als Funktion der ${{\ddot {r}}_{j}}(t)$; Im stationären Fall ist dies direkt auflösbar.
  • $\sum \limits _{j=\nu +1}^{3N}{\left({{m}_{j}}{{\ddot {r}}_{j}}-{{X}_{j}}-\sum \limits _{n=1}^{\nu }{{{\lambda }_{n}}{{b}_{j}}^{n}}\right)\delta {{r}_{j}}=0}$
  • Da hier jedoch die $\delta {{r}_{j}}$ frei variierbar sind, gilt:

${{m}_{j}}{{\ddot {r}}_{j}}-{{X}_{j}}-\sum \limits _{n=1}^{\nu }{{{\lambda }_{n}}{{b}_{j}}^{n}}=0$Lagrange- Gleichung der 1. Art

{{#set:Definition=Lagrange- Gleichung der 1. Art|Index=Lagrange- Gleichung der 1. Art}}

$\sum \limits _{n=1}^{\nu }{{{\lambda }_{n}}{{b}_{j}}^{n}}$ kann als Zwangskraft interpretiert werden und taucht in der Statik als Lagrange- Parameter auf.

Beispiel Atwoodsche Fallmaschine Atwoods Fallmaschine Aus der Schule bekannt ist die Kraft, die an m1 angreift, nämlich -m1g und die Kraft, die an m2 angreift, nämlich -m2g. Beginnen wir mit dem d´Alembertschen Prinzip: $\sum \limits _{i}{{{\vec {Z}}_{i}}{{\delta }_{}}{{\vec {r}}_{i}}}=\sum \limits _{i}{\left({{m}_{i}}{{\ddot {\vec {r}}}_{i}}-{{\vec {X}}_{i}}\right)}\delta {{\vec {r}}_{i}}=0$ so folgt: $({{m}_{1}}{{\ddot {h}}_{1}}-{{X}_{1}})\delta {{h}_{1}}+({{m}_{2}}{{\ddot {h}}_{2}}-{{X}_{2}})\delta {{h}_{2}}=0$ Da der Aufbau nur ein Rädchen besitzt gilt ganz einfach: ${\begin{aligned}&{{h}_{1}}+{{h}_{2}}=const.\\&\delta {{h}_{1}}=-\delta {{h}_{2}}\\&{{\ddot {h}}_{1}}=-{{\ddot {h}}_{2}}\\\end{aligned}}$ Also folgt: $({{m}_{1}}{{\ddot {h}}_{1}}+{{m}_{1}}g)\delta {{h}_{1}}-(-{{m}_{2}}{{\ddot {h}}_{1}}+{{m}_{2}}g)\delta {{h}_{1}}=0$ ${{m}_{1}}{{\ddot {h}}_{1}}+{{m}_{1}}g+{{m}_{2}}{{\ddot {h}}_{1}}-{{m}_{2}}g=0$ ${{\ddot {h}}_{1}}={\frac {({{m}_{2}}-{{m}_{1}})}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}}g$ Also: Am bedeutendsten ist das d´Alembertsche Prinzip, welches sagt, dass die Summe über alle virtuellen Arbeiten der Zwangskräfte Null ist: $\sum \limits _{i}{{{\vec {Z}}_{i}}{{\delta }_{}}{{\vec {r}}_{i}}}=\sum \limits _{i}{\left({{m}_{i}}{{\ddot {\vec {r}}}_{i}}-{{\vec {X}}_{i}}\right)}\delta {{\vec {r}}_{i}}=0$