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| {{Scripthinweis|Elektrdynamik|4}}
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| Im statischen Fall sind die Felder | | Im statischen Fall sind die Felder |
| <math>\bar{E},\bar{B}</math> | | :<math>\bar{E},\bar{B}</math> |
| entkoppelt. | | entkoppelt. |
| Im dynamischen Fall jedoch sind | | Im dynamischen Fall jedoch sind |
| <math>\bar{E},\bar{B}</math> | | :<math>\bar{E},\bar{B}</math> |
| über den Verschiebungsstrom | | über den Verschiebungsstrom |
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| <math>\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\nabla \times \bar{B}-\bar{j}={{\varepsilon }_{0}}\dot{\bar{E}}</math> | | :<math>\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\nabla \times \bar{B}-\bar{j}={{\varepsilon }_{0}}\dot{\bar{E}}</math> |
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| und über das Induktionsgesetz | | und über das Induktionsgesetz |
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| <math>\nabla \times \bar{E}=-\dot{\bar{B}}</math> | | :<math>\nabla \times \bar{E}=-\dot{\bar{B}}</math> |
| gekoppelt ! | | gekoppelt! |
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| Dies bestimmt die Ausbreitung von elektromagnetischen Wellen ! | | Dies bestimmt die Ausbreitung von elektromagnetischen Wellen! |
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| =Freie Wellenausbreitung im Vakuum=
| | male Spalte: Kammfunktion |
| | | <noinclude>{{Scripthinweis|Elektrodynamik|4|0}}</noinclude> |
| Betrachte einen Raumbereich ohne Quellen:
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| <math>\rho =0</math>
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| <math>\bar{j}=0</math>
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| Damit:
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| <math>\#\Phi =-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\rho =0\Rightarrow \#\Phi =0</math>
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| <math>\#\bar{A}=-{{\mu }_{0}}\bar{j}=0\Rightarrow \#\bar{A}=0</math>
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| Dies sind die homogenen Wellengleichungen in Lorentz- Eichung
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| Wegen
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| <math>\begin{align}
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| & \bar{E}=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\
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| & \bar{B}=\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\
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| \end{align}</math>
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| gilt auch
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| <math>\begin{align}
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| & \#\bar{E}=0 \\
| |
| & \#\bar{B}=0 \\
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| \end{align}</math>
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| Dies folgt auch direkt aus
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| <math>\begin{align}
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| & \nabla \times \bar{B}={{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\dot{\bar{E}} \\
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| & \nabla \times \bar{E}=-\dot{\bar{B}} \\
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| & \Rightarrow mit\quad \nabla \cdot \bar{E}=0 \\
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| & \left( \Delta -{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}} \right)\bar{E}=0 \\
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| \end{align}</math>
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| <u>'''Allgemeine Lösung '''</u>von
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| <math>u(\bar{r},t)=0</math>
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| :
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| <math>u(\bar{r},t)=F(\bar{k}\bar{r}-\varpi t)</math>
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| mit einer beliebigen , zweifach diffbaren Funktion
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| <math>F(\phi )</math>
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| und
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| <math>\varpi =c\left| {\bar{k}} \right|</math>
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| ( dÁlembertsche Lösung)
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| Beweis:
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| <math>\#F(\bar{k}\bar{r}-\varpi t)=\left( {{{\bar{k}}}^{2}}-\frac{{{\varpi }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)F\acute{\ }\acute{\ }\left( \phi \right)=0</math>
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| Nebenbemerkung:
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| <math>F(\phi )</math>
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| muss nicht periodisch in
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| <math>\phi </math>
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| sein !
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| Gegenbeispiel sind solitäre Lösungen / solitäre Wellen = Solitonen :
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| Der Wellenvektor
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| <math>\bar{k}</math>
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| zeigt in Ausbreitungsrichtung:
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| Es gilt:
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| <math>\nabla \phi (\bar{r},t)=\bar{k}</math>
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| Die markierten Flächen sind sogenannte Phasenflächen. Dies sind Flächen konstanter Phase:
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| <math>\bar{k}\bar{r}-\varpi t=\phi (\bar{r},t)=const!</math>
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| Somit ergibt sich für ebene Wellen die Bedingung:
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| <math>\bar{k}\left( \bar{r}-\frac{1}{{{k}^{2}}}\bar{k}\left( \varpi t+\phi \right) \right)=0</math>
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| Die Ausbreitung der Orte konstanter Phase folgt der Bedingung:
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| <math>\bar{r}(t)=\frac{1}{{{k}^{2}}}\bar{k}\left( \varpi t+\phi \right)</math>
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| Somit ergibt sich die Phasengeschwindigkeit
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| <math>\begin{align}
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| & {{v}_{ph}}=\left. \frac{d\bar{r}(t)}{dt} \right|_{\phi =const}^{{}}=\frac{{\bar{k}}}{{{k}^{2}}}\varpi =c\frac{{\bar{k}}}{k} \\
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| & \frac{{\bar{k}}}{k}:=\bar{n} \\
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| \end{align}</math>
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| spezielle Lösung: Harmonische Ebene Welle
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| <math>u(\bar{r},t)=\tilde{u}(\bar{k}){{e}^{i(\bar{k}\bar{r}-\varpi t)}}</math>
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| mit der komplexen Amplitude
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| <math>\tilde{u}(\bar{k})</math>
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| Die lineare Superposition der Wellen ist wegen der Linearität möglich und lautet formal für die allgemeine Dispersionsrelation
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| <math>\varpi (\bar{k})</math>
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| <math>u(\bar{r},t)=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}k}\tilde{u}(\bar{k}){{e}^{i(\bar{k}\bar{r}-\varpi (\bar{k})t)}}</math>
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| Literatur: Vergleiche FK Brillouin, L. Wave propagation and group velocity
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| Sei
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| <math>\tilde{u}(\bar{k})</math>
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| um
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| <math>{{\bar{k}}_{0}}</math>
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| herum lokalisiert:
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| So ergibt sich ein '''Wellenpaket ''', welches im Ortsraum lokalisiert ist !
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| Denn: Die Taylorentwicklung der Phase um
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| <math>{{\bar{k}}_{0}}</math>
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| ergibt
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| <math>\begin{align}
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| & \varpi (\bar{k})\approx \varpi ({{{\bar{k}}}_{0}})+\left( \bar{k}-{{{\bar{k}}}_{0}} \right){{\nabla }_{k}}\varpi (\bar{k}){{\left. {} \right|}_{\bar{k}={{{\bar{k}}}_{0}}}}+\frac{1}{2!}{{\left( \bar{k}-{{{\bar{k}}}_{0}} \right)}^{2}}{{\left( {{\nabla }_{k}} \right)}^{2}}\varpi (\bar{k}){{\left. {} \right|}_{\bar{k}={{{\bar{k}}}_{0}}}}+... \\
| |
| & {{\nabla }_{k}}\varpi (\bar{k}){{\left. {} \right|}_{\bar{k}={{{\bar{k}}}_{0}}}}={{{\bar{v}}}_{g}} \\
| |
| & \varpi (\bar{k})\approx \varpi ({{{\bar{k}}}_{0}})+\left( \bar{k}-{{{\bar{k}}}_{0}} \right){{{\bar{v}}}_{g}} \\
| |
| \end{align}</math>
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| Diese lineare Näherung ergibt nun gerade
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| <math>\begin{align}
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| & u(\bar{r},t)={{e}^{i({{{\bar{k}}}_{0}}\bar{r}-{{\varpi }_{0}}t)}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}\tilde{k}}\tilde{u}({{{\bar{k}}}_{0}}+\tilde{\bar{k}}){{e}^{i\tilde{\bar{k}}(\bar{r}-{{{\bar{v}}}_{g}}t)}} \\
| |
| & \tilde{\bar{k}}=\bar{k}-{{{\bar{k}}}_{0}} \\
| |
| \end{align}</math>
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| Dies ist zu interpretieren als
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| <math>{{e}^{i({{{\bar{k}}}_{0}}\bar{r}-{{\varpi }_{0}}t)}}</math>
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| eine Trägerwelle mit der Phasengschwindigkeit
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| <math>{{\bar{v}}_{ph}}=\frac{{{\varpi }_{0}}}{{{k}_{0}}}</math>
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| <math>\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}\tilde{k}}\tilde{u}({{\bar{k}}_{0}}+\tilde{\bar{k}}){{e}^{i\tilde{\bar{k}}(\bar{r}-{{{\bar{v}}}_{g}}t)}}</math>
| |
| als Einhüllende, deren Maximum sich mit der Gruppengeschwindigkeit
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| <math>{{\bar{v}}_{g}}={{\nabla }_{k}}\varpi \left( {\bar{k}} \right)</math>
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| bewegt:
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| Wir erhalten die Dispersionsrelation
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| <math>\varpi \left( {\bar{k}} \right)</math>
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| elektromagnetische Wellen im Vakuum:
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| <math>\varpi \left( {\bar{k}} \right)=c\left| {\bar{k}} \right|\Rightarrow {{\bar{v}}_{g}}=c\frac{{\bar{k}}}{\left| {\bar{k}} \right|}={{\bar{v}}_{ph}}=\frac{1}{\sqrt{{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}}}\bar{n}</math>
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| es gibt also keine Dispersion ( kein zerfließen!)
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| Im Gegensatz zu elektromagentischen Wellen in dispersiven Medien oder quantenmechanischen Materiewellen im Vakuum !
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| <u>'''Polarisation'''</u>
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| Betrachte eine elektromagnetische Welle:
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| <math>\begin{align}
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| & \bar{E}(\bar{r},t)={{{\bar{E}}}_{0}}{{e}^{i(\bar{k}\bar{r}-\varpi t)}} \\
| |
| & \bar{B}(\bar{r},t)={{{\bar{B}}}_{0}}{{e}^{i(\bar{k}\bar{r}-\varpi t)}} \\
| |
| \end{align}</math>
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| Allgemein gilt:
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| <math>\bar{E}(\bar{r},t)</math>
| |
| heißt transversal, wenn
| |
| <math>\nabla \cdot \bar{E}(\bar{r},t)=0</math>
| |
| ( quellenfrei)
| |
| | |
| <math>\Rightarrow i\bar{k}\cdot \bar{E}(\bar{r},t)=0\Rightarrow \bar{k}\bot \bar{E}(\bar{r},t)</math>
| |
| | |
| <math>\bar{E}(\bar{r},t)</math>
| |
| heißt longitudinal, wenn
| |
| <math>\nabla \times \bar{E}(\bar{r},t)=0</math>
| |
| ( wirbelfrei)
| |
| | |
| <math>\Rightarrow i\bar{k}\times \bar{E}(\bar{r},t)=0\Rightarrow \bar{k}||\bar{E}(\bar{r},t)</math>
| |
| | |
| Für
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| <math>\rho =0</math>
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| ist wegen
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| <math>\nabla \cdot \bar{E}(\bar{r},t)=0</math>
| |
| das elektrische Feld transversal.
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| Wegen
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| <math>\nabla \cdot \bar{B}(\bar{r},t)=0</math>
| |
| ist das magnetische Feld stets transversal !
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| Weiter folgt aus:
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| <math>\nabla \times \bar{E}(\bar{r},t)+\dot{\bar{B}}=0</math>
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| dass die transversale Komponente des elektrischen Feldes durch die zeitliche Änderung des Magnetfeldes gegeben ist !
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \nabla \times \bar{E}(\bar{r},t)+\dot{\bar{B}}=0 \\
| |
| & \Rightarrow \left( i\bar{k}\times {{{\bar{E}}}_{0}}-i\varpi {{{\bar{B}}}_{0}} \right){{e}^{i\left( \bar{k}\bar{r}-\varpi t \right)}}=0 \\
| |
| & \varpi =c\left| {\bar{k}} \right| \\
| |
| & \Rightarrow {{{\bar{B}}}_{0}}=\frac{1}{c}\frac{{\bar{k}}}{\left| {\bar{k}} \right|}\times {{{\bar{E}}}_{0}}:=\frac{1}{c}\bar{n}\times {{{\bar{E}}}_{0}} \\
| |
| \end{align}</math>
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| Folglich bilden
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| <math>\bar{k},{{\bar{E}}_{0}},{{\bar{B}}_{0}}</math>
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| ein Rechtssystem !
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| Die Richtung von
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| <math>\operatorname{Re}\left\{ {{{\bar{E}}}_{0}},{{{\bar{B}}}_{0}} \right\}</math>
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| legt die Polarisation fest:
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| | |
| Sei
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| <math>\bar{k}||{{\bar{e}}_{3}}</math>
| |
| - Achse, also:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{{\bar{E}}}_{0}}={{E}_{01}}{{{\bar{e}}}_{1}}+{{E}_{02}}{{{\bar{e}}}_{2}} \\
| |
| & {{E}_{0i}}={{a}_{i}}{{e}^{i{{\delta }_{i}}}}\in C \\
| |
| & {{a}_{i}},{{\delta }_{i}}\in R \\
| |
| & i=1,2 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Das physikalische Feld ergibt sich zu
| |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{{\bar{E}}}_{1}}(\bar{r},t)=\operatorname{Re}\left\{ {{a}_{1}}{{e}^{i\left( {{\delta }_{1}}+\bar{k}\bar{r}-\varpi t \right)}} \right\}={{a}_{1}}\cos \left( \phi +{{\delta }_{1}} \right) \\
| |
| & \phi :=\bar{k}\bar{r}-\varpi t \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| und
| |
| | |
| <math>{{\bar{E}}_{2}}(\bar{r},t)=\operatorname{Re}\left\{ {{a}_{2}}{{e}^{i\left( {{\delta }_{2}}+\phi \right)}} \right\}={{a}_{2}}\cos \left( \phi +{{\delta }_{2}} \right)</math>
| |
| | |
| Aus
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \frac{{{{\bar{E}}}_{1}}}{{{a}_{1}}}(\bar{r},t)=\cos \phi \cos {{\delta }_{1}}-\sin \phi \sin {{\delta }_{1}} \\
| |
| & \frac{{{{\bar{E}}}_{2}}}{a2}(\bar{r},t)=\cos \phi \cos {{\delta }_{2}}-\sin \phi \sin {{\delta }_{2}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Kann
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| <math>\phi </math>
| |
| und somit
| |
| <math>\left( \bar{r},t \right)</math>
| |
| eliminiert werden:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \frac{{{{\bar{E}}}_{1}}}{{{a}_{1}}}\sin {{\delta }_{2}}-\frac{{{{\bar{E}}}_{2}}}{a2}\sin {{\delta }_{1}}=\cos \phi \sin \left( {{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}} \right) \\
| |
| & \frac{{{{\bar{E}}}_{1}}}{{{a}_{1}}}\cos {{\delta }_{2}}-\frac{{{{\bar{E}}}_{2}}}{a2}\cos {{\delta }_{1}}=\sin \phi \sin \left( {{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}} \right) \\
| |
| & \Rightarrow {{1}^{2}}+{{2}^{2}}\Rightarrow {{\left( \frac{{{{\bar{E}}}_{1}}}{{{a}_{1}}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{{{{\bar{E}}}_{2}}}{a2} \right)}^{2}}-2\frac{{{{\bar{E}}}_{1}}}{{{a}_{1}}}\frac{{{{\bar{E}}}_{2}}}{a2}\cos \left( {{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}} \right)={{\sin }^{2}}\left( {{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}} \right) \\
| |
| \end{align}</math>
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| Dies ist jedoch eine Ellipsengleichung für
| |
| <math>{{\bar{E}}_{1}},{{\bar{E}}_{2}}</math>
| |
| :
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| | |
| Der Feldvektor
| |
| <math>\bar{E}(\bar{r},t)</math>
| |
| läuft als Funktion von
| |
| <math>\phi </math>
| |
| auf einer Ellipse senkrecht zu
| |
| <math>\bar{k}</math>
| |
| um die Achse der Ausbreitungsrichtung. Man spricht von elliptischer Polarisation:
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| | |
| Dabei entspricht die Darstellung dem Ortsvektor
| |
| <math>\bar{r}</math>
| |
| für eine feste Zeit t oder der vorhergehenden zeit -t für einen festen Ort
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| <math>\bar{r}</math>
| |
| .
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| <u>'''Spezialfälle:'''</u>
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| <u>'''Linear polarisierte Welle:'''</u>
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{\delta }_{1}}={{\delta }_{2}}+n\pi \Rightarrow \sin \left( {{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}} \right)=0,\cos \left( {{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}} \right)=\pm 1 \\
| |
| & \Rightarrow \frac{{{{\bar{E}}}_{1}}}{{{a}_{1}}}\pm \frac{{{{\bar{E}}}_{2}}}{a2}=0 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
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| Dies ist jedoch eine Geradengleichung:
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| <math>\bar{E}(\bar{r},t)={{\bar{E}}_{0}}\cos \phi (\bar{r},t)</math>
| |
| | |
| mit reeller Amplitude
| |
| | |
| <math>{{\bar{E}}_{0}}</math>
| |
| | |
| <u>'''Zirkular polarisierte Welle'''</u>
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & a1=a2=a \\
| |
| & {{\delta }_{1}}={{\delta }_{2}}+\left( 2n+1 \right)\frac{\pi }{2}\Rightarrow \sin \left( {{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}} \right)=\pm 1,\cos \left( {{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}} \right)=0 \\
| |
| & \Rightarrow {{{\bar{E}}}_{1}}^{2}+{{{\bar{E}}}_{2}}^{2}={{a}^{2}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Dies entspricht der Überlagerung zweier linear polarisierter Wellen, die um
| |
| <math>\frac{\pi }{2}</math>
| |
| phasenverschoben sind !
| |
| Der Feldvektor des elektrischen Feldes läuft auf einem Kreis um
| |
| | |
| <math>\bar{E}(\bar{r},t)=a\left( \begin{matrix}
| |
| \cos \phi \\
| |
| \pm \sin \phi \\
| |
| \end{matrix} \right)</math>
| |
| | |
| Je nach Vorzeichen spricht man von links- bzw. rechtszirkular polarisiertem Licht:
| |
| | |
| Dabei läuft
| |
| <math>\bar{B}(\bar{r},t)</math>
| |
| dem
| |
| <math>\bar{E}(\bar{r},t)</math>
| |
| - Vektor um
| |
| <math>\frac{\pi }{2}</math>
| |
| verschoben nach bzw. voraus !
| |
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| <u>'''Energiedichte der elektromagnetischen Welle:'''</u>
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| | |
| <math>{{\bar{E}}_{0}}(\bar{r},t)</math>
| |
| reell:
| |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{E}(\bar{r},t)={{{\bar{E}}}_{0}}\cos \left( \bar{k}\bar{r}-\varpi t \right) \\
| |
| & \bar{B}(\bar{r},t)={{{\bar{B}}}_{0}}\cos \left( \bar{k}\bar{r}-\varpi t \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| mit
| |
| | |
| <math>{{\bar{B}}_{0}}=\frac{1}{c}\bar{n}\times {{\bar{E}}_{0}}</math>
| |
| | |
| Die Energiedichte ergibt sich gemäß
| |
| | |
| <math>w=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}{{\bar{E}}^{2}}+\frac{1}{2{{\mu }_{0}}}{{\bar{B}}^{2}}=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}{{\bar{E}}^{2}}+\frac{1}{2{{\mu }_{0}}{{c}^{2}}}{{\bar{E}}^{2}}=2\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}{{\bar{E}}^{2}}</math>
| |
| | |
| Für die Energiestromdichte gilt:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{S}=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{E}\times \bar{B} \\
| |
| & \bar{S}=\frac{1}{c{{\mu }_{0}}}\bar{E}\times \left( \bar{n}\times \bar{E} \right)=\sqrt{\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{{{\mu }_{0}}}}{{{\bar{E}}}^{2}}\bar{n}=c{{\varepsilon }_{0}}{{{\bar{E}}}^{2}}\bar{n}=cw\bar{n} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Also:
| |
| Die Energie wird mit Lichtgeschwindigkeit in Richtung
| |
| <math>\bar{n}=\frac{{\bar{k}}}{\left| {\bar{k}} \right|}</math>
| |
| transportiert
| |
| Für ine Kugelwelle:
| |
| <math>\bar{E}(\bar{r},t)=\frac{1}{r}{{\bar{E}}_{0}}\cos \left( \bar{k}\bar{r}-\varpi t \right)</math>
| |
| verteilt sich die Energie auf eine Kugelschale:
| |
| | |
| für die Energie in einer Kugelschale mit dem Radius r und der Dicke dr gilt:
| |
| | |
| <math>W(r)=4\pi {{r}^{2}}dr{{\varepsilon }_{0}}{{\bar{E}}^{2}}(\bar{r},t)</math>
| |
| | |
| Dabei kann der Exponent der Feldfunktion zeitlich gemittelt werden ( sinus²) und es ergibt sich ein Faktor 1/2:
| |
| | |
| <math>W(r)=4\pi {{r}^{2}}dr{{\varepsilon }_{0}}{{\bar{E}}^{2}}(\bar{r},t)=2\pi {{r}^{2}}dr{{\varepsilon }_{0}}\frac{{{{\bar{E}}}_{0}}^{2}}{{{r}^{2}}}=const.</math>
| |
| | |
| =Retardierte Potenziale=
| |
| | |
| <u>'''Aufgabe'''</u>
| |
| Lösung der inhomogenen Wellengleichungen in Lorentz- Eichung:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \#\Phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}} \\
| |
| & \#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| zu vorgegebenen erzeugenden Quellen
| |
| <math>\rho \left( \bar{r},t \right),\bar{j}\left( \bar{r},t \right)</math>
| |
| und Randbedingungen
| |
| <math>\Phi \left( \bar{r},t \right),\bar{A}\left( \bar{r},t \right)\to 0f\ddot{u}r\quad \bar{r}\to \infty </math>
| |
| | |
| <u>'''Methode: Greensche Funktion verwenden:'''</u>
| |
| | |
| <math>G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ },t-t\acute{\ } \right)</math>
| |
| | |
| '''In der Elektrodynamik:'''
| |
| | |
| <math>\#u\left( \bar{r},t \right)=-f\left( \bar{r},t \right)</math>
| |
| | |
| mit
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & u\left( \bar{r},t \right):=\Phi \left( \bar{r},t \right),\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\
| |
| & f\left( \bar{r},t \right)=\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}},{{\mu }_{0}}\bar{j} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Fourier- Trafo:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{{\hat{\#}}}^{-1}}:=-\hat{G} \\
| |
| & \Rightarrow \hat{u}\left( \bar{k},\omega \right)=\hat{G}\hat{f}\left( \bar{k},\omega \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Rück- Trafo:
| |
| es folgt schließlich:
| |
| | |
| <math>u\left( \bar{r},t \right)=\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\int_{-\infty }^{\infty }{dt\acute{\ }}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ },t-t\acute{\ } \right)f\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right)</math>
| |
| | |
| mit
| |
| | |
| <math>\#G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ },t-t\acute{\ } \right)=-\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\delta \left( t-t\acute{\ } \right)</math>
| |
| | |
| '''Vergleiche: Elektrostatik:'''
| |
| | |
| <math>\Delta \Phi \left( {\bar{r}} \right)=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\rho \left( {\bar{r}} \right)</math>
| |
| | |
| Fourier- Trafo:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{\Delta }^{-1}}:=-\hat{G} \\
| |
| & \Rightarrow \hat{\Phi }\left( {\bar{k}} \right)=\hat{G}\hat{\rho } \\
| |
| & \hat{G}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}{{k}^{2}}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Rück- Trafo:
| |
| es folgt schließlich:
| |
| | |
| <math>\Phi \left( {\bar{r}} \right)=\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)</math>
| |
| | |
| mit
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \\
| |
| & \Delta G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| '''Kausalitätsbedingung:'''
| |
| | |
| <math>G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ },t-t\acute{\ } \right)=0</math>
| |
| | |
| für t<t´
| |
| | |
| Somit kann
| |
| | |
| <math>u\left( \bar{r},t \right)</math>
| |
| nur von
| |
| <math>f\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right)</math>
| |
| mit t´ < t beeinflusst werden
| |
| | |
| <u>'''Fourier- Transformation:'''</u>
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & f\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{{{\left( 2\pi \right)}^{2}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}q\int_{-\infty }^{\infty }{d\omega }}\hat{f}\left( \bar{q},\omega \right){{e}^{i\left( \bar{q}\bar{r}-\omega t \right)}} \\
| |
| & \hat{f}\left( \bar{q},\omega \right)=\frac{1}{{{\left( 2\pi \right)}^{2}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\int_{-\infty }^{\infty }{dt}}f\left( \bar{r},t \right){{e}^{-i\left( \bar{q}\bar{r}-\omega t \right)}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Ebenso:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & u\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{{{\left( 2\pi \right)}^{2}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}q\int_{-\infty }^{\infty }{d\omega }}\hat{u}\left( \bar{q},\omega \right){{e}^{i\left( \bar{q}\bar{r}-\omega t \right)}} \\
| |
| & \Rightarrow \#u\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{{{\left( 2\pi \right)}^{2}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}q\int_{-\infty }^{\infty }{d\omega }}\hat{u}\left( \bar{q},\omega \right)\#{{e}^{i\left( \bar{q}\bar{r}-\omega t \right)}} \\
| |
| & \#{{e}^{i\left( \bar{q}\bar{r}-\omega t \right)}}=-\left( {{q}^{2}}-\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right){{e}^{i\left( \bar{q}\bar{r}-\omega t \right)}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Aber es gilt:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \#u\left( \bar{r},t \right)=-\frac{1}{{{\left( 2\pi \right)}^{2}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}q\int_{-\infty }^{\infty }{d\omega }}\hat{f}\left( \bar{q},\omega \right){{e}^{i\left( \bar{q}\bar{r}-\omega t \right)}} \\
| |
| & \Rightarrow \left( {{q}^{2}}-\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)\hat{u}\left( \bar{q},\omega \right)=\hat{f}\left( \bar{q},\omega \right) \\
| |
| & \Rightarrow \hat{u}\left( \bar{q},\omega \right)=\frac{\hat{f}\left( \bar{q},\omega \right)}{\left( {{q}^{2}}-\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)} \\
| |
| & \Rightarrow \hat{G}=\frac{1}{\left( {{q}^{2}}-\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| '''Rücktransformation:'''
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & u\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{{{\left( 2\pi \right)}^{4}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}q\int_{-\infty }^{\infty }{d\omega }}\frac{{{e}^{i\left( \bar{q}\bar{r}-\omega t \right)}}}{\left( {{q}^{2}}-\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\int_{-\infty }^{\infty }{dt}}\acute{\ }f\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right){{e}^{-i\left( \bar{q}\bar{r}-\omega t \right)}} \\
| |
| & u\left( \bar{r},t \right)=\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\int_{-\infty }^{\infty }{dt}}\acute{\ }\left\{ \frac{1}{{{\left( 2\pi \right)}^{4}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}q\int_{-\infty }^{\infty }{d\omega }}\frac{{{e}^{i\bar{q}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)-i\omega \left( t-t\acute{\ } \right)}}}{\left( {{q}^{2}}-\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)} \right\}f\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right) \\
| |
| & \Rightarrow \frac{1}{{{\left( 2\pi \right)}^{4}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}q\int_{-\infty }^{\infty }{d\omega }}\frac{{{e}^{i\bar{q}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)-i\omega \left( t-t\acute{\ } \right)}}}{\left( {{q}^{2}}-\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)}=G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ },t-t\acute{\ } \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Dieses Integral hat jedoch 2 Polstellen im Integrationsbereich. Es kann nur durch Anwendung des Residuensatz (komplexe Integration) gelöst werden.
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| | |
| <u>'''Berechnung der Greens- Funktion durch komplexe Integration'''</u>
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| | |
| für
| |
| <math>\omega =\pm cq</math>
| |
| gibt es Polstellen.
| |
| Die Greensche Funktion wird eindeutig, indem der Integrationsweg um die Pole herum festgelegt wird:
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| | |
| | |
| Der obere Integrationsweg wird durch
| |
| <math>\tau <0</math>
| |
| charakterisiert, der untere Integrationsweg durch
| |
| <math>\tau >0</math>
| |
| .
| |
| Dabei:
| |
| <math>\tau =t-t\acute{\ }</math>
| |
| | |
| '''Das Integral über den Halbkreis:'''
| |
| | |
| '''Oberer Halbkreis:'''
| |
| <math>\tau <0</math>
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \omega =R\cdot {{e}^{i\phi }}\quad 0\le \phi \le \pi \\
| |
| & d\omega =R\cdot {{e}^{i\phi }}id\phi \\
| |
| & \left| {{e}^{-i\omega \tau }} \right|={{e}^{R\sin \phi \tau }} \\
| |
| & \sin \phi >0 \\
| |
| & \tau <0 \\
| |
| & \Rightarrow \begin{matrix}
| |
| \lim \\
| |
| R\to \infty \\
| |
| \end{matrix}{{e}^{R\sin \phi \tau }}=0 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| '''Unterer Halbkreis:'''
| |
| <math>\tau >0</math>
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \omega =R\cdot {{e}^{i\phi }}\quad \pi \le \phi \le 2\pi \\
| |
| & d\omega =R\cdot {{e}^{i\phi }}id\phi \\
| |
| & \left| {{e}^{-i\omega \tau }} \right|={{e}^{R\sin \phi \tau }} \\
| |
| & \sin \phi <0 \\
| |
| & \tau >0 \\
| |
| & \Rightarrow \begin{matrix}
| |
| \lim \\
| |
| R\to \infty \\
| |
| \end{matrix}{{e}^{R\sin \phi \tau }}=0 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Somit verschwinden die Beiträge aus den Kreisbögen und wir können für das problematische Integral schreiben:
| |
| | |
| <math>\Gamma (\bar{q},\tau ):=\int_{-\infty }^{\infty }{d\omega }\frac{{{e}^{-i\omega \tau }}}{\left( {{q}^{2}}-\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)}=\oint\limits_{C}{d\omega }\frac{{{e}^{-i\omega \tau }}}{\left( {{q}^{2}}-\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)}=2\pi i\sum\limits_{Pole}^{{}}{{}}\operatorname{Re}s\frac{{{e}^{-i\omega \tau }}}{\left( {{q}^{2}}-\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)}</math>
| |
| | |
| ( Residuensatz)
| |
| | |
| Für
| |
| <math>\tau <0</math>
| |
| liegen jedoch gar keine Pole im Integrationsgebiet C
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \Rightarrow \Gamma (\bar{q},\tau )=0 \\
| |
| & \Rightarrow G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ },t-t\acute{\ } \right)=0:=G\left( \bar{s},\tau \right)=0 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| für t<t´
| |
| | |
| Dies ist die Kausalitätsbedingung.
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| | |
| Für
| |
| <math>\tau >0</math>
| |
| :
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| | |
| <math>\Gamma (\bar{q},\tau )=-2\pi i\sum\limits_{\omega =\pm cq}^{{}}{{}}\operatorname{Re}s\frac{{{e}^{-i\omega \tau }}}{\frac{1}{{{c}^{2}}}\left( \omega -cq \right)\left( \omega +cq \right)}</math>
| |
| | |
| Das Minuszeichen kommt daher, dass der Umlauf im mathematisch negativen Sinn erfolgt:
| |
| | |
| <math>\oint\limits_{C}{dz}f(z)=2\pi i\sum\limits_{Pole}^{{}}{{}}\operatorname{Re}sf(z)</math>
| |
| ,
| |
| | |
| falls das Ringintegral gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen wird. Hier jedoch wird es im Uhrzeigersinn durchlaufen !
| |
| | |
| <math>\Gamma (\bar{q},\tau )=2\pi i{{c}^{2}}\left( \frac{{{e}^{-icq\tau }}}{2cq}+\frac{{{e}^{icq\tau }}}{-2cq} \right)</math>
| |
| | |
| <math>G(\bar{s},\tau )=\frac{c}{{{\left( 2\pi \right)}^{3}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}q{{e}^{i\bar{q}\bar{s}}}\left( \frac{{{e}^{-icq\tau }}-{{e}^{icq\tau }}}{-2iq} \right)</math>
| |
| | |
| Die Auswertung der Greensfunktion muss in Kugelkoordinaten erfolgen:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{d}^{3}}q={{q}^{2}}dq\sin \vartheta d\vartheta d\phi \\
| |
| & \bar{q}\bar{s}=qs\cos \vartheta \\
| |
| & G(\bar{s},\tau )=\frac{c}{{{\left( 2\pi \right)}^{3}}}\int\limits_{0}^{\infty }{{}}dqq\left( \frac{{{e}^{-icq\tau }}-{{e}^{icq\tau }}}{-2i} \right)\int\limits_{-1}^{1}{{}}d\cos \vartheta {{e}^{iqs\cos \vartheta }}\int\limits_{0}^{2\pi }{{}}d\phi \\
| |
| & \int\limits_{-1}^{1}{{}}d\cos \vartheta {{e}^{iqs\cos \vartheta }}=\frac{{{e}^{iqs}}-{{e}^{-iqs}}}{iqs} \\
| |
| & \xi :=cq \\
| |
| & \Rightarrow G(\bar{s},\tau )=\frac{c}{2{{\left( 2\pi \right)}^{2}}s}\int\limits_{0}^{\infty }{{}}d\xi \left\{ {{e}^{i\left( \tau -\frac{s}{c} \right)\xi }}+{{e}^{-i\left( \tau -\frac{s}{c} \right)\xi }}-{{e}^{i\left( \tau +\frac{s}{c} \right)\xi }}-{{e}^{-i\left( \tau +\frac{s}{c} \right)\xi }} \right\} \\
| |
| & \Rightarrow G(\bar{s},\tau )=\frac{c}{4\pi s}\int\limits_{0}^{\infty }{{}}d\xi \left\{ \delta \left( \tau -\frac{s}{c} \right)-\delta \left( \tau +\frac{s}{c} \right) \right\} \\
| |
| & \delta \left( \tau +\frac{s}{c} \right)=0\quad f\ddot{u}r\ \tau >0 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Also lautet das Ergebnis:
| |
| | |
| <math>G(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ },t-t\acute{\ })=\left\{ \begin{matrix}
| |
| \frac{1}{4\pi \left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\delta \left( t-t\acute{\ }-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \\
| |
| 0\quad \quad \quad \quad \quad t<t\acute{\ } \\
| |
| \end{matrix} \right.\ t>t\acute{\ }</math>
| |
| | |
| Retardierte Greensfunktion (kausal)
| |
| | |
| <u>'''Physikalische Interpretation'''</u>
| |
| | |
| <math>G(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ },t-t\acute{\ })</math>
| |
| ist das Potenzial
| |
| <math>\Phi (\bar{r},t)</math>
| |
| , das von einer punktförmigen Ladungsdichte
| |
| | |
| <math>\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}}=\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\delta \left( t-t\acute{\ } \right)</math>
| |
| | |
| am Punkt
| |
| <math>\bar{r}\acute{\ }</math>
| |
| zur Zeit t´ erzeugt wird.
| |
| | |
| '''Die Eigenschaften:'''
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| | |
| * Kausalität
| |
| * Ausbreitung der Punktstörung als KUGELWELLE mit der Phasengeschwindigkeit c:
| |
| * <math>\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|=c\left( t-t\acute{\ } \right)</math>
| |
| *
| |
| | |
| '''Nebenbemerkung:'''
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| | |
| Für den Integrationsweg
| |
| | |
| '''Oberer Halbkreis:'''
| |
| <math>\tau <0</math>
| |
| | |
| '''Unterer Halbkreis:'''
| |
| <math>\tau >0</math>
| |
| | |
| erhält man die avancierte Greensfunktion ( =0 für t > t´).
| |
| Diese beschreibt eigentlich eine einlaufende Kugelwelle, welche sich an
| |
| <math>\bar{r}\acute{\ }</math>
| |
| zur zeit t´ zusammenzieht !
| |
| | |
| Mit
| |
| | |
| <math>G(\bar{r},t)=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}\int_{-\infty }^{t}{dt\acute{\ }}\frac{1}{4\pi \left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\delta \left( t-t\acute{\ }-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)f\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right)=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}\frac{1}{4\pi \left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}f\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)</math>
| |
| | |
| folgt dann für die retardierten Potenziale für beliebige Ladungs- und Stromverteilungen
| |
| | |
| <math>\rho \left( \bar{r},t \right),\bar{j}\left( \bar{r},t \right)</math>
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \Phi \left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\rho \left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \\
| |
| & \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\frac{{{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Die retardierten Potenziale
| |
| <math>\Phi \left( \bar{r},t \right),\bar{A}\left( \bar{r},t \right)</math>
| |
| sind bestimmt durch
| |
| <math>\bar{r}\acute{\ }</math>
| |
| zu retardierten Zeiten
| |
| <math>t\acute{\ }=t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c}</math>
| |
| .
| |
| Dies berücksichtigt die endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit von elektromagnetischen Wellen mit Lichtgeschwindigkeit c.
| |
| | |
| =Multipolstrahlung=
| |
| | |
| <u>'''Ziel:'''</u>
| |
| | |
| <u>'''Die '''</u>retardierten Potenziale sollen für räumlich lokalisierte und zeitabhängige Ladungs- und Stromverteilungen analog zu den statischen Multipolentwicklungen für große Abstände von der Quelle, also r>>r´ entwickelt werden.
| |
| | |
| <u>'''Voraussetzung: Lorentz- Eichung'''</u>
| |
| | |
| <math>\dot{\Phi }\left( \bar{r},t \right)+{{c}^{2}}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=0</math>
| |
| | |
| Somit kann aus
| |
| <math>\bar{A}\left( \bar{r},t \right)</math>
| |
| dann
| |
| <math>\Phi \left( \bar{r},t \right)</math>
| |
| und somit auch
| |
| <math>\bar{E}\left( \bar{r},t \right)</math>
| |
| | |
| <math>\bar{B}\left( \bar{r},t \right)</math>
| |
| berechnet werden.
| |
| | |
| # <u>'''Näherung:'''</u>
| |
| <u>'''r>>a ( '''</u>Ausdehnung der Quelle)
| |
| | |
| Mit
| |
| | |
| <math>\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}=\frac{1}{r}+\frac{1}{{{r}^{3}}}\left( \bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ } \right)+...</math>
| |
| | |
| folgt:
| |
| | |
| <math>\bar{A}\left( \bar{r},t \right)\approx \frac{{{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi r}\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)+\frac{{{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi {{r}^{3}}}\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)\left( \bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ } \right)</math>
| |
| | |
| Das heißt, es werden nur Terme bis zur zweiten Ordnung berücksichtigt !
| |
| | |
| # <u>'''Näherung'''</u>
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c}\approx t-\frac{r}{c}+\frac{\bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ }}{cr}+.... \\
| |
| & t-\frac{r}{c}:=\tau \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Diese Näherung sollte gut sein, falls
| |
| <math>\tau >>\frac{\bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ }}{cr}\approx \frac{a}{c}</math>
| |
| | |
| Also: Die Retardierung zum Aufpunkt r sollte wesentlich größer sein als die relative Retardierung der einzelnen Punkte der Quelle untereinander !
| |
| | |
| a~ Ausdehnung der Quelle
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| | |
| <math>\tau </math>
| |
| ist etwa die charakteristisch zeit für die Änderung von
| |
| <math>\bar{j}</math>
| |
| :
| |
| | |
| Beispielsweise: harmonische Erregung:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{j}\tilde{\ }{{e}^{i\omega t}} \\
| |
| & \omega \tau =!=2\pi \Rightarrow \tau =\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi }{ck}=\frac{\lambda }{c} \\
| |
| & \Rightarrow a<<\lambda \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Die Ausdehnung der Quelle müsste also deutlich kleiner sein als die Wellenlänge des abgestrahlten Lichtes !
| |
| | |
| Dann gilt:
| |
| | |
| <math>\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)\approx \bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{r}{c} \right)+\frac{\bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ }}{cr}\frac{\partial \bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{r}{c} \right)}{\partial \left( t-\frac{r}{c} \right)}=\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },\tau \right)+\frac{\bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ }}{cr}\frac{\partial \ \bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },\tau \right)}{\partial \tau }</math>
| |
| | |
| Also folgt für das Vektorpotenzial:
| |
| | |
| | |
| | |
| Die niedrigste or5dnung verschwindet nicht, da im Gegensatz zu Paragraph § 2.4 die Divergenz des Stromes nicht verschwindet:
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| | |
| <math>\nabla \cdot \bar{j}\ne 0</math>
| |
| :
| |
| | |
| Mit:
| |
| | |
| <math>{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left( {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },\tau \right) \right)={{x}_{k}}\acute{\ }\left( {{\nabla }_{r\acute{\ }}}\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },\tau \right) \right)+{{j}_{k}}</math>
| |
| | |
| mit der Kontinuitäätsgleichung:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{\nabla }_{r\acute{\ }}}\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },\tau \right)=-\dot{\rho }\left( \bar{r}\acute{\ },\tau \right) \\
| |
| & \Rightarrow {{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left( {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },\tau \right) \right)={{j}_{k}}-{{x}_{k}}\acute{\ }\dot{\rho }\left( \bar{r}\acute{\ },\tau \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| und wegen
| |
| | |
| <math>\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left( {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },\tau \right) \right)=0</math>
| |
| (Gauß)
| |
| | |
| folgt dann:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left( {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },\tau \right) \right)=0=\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\left( {{j}_{k}}-{{x}_{k}}\acute{\ }\dot{\rho }\left( \bar{r}\acute{\ },\tau \right) \right) \\
| |
| & \Rightarrow \int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },\tau \right)=\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{r}\acute{\ }\dot{\rho }\left( \bar{r}\acute{\ },\tau \right)=:\dot{\bar{p}}\left( \tau \right)} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| mit dem elektrischen Dipolmoment:
| |
| | |
| <math>\bar{p}\left( \tau \right)=\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{r}\acute{\ }\rho \left( \bar{r}\acute{\ },\tau \right)</math>
| |
| | |
| Somit für die erste Ordnung:
| |
| | |
| <math>{{\bar{A}}^{(1)}}\left( \bar{r},t \right)\approx \frac{{{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi r}\dot{\bar{p}}\left( t-\frac{r}{c} \right)</math>
| |
| | |
| <u>'''Elektrische Dipolstrahlung'''</u>
| |
| | |
| <u>'''Interpretation: Hertzscher Dipol ( H hertz, 1857-1894)'''</u>
| |
| | |
| <math>\bar{p}\left( t \right)=\bar{p}\left( {{t}_{0}} \right){{e}^{-i\omega t}}</math>
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| | |
| <math>\bar{p}</math>
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| <math>\begin{align}
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| & {{{\bar{A}}}^{(1)}}\left( \bar{r},t \right)\approx \frac{-i\omega {{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi }\frac{\bar{p}\left( {{t}_{0}} \right){{e}^{-i\omega \left( t-\frac{r}{c} \right)}}}{r}=\frac{-i\omega {{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi }\frac{\bar{p}\left( {{t}_{0}} \right){{e}^{i\left( kr-\omega t \right)}}}{r} \\
| |
| & k:=\frac{\omega }{c} \\
| |
| \end{align}</math>
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| Die Kugelwelle !
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| <u>'''Bestimmung des skalaren Potenzials mit Hilfe Lorentzeichung:'''</u>
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| <math>\begin{align}
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| & \dot{\Phi }\left( \bar{r},t \right)+{{c}^{2}}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=0 \\
| |
| & \Rightarrow \frac{\partial }{\partial t}\Phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\nabla \left[ \frac{1}{r}\dot{\bar{p}}\left( t-\frac{r}{c} \right) \right] \\
| |
| & \Rightarrow \Phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\nabla \left[ \frac{1}{r}\bar{p}\left( t-\frac{r}{c} \right) \right]+{{\Phi }_{stat.}}\left( {\bar{r}} \right) \\
| |
| & {{\Phi }_{stat.}}\left( {\bar{r}} \right)=0(obda) \\
| |
| & \Rightarrow \Phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\nabla \left[ \frac{1}{r}\bar{p}\left( t-\frac{r}{c} \right) \right]=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\left[ \frac{1}{c{{r}^{2}}}\bar{r}\dot{\bar{p}}\left( t-\frac{r}{c} \right)+\frac{1}{{{r}^{3}}}\bar{r}\bar{p}\left( t-\frac{r}{c} \right) \right] \\
| |
| & \frac{1}{c{{r}^{2}}}\bar{r}\dot{\bar{p}}\left( t-\frac{r}{c} \right)\tilde{\ }\frac{1}{r} \\
| |
| & \frac{1}{{{r}^{3}}}\bar{r}\bar{p}\left( t-\frac{r}{c} \right)\tilde{\ }\frac{1}{{{r}^{2}}} \\
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| \end{align}</math>
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| <u>'''Grenzfälle:'''</u>
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| <u>'''1) Fernzone / Wellenzone:'''</u>
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| <math>\begin{align}
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| & r>>\lambda >>\left( a \right)\Leftrightarrow kr>>1\Leftrightarrow \frac{\omega }{c}r>>1 \\
| |
| & \Rightarrow \frac{1}{c}\dot{\bar{p}}\tilde{\ }\frac{\omega }{c}\bar{p}>>\frac{{\bar{p}}}{r} \\
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| \end{align}</math>
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| In der Fernzone ist die Retardierung sehr wichtig !!
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| Es gilt die Näherung
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| <math>\Phi {{\left( \bar{r},t \right)}_{fern}}\approx \frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{c{{r}^{2}}}\bar{r}\dot{\bar{p}}\left( t-\frac{r}{c} \right)</math>
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| <u>'''2) Nahzone: ( quasistatischer Bereich):'''</u>
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| <math>\begin{align}
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| & \lambda >>r>>>\left( a \right) \\
| |
| & \Leftrightarrow kr<<1\Leftrightarrow \frac{\omega }{c}r<<11 \\
| |
| & \Rightarrow \frac{1}{c}\dot{\bar{p}}\tilde{\ }\frac{\omega }{c}\bar{p}<<\frac{{\bar{p}}}{r} \\
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| Also:
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| <math>\Phi \left( \bar{r},t \right)\approx \frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{{{r}^{3}}}\bar{r}\bar{p}\left( t-\frac{r}{c} \right)</math>
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| Dies kann man noch entwickeln nach
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| <math>\bar{p}\left( t \right)</math>
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| . dadurch entstehen Terme:
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| <math>\frac{1}{c{{r}^{2}}}\bar{r}\dot{\bar{p}}\left( t \right)-\frac{1}{{{r}^{3}}}\frac{r}{c}\bar{r}\dot{\bar{p}}\left( t \right)</math>
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| Diese kompensieren sich gegenseitig.
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| Also:
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| Die Retardierung kompensiert den
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| <math>\dot{\bar{p}}\left( t \right)</math>
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| - Term.
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| Wir schreiben:
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| <math>\Phi \left( \bar{r},t \right)\approx \frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{{{r}^{3}}}\bar{r}\bar{p}\left( t \right)</math>
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| in guter Näherung ein instantanes Dipolpontenzial ( in der Nahzone ist die Retardierung zu vernachlässigen).
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| <u>'''Berechnung der Felder in Fernfeldnäherung'''</u>
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| <math>\Phi {{\left( \bar{r},t \right)}_{fern}}\approx \frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{c{{r}^{2}}}\bar{r}\dot{\bar{p}}\left( t-\frac{r}{c} \right)</math>
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| <math>\begin{align}
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| & \bar{B}\left( \bar{r},t \right)=\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)\approx \frac{{{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi }\nabla \times \frac{1}{r}\dot{\bar{p}}\left( t-\frac{r}{c} \right)=\frac{{{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi c}\frac{1}{{{r}^{2}}}\left[ \ddot{\bar{p}}\left( t-\frac{r}{c} \right)\times \bar{r} \right]+O\left( \frac{1}{{{r}^{2}}} \right) \\
| |
| & \bar{E}\left( \bar{r},t \right)=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\dot{\bar{A}}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{c}^{2}}}\frac{1}{{{r}^{3}}}\left[ \ddot{\bar{p}}\left( t-\frac{r}{c} \right)\times \bar{r} \right]\times \bar{r}+O\left( \frac{1}{{{r}^{2}}} \right) \\
| |
| \end{align}</math>
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| Es gilt:
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| <math>\begin{align}
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| & \bar{B}\left( \bar{r},t \right)\times \frac{{\bar{r}}}{r}=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi c}\frac{1}{{{r}^{3}}}\left[ \ddot{\bar{p}}\left( t-\frac{r}{c} \right)\times \bar{r} \right]\times \bar{r}=\frac{1}{c}\bar{E}\left( \bar{r},t \right) \\
| |
| & \frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi c}=\frac{{{\mu }_{0}}{{\varepsilon }_{0}}}{4\pi c{{\varepsilon }_{0}}}=\frac{1}{4\pi {{c}^{3}}{{\varepsilon }_{0}}} \\
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| \end{align}</math>
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| F
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| Fazit:
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| <math>\bar{r},\bar{E}\left( \bar{r},t \right),\bar{B}\left( \bar{r},t \right)</math>
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| bilden für Dipolstrahlung ein Rechtssystem, r, B und E stehen senkrecht aufeinander !
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| Allerdings als Ausbreitung einer freien Kugelwelle nur in der Fernzone !!
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| <u>'''Nebenbemerkung:'''</u>
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| In der Nahzone gilt immer noch wegen
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| <math>\nabla \cdot \bar{B}\left( \bar{r},t \right)=0</math>
| |
| , dass r und B senkrecht stehen.
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| Aber: das elektrische Feld hat neben der senkrechten Komponente , die zu r senkrecht steht ( transversale Komponente) noch longitudinale Anteile ( E- parallel, die zu r parallel sind).
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| <u>'''Poynting- Vektor ( Energiestromdichte)'''</u>
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| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{S}=\bar{E}\times \bar{H}=\frac{-1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\times \bar{E}=\frac{-c}{{{\mu }_{0}}r}\bar{B}\times \left( \bar{B}\times \bar{r} \right)=\frac{-c}{{{\mu }_{0}}r}\left[ \left( \bar{B}\cdot \bar{r} \right)\bar{B}-{{B}^{2}}\bar{r} \right] \\
| |
| & \left( \bar{B}\cdot \bar{r} \right)=0 \\
| |
| & \Rightarrow \bar{S}=\frac{c}{{{\mu }_{0}}r}{{B}^{2}}\bar{r} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| <math>\bar{B}\left( \bar{r},t \right)=\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)\approx \frac{{{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi }\nabla \times \frac{1}{r}\dot{\bar{p}}\left( t-\frac{r}{c} \right)=\frac{{{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi c}\frac{1}{{{r}^{2}}}\left[ \ddot{\bar{p}}\left( t-\frac{r}{c} \right)\times \bar{r} \right]+O\left( \frac{1}{{{r}^{2}}} \right)</math>
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| Also:
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| entspricht
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| <math>l=1,m=0</math>
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| Abstrahl- Charakteristik des Hertzschen Dipols:
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| <math>\begin{align}
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| & \bar{p}(t)={{{\bar{p}}}_{0}}{{e}^{-i\omega t}} \\
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| & {{\left| {\ddot{\bar{p}}} \right|}^{2}}={{{\bar{p}}}_{0}}^{2}{{\omega }^{4}} \\
| |
| \end{align}</math>
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| Stark Richtungs- und stark frequenzabhängig !! höhere Frequenzen werden mit 4. Potenz besser abgestrahlt !
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| Nebenbemerkung:
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| Die gemachte Rechnung ist eine Näherung für eine lineare Antenne
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| <u>'''Magnetische Dipol- und Quadrupolstrahlung'''</u>
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| Die niedrigste Ordnung der Mutipolentwicklung von
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| <math>\bar{A}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}</math>
| |
| (mit der Coulomb- Eichung
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| <math>\nabla \cdot \bar{A}(\bar{r})=0</math>
| |
| )
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| | |
| mit den Randbedingungen
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| <math>\bar{A}(\bar{r})\to 0</math>
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| für r-> unendlich verschwindet für eine quellenfreie Stromdichte:
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| Taylorentwicklung nach
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| <math>\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}</math>
| |
| von analog zum elektrischen Fall:
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| Die Stromverteilung
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| <math>\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })</math>
| |
| sei stationär für
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| <math>r>>r\acute{\ }</math>
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| | |
| <math>\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}=\frac{1}{r}+\frac{1}{{{r}^{3}}}\left( \bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ } \right)+...</math>
| |
| | |
| <math>\bar{A}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi r}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })+\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi {{r}^{3}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\left( \bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ } \right)+...</math>
| |
| | |
| '''Monopol- Term'''
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| | |
| '''Mit'''
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| <math>{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]={{x}_{k}}\acute{\ }\left( {{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right)+\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\cdot \left( {{\nabla }_{r\acute{\ }}}{{x}_{k}}\acute{\ } \right)</math>
| |
| | |
| Im stationären Fall folgt aus der Kontinuitätsgleichung:
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| | |
| <math>{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \bar{j}(\bar{r}\acute{\ })=0</math>
| |
| | |
| <math>{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]=\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\cdot \left( {{\nabla }_{r\acute{\ }}}{{x}_{k}}\acute{\ } \right)={{j}_{l}}{{\delta }_{kl}}={{j}_{k}}</math>
| |
| | |
| Mit
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| <math>{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]={{j}_{k}}</math>
| |
| folgt dann:
| |
| | |
| <math>\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}{{j}_{k}}(\bar{r}\acute{\ })=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]=\oint\limits_{S\infty }{d\bar{f}}\left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]=0</math>
| |
| | |
| Somit verschwindet der Monopolterm in der Theorie.
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| | |
| Also: Falls
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| <math>\bar{j}(\bar{r}\acute{\ },\tau )</math>
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| quellenfrei und damit divergenzfrei, so verschwindet die niedrigste Ordnung der Entwicklung von A:
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| Mit Hilfe der Kontinuitätsgleichung:
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| | |
| <math>\begin{align}
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| & {{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \bar{j}(\bar{r}\acute{\ },\tau )=-\frac{\partial }{\partial \tau }\rho (\bar{r}\acute{\ },\tau )=0 \\
| |
| & \Rightarrow \dot{\bar{p}}(\tau )=\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{r}\acute{\ }\dot{\rho }=0 \\
| |
| & \Rightarrow {{A}^{(1)}}=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi r}\dot{\bar{p}}(\tau )\equiv 0 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Im Herztschen Dipol existiert keine Ausstrahlung ( In der Hertzschen Dipol- Näherung)
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| <u>'''Beispiel: '''</u>geschlossene Leiterschleife ( sogenannte Rahmenantenne):
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| | |
| Mit
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| <math>I(t)={{I}_{0}}{{e}^{-i\omega t}}</math>
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| | |
| <u>'''2. Ordnung:'''</u>
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| | |
| <math>{{\bar{A}}^{(2)}}\left( \bar{r},t \right)=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi {{r}^{3}}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\left( \bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ } \right)\left( 1+\frac{r}{c}\frac{\partial }{\partial \tau } \right)\bar{j}(\bar{r}\acute{\ },\tau )}</math>
| |
| | |
| Mit
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right)\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },\tau \right)=\frac{1}{2}\left( \bar{r}\acute{\ }\times \bar{j} \right)\times \bar{r}+\frac{1}{2}\left[ \left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right)\bar{j}+\left( \bar{r}\bar{j} \right)\bar{r}\acute{\ } \right] \\
| |
| & und \\
| |
| & {{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right)\bar{j} \right]=\left[ \left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right){{j}_{k}}+{{x}_{k}}\acute{\ }\left( \bar{r}\bar{j} \right)+{{x}_{k\acute{\ }}}\left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right){{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \bar{j} \right] \\
| |
| & {{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \bar{j}=-\frac{\partial }{\partial \tau }\rho \left( \bar{r}\acute{\ },\tau \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Kontinuitätsgleichung
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| Dann folgt integriert:
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| Der zweite Term rechts kann durch den Tensor des elektrischen Quadrupolmoments ausgedrückt werden ( vergl. S. 15, Elektrostatik):
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| | |
| <math>\bar{\bar{Q}}\left( \tau \right)=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho \left( \bar{r}\acute{\ },\tau \right)}\left( 3\bar{r}\acute{\ }\otimes \bar{r}\acute{\ }-r{{\acute{\ }}^{2}}\bar{\bar{1}} \right)=:\tilde{\bar{\bar{Q}}}-\frac{1}{3}\left( tr\left( {\tilde{\bar{\bar{Q}}}} \right) \right)\bar{\bar{1}}</math>
| |
| | |
| Falls
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| | |
| <math>\tilde{Q}\left( \tau \right)</math>
| |
| oszilliert ( sogenannter "breathing mode"), gibt
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| | |
| <math>\frac{1}{3}\left( tr\left( {\tilde{\bar{\bar{Q}}}} \right) \right)\bar{\bar{1}}</math>
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| | |
| keinen Beitrag zu
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| | |
| <math>\bar{E},\bar{B}</math>
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| | |
| * verschwindet durch Eichtrafo innerhalb der Klasse der Lorentz- Eichungen
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| | |
| <u>'''->'''</u>
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| <math>\bar{\bar{Q}}\left( \tau \right)\cdot \bar{r}=3\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho \left( \bar{r}\acute{\ },\tau \right)}\bar{r}\acute{\ }\left( \bar{r}\acute{\ }\cdot \bar{r} \right)</math>
| |
| | |
| '''Also:'''
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{{\bar{A}}}^{(2)}}\left( \bar{r},t \right)=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi {{r}^{3}}}\left( 1+\frac{r}{c}\frac{\partial }{\partial \tau } \right)\left[ \bar{m}\left( \tau \right)\times \bar{r}+\frac{1}{6}\dot{\bar{\bar{Q}}}\left( \tau \right)\cdot \bar{r} \right] \\
| |
| & =\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\left( \frac{1}{{{r}^{3}}}\bar{m}\times \bar{r}+\frac{1}{c{{r}^{2}}}\dot{\bar{m}}\times \bar{r}+\frac{1}{6{{r}^{3}}}\dot{\bar{\bar{Q}}}\left( \tau \right)\cdot \bar{r}+\frac{1}{6c{{r}^{2}}}\ddot{\bar{\bar{Q}}}\left( \tau \right)\cdot \bar{r} \right) \\
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| Mit der magnetischen Dipolstrahlung
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| | |
| <math>\frac{1}{{{r}^{3}}}\bar{m}\times \bar{r}+\frac{1}{c{{r}^{2}}}\dot{\bar{m}}\times \bar{r}</math>
| |
| | |
| und elektrischer Quadrupolstrahlung
| |
| | |
| <math>\frac{1}{6{{r}^{3}}}\dot{\bar{\bar{Q}}}\left( \tau \right)\cdot \bar{r}+\frac{1}{6c{{r}^{2}}}\ddot{\bar{\bar{Q}}}\left( \tau \right)\cdot \bar{r}</math>
| |
| | |
| Die magnetische Dipolstrahlung kann mit Hilfe
| |
| | |
| <math>\nabla \times \frac{1}{r}\bar{m}\left( t-\frac{r}{c} \right)=\frac{1}{{{r}^{3}}}\bar{m}\left( t-\frac{r}{c} \right)\times \bar{r}+\frac{1}{c{{r}^{2}}}\dot{\bar{m}}\left( t-\frac{r}{c} \right)\times \bar{r}</math>
| |
| | |
| schreiben als:
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| | |
| Die magnetische Dipolstrahlung
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| '''Skalares Potenzial aus der Lorentz- Eichung'''
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \frac{\partial }{\partial t}\Phi \left( \bar{r},t \right)=-{{c}^{2}}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{{{\mu }_{0}}{{c}^{2}}}{4\pi }\nabla \cdot \left( \nabla \times \frac{1}{r}\bar{m} \right)\equiv 0 \\
| |
| & \Rightarrow \Phi \left( \bar{r},t \right)=\Phi \left( {\bar{r}} \right)=!=0 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| O.B.d.A.: Es existiere kein statisches Potenzial/ es wird auf Null gesetzt
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| | |
| '''Berechnung der Felder in Fernfeldnäherung:'''
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| | |
| das elektrische Feld ergibt sich wie für die elektrische Dipolstrahlung
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| | |
| <u>'''Nebenbemerkung'''</u>
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| | |
| Für Systeme von Teilchen mit gleicher spezifischer Ladung
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| <math>\frac{q}{m}</math>
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| | |
| ist
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| | |
| <math>\bar{p}\tilde{\ }\bar{R}</math>
| |
| (Schwerpunkt)
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| und
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| | |
| <math>\bar{m}\tilde{\ }\bar{L}</math>
| |
| ( Gesamtdrehimpuls)
| |
| | |
| <math>\Rightarrow \dot{\bar{p}}=\dot{\bar{m}}=0</math>
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| | |
| In diesem Fall ( vier gleiche Ladungen etc...) ist nur elektrische Quadrupolstrahlung möglich
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| | |
| vergleiche ART: durch die unipolarität der Masse existiert nur Gravitations- Quadrupolstrahlung
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| | |
| =Wellenoptik und Beugung=
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| | |
| Betrachte Ausbreitung elektromagnetischer Wellen bei gegebenen lokalisierten Quellen
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| <math>\rho \left( \bar{r},t \right)</math>
| |
| und
| |
| <math>\bar{j}\left( \bar{r},t \right)</math>
| |
| und bei vorgegebenen Leitern
| |
| <math>{{L}_{\alpha }}</math>
| |
| im Vakuum:
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| | |
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| <u>'''Ziel'''</u>
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| ist die Berechnung des Wellenfeldes im Außenraum V
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| | |
| Anwendung: Radiowellen
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| <math>\lambda =1-{{10}^{4}}</math>
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| m
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| Radar
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| Optik
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| <math>\lambda =400-800nm</math>
| |
| -> Beugung
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| | |
| <u>'''Rückführung auf Randwertaufgabe'''</u>
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| | |
| Lösung der inhomogenen Wellengleichungen in Lorentzeichung ( Potenzialgleichungen) ( vergleiche dazu 1.6 in der Elektrostatik)
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \#\Phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}} \\
| |
| & \#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Zu vorgegebenen Ladungen und Strömen.
| |
| Gleichzeitig haben wir Randbedingungen auf
| |
| <math>{{L}_{\alpha }}</math>
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| | |
| und schließlich die Kausalitätsbedingung ( Ausstrahlungsbedingung) -> Retardierung, § 4.2
| |
| | |
| '''Annahme:'''
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \rho \left( \bar{r},t \right)=\rho \left( {\bar{r}} \right){{e}^{-i\omega t}} \\
| |
| & \bar{j}\left( \bar{r},t \right)=\bar{j}\left( {\bar{r}} \right){{e}^{-i\omega t}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Dies sollte wegen Fourier- Zerlegung bei periodischer Erregung beliebiger Art grundsätzlich möglich sein.
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \Phi \left( \bar{r},t \right)=\Phi \left( {\bar{r}} \right){{e}^{-i\omega t}} \\
| |
| & \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\bar{A}\left( {\bar{r}} \right){{e}^{-i\omega t}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| eingesetzt in die Wellengleichung
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \#\Phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}}=\left( \Delta -\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}} \right)\Phi \left( \bar{r},t \right) \\
| |
| & \Rightarrow \left( \Delta +{{k}^{2}} \right)\Phi \left( {\bar{r}} \right)=-\frac{\rho \left( {\bar{r}} \right)}{{{\varepsilon }_{0}}} \\
| |
| & k:=\frac{\omega }{c} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Mit der Greenschen Funktion der Wellengleichung
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| <math>\#\Phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}}</math>
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| :
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| <math>\#G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ },t-t\acute{\ } \right)=-\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\delta \left( t-t\acute{\ } \right)</math>
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| Haben wir formal sofort die allgemeine Lösung:
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| <math>\begin{align}
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| & \Phi \left( \bar{r},t \right)=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\int_{-\infty }^{t}{dt\acute{\ }}}\frac{\rho \left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right)}{{{\varepsilon }_{0}}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ },t-t\acute{\ } \right)=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\int_{-\infty }^{t}{dt\acute{\ }}}\frac{\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)}{{{\varepsilon }_{0}}}{{e}^{-i\omega t\acute{\ }}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ },t-t\acute{\ } \right) \\
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| & t-t\acute{\ }:=\tau \\
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| & \Rightarrow \int_{-\infty }^{t}{dt\acute{\ }}{{e}^{-i\omega t\acute{\ }}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ },t-t\acute{\ } \right)=\int_{-\infty }^{t}{dt\acute{\ }}{{e}^{-i\omega t\acute{\ }}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ },\tau \right) \\
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| & =\left[ \int_{0}^{\infty }{d\tau }{{e}^{i\omega \tau }}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ },\tau \right) \right]{{e}^{-i\omega t}}:=\tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right){{e}^{-i\omega t}} \\
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| & \int_{0}^{\infty }{d\tau }{{e}^{i\omega \tau }}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ },\tau \right):=\tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \\
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| \end{align}</math>
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| Somit kann die periodische Zeitabhängigkeit absepariert werden:
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| <math>\begin{align}
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| & \Phi \left( {\bar{r}} \right)=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}\tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\frac{\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)}{{{\varepsilon }_{0}}} \\
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| & mit \\
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| & \left( \Delta +{{k}^{2}} \right)\tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=-\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \\
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| \end{align}</math>
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| Problem:
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| Die Randbedingungen für
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| <math>\Phi \left( {\bar{r}} \right),\bar{A}</math>
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| sind im stationären Fall nicht bekannt, sondern müssen selbstkonsistent bestimmt werden.
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| Man kann das Problem jedoch mit Hilfe des Greenschen Satzes umformulieren:
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| <u>'''Skalare Kirchhoff- Identität'''</u>
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| ( eine notwendige, nicht hinreichende Bedingung für Lösung):
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| Skalar: Wir beschreiben keine Polarisationseffekte !!! Alle Polarisationseffekte sind vernachlässigt. Das hat man unter dem Begriff Skalar an dieser Stelle zu verstehen !
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| Weiter: Greenscher Satz:
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| <math>\int_{\partial V}^{{}}{d\bar{f}}\left( \phi \nabla \Psi -\Psi \nabla \phi \right)=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r}\left( \phi \Delta \Psi -\Psi \Delta \phi \right)</math>
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| Setze:
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| <math>\begin{align}
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| & \Psi (\bar{r})=\tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \\
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| & \phi (\bar{r})=\Phi \left( {\bar{r}} \right) \\
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| \end{align}</math>
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| Dabei sei das Potenzial als Lösung angenommen:
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| <math>\begin{align}
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| & \int_{\partial V}^{{}}{d\bar{f}}\left( \Phi \left( {\bar{r}} \right)\nabla \tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)-\tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\nabla \Phi \left( {\bar{r}} \right) \right)=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r}\left( \Phi \left( {\bar{r}} \right)\Delta \tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)-\tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\Delta \Phi \left( {\bar{r}} \right) \right) \\
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| & \Delta \tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=-\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)-{{k}^{2}}\tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \\
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| & \Delta \Phi \left( {\bar{r}} \right)=\frac{-\rho }{{{\varepsilon }_{0}}}-{{k}^{2}}\Phi \left( {\bar{r}} \right) \\
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| & \Rightarrow \int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r}\left( \Phi \left( {\bar{r}} \right)\Delta \tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)-\tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\Delta \Phi \left( {\bar{r}} \right) \right)=-\Phi \left( \bar{r}\acute{\ } \right) \\
| |
| & \int_{\partial V}^{{}}{d\bar{f}}\left( \tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\nabla \Phi \left( {\bar{r}} \right)-\Phi \left( {\bar{r}} \right)\nabla \tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \right)=\Phi \left( \bar{r}\acute{\ } \right) \\
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| \end{align}</math>
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| Also:
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| <math>\begin{align}
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| & \Phi \left( \bar{r}\acute{\ } \right)=\int_{\partial V}^{{}}{d\bar{f}}\left( \tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\nabla \Phi \left( {\bar{r}} \right)-\Phi \left( {\bar{r}} \right)\nabla \tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \right) \\
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| & \bar{r}\acute{\ }\in V \\
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| \end{align}</math>
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| Dabei ist
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| <math>\Phi \left( \bar{r}\acute{\ } \right)</math>
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| im inneren von V durch
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| <math>\Phi </math>
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| und
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| <math>\nabla \Phi </math>
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| auf dem Rand festgelegt, falls die Greensfunktion
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| <math>\tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)</math>
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| bekannt ist
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| <u>'''Freier Raum: Greensfunktion des unendlichen Raumes:'''</u>
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| Randbedingung
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| <math>\begin{matrix}
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| \lim \\
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| r\to \infty \\
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| \end{matrix}\tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=0</math>
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| * Retardierte Potenziale ( Vergl. § 4.2):
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| <math>G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ },\tau \right)=\left\{ \begin{matrix}
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| \frac{1}{4\pi \left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\delta \left( \tau -\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)\quad \tau >0 \\
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| 0\quad \quad \quad \quad \tau <0 \\
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| \end{matrix} \right.</math>
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| Somit:
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| <math>\begin{align}
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| & \tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=\int_{0}^{\infty }{d}\tau G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ },\tau \right){{e}^{i\omega \tau }}=\frac{{{e}^{ik\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}}}{4\pi \left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \\
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| & k:=\frac{\omega }{c} \\
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| \end{align}</math>
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| Es folgt für das Potenzial:
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| <math>\begin{align}
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| & \Phi \left( \bar{r},t \right)=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right){{e}^{-i\omega t}}\frac{\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)}{{{\varepsilon }_{0}}}}=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{{{e}^{ik\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}}}{4\pi \left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{e}^{-i\omega t}}\frac{\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)}{{{\varepsilon }_{0}}}} \\
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| & \Phi \left( \bar{r},t \right)=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{{{e}^{i\left( k\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|-\omega t \right)}}}{4\pi \left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\frac{\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)}{{{\varepsilon }_{0}}}} \\
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| \end{align}</math>
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| beschreibt eine Überlagerung auslaufender Kugelwellen-> Lösung als Entwicklung in Kugelwellen.
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| ( Ausstrahlbedingung, Konsequenz der Kausalität).
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| Mit
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| <math>\bar{R}:=\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }</math>
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| lautet die Kirchhoff- Identität:
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| <math>\begin{align}
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| & \Phi \left( \bar{r}\acute{\ },t \right)=\frac{1}{4\pi }\int_{\partial V}^{{}}{d{{{\bar{f}}}_{R}}}\left[ \frac{{{e}^{ikR}}}{R}{{\nabla }_{r}}\Phi \left( {\bar{r}} \right)-\Phi \left( {\bar{r}} \right){{\nabla }_{r}}\frac{{{e}^{ikR}}}{R} \right] \\
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| & {{\nabla }_{r}}\frac{{{e}^{ikR}}}{R}=\frac{{{e}^{ikR}}}{R}\left( ik-\frac{1}{R} \right)\frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \\
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| \end{align}</math>
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| Dazu eine Grafik:
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| Mittels
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| <math>d\bar{f}\frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}=df\cos \vartheta </math>
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| und über Beschränkung auf Fernzone von
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| <math>\partial V</math>
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| , also R >> 1/k gilt:
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| <math>\Phi \left( \bar{r}\acute{\ },t \right)=\frac{1}{4\pi }\int_{\partial V}^{{}}{d{{f}_{R}}}\left[ \frac{\partial }{\partial n}\Phi \left( {\bar{r}} \right)-ik\Phi \left( {\bar{r}} \right)\cos \vartheta \right]\frac{{{e}^{ikR}}}{R}</math>
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| | |
| Mit der richtungsabhängigen Amplitude
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| <math>\left[ \frac{\partial }{\partial n}\Phi \left( {\bar{r}} \right)-ik\Phi \left( {\bar{r}} \right)\cos \vartheta \right]</math>
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| und der Kugelwelle
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| <math>\frac{{{e}^{ikR}}}{R}</math>
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| .
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| Beides zusammen ergeben sogenannte Sekundärwellen.
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| Insgesamt ist dies die exakte ( mathematische) Formulierung des Huygensschen Prinzips
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| ( jeder Punkt an der Oberfläche des Hindernisses ist Ausgangspunkt einer Kugelwelle).
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| deren phasengerechte Überlagerung ergibt dann das Wellenfeld in r´
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| <u>'''b) Greensfunktion zu Randbedingungen'''</u>
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| <math>\tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right){{\left. {} \right|}_{\begin{smallmatrix}
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| \bar{r}\in \partial V \\
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| \bar{r}\acute{\ }\in V
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| \end{smallmatrix}}}=0</math>
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| <math>\Rightarrow \Phi \left( \bar{r}\acute{\ } \right)=-\int_{\partial V}^{{}}{d\bar{f}\Phi \left( {\bar{r}} \right){{\nabla }_{r}}\tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)}</math>
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| Die neue Greensfunktion unterscheidet sich von der alten nur durch eine additive Lösung g der homogenen Wellengleichung:
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| <math>\begin{align}
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| & \tilde{G}\left( {\bar{R}} \right)=g\left( {\bar{R}} \right)+\frac{1}{4\pi }\frac{{{e}^{ikR}}}{R} \\
| |
| & \left( \Delta +{{k}^{2}} \right)g=0 \\
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| \end{align}</math>
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| | |
| Mit Randbedingung
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| <math>g{{\left. {} \right|}_{\partial V}}=-\frac{1}{4\pi }{{\left. \frac{{{e}^{ikR}}}{R} \right|}_{\partial V}}</math>
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| Beispiel für die Konstruktion von
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| <math>\tilde{G}\left( {\bar{R}} \right)</math>
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| :
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| '''Ebener Schirm:'''
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| Spiegelladungsmethode:
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| Hinter dem Schirm wird die Halbkugel im UNENDLICHEN geschlossen.
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| Hinter dem ebenen Schirm wenden wir die Spiegelladungsmethode an:
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| <math>\begin{align}
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| & \tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=\frac{1}{4\pi }\left( \frac{{{e}^{ik\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}}}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}-\frac{{{e}^{ik\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}}}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|} \right) \\
| |
| & \Rightarrow {{\nabla }_{r}}\tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=\frac{1}{4\pi }\left( {{\nabla }_{r}}\frac{{{e}^{ik\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}}}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}-{{\nabla }_{r}}\frac{{{e}^{ik\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}}}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|} \right):=\frac{1}{4\pi }\left( {{\nabla }_{r}}\frac{{{e}^{ikR}}}{R}-{{\nabla }_{r}}\frac{{{e}^{ikR\acute{\ }\acute{\ }}}}{R\acute{\ }\acute{\ }} \right) \\
| |
| \end{align}</math>
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| Dieser Gradient wurde einige Seiten vorher bereits gelöst:
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| <math>\begin{align}
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| & {{\nabla }_{r}}\tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=\frac{1}{4\pi }\left( {{\nabla }_{r}}\frac{{{e}^{ik\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}}}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}-{{\nabla }_{r}}\frac{{{e}^{ik\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}}}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|} \right):=\frac{1}{4\pi }\left( {{\nabla }_{r}}\frac{{{e}^{ikR}}}{R}-{{\nabla }_{r}}\frac{{{e}^{ikR\acute{\ }\acute{\ }}}}{R\acute{\ }\acute{\ }} \right) \\
| |
| & =\frac{1}{4\pi }\left( \frac{{{e}^{ikR}}}{R}\left( ik-\frac{1}{R} \right)\frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}-\frac{{{e}^{ikR\acute{\ }\acute{\ }}}}{R\acute{\ }\acute{\ }}\left( ik-\frac{1}{R\acute{\ }\acute{\ }} \right)\frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ }}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|} \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Mit
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & R=R\acute{\ }\acute{\ } \\
| |
| & d\bar{f}\cdot \frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}=-d\bar{f}\cdot \frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ }}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}=+df\cos \vartheta \\
| |
| & \Rightarrow d\bar{f}\cdot {{\nabla }_{r}}\tilde{G}=df\frac{1}{2\pi }\frac{{{e}^{ikR}}}{R}\left( ik-\frac{1}{R} \right)\cos \vartheta \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Für
| |
| <math>\lambda <<R</math>
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| ( Fernzone):
| |
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| | |
| <math>\Phi \left( \bar{r}\acute{\ } \right)=-\int_{\partial V}^{{}}{d\bar{f}\Phi \left( {\bar{r}} \right){{\nabla }_{r}}\tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)}=-\frac{i}{\lambda }\int_{F}^{{}}{df\Phi \left( {\bar{r}} \right)\frac{{{e}^{ik\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}}}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}}\cos \vartheta </math>
| |
| | |
| Zur Konstruktion der Lösung müssen die Randwerte
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| <math>{{\left. \Phi \left( {\bar{r}} \right) \right|}_{F}}</math>
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| erraten werden.
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| <u>'''Kirchhoffsche Näherung'''</u>
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| Beugung an Blenden B in einem ebenen Schirm:
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| Annahme:
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| <math>{{\left. \Phi \left( {\bar{r}} \right) \right|}_{S}}=0</math>
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| Das Potenzial verschwindet auf dem Schirm ( leitender Schirm)
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| | |
| <math>{{\left. \Phi \left( {\bar{r}} \right) \right|}_{B}}=\frac{{{e}^{ik{{R}^{Q}}}}}{{{R}^{Q}}}</math>
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| freie einfallende Welle -> Kugelwellen in der Blende
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| Ro rage dabei zum Schwerpunkt der Blende
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \Phi \left( \bar{r}\acute{\ } \right)=-\frac{i}{\lambda }\int_{B}^{{}}{df\frac{{{e}^{ik\left| R+{{R}^{Q}} \right|}}}{R{{R}^{Q}}}}\cos \vartheta \\
| |
| & \cos \vartheta \approx const. \\
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| \end{align}</math>
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| Der Winkel ist näherungsweise konstant für kleine Blenden:
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| <math>\lambda <<d</math>
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| <math>\begin{align}
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| & \bar{R}=\bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \\
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| & {{{\bar{R}}}^{Q}}=\bar{r}-{{{\bar{r}}}^{Q}} \\
| |
| & df={{d}^{2}}r \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Somit:
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| <math>\begin{align}
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| & \Phi \left( \bar{r}\acute{\ } \right)=-\frac{i}{\lambda }\frac{\cos {{\vartheta }_{0}}}{{{R}_{0}}{{R}_{0}}^{Q}}\int_{B}^{{}}{df}{{e}^{ik\left| R+{{R}^{Q}} \right|}} \\
| |
| & \cos \vartheta \approx const. \\
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| im schnell oszillierenden Exponenten darf man R und RQ nicht so ohne weiteres durch Ro / RQo ersetzen !
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| * typisches Näherungsverfahren in Fernfeldoptik
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| <u>'''Grenzfälle'''</u>
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| # <u>'''Fraunhofersche Beugung ( Fernzone:'''</u>
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| # <math>\lambda <<d<<R</math>
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| # )
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| Setze
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| <math>\bar{R}={{\bar{R}}_{0}}+\bar{s}</math>
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| | |
| <math>{{R}^{2}}\approx {{R}_{0}}^{2}+2{{\bar{R}}_{0}}\bar{s}</math>
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| | |
| <math>\begin{align}
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| & \Rightarrow R\approx {{R}_{0}}+\bar{\alpha }\bar{s} \\
| |
| & \bar{\alpha }:=\frac{{{{\bar{R}}}_{0}}}{{{R}_{0}}} \\
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| Analog:
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \Rightarrow {{R}^{Q}}\approx {{R}_{0}}^{Q}+{{{\bar{\alpha }}}_{0}}\bar{s} \\
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| & {{{\bar{\alpha }}}_{0}}:=\frac{{{{\bar{R}}}_{0}}^{Q}}{{{R}_{0}}^{Q}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| <math>\Rightarrow \Phi \left( \bar{r}\acute{\ } \right)\approx -\frac{i}{\lambda }{{e}^{ik\left( {{R}_{0}}+{{R}_{0}}^{Q} \right)}}\frac{\cos {{\vartheta }_{0}}}{{{R}_{0}}{{R}_{0}}^{Q}}\int_{B}^{{}}{{{d}^{2}}s}{{e}^{ik\left( \bar{\alpha }+{{{\bar{\alpha }}}_{0}} \right)\bar{s}}}</math>
| |
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| <u>'''Fresnelsche Beugung ( Mittelzone:'''</u>
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| <math>\lambda <<R\approx d</math>
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| hier:
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| <math>{{R}^{2}}={{R}_{0}}^{2}+2{{\bar{R}}_{0}}\bar{s}+{{s}^{2}}</math>
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| nicht genähert !!
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| '''Beispiel: Fraunhofersche Beugung am Spalt ( eindimensional):'''
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| Bei senkrechtem Einfall gilt:
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| <math>{{\bar{\alpha }}_{0}}\bar{s}=0</math>
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| | |
| <math>\begin{align}
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| & \Rightarrow \Phi \left( \bar{r}\acute{\ } \right)=C\int_{-d/2}^{d/2}{d{{s}_{1}}}{{e}^{ik\alpha {{s}_{1}}}} \\
| |
| & \alpha :=\sin {{\vartheta }_{0}} \\
| |
| & \bar{\alpha }\bar{s}={{s}_{1}}\sin {{\vartheta }_{0}} \\
| |
| & \Rightarrow \Phi \left( \bar{r}\acute{\ } \right)=\frac{C}{ik\alpha }\left( {{e}^{ik\alpha \frac{d}{2}}}-{{e}^{-ik\alpha \frac{d}{2}}} \right) \\
| |
| & \Phi \left( \bar{r}\acute{\ } \right)=Cd\frac{\sin \left( k\alpha \frac{d}{2} \right)}{k\alpha \frac{d}{2}} \\
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| Die Spaltfunktion, Fouriertransformierte der Rechteckfunktion ( Blende)
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| | |
| Wir finden Beugungsminima bei den Nullstellen des Sinus ( Außer in der Mitte), also
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| <math>\sin {{\vartheta }_{0}}=n\cdot \frac{\lambda }{d}</math>
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| | |
| ebenso ( als ÜBUNG !!!)
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| können dann Beugung am Gitter und an kreisförmigen Blenden berechnet werden.
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| <u>'''Einwurf: 1. Der holografische Prozess'''</u>
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| *# <u>'''Aufzeichnung und Rekonstruktion'''</u>
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| | |
| Lichtintensität einer Lichtwelle:
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| <math>I(x,y)=|O(x,y)|{}^\text{2}=O(x,y)\bullet O*(x,y)</math>
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| * Phaseninformationen gehen verloren
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| * Idee: Phaseninfo durch Interferenz aufzeichnen
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| * Lösung mittels eines Zweistufenprozesses: Aufzeichnung und Rekonstruktion
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| * Kohärenz erforderlich
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| * monochromatisches Licht
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| * unpolarisiertes Licht
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| <u>'''1. Schritt: Die Aufzeichnungsphase'''</u>
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| | |
| * Problem: Speichern komplexer Funktionen in einem reellen Medium
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| * Überlagerung der Objektwelle
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| <math>O(x,y)=|O(x,y)|\bullet \exp (i{{\varphi }_{O}}(x,y))</math>
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| | |
| * Mit einer Referenzwelle
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| | |
| <math>R(x,y)=|R(x,y)|\bullet \exp (i{{\varphi }_{R}}(x,y))</math>
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| | |
| * Auch in diesem Fall werden nur Intensitäten gespeichert. Doch diese sind nun:
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| | |
| <math>I(x,y)=|O(x,y)+R(x,y)|{}^\text{2}\ =\quad |O|{}^\text{2}\ +\ |R|{}^\text{2}\ +\ OR*\ +\ O*R</math>
| |
| | |
| <math>I(x,y)=|O|{}^\text{2}\ +\ |R|{}^\text{2}\ +2RO\cos [{{\varphi }_{R}}(x,y)-{{\varphi }_{O}}(x,y)]</math>
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| | |
| * Diese Intensitätsverteilung kann verstanden werden als " Hologrammfunktion" oder "Aperturefunktion"
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| * Planare Wellen: Fraunhofer Hologramme
| |
| * Divergierende Wellen: Fresnelhologramme
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| * Im obigen Bild dargestellt: Trägerfrequenzholografie
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| * Eigentliche Holografie: ohne Trägerfrequenz: Referenzstrahl, in den auch das Objekt gestellt wird.
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| * Dabei überlagern sich jedoch mehrere Ordnungen.
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| * Generell: verschiedenste Aufzeichnungstechniken:
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| * Trägerfrequenzholografie ( wie oben)
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| * Denisyukhologramm
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| <u>'''2. Schritt: Rekonstruktionsphase'''</u>
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| * Gleiche Wellenlänge wie bei Aufzeichnung rekonstruiert das Objekt
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| * Ansonsten: Verzerrung
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| * Beugung durch Hologrammstrukturen vergleichbar mit Gitter
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| * Motivation: Gittergeister an Gitterspektrographen
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| * Das Gitter kann als leeres Hologramm verstanden werden ( Überlagerung zweier ebener Wellen)
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| * Die Hologrammfunktion / Aperturefunktion ( bei optischen Hologrammen eine Intensitätsfunktion -> reell) moduliert dabei die einfallende Rekonstruktionswelle:
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| <math>O\acute{\ }=R\cdot I(x,y)=R\cdot (|O|{}^\text{2}+|R|{}^\text{2})+O\cdot |R|{}^\text{2}+R\cdot R\cdot O*</math>
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| * Zu beachten: komplexe Funktionen
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| <u>'''Fresnel- und Fourier- Hologramme'''</u>
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| * Wesentlich für Fourier- Hologramme: Aufzeichnung mittels ebener Wellen
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| * Linse
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| * Objekt in weiter Entfernung
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| * Wesentlich für Fresnelhologramme: Die Objektwelle ist eine Kugelwelle. Das Objekt muss sich also in der Nähe der Hologrammebene befinden.
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| * Fouriernäherung des Beugungsintegrals
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| * Fresnel- Näherung des Beugungsintegrals
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| *# <u>'''Grundlagen der Beugung'''</u>
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| * Das Beugungsintegral beschreibt die Lichterregung in der Beobachtungsebene.
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| * Keine Berücksichtigung der Polarisation
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| * Voraussetzung: kohärente Beleuchtung
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| * Die einfallende Welle wird mit der Aperturefunktion A(x1, y1) ( z.B. Amplitudentransparenz einer Blende oder Phasenaddition durch ein Phasenobjekt) multipliziert und dann über den gesamten Raum integriert.
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| * Fällt das Licht durch ein Hologramm, so muss in die Gleichungen die entsprechende Funktion der Lichttransmission, die das Hologramm beschreibt, gesetzt werden ( Hologramm-/ Aperturefunktion).
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| * Ausgangspunkt:
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| Helmholtz- Gleichung
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| <math>(\nabla {}^\text{2}+k{}^\text{2})\,U(\bar{r})=0</math>
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| mit
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| <math>U(\bar{r})=\frac{{{e}^{i\bar{k}\bar{r}o1}}}{ro1}</math>
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| * lauter Kugelwellen in x1/y1
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| <math>O(xo,yo)\tilde{\ }\int\limits_{-\infty }^{\infty }{\int\limits_{-\infty }^{\infty }{A(x1,y1)\bullet U(\bar{r})dx1dy1}}</math>
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| <math>\approx \tilde{\ }\frac{1}{z}\int\limits_{-\infty }^{\infty }{\int\limits_{-\infty }^{\infty }{{{e}^{ikr}}\bullet A(x1,y1)}}dx1dy1</math>
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| * Komposition des Objekts durch Interferenz aufgrund von Phasenunterschieden im Raum hinter der Blende
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| '''Reihenentwicklung des Abstandes als Näherung:'''
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| <math>r=\sqrt{(xo-x1){}^\text{2}+(yo-y1){}^\text{2}+z{}^\text{2}}</math>
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| <math>\approx z\left[ 1+\frac{(xo-x1){}^\text{2}+(yo-y1){}^\text{2}}{2z{}^\text{2}} \right]</math>
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| '''Fresnel- Näherung:'''
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| * Die Hologrammfunktion / Aperturfunktion kodiert das Fresnelsche Beugungsbild
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| <math>O(xo,yo)\approx \tilde{\ }\frac{{{e}^{ikz}}}{z}\int\limits_{-\infty }^{\infty }{\int\limits_{-\infty }^{\infty }{A(x1,y1)}}\bullet {{e}^{\frac{i\pi }{\lambda z}\left[ (xo-x1){}^\text{2}+(yo-y1){}^\text{2} \right]}}dx1dy1</math>
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| '''Fraunhofer- Näherung:'''
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| * Aufzeichnung allgemein mit Linse
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| * Zur Aufzeichnung: ebene Welle erforderlich
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| * Das Integral entspricht einer Fouriertransformation der Hologrammfunktion/ Aperturefunktion
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| '''Aufzeichnung:'''
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| <u>'''1.3 Beispiele: Einfach- und Doppelspalt'''</u>
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| '''Hintergrund'''
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| * Laufstreckenunterschiede von kohärenten Lichtstrahlen bestimmen Interferenzerscheinungen
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| Fernfeldnäherungen/ Fouriernäherungen:
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| * Für schmalen Doppelspalt gilt:
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| <math>d\varphi (P)=k\cdot ds=k(r2-r1)\approx k\cdot \sin \theta \cdot a=2\pi \sin \theta \cdot \frac{a}{\lambda }</math>
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| <math>\Rightarrow \sin \theta \cdot a=m\lambda </math>
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| als Maximabedingung
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| Sofort ersichtlich:
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| * Variation des Spaltabstands variiert Phase
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| * Variation der Spaltbreite variiert Amplitude
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| * Breiter Spalt: Interferenz der Strahlen untereinander
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| * 1. Strahl <-> n/2 +1 , 2. Stahl <-> N/2 + 2
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| <math>\sin \theta \cdot b=m\lambda </math>
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| als Minimabedingung
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| <u>'''Der Einfachspalt:'''</u>
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| Amplitudenverteilung bei Einzelspalt:
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| <math>O\tilde{\ }\text{sinc(}\frac{k}{2}\cdot b\cdot \sin \theta )</math>
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| entspricht Feldverteilung des E-Feldes:
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| <math>E\tilde{\ }\text{sinc(}\frac{k}{2}\cdot b\cdot \sin \theta )</math>
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| <math>I(\theta )={{I}_{o}}\cdot \text{sinc }\!\!{}^\text{2}\!\!\text{ (}\frac{k}{2}\cdot b\cdot \sin \theta )</math>
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| <u>'''2. Doppelspalt mit endlicher Spaltbreite/ Minimalgitter:'''</u>
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| * Lösung Gesamtproblem: Reihe von Beugungsintegralen
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| Amplitudenverteilung bei Einzelspalt:
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| <math>E\tilde{\ }\text{sinc(}\frac{k}{2}\cdot b\cdot \sin \theta )</math>
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| * Entspricht den Beugungserscheinungen an einer Periode
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| Amplitudenverteilung bei mehreren schmalen Spalten/ Vielstrahlinterferenz:
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| <math>E\tilde{\ }\left\{ \frac{\sin (\frac{Nka}{2}\sin (\theta ))}{\sin (\frac{ka}{2}\sin (\theta ))} \right\}</math>
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| <math>I(\theta )={{I}_{o}}\text{sin}{{\text{c}}^{\text{2}}}\text{(}\frac{k}{2}\cdot b\cdot \sin \theta )\cdot {{\left\{ \frac{\sin (\frac{Nka}{2}\sin (\theta ))}{\sin (\frac{ka}{2}\sin (\theta ))} \right\}}^{2}}</math>
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| * Der Abstand der Spalte ist immer größer als die Breite: a>b
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| * Die Interferenzstreifen aus Spaltbreite modulieren mit niedriger Frequenz
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| * Interferenzstreifen aus Spaltanzahl modulieren mit hoher Frequenz
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| * Für schmale Spalte: Kammfunktion
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