Trägheitstensor

Natürlich ist es nicht praktisch alle in der Physik vorkommenden Phänomene durch Massenpunktsystem zu beschreiben. Daher existiert noch ein weiters Konzept. Man kann einen starren Körper als Vielteilchensystem betrachten, wobei die Zwangsbedingungen lauten, dass sich die Abstände der einzelnen Punkte zueinander nicht verändern. Es ist für diese Betrachtung zweckmäßig 2 Koordinatensysteme zu verwenden. Ein Raumfestes bei dem sich die Achsen nicht bewegen, wohl aber die Koordinaten der einzelnen Punkte.

Raumfestes Koordinatensystem

${\hat {\Sigma }}:{\hat {r}}\left(t\right)=\sum \limits _{i=1}^{3}{{{\hat {x}}_{i}}\left(t\right){{\hat {e}}_{i}}}$

Sowie ein Körperfestes System was sich mit dem Körper mitbewegt, und bei dem die Orts Koordinaten aufgrund der zum Körper gehörenden Orte Zwangsbedingungen fest gewählt sind.

Körperfestes Koordinatensytem

$\Sigma :r\left(t\right)=\sum \limits _{i=1}^{3}{{{x}_{i}}{{e}_{i}}\left(t\right)}$

Dadurch ergibt sich die Beziehung, dass jeder Punkt im Ortsfesten System als Summe aus Verbindungsvektor mit dem Ursprung des köperfesten Systems plus dem Vektor im körperfesten System geschrieben werden kann.

${\hat {r}}\left(t\right)={{\hat {r}}_{0}}\left(t\right)+r$

Die zeitliche Änderung eines Vektors im körperfesten System ist nur von der Drehung des Koordinatensystems abhängig. Also ist Geschwindigkeit nur von der Drehung und nicht von der Translation abhängig.

${\dot {r}}=\left(\omega \times r\right)$

Im ortsfesten System folgt dann, dass sich die Gesamtgeschwindigkeit aus Translation des Ursprungs des ortsfesten Systems und Drehung im köperfesten System zusammensetzt.

${\dot {\hat {r}}}={{\dot {r}}_{0}}+\left(\omega \times r\right)$

Die Kinetische Energie ist folglich

$T={\frac {1}{2}}\sum \limits _{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{\left({{\dot {r}}_{0}}+\left(\omega \times {{r}_{i}}\right)\right)}^{2}}}={\frac {1}{2}}M{{\dot {r}}_{0}}^{2}+\sum \limits _{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{\dot {r}}_{0}}\centerdot \left(\omega \times {{r}_{i}}\right)}+{\frac {1}{2}}\sum \limits _{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{\left(\omega \times {{r}_{i}}\right)}^{2}}}$

Der mittlere Term stellt ein Spaltprodukt da, daher können die Komponenten dort Zyklisch vertauscht werden. In den wesendlichen Spezialfällen fällt dieser Term weg.

1. Der Ursprung des Körperfesten Systems ist ein Fixpunkt im Ortsfesten System, so dass ${{r}_{0}}$konstant ist und die Ableitung verschwindet.
2. . Zyklische Vertauschung liefert:
3. . $\sum \limits _{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{r}_{i}}\centerdot \left({{\dot {r}}_{0}}\times \omega \right)}$
4. . . Wenn nun das System im Schwerpunkt sitz ist der 1. Faktor des Skalarproduktes null.

Der Term

${{\left(\omega \times {{r}_{i}}\right)}^{2}}$

stellt eine Vektoridentität dar:

${{\left(\omega \times {{r}_{i}}\right)}^{2}}={{\omega }^{2}}{{r}_{i}}^{2}+{{\left(\omega \centerdot {{r}_{i}}\right)}^{2}}$

(9.7)

Das Ausmultiplizieren dieser Terme würde relativ viele Summanden zur Folge haben. Man entschließt sich daher dazu die Summanden nach Indizes von  zu Ordnen und als Matrix aufzufassen.

Die Matrix hat dann die Einträge:

${\underline {J}}$

${\underline {J}}_{lm}=\sum \limits _{i=1}^{N}{{{m}_{i}}\left({{\delta }_{lm}}{{r}_{i}}^{2}-{{\left({{r}_{i}}\right)}_{l}}{{\left({{r}_{i}}\right)}_{m}}\right)}$ (9.8) Damit ergibt sich der von der Rotation verursachte Teil der Kinetischen Energie (${{T}_{Rot}}$) zu ${{T}_{Rot}}={\frac {1}{2}}\sum \limits _{l,m=1}^{3}{{\underline {J}}_{lm}{{\omega }_{l}}{{\omega }_{m}}}={\frac {1}{2}}{{\omega }^{2}}\sum \limits _{l,m=1}^{3}{{\underline {J}}_{lm}{{n}_{l}}{{n}_{m}}}$ (9.9) n sollen hierbei die normierten Komponenten von  sein. Es ist nun sogar möglich ist Kontinuum überzugehen: ${\underline {J}}_{lm}=\iiint {\rho \left(r\right)\left({{\delta }_{lm}}{{r}^{2}}-{{r}_{l}}{{r}_{m}}\right)d{{r}_{1}}d{{r}_{2}}d{{r}_{3}}}$ (9.10) Der Tensor ${\underline {J}}$hängt von der Wahl des Koordinatensystems ab. Es ist aber immer möglich die Achsen so zu Wählen das ${\underline {J}}$ Diagonalgestalt annimmt. Dieses ist aber Isomorph zum Eigenwertproblem ${\underline {J}}\omega =J\omega$ (9.11) Hier eignen Sich die Eulerschen Winkel um ein System in Kugelkoordinaten zu beschreiben.