Zustandsvektoren im Hilbertraum - Revision history

Schubotz at 12:23, 9 August 2011

2011-08-09T12:23:53Z

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	\end{align}</math>		\end{align}</math>
	Eigenschaften der Funktionen, die H aufspannen:		Eigenschaften der Funktionen, die H aufspannen:
	~~No more s~~***~~. All posts of this qtualiy from now on~~		=====Dual:=====
			:<math>\left\langle \Psi \right\|=\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}p\left\langle \Psi \| {\bar{p}} \right\rangle }\left\langle {\bar{p}} \right\|=\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\left\langle \Psi \| {\bar{r}} \right\rangle }\left\langle {\bar{r}} \right\|</math>
	~~8RAWub~~ <~~a href~~=~~"http~~:~~//pdgsgjgkfmzn.com/"~~>~~pdgsgjgkfmzn~~</a>		Man spricht auch vom " Einschieben einer 1!".
			:<math>\left\langle \Psi \| {\bar{r}} \right\rangle =\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}p\left\langle \Psi \| {\bar{p}} \right\rangle }\left\langle {\bar{p}} \| {\bar{r}} \right\rangle =\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}p}\tilde{\Psi }(\bar{p}){{\left( 2\pi \hbar \right)}^{-\tfrac{3}{2}}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }\bar{p}\bar{r}}}=\left\langle {\bar{r}} \| \Psi \right\rangle =\Psi (\bar{r})*</math>
	~~TMOBJW , [url~~=~~http~~:~~//xtlmvvmqheyb~~.~~com/]xtlmvvmqheyb~~[~~/url~~]~~, [link=http:~~/~~/tacwszdexllu.com/]tacwszdexllu[/link], http~~:~~//qmtlkoxbkeys.com/~~		=====Skalarprodukt:=====
			:<math>\left\langle {{\Psi }_{1}} \| {{\Psi }_{2}} \right\rangle =\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\left\langle {{\Psi }_{1}} \| {\bar{r}} \right\rangle }\left\langle {\bar{r}} \| {{\Psi }_{2}} \right\rangle =\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r}{{\Psi }_{1}}(\bar{r}){{\Psi }_{2}}(\bar{r})=\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}p}{{\tilde{\Psi }}_{1}}(\bar{p}){{\tilde{\Psi }}_{2}}(\bar{p})</math>
			=====Norm:=====
			:<math>\left\\| \Psi \right\\|={{\left[ \int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\left\langle \Psi \| {\bar{r}} \right\rangle }\left\langle {\bar{r}} \| \Psi \right\rangle \right]}^{\frac{1}{2}}}={{\left[ \int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r{{\left\| \Psi (\bar{r}) \right\|}^{2}}} \right]}^{\frac{1}{2}}}</math>
			Alle Funktionen im Hilbertraum müssen also insbesondere quadratintegrabel sein.
			Somit folgt:
			:<math>H=L{}^\text{2}({{R}^{3}})=\left\{ \Psi :{{R}^{3}}\to C\left\| {} \right.\left[ \int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r{{\left\| \Psi (\bar{r}) \right\|}^{2}}<\infty } \right] \right\}</math>
			Nebenbemerkung:
			Die Linearität des Vektorraumes garantiert das Superpositionsprinzip für Wellenfunktionen!

189.76.238.253: /* Norm: */

2011-07-03T11:55:00Z

Norm:

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	8RAWub <a href="http://pdgsgjgkfmzn.com/">pdgsgjgkfmzn</a>		8RAWub <a href="http://pdgsgjgkfmzn.com/">pdgsgjgkfmzn</a>

	=~~====Norm~~:~~=====~~		TMOBJW , [url=http://xtlmvvmqheyb.com/]xtlmvvmqheyb[/url], [link=http://tacwszdexllu.com/]tacwszdexllu[/link], http://qmtlkoxbkeys.com/
	~~:<math>\left\\| \Psi \right\\|={{\left~~[ ~~\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\left\langle \Psi \| {\bar{r}} \right\rangle }\left\langle {\bar{r}} \| \Psi \right\rangle \right~~]~~}^{\frac{1}{2}}}={{\left~~[ ~~\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r{{\left\| \Psi (\bar{r}) \right\|}^{2}}} \right]}^{\frac{1}{2}}}</math>~~
	~~Alle Funktionen im Hilbertraum müssen also insbesondere quadratintegrabel sein.~~
	~~Somit folgt:~~
	~~:<math>H=L{}^\text{2}({{R}^{3}})~~=~~\left\{ \Psi~~ :~~{{R}^{3}}\to C\left\| {} \right~~.~~\left~~[ ~~\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r{{\left\| \Psi (\bar{r}) \right\|}^{2}}<\infty } \right~~] ~~\right\}<~~/~~math>~~
	~~Nebenbemerkung:~~
	~~Die Linearität des Vektorraumes garantiert das Superpositionsprinzip für Wellenfunktionen!~~

62.4.73.228: /* Skalarprodukt: */

2011-07-03T07:15:27Z

Skalarprodukt:

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	No more s***. All posts of this qtualiy from now on		No more s***. All posts of this qtualiy from now on

	=~~====Skalarprodukt~~:~~=====~~		8RAWub <a href="http://pdgsgjgkfmzn.com/">pdgsgjgkfmzn</a>
	~~:<math~~>\left\langle {{\Psi }_{1}} \| {{\Psi }_{2}} \right\rangle =\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\left\langle {{\Psi }_{1}} \| {\bar{r}} \right\rangle }\left\langle {\bar{r}} \| {{\Psi }_{2}} \right\rangle =\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r}{{\Psi }_{1}}(\bar{r}){{\Psi }_{2}}(\bar{r})=\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}p}{{\tilde{\Psi }}_{1}}(\bar{p}){{\tilde{\Psi }}_{2}}(\bar{p})</~~math~~>
	=====Norm:=====		=====Norm:=====
	:<math>\left\\| \Psi \right\\|={{\left[ \int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\left\langle \Psi \| {\bar{r}} \right\rangle }\left\langle {\bar{r}} \| \Psi \right\rangle \right]}^{\frac{1}{2}}}={{\left[ \int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r{{\left\| \Psi (\bar{r}) \right\|}^{2}}} \right]}^{\frac{1}{2}}}</math>		:<math>\left\\| \Psi \right\\|={{\left[ \int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\left\langle \Psi \| {\bar{r}} \right\rangle }\left\langle {\bar{r}} \| \Psi \right\rangle \right]}^{\frac{1}{2}}}={{\left[ \int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r{{\left\| \Psi (\bar{r}) \right\|}^{2}}} \right]}^{\frac{1}{2}}}</math>

201.204.81.42: /* Dual: */

2011-07-02T06:09:26Z

Dual:

← Older revision		Revision as of 08:09, 2 July 2011
Line 247:		Line 247:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>
	Eigenschaften der Funktionen, die H aufspannen:		Eigenschaften der Funktionen, die H aufspannen:
	~~=====Dual:=====~~		No more s***. All posts of this qtualiy from now on
	:<math>\left\langle \Psi \right\|=\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}p\left\langle \Psi \| {\bar{p}} \right\rangle }\left\langle {\bar{p}} \right\|=\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\left\langle \Psi \| {\bar{r}} \right\rangle }\left\langle {\bar{r}} \right\|</math>
	~~Man spricht auch vom " Einschieben einer 1!".~~
	:<math>\left\langle \Psi \| {\bar{r}} \right\rangle =\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}p\left\langle \Psi \| {\bar{p}} \right\rangle }\left\langle {\bar{p}} \| {\bar{r}} \right\rangle =\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}p}\tilde{\Psi }(\bar{p})~~{{\left( 2\pi \hbar \right)}^{-\tfrac{3}{2}}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }\bar{p}\bar{r}}}=\left\langle {\bar{r}} \| \Psi \right\rangle~~ ~~=\Psi (\bar{r})~~*~~</math>~~
	=====Skalarprodukt:=====		=====Skalarprodukt:=====
	:<math>\left\langle {{\Psi }_{1}} \| {{\Psi }_{2}} \right\rangle =\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\left\langle {{\Psi }_{1}} \| {\bar{r}} \right\rangle }\left\langle {\bar{r}} \| {{\Psi }_{2}} \right\rangle =\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r}{{\Psi }_{1}}(\bar{r}){{\Psi }_{2}}(\bar{r})=\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}p}{{\tilde{\Psi }}_{1}}(\bar{p}){{\tilde{\Psi }}_{2}}(\bar{p})</math>		:<math>\left\langle {{\Psi }_{1}} \| {{\Psi }_{2}} \right\rangle =\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\left\langle {{\Psi }_{1}} \| {\bar{r}} \right\rangle }\left\langle {\bar{r}} \| {{\Psi }_{2}} \right\rangle =\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r}{{\Psi }_{1}}(\bar{r}){{\Psi }_{2}}(\bar{r})=\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}p}{{\tilde{\Psi }}_{1}}(\bar{p}){{\tilde{\Psi }}_{2}}(\bar{p})</math>

*>SchuBot: Interpunktion, replaced: ! → ! (6), ( → ( (14)

2010-09-12T22:47:20Z

Interpunktion, replaced: ! → ! (6), ( → ( (14)

>SchuBot: / Axiome des Hilbertraums H: */Pfeile einfügen, replaced: -> → →

2010-09-12T20:09:48Z

Axiome des Hilbertraums H:: Pfeile einfügen, replaced: -> → →

← Older revision		Revision as of 22:09, 12 September 2010
Line 193:		Line 193:
	3) Äquivalent sind <math>\left\langle {{\Psi }_{1}} \| {{\Psi }_{2}} \right\rangle </math>und <math>\left( {{\Psi }_{1}},{{\Psi }_{2}} \right)</math>		3) Äquivalent sind <math>\left\langle {{\Psi }_{1}} \| {{\Psi }_{2}} \right\rangle </math>und <math>\left( {{\Psi }_{1}},{{\Psi }_{2}} \right)</math>
	4) Zu unterscheiden sind:		4) Zu unterscheiden sind:
	:<math>\left\| \Psi \right\rangle </math>= Ket- Vektor ( nach Dirac ~~->Dirac~~- Schreibweise)		:<math>\left\| \Psi \right\rangle </math>= Ket- Vektor ( nach Dirac →Dirac- Schreibweise)
	:<math>\left\langle \Psi \right\|</math>=Bra- Vektor		:<math>\left\langle \Psi \right\|</math>=Bra- Vektor

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T14:49:20Z

Einrückungen Mathematik

Show changes

*>SchuBot at 17:18, 11 September 2010

2010-09-11T17:18:23Z

← Older revision		Revision as of 19:18, 11 September 2010
Line 121:		Line 121:
	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}

	& \bar{a}=\sum\limits_{j}{{}}{{a}_{j}}\left\| {{{\bar{e}}}_{j}} \right\rangle =\sum\limits_{j}{\left\langle {{{\bar{e}}}_{j}} \| {\bar{a}} \right\rangle }\left\| {{{\bar{e}}}_{j}} \right\rangle =\sum\limits_{j}{\left\| {{{\bar{e}}}_{j}} \right\rangle \left\langle {{{\bar{e}}}_{j}} ~~\right\|\left~~\| {\bar{a}} \right\rangle } \\		& \bar{a}=\sum\limits_{j}{{}}{{a}_{j}}\left\| {{{\bar{e}}}_{j}} \right\rangle =\sum\limits_{j}{\left\langle {{{\bar{e}}}_{j}} \| {\bar{a}} \right\rangle }\left\| {{{\bar{e}}}_{j}} \right\rangle =\sum\limits_{j}{\left\| {{{\bar{e}}}_{j}} \right\rangle \left\langle {{{\bar{e}}}_{j}} \| {\bar{a}} \right\rangle } \\

	& \bar{a}=\sum\limits_{j}{{}}{{a}_{j}}\acute{\ }\left\| {{{\bar{e}}}_{j}}\acute{\ } \right\rangle =\sum\limits_{j}{\left\langle {{{\bar{e}}}_{j}}\acute{\ } \| {\bar{a}} \right\rangle }\left\| {{{\bar{e}}}_{j}}\acute{\ } \right\rangle =\sum\limits_{j}{\left\| {{{\bar{e}}}_{j}}\acute{\ } \right\rangle \left\langle {{{\bar{e}}}_{j}}\acute{\ } ~~\right\|\left~~\| {\bar{a}} \right\rangle } \\		& \bar{a}=\sum\limits_{j}{{}}{{a}_{j}}\acute{\ }\left\| {{{\bar{e}}}_{j}}\acute{\ } \right\rangle =\sum\limits_{j}{\left\langle {{{\bar{e}}}_{j}}\acute{\ } \| {\bar{a}} \right\rangle }\left\| {{{\bar{e}}}_{j}}\acute{\ } \right\rangle =\sum\limits_{j}{\left\| {{{\bar{e}}}_{j}}\acute{\ } \right\rangle \left\langle {{{\bar{e}}}_{j}}\acute{\ } \| {\bar{a}} \right\rangle } \\

	\end{align}</math>		\end{align}</math>
Line 235:		Line 235:
	<math>\left\| \Psi \right\rangle =\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}p\left\| {\bar{p}} \right\rangle }\left\langle {\bar{p}} \| \Psi \right\rangle =\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\left\| {\bar{r}} \right\rangle }\left\langle {\bar{r}} \| \Psi \right\rangle </math>		<math>\left\| \Psi \right\rangle =\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}p\left\| {\bar{p}} \right\rangle }\left\langle {\bar{p}} \| \Psi \right\rangle =\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\left\| {\bar{r}} \right\rangle }\left\langle {\bar{r}} \| \Psi \right\rangle </math>
	analog zur Entwicklung des Vektors <math>\left\| {\bar{a}} \right\rangle \in {{R}^{n}}</math>nach Basisvektoren ( in seinen Koordinaten, mit seinen Koordinaten als Entwicklungskoeffizienten).		analog zur Entwicklung des Vektors <math>\left\| {\bar{a}} \right\rangle \in {{R}^{n}}</math>nach Basisvektoren ( in seinen Koordinaten, mit seinen Koordinaten als Entwicklungskoeffizienten).
	<math>\bar{a}=\sum\limits_{j}{{}}{{a}_{j}}\left\| {{{\bar{e}}}_{j}} \right\rangle =\sum\limits_{j}{\left\| {{{\bar{e}}}_{j}} \right\rangle \left\langle {{{\bar{e}}}_{j}} ~~\right\|\left~~\| {\bar{a}} \right\rangle =\sum\limits_{j}{{}}{{a}_{j}}\acute{\ }\left\| {{{\bar{e}}}_{j}}\acute{\ } \right\rangle }=\sum\limits_{j}{\left\| {{{\bar{e}}}_{j}}\acute{\ } \right\rangle \left\langle {{{\bar{e}}}_{j}}\acute{\ } ~~\right\|\left~~\| {\bar{a}} \right\rangle }</math>		<math>\bar{a}=\sum\limits_{j}{{}}{{a}_{j}}\left\| {{{\bar{e}}}_{j}} \right\rangle =\sum\limits_{j}{\left\| {{{\bar{e}}}_{j}} \right\rangle \left\langle {{{\bar{e}}}_{j}} \| {\bar{a}} \right\rangle =\sum\limits_{j}{{}}{{a}_{j}}\acute{\ }\left\| {{{\bar{e}}}_{j}}\acute{\ } \right\rangle }=\sum\limits_{j}{\left\| {{{\bar{e}}}_{j}}\acute{\ } \right\rangle \left\langle {{{\bar{e}}}_{j}}\acute{\ } \| {\bar{a}} \right\rangle }</math>
	Somit folgt jedoch:		Somit folgt jedoch:
	<math>\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}p\left\| {\bar{p}} \right\rangle \left\langle {\bar{p}} \right\|}=\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\left\| {\bar{r}} \right\rangle }\left\langle {\bar{r}} \right\|=1</math> als Vollständigkeits- Relation. Nebenbemerkung: Der Hilbertraum der Zustände hat unendliche Dimension.		<math>\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}p\left\| {\bar{p}} \right\rangle \left\langle {\bar{p}} \right\|}=\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\left\| {\bar{r}} \right\rangle }\left\langle {\bar{r}} \right\|=1</math> als Vollständigkeits- Relation. Nebenbemerkung: Der Hilbertraum der Zustände hat unendliche Dimension.

Schubotz at 14:33, 9 September 2010

2010-09-09T14:33:05Z

← Older revision		Revision as of 16:33, 9 September 2010
Line 1:		Line 1:
	{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|2\|1}}		<noinclude>{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|2\|1}}</noinclude>

	<math>\Psi (\bar{r})</math> sei ein Vektor im Hilbertraum als Wellenfunktion.		<math>\Psi (\bar{r})</math> sei ein Vektor im Hilbertraum als Wellenfunktion.

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Quantenmechanik|2|1}} $\Psi (\bar{r})$ sei ein Vektor im Hilbertraum als Wellenfunktion. Dabei wird zunächst noch keine Aussage übe…“

2010-08-24T15:00:46Z

Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Quantenmechanik|2|1}} <math>\Psi (\bar{r})</math> sei ein Vektor im Hilbertraum als Wellenfunktion. Dabei wird zunächst noch keine Aussage übe…“

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{{Scripthinweis|Quantenmechanik|2|1}}

<math>\Psi (\bar{r})</math> sei ein Vektor im Hilbertraum als Wellenfunktion.

Dabei wird zunächst noch keine Aussage über stationäre oder zeitabhängige Vektoren gemacht. Noch ist t einfach als Argument unterdrückt. ( Zeitlosigkeit)

'''Fourier- Trafo der Impulsdarstellung liefert '''<math>\Psi (\bar{r})</math>:

<math>\Psi (\bar{r})=\frac{1}{{{\left( 2\pi \right)}^{\tfrac{3}{2}}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}k\Phi (\bar{k}){{e}^{i\bar{k}\bar{r}}}}</math> in Ortsdarstellung

Laßt Euch hier nicht verwirren. Die Verwendung von x und k als kanonisch konjugierte Variablen ist völlig analog zu x- p als Variablen, denn wegen

<math>\bar{p}=\bar{k}\hbar </math>

entspricht die Verwendung von <math>\bar{p}</math>als kanonisch konjugierte Variable alleine der Mitnahme des Vorfaktors

<math>\begin{align}

& \frac{1}{{{\hbar }^{\frac{f}{2}}}} \\

& \Psi (\bar{r})=\frac{1}{{{\left( 2\pi \hbar \right)}^{\tfrac{3}{2}}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}p\Phi \left( \frac{{\bar{p}}}{\hbar } \right){{e}^{\frac{i}{\hbar }\bar{p}\bar{r}}}} \\

\end{align}</math>

Die Umkehrung ist nach dem Fourier- Theorem möglich:

<math>\begin{align}

& \int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}x}\Psi (\bar{r}){{e}^{-i\bar{k}\acute{\ }\bar{r}}}=\frac{1}{{{\left( 2\pi \right)}^{\tfrac{3}{2}}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}k\Phi (\bar{k})\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}{{e}^{i\left( \bar{k}-\bar{k}\acute{\ } \right)\bar{r}}}} \\

& \int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r}{{e}^{i\left( \bar{k}-\bar{k}\acute{\ } \right)\bar{r}}}={{\left( 2\pi \right)}^{3}}\delta (\bar{k}-\bar{k}\acute{\ }) \\

& \Rightarrow \frac{1}{{{\left( 2\pi \right)}^{\tfrac{3}{2}}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}k\Phi (\bar{k})\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}{{e}^{i\left( \bar{k}-\bar{k}\acute{\ } \right)\bar{r}}}}=\frac{1}{{{\left( 2\pi \right)}^{\tfrac{3}{2}}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}k\Phi (\bar{k})}{{\left( 2\pi \right)}^{3}}\delta (\bar{k}-\bar{k}\acute{\ })={{\left( 2\pi \right)}^{\tfrac{3}{2}}}\Phi (\bar{k}\acute{\ }) \\

& \Rightarrow \Phi (\bar{k})=\frac{1}{{{\left( 2\pi \right)}^{\tfrac{3}{2}}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}x}\Psi (\bar{r}){{e}^{-i\bar{k}\bar{r}}} \\

\end{align}</math>

Mit Hilfe: <math>\begin{align}

& p=\hbar k \\

& \tilde{\Psi }(\bar{p})={{\hbar }^{-\tfrac{3}{2}}}\Phi (\bar{k}) \\

\end{align}</math>

Ergibt sich die gängige Darstellung

<math>\begin{align}

& \Psi (\bar{r})=\frac{1}{{{\left( 2\pi \hbar \right)}^{\tfrac{3}{2}}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}p\tilde{\Psi }(\bar{p}){{e}^{\frac{i}{\hbar }\bar{p}\bar{r}}}} \\

& \tilde{\Psi }(\bar{p})=\frac{1}{{{\left( 2\pi \hbar \right)}^{\tfrac{3}{2}}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\Psi (\bar{r}){{e}^{-\frac{i}{\hbar }\bar{p}\bar{r}}}} \\

\end{align}</math>

Dies ist die umkehrbare und Eindeutige Darstellung der Wellenfunktion in Orts- und Impulsdarstellung (Eindeutigkeit nach dem Sampling- Theorem).

Da die Natur der Dinge diese Transformation beinhaltet sind keine Informationen unter einem gewissen Produkt aus Ort und Impuls in der Wellenfunktion enthalten. ( Sampling- Theorem) Da die Wellenfunktion aber per Definition das System vollständig beschreiben soll, kann in dem System keine Information enthalten sein, die eine größere Genauigkeit als diese der Unschärferelation aufweist.

Also ist die Heisenbergsche Unschärferelation der Ausdruck einer inhärenten Unschärfe, die in der Natur der Dinge liegt, wenn denn der Formalismus der Quantenmechanik und ihre Axiome richtig sind.

<u>'''Wiederholung'''</u>

Angesichts eines informationstheoretischen Zugangs zur Quantenmechanik ist dies eine wichtige Aussage:

Wir haben also als Transformationsvorschrift zwischen kanonisch konjugierten Variablen die Fouriertransformation:

<math>\begin{align}

& \Psi (\bar{r})=\frac{1}{{{\left( 2\pi \hbar \right)}^{\tfrac{3}{2}}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}p\tilde{\Psi }(\bar{p}){{e}^{\frac{i}{\hbar }\bar{p}\bar{r}}}} \\

& \tilde{\Psi }(\bar{p})=\frac{1}{{{\left( 2\pi \hbar \right)}^{\tfrac{3}{2}}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\Psi (\bar{r}){{e}^{-\frac{i}{\hbar }\bar{p}\bar{r}}}} \\

\end{align}</math>

Als minimale Einheit der Wirkung ( gemäß Hamiltonschem Prinzip) gewinnen wir:

<math>\Delta x\Delta p=\frac{1}{2}\hbar </math> ( im eindimensionalen Fall)

also für unser Informationsminimum:

<math>\Delta x\Delta k=\frac{1}{2}</math>

Dies folgt unmittelbar aus der Fouriertransformation als Trafo- Vorschrift ! ( Sampling- Theorem)

Die Wellenfunktion kann unter dieser Quantisierung keine Information beinhalten !

Aber: Die Wellenfunktion beschriebt das System vollständig ( Axiom der Quantenmechanik !)

Somit existiert in der Natur keine Information unter

<math>\Delta x\Delta p<\frac{1}{2}\hbar </math>

'''Geometrische Analogie '''der Transformation zwischen Orts- und Impulsdarstellung:

Sei <math>V={{R}^{n}}</math>ein n- dimensionaler Vektorraum, das heißt, die Metrik sei durch ein euklidisches Skalarprodukt <math>\left\langle {\bar{a}} | {\bar{b}} \right\rangle =\sum\limits_{i=1}^{n}{{}}{{a}_{i}}{{b}_{i}}</math>erklärt.

Seien <math>\left\{ {{{\bar{e}}}_{1}},{{{\bar{e}}}_{2}},...,{{{\bar{e}}}_{n}} \right\}</math>, <math>\left\{ {{{\bar{e}}}_{1}}\acute{\ },{{{\bar{e}}}_{2}}\acute{\ },...,{{{\bar{e}}}_{n}}\acute{\ } \right\}</math>und <math>\left\{ {{{\tilde{\bar{e}}}}_{1}},{{{\tilde{\bar{e}}}}_{2}},...,{{{\tilde{\bar{e}}}}_{n}} \right\}</math>drei beliebige Basen des <math>{{R}^{n}}</math>.

Ein Vektor kann natürlich bezüglich der einen oder der anderen Basis dargestellt werden:

<math>\bar{a}=\sum\limits_{j=1}^{n}{{}}{{a}_{j}}{{\bar{e}}_{j}}=\sum\limits_{j=1}^{n}{{}}{{a}_{j}}\acute{\ }{{\bar{e}}_{j}}\acute{\ }=\sum\limits_{j=1}^{n}{{}}{{\tilde{a}}_{j}}{{\tilde{\bar{e}}}_{j}}</math>

Die Basen sollen die folgenden Eigenschaften haben:

Orthonormalität: <math>\left\langle {{{\bar{e}}}_{i}} | {{{\bar{e}}}_{j}} \right\rangle =\left\langle {{{\bar{e}}}_{i}}\acute{\ } | {{{\bar{e}}}_{j}}\acute{\ } \right\rangle ={{\delta }_{ij}}</math>

Die Projektion auf die Basisvektoren erfolgt durch die Bildung des Skalarproduktes:

<math>\begin{align}

& \left\langle {{{\bar{e}}}_{i}} | {\bar{a}} \right\rangle ={{a}_{i}}=\sum\limits_{j}{{}}{{a}_{j}}\left\langle {{{\bar{e}}}_{i}} | {{{\bar{e}}}_{j}} \right\rangle =\sum\limits_{j}{{{a}_{j}}}{{\delta }_{ij}} \\

& \left\langle {{{\bar{e}}}_{i}}\acute{\ } | {\bar{a}} \right\rangle ={{a}_{i}}\acute{\ }=\sum\limits_{j}{{}}{{a}_{j}}\acute{\ }\left\langle {{{\bar{e}}}_{i}}\acute{\ } | {{{\bar{e}}}_{j}}\acute{\ } \right\rangle =\sum\limits_{j}{{{a}_{j}}\acute{\ }}{{\delta }_{ij}} \\

\end{align}</math>

Natürlich kann jeder Vektor in einer beliebigen Basis formal entwickelt werden. Die Entwicklungskoeffizienten sind die Projektionen auf die jeweiligen Basisvektoren und natürlich von der Wahl der Basis abhängig :

<math>\begin{align}

& \bar{a}=\sum\limits_{j}{{}}{{a}_{j}}\left| {{{\bar{e}}}_{j}} \right\rangle =\sum\limits_{j}{\left\langle {{{\bar{e}}}_{j}} | {\bar{a}} \right\rangle }\left| {{{\bar{e}}}_{j}} \right\rangle =\sum\limits_{j}{\left| {{{\bar{e}}}_{j}} \right\rangle \left\langle {{{\bar{e}}}_{j}} \right|\left| {\bar{a}} \right\rangle } \\

& \bar{a}=\sum\limits_{j}{{}}{{a}_{j}}\acute{\ }\left| {{{\bar{e}}}_{j}}\acute{\ } \right\rangle =\sum\limits_{j}{\left\langle {{{\bar{e}}}_{j}}\acute{\ } | {\bar{a}} \right\rangle }\left| {{{\bar{e}}}_{j}}\acute{\ } \right\rangle =\sum\limits_{j}{\left| {{{\bar{e}}}_{j}}\acute{\ } \right\rangle \left\langle {{{\bar{e}}}_{j}}\acute{\ } \right|\left| {\bar{a}} \right\rangle } \\

\end{align}</math>

Im Sinne von:

<math>\left\langle {\bar{b}} | {\bar{a}} \right\rangle =\sum\limits_{j}{{{b}_{j}}}{{a}_{j}}=\sum\limits_{j}{{}}\left\langle b | {{{\bar{e}}}_{j}} \right\rangle \left\langle {{{\bar{e}}}_{j}} | a \right\rangle =\sum\limits_{j}{{}}\left\langle b | {{{\bar{e}}}_{j}}\acute{\ } \right\rangle \left\langle {{{\bar{e}}}_{j}}\acute{\ } | a \right\rangle </math>

Formal gilt damit:

<math>\sum\limits_{j=1}^{n}{\left| {{{\bar{e}}}_{j}} \right\rangle \left\langle {{{\bar{e}}}_{j}} \right|=}\sum\limits_{j=1}^{n}{\left| {{{\bar{e}}}_{j}}\acute{\ } \right\rangle \left\langle {{{\bar{e}}}_{j}}\acute{\ } \right|}</math>
Dies ist die VOLLSTÄNDIGKEITSRELATION: Die Basis- Vektoren spannen den n- dimensionalen <math>{{R}^{n}}</math>auf.
Übertragung auf Orts- und Impulsdarstellung''' quantentheoretischer Zustände:'''
Der Zustandsvektor im Hilbertraum benötigt zur vollständigen Beschreibung einen 2n- dimensionalen Hilbertraum bei n Freiheitsgraden. In Orts- und Impulsdarstellung wird jedoch nur die jeweilige Komponente, ergo die Projektion der gesamten Wellenfunktion auf den Ortsanteil oder die Projektion der gesamten Wellenfunktion auf den Impulsanteil dargestellt.
Dies ist vergleichbar mit einem System aus orthogonalen Achsen, wobei man die Projektion einer Funktion in diesem Raum auf eine bestimmte Anzahl von Achsen, beispielsweise auf die Anzahl Achsen, die die Bezeichnung <math>{{r}_{i}}</math> tragen, betrachtet ( Ortsdarstellung).
Die Anteile sind jedoch natürlich nicht voneinander unabhängig, sondern sie gehen durch die Fouriertrafo ineinander über !
Es macht ebenso Sinn, <math>\Psi (\bar{r})</math>und <math>\tilde{\Psi }(\bar{p})</math>als Projektionen eines abstrakten Zustandsvektors im Hilbertraum H auf die <math>\bar{r}</math>bzw. <math>\bar{p}</math>- Basis = Darstellung zu betrachten:
<math>\begin{align}
& \Psi (\bar{r}):=\left\langle {\bar{r}} | \Psi \right\rangle \\
& \Psi (\bar{p}):=\left\langle {\bar{p}} | \Psi \right\rangle \\
\end{align}</math>mit <math>\Psi \in H</math>als Zustandsvektor.
====Axiome des Hilbertraums H:====
# <u>H ist ein komplexer Vektorraum:</u>
#* Assoziativität: <math>\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle +\left( \left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle +\left| {{\Psi }_{3}} \right\rangle \right)=\left( \left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle +\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle \right)+\left| {{\Psi }_{3}} \right\rangle </math>
#* Nullelement: <math>\exists \left| 0 \right\rangle \in H:\left| 0 \right\rangle +\left| \Psi \right\rangle =\left| \Psi \right\rangle =\left| \Psi \right\rangle +\left| 0 \right\rangle \forall \left| \Psi \right\rangle \in H</math>
#* Inverses: <math>\forall \left| \Psi \right\rangle \exists \left| -\Psi \right\rangle :\left| \Psi \right\rangle +\left| -\Psi \right\rangle =\left| 0 \right\rangle </math>
#* Kommutativität: <math>\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle +\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle =\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle +\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle </math>
Dadurch werden die Elemente aus H zu einer kommutativen Gruppe
Weiter gilt: Distributivgesetz:
<math>\alpha \left( \left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle +\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle \right)=\alpha \left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle +\alpha \left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle \forall \alpha \in C</math>
<math>\left( \alpha +\beta \right)\left| \Psi \right\rangle =\alpha \left| \Psi \right\rangle +\beta \left| \Psi \right\rangle </math>

Das Assoziativgesetz und weitere Rechenregel bei Multiplikation mit 1 und Null aus den komplexen Zahlen:
<math>\begin{align}
& \left( \alpha \right)\left( \beta \left| \Psi \right\rangle \right)=\left( \alpha \beta \right)\left| \Psi \right\rangle \\
& 1\cdot \left| \Psi \right\rangle =\left| \Psi \right\rangle \\
& 0\cdot \left| \Psi \right\rangle =\left| 0 \right\rangle \\
\end{align}</math>

2) H hat ein Skalarprodukt: <math>\left\langle {} | {} \right\rangle :H\times H\to C</math>mit:
<math>\begin{align}
& \left\langle \Psi | \Psi \right\rangle \ge 0:\left\langle \Psi | \Psi \right\rangle =0\to \left| \Psi \right\rangle =\left| 0 \right\rangle \\
& \left\langle \Psi | {{\Psi }_{1}}+{{\Psi }_{2}} \right\rangle =\left\langle \Psi | {{\Psi }_{1}} \right\rangle +\left\langle \Psi | {{\Psi }_{2}} \right\rangle \\
& \left\langle {{\Psi }_{1}} | \alpha {{\Psi }_{2}} \right\rangle =\alpha \left\langle {{\Psi }_{1}} | {{\Psi }_{2}} \right\rangle \\
& \left\langle {{\Psi }_{1}} | {{\Psi }_{2}} \right\rangle =\left\langle {{\Psi }_{2}} | {{\Psi }_{1}} \right\rangle * \\
\end{align}</math>

Damit bereits kann gezeigt werden: <math>\left\langle \alpha {{\Psi }_{1}} | {{\Psi }_{2}} \right\rangle =\alpha *\left\langle {{\Psi }_{1}} | {{\Psi }_{2}} \right\rangle </math>
Das Skalarprdukt induziert eine Norm: <math>\left\| {} \right\|:H\to R</math>
<math>\begin{align}
& \left\| \Psi \right\|\ge 0:\left\| \Psi \right\|=0\to \left| \Psi \right\rangle =\left| 0 \right\rangle \\
& \left\| \alpha \Psi \right\|=\left| \alpha \right|\left\| \Psi \right\| \\
& \left\| {{\Psi }_{1}}+{{\Psi }_{2}} \right\|\le \left\| {{\Psi }_{1}} \right\|+\left\| {{\Psi }_{2}} \right\| \\
\end{align}</math>
Dabei ist letzteres, die Dreiecksungleichung, bedingt durch die Definition:
<math>\left\| \Psi \right\|=\sqrt{\left\langle \Psi | \Psi \right\rangle }</math>
3) <math>H</math>ist vollständig. Das heißt: Jede konvergente Folge <math>{{\left\{ {{\Psi }_{n}} \right\}}_{n\in N}}</math>konvergiert gegen ein <math>\left| \Psi \right\rangle \in H</math>
Also: konvergente Folge von Eigenzuständen: Cauchy- Kriterium: <math>\begin{matrix}
\lim \\
n\to \infty \\
\end{matrix}\left\| {{\Psi }_{n+1}}-{{\Psi }_{n}} \right\|=0</math>

Bemerkungen

1) Die Norm verallgemeinert den Abstandsbegriff auf abstrakte Räume. Das Skalarprodukt verallgemeinert den Winkelbegriff auf abstrakte Räume:
<math>\left\langle {{\Psi }_{1}} | {{\Psi }_{2}} \right\rangle ,\left\| {{\Psi }_{1}} \right\|>0\left\| {{\Psi }_{2}} \right\|>0\quad \Rightarrow </math>Die beiden Zustände <math>\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle und\left\langle {{\Psi }_{1}} \right|</math>sind orthogonal.

2) Für <math>\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle ,\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle \in H</math>gilt: <math>\left| \left\langle {{\Psi }_{1}} | {{\Psi }_{2}} \right\rangle \right|\le \left\| {{\Psi }_{1}} \right\|\cdot \left\| {{\Psi }_{2}} \right\|</math> ( Schwarzsche Ungleichung)
3) Äquivalent sind <math>\left\langle {{\Psi }_{1}} | {{\Psi }_{2}} \right\rangle </math>und <math>\left( {{\Psi }_{1}},{{\Psi }_{2}} \right)</math>
4) Zu unterscheiden sind:
<math>\left| \Psi \right\rangle </math>= Ket- Vektor ( nach Dirac ->Dirac- Schreibweise)
<math>\left\langle \Psi \right|</math>=Bra- Vektor

Zusammen ( Skalarprodukt): Bra-c-ket

Dabei bilden die <math>\left\{ \left\langle \Psi \right| \right\}</math>den zu <math>\left\{ \left| \Psi \right\rangle \right\}</math>dualen Hilbertraum <math>H*:</math>
<math>\left| \Psi \right\rangle ={{\lambda }_{1}}\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle +{{\lambda }_{2}}\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle </math>, <math>\left| \Psi \right\rangle ={{\lambda }_{1}},{{\lambda }_{2}}\in C</math>
impliziert mit beliebigem <math>\left\langle \Phi \right|</math>:
<math>\begin{align}
& \left\langle \Phi | \Psi \right\rangle ={{\lambda }_{1}}\left\langle \Phi | {{\Psi }_{1}} \right\rangle +{{\lambda }_{2}}\left\langle \Phi | {{\Psi }_{2}} \right\rangle \\
& \Rightarrow \left\langle \Phi | \Psi \right\rangle *={{\lambda }_{1}}*\left\langle \Phi | {{\Psi }_{1}} \right\rangle *+{{\lambda }_{2}}*\left\langle \Phi | {{\Psi }_{2}} \right\rangle * \\
& \Rightarrow \left\langle \Psi | \Phi \right\rangle ={{\lambda }_{1}}*\left\langle {{\Psi }_{1}} | \Phi \right\rangle +{{\lambda }_{2}}*\left\langle {{\Psi }_{2}} | \Phi \right\rangle \\
& \Rightarrow \left\langle \Psi \right|={{\lambda }_{1}}*\left\langle {{\Psi }_{1}} \right|+{{\lambda }_{2}}*\left\langle {{\Psi }_{2}} \right| \\
\end{align}</math>
Aber: <math>H</math>ist der zu <math>H*</math>duale Vektorraum, <math>H*</math>ist isomorph zu <math>H</math>

5) <math>H</math>heißt separabel, falls er eine überall dichte, abzählbare Teilmenge <math>D</math>besitzt
Das heißt: <math>\forall \left| \Psi \right\rangle \in H\quad \exists {{\left\{ {{\Psi }_{n}} \right\}}_{n}}\subset D</math>
Dies ist äquivalent dazu, dass ein Hilbertraum H separabel heißt, wenn er eine abzählbare Hilbert- Basis besitzt, es also ein abzählbares, vollständig orthonormiertes System in H gibt. Eine Isometrie <math>\Phi </math>zwischen Hilberträumen H und K ist eine stetige, bijektive, lineare Abbildung <math>\Phi :H\to K</math>so dass <math>{{\left\| \Phi (x) \right\|}_{K}}={{\left\| x \right\|}_{H}}</math>für alle <math>x\in H</math>.
Anwendung auf die Ortsdarstellung
<math>\begin{align}
& \Psi (\bar{r})=\left\langle {\bar{r}} | \Psi \right\rangle =\frac{1}{{{\left( 2\pi \hbar \right)}^{\tfrac{3}{2}}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}p\tilde{\Psi }(\bar{p}){{e}^{\frac{i}{\hbar }\bar{p}\bar{r}}}}=\frac{1}{{{\left( 2\pi \hbar \right)}^{\tfrac{3}{2}}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}p{{e}^{\frac{i}{\hbar }\bar{p}\bar{r}}}}\left\langle {\bar{p}} | \Psi \right\rangle \\
& \tilde{\Psi }(\bar{p})=\left\langle {\bar{p}} | \Psi \right\rangle =\frac{1}{{{\left( 2\pi \hbar \right)}^{\tfrac{3}{2}}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\Psi (\bar{r}){{e}^{-\frac{i}{\hbar }\bar{p}\bar{r}}}}=\frac{1}{{{\left( 2\pi \hbar \right)}^{\tfrac{3}{2}}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r{{e}^{-\frac{i}{\hbar }\bar{p}\bar{r}}}}\left\langle {\bar{r}} | \Psi \right\rangle \\
\end{align}</math>
ist in der Ortsdarstellung eine Eigenfunktion ( Wohlgemerkt, eine Funktion!) zum Impuls, also die Ortsdarstellung des Impulszustandes Impuls- Eigenzustandes<math>\left| {\bar{p}} \right\rangle </math>). Der Zustand, der den Impuls repräsentiert und durch Anwendung des Impulsoperators den Impuls liefert.
Denn:
<math>\frac{\hbar }{i}\nabla {{e}^{\frac{i}{\hbar }\bar{p}\bar{r}}}=\bar{p}{{e}^{\frac{i}{\hbar }\bar{p}\bar{r}}}</math>
In Algebraischer Schreibweise bedeutet dies ( inklusive Normierung):

Impulseigenfunktion in Ortsdarstellung
<math>\left\langle {\bar{p}} | {\bar{r}} \right\rangle \tilde{\ }{{e}^{-\frac{i}{\hbar }\bar{p}\bar{r}}}</math>
Ortseigenfunktion in Impulsdarstellung
( Diese beiden gehen durch komplexe Konjugation ineinander über !)
Damit folgt:
<math>\begin{align}
& \Psi (\bar{r})=\left\langle {\bar{r}} | \Psi \right\rangle =\frac{1}{{{\left( 2\pi \hbar \right)}^{\tfrac{3}{2}}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}p{{e}^{\frac{i}{\hbar }\bar{p}\bar{r}}}}\left\langle {\bar{p}} | \Psi \right\rangle =\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}p\left\langle {\bar{r}} | {\bar{p}} \right\rangle }\left\langle {\bar{p}} | \Psi \right\rangle \\
& \tilde{\Psi }(\bar{p})=\left\langle {\bar{p}} | \Psi \right\rangle =\frac{1}{{{\left( 2\pi \hbar \right)}^{\tfrac{3}{2}}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r{{e}^{-\frac{i}{\hbar }\bar{p}\bar{r}}}}\left\langle {\bar{r}} | \Psi \right\rangle =\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\left\langle {\bar{r}} | {\bar{p}} \right\rangle *}\left\langle {\bar{r}} | \Psi \right\rangle =\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\left\langle {\bar{p}} | {\bar{r}} \right\rangle }\left\langle {\bar{r}} | \Psi \right\rangle \\

\end{align}</math>
Da <math>\bar{r}</math>und <math>\bar{p}</math>vollständige Darstellungen sind, folgt:
<math>\left| \Psi \right\rangle =\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}p\left| {\bar{p}} \right\rangle }\left\langle {\bar{p}} | \Psi \right\rangle =\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\left| {\bar{r}} \right\rangle }\left\langle {\bar{r}} | \Psi \right\rangle </math>
analog zur Entwicklung des Vektors <math>\left| {\bar{a}} \right\rangle \in {{R}^{n}}</math>nach Basisvektoren ( in seinen Koordinaten, mit seinen Koordinaten als Entwicklungskoeffizienten).
<math>\bar{a}=\sum\limits_{j}{{}}{{a}_{j}}\left| {{{\bar{e}}}_{j}} \right\rangle =\sum\limits_{j}{\left| {{{\bar{e}}}_{j}} \right\rangle \left\langle {{{\bar{e}}}_{j}} \right|\left| {\bar{a}} \right\rangle =\sum\limits_{j}{{}}{{a}_{j}}\acute{\ }\left| {{{\bar{e}}}_{j}}\acute{\ } \right\rangle }=\sum\limits_{j}{\left| {{{\bar{e}}}_{j}}\acute{\ } \right\rangle \left\langle {{{\bar{e}}}_{j}}\acute{\ } \right|\left| {\bar{a}} \right\rangle }</math>
Somit folgt jedoch:
<math>\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}p\left| {\bar{p}} \right\rangle \left\langle {\bar{p}} \right|}=\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\left| {\bar{r}} \right\rangle }\left\langle {\bar{r}} \right|=1</math> als Vollständigkeits- Relation. Nebenbemerkung: Der Hilbertraum der Zustände hat unendliche Dimension.
Als Grenzwert definiert man den Dirac- Vektor, als Grenzwert einer diskreten Basis:
<math>\begin{align}
& \left| {\bar{p}} \right\rangle \notin H \\
& \left| {\bar{p}} \right\rangle :=\begin{matrix}
\lim \\
\Delta p\to 0 \\
\end{matrix}\left| \bar{p},\Delta \bar{p} \right\rangle \\
\end{align}</math>
Eigenschaften der Funktionen, die H aufspannen:
=====Dual:=====
<math>\left\langle \Psi \right|=\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}p\left\langle \Psi | {\bar{p}} \right\rangle }\left\langle {\bar{p}} \right|=\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\left\langle \Psi | {\bar{r}} \right\rangle }\left\langle {\bar{r}} \right|</math>
Man spricht auch vom " Einschieben einer 1 !".
<math>\left\langle \Psi | {\bar{r}} \right\rangle =\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}p\left\langle \Psi | {\bar{p}} \right\rangle }\left\langle {\bar{p}} | {\bar{r}} \right\rangle =\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}p}\tilde{\Psi }(\bar{p})*{{\left( 2\pi \hbar \right)}^{-\tfrac{3}{2}}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }\bar{p}\bar{r}}}=\left\langle {\bar{r}} | \Psi \right\rangle *=\Psi (\bar{r})*</math>
=====Skalarprodukt:=====
<math>\left\langle {{\Psi }_{1}} | {{\Psi }_{2}} \right\rangle =\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\left\langle {{\Psi }_{1}} | {\bar{r}} \right\rangle }\left\langle {\bar{r}} | {{\Psi }_{2}} \right\rangle =\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r}{{\Psi }_{1}}(\bar{r})*{{\Psi }_{2}}(\bar{r})=\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}p}{{\tilde{\Psi }}_{1}}(\bar{p})*{{\tilde{\Psi }}_{2}}(\bar{p})</math>
=====Norm:=====
<math>\left\| \Psi \right\|={{\left[ \int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\left\langle \Psi | {\bar{r}} \right\rangle }\left\langle {\bar{r}} | \Psi \right\rangle \right]}^{\frac{1}{2}}}={{\left[ \int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r{{\left| \Psi (\bar{r}) \right|}^{2}}} \right]}^{\frac{1}{2}}}</math>
Alle Funktionen im Hilbertraum müssen also insbesondere quadratintegrabel sein.
Somit folgt:
<math>H=L{}^\text{2}({{R}^{3}})=\left\{ \Psi :{{R}^{3}}\to C\left| {} \right.\left[ \int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r{{\left| \Psi (\bar{r}) \right|}^{2}}<\infty } \right] \right\}</math>
Nebenbemerkung:
Die Linearität des Vektorraumes garantiert das Superpositionsprinzip für Wellenfunktionen!

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Line 3:		Line 3:
	:<math>\Psi (\bar{r})</math> sei ein Vektor im Hilbertraum als Wellenfunktion.		:<math>\Psi (\bar{r})</math> sei ein Vektor im Hilbertraum als Wellenfunktion.

	Dabei wird zunächst noch keine Aussage über stationäre oder zeitabhängige Vektoren gemacht. Noch ist t einfach als Argument unterdrückt. ( Zeitlosigkeit)		Dabei wird zunächst noch keine Aussage über stationäre oder zeitabhängige Vektoren gemacht. Noch ist t einfach als Argument unterdrückt. (Zeitlosigkeit)

	'''Fourier- Trafo der Impulsdarstellung liefert '''<math>\Psi (\bar{r})</math>:		'''Fourier- Trafo der Impulsdarstellung liefert '''<math>\Psi (\bar{r})</math>:
Line 57:		Line 57:
	Dies ist die umkehrbare und Eindeutige Darstellung der Wellenfunktion in Orts- und Impulsdarstellung (Eindeutigkeit nach dem Sampling- Theorem).		Dies ist die umkehrbare und Eindeutige Darstellung der Wellenfunktion in Orts- und Impulsdarstellung (Eindeutigkeit nach dem Sampling- Theorem).

	Da die Natur der Dinge diese Transformation beinhaltet sind keine Informationen unter einem gewissen Produkt aus Ort und Impuls in der Wellenfunktion enthalten. ( Sampling- Theorem) Da die Wellenfunktion aber per Definition das System vollständig beschreiben soll, kann in dem System keine Information enthalten sein, die eine größere Genauigkeit als diese der Unschärferelation aufweist.		Da die Natur der Dinge diese Transformation beinhaltet sind keine Informationen unter einem gewissen Produkt aus Ort und Impuls in der Wellenfunktion enthalten. (Sampling- Theorem) Da die Wellenfunktion aber per Definition das System vollständig beschreiben soll, kann in dem System keine Information enthalten sein, die eine größere Genauigkeit als diese der Unschärferelation aufweist.

	Also ist die Heisenbergsche Unschärferelation der Ausdruck einer inhärenten Unschärfe, die in der Natur der Dinge liegt, wenn denn der Formalismus der Quantenmechanik und ihre Axiome richtig sind.		Also ist die Heisenbergsche Unschärferelation der Ausdruck einer inhärenten Unschärfe, die in der Natur der Dinge liegt, wenn denn der Formalismus der Quantenmechanik und ihre Axiome richtig sind.
Line 75:		Line 75:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Als minimale Einheit der Wirkung ( gemäß Hamiltonschem Prinzip) gewinnen wir:		Als minimale Einheit der Wirkung (gemäß Hamiltonschem Prinzip) gewinnen wir:

	:<math>\Delta x\Delta p=\frac{1}{2}\hbar </math> ( im eindimensionalen Fall)		:<math>\Delta x\Delta p=\frac{1}{2}\hbar </math> (im eindimensionalen Fall)

	also für unser Informationsminimum:		also für unser Informationsminimum:
Line 83:		Line 83:
	:<math>\Delta x\Delta k=\frac{1}{2}</math>		:<math>\Delta x\Delta k=\frac{1}{2}</math>

	Dies folgt unmittelbar aus der Fouriertransformation als Trafo- Vorschrift ! ( Sampling- Theorem)		Dies folgt unmittelbar aus der Fouriertransformation als Trafo- Vorschrift! (Sampling- Theorem)

	Die Wellenfunktion kann unter dieser Quantisierung keine Information beinhalten !		Die Wellenfunktion kann unter dieser Quantisierung keine Information beinhalten!

	Aber: Die Wellenfunktion beschriebt das System vollständig ( Axiom der Quantenmechanik !)		Aber: Die Wellenfunktion beschriebt das System vollständig (Axiom der Quantenmechanik!)

	Somit existiert in der Natur keine Information unter		Somit existiert in der Natur keine Information unter
Line 137:		Line 137:
	Übertragung auf Orts- und Impulsdarstellung''' quantentheoretischer Zustände:'''		Übertragung auf Orts- und Impulsdarstellung''' quantentheoretischer Zustände:'''
	Der Zustandsvektor im Hilbertraum benötigt zur vollständigen Beschreibung einen 2n- dimensionalen Hilbertraum bei n Freiheitsgraden. In Orts- und Impulsdarstellung wird jedoch nur die jeweilige Komponente, ergo die Projektion der gesamten Wellenfunktion auf den Ortsanteil oder die Projektion der gesamten Wellenfunktion auf den Impulsanteil dargestellt.		Der Zustandsvektor im Hilbertraum benötigt zur vollständigen Beschreibung einen 2n- dimensionalen Hilbertraum bei n Freiheitsgraden. In Orts- und Impulsdarstellung wird jedoch nur die jeweilige Komponente, ergo die Projektion der gesamten Wellenfunktion auf den Ortsanteil oder die Projektion der gesamten Wellenfunktion auf den Impulsanteil dargestellt.
	Dies ist vergleichbar mit einem System aus orthogonalen Achsen, wobei man die Projektion einer Funktion in diesem Raum auf eine bestimmte Anzahl von Achsen, beispielsweise auf die Anzahl Achsen, die die Bezeichnung <math>{{r}_{i}}</math> tragen, betrachtet ( Ortsdarstellung).		Dies ist vergleichbar mit einem System aus orthogonalen Achsen, wobei man die Projektion einer Funktion in diesem Raum auf eine bestimmte Anzahl von Achsen, beispielsweise auf die Anzahl Achsen, die die Bezeichnung <math>{{r}_{i}}</math> tragen, betrachtet (Ortsdarstellung).
	Die Anteile sind jedoch natürlich nicht voneinander unabhängig, sondern sie gehen durch die Fouriertrafo ineinander über !		Die Anteile sind jedoch natürlich nicht voneinander unabhängig, sondern sie gehen durch die Fouriertrafo ineinander über!
	Es macht ebenso Sinn, <math>\Psi (\bar{r})</math>und <math>\tilde{\Psi }(\bar{p})</math>als Projektionen eines abstrakten Zustandsvektors im Hilbertraum H auf die <math>\bar{r}</math>bzw. <math>\bar{p}</math>- Basis = Darstellung zu betrachten:		Es macht ebenso Sinn, <math>\Psi (\bar{r})</math>und <math>\tilde{\Psi }(\bar{p})</math>als Projektionen eines abstrakten Zustandsvektors im Hilbertraum H auf die <math>\bar{r}</math>bzw. <math>\bar{p}</math>- Basis = Darstellung zu betrachten:
	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
Line 190:		Line 190:
	:<math>\left\langle {{\Psi }_{1}} \| {{\Psi }_{2}} \right\rangle ,\left\\| {{\Psi }_{1}} \right\\|>0\left\\| {{\Psi }_{2}} \right\\|>0\quad \Rightarrow </math>Die beiden Zustände <math>\left\| {{\Psi }_{2}} \right\rangle und\left\langle {{\Psi }_{1}} \right\|</math>sind orthogonal.		:<math>\left\langle {{\Psi }_{1}} \| {{\Psi }_{2}} \right\rangle ,\left\\| {{\Psi }_{1}} \right\\|>0\left\\| {{\Psi }_{2}} \right\\|>0\quad \Rightarrow </math>Die beiden Zustände <math>\left\| {{\Psi }_{2}} \right\rangle und\left\langle {{\Psi }_{1}} \right\|</math>sind orthogonal.

	2) Für <math>\left\| {{\Psi }_{1}} \right\rangle ,\left\| {{\Psi }_{2}} \right\rangle \in H</math>gilt: <math>\left\| \left\langle {{\Psi }_{1}} \| {{\Psi }_{2}} \right\rangle \right\|\le \left\\| {{\Psi }_{1}} \right\\|\cdot \left\\| {{\Psi }_{2}} \right\\|</math> ( Schwarzsche Ungleichung)		2) Für <math>\left\| {{\Psi }_{1}} \right\rangle ,\left\| {{\Psi }_{2}} \right\rangle \in H</math>gilt: <math>\left\| \left\langle {{\Psi }_{1}} \| {{\Psi }_{2}} \right\rangle \right\|\le \left\\| {{\Psi }_{1}} \right\\|\cdot \left\\| {{\Psi }_{2}} \right\\|</math> (Schwarzsche Ungleichung)
	3) Äquivalent sind <math>\left\langle {{\Psi }_{1}} \| {{\Psi }_{2}} \right\rangle </math>und <math>\left( {{\Psi }_{1}},{{\Psi }_{2}} \right)</math>		3) Äquivalent sind <math>\left\langle {{\Psi }_{1}} \| {{\Psi }_{2}} \right\rangle </math>und <math>\left( {{\Psi }_{1}},{{\Psi }_{2}} \right)</math>
	4) Zu unterscheiden sind:		4) Zu unterscheiden sind:
	:<math>\left\| \Psi \right\rangle </math>= Ket- Vektor ( nach Dirac →Dirac- Schreibweise)		:<math>\left\| \Psi \right\rangle </math>= Ket- Vektor (nach Dirac →Dirac- Schreibweise)
	:<math>\left\langle \Psi \right\|</math>=Bra- Vektor		:<math>\left\langle \Psi \right\|</math>=Bra- Vektor

	Zusammen ( Skalarprodukt): Bra-c-ket		Zusammen (Skalarprodukt): Bra-c-ket

	Dabei bilden die <math>\left\{ \left\langle \Psi \right\| \right\}</math>den zu <math>\left\{ \left\| \Psi \right\rangle \right\}</math>dualen Hilbertraum <math>H*:</math>		Dabei bilden die <math>\left\{ \left\langle \Psi \right\| \right\}</math>den zu <math>\left\{ \left\| \Psi \right\rangle \right\}</math>dualen Hilbertraum <math>H*:</math>
Line 217:		Line 217:
	& \tilde{\Psi }(\bar{p})=\left\langle {\bar{p}} \| \Psi \right\rangle =\frac{1}{{{\left( 2\pi \hbar \right)}^{\tfrac{3}{2}}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\Psi (\bar{r}){{e}^{-\frac{i}{\hbar }\bar{p}\bar{r}}}}=\frac{1}{{{\left( 2\pi \hbar \right)}^{\tfrac{3}{2}}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r{{e}^{-\frac{i}{\hbar }\bar{p}\bar{r}}}}\left\langle {\bar{r}} \| \Psi \right\rangle \\		& \tilde{\Psi }(\bar{p})=\left\langle {\bar{p}} \| \Psi \right\rangle =\frac{1}{{{\left( 2\pi \hbar \right)}^{\tfrac{3}{2}}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\Psi (\bar{r}){{e}^{-\frac{i}{\hbar }\bar{p}\bar{r}}}}=\frac{1}{{{\left( 2\pi \hbar \right)}^{\tfrac{3}{2}}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r{{e}^{-\frac{i}{\hbar }\bar{p}\bar{r}}}}\left\langle {\bar{r}} \| \Psi \right\rangle \\
	\end{align}</math>		\end{align}</math>
	ist in der Ortsdarstellung eine Eigenfunktion ( Wohlgemerkt, eine Funktion!) zum Impuls, also die Ortsdarstellung des Impulszustandes Impuls- Eigenzustandes<math>\left\| {\bar{p}} \right\rangle </math>). Der Zustand, der den Impuls repräsentiert und durch Anwendung des Impulsoperators den Impuls liefert.		ist in der Ortsdarstellung eine Eigenfunktion (Wohlgemerkt, eine Funktion!) zum Impuls, also die Ortsdarstellung des Impulszustandes Impuls- Eigenzustandes<math>\left\| {\bar{p}} \right\rangle </math>). Der Zustand, der den Impuls repräsentiert und durch Anwendung des Impulsoperators den Impuls liefert.
	Denn:		Denn:
	:<math>\frac{\hbar }{i}\nabla {{e}^{\frac{i}{\hbar }\bar{p}\bar{r}}}=\bar{p}{{e}^{\frac{i}{\hbar }\bar{p}\bar{r}}}</math>		:<math>\frac{\hbar }{i}\nabla {{e}^{\frac{i}{\hbar }\bar{p}\bar{r}}}=\bar{p}{{e}^{\frac{i}{\hbar }\bar{p}\bar{r}}}</math>
	In Algebraischer Schreibweise bedeutet dies ( inklusive Normierung):		In Algebraischer Schreibweise bedeutet dies (inklusive Normierung):

	Impulseigenfunktion in Ortsdarstellung		Impulseigenfunktion in Ortsdarstellung
	:<math>\left\langle {\bar{p}} \| {\bar{r}} \right\rangle \tilde{\ }{{e}^{-\frac{i}{\hbar }\bar{p}\bar{r}}}</math>		:<math>\left\langle {\bar{p}} \| {\bar{r}} \right\rangle \tilde{\ }{{e}^{-\frac{i}{\hbar }\bar{p}\bar{r}}}</math>
	Ortseigenfunktion in Impulsdarstellung		Ortseigenfunktion in Impulsdarstellung
	( Diese beiden gehen durch komplexe Konjugation ineinander über !)		(Diese beiden gehen durch komplexe Konjugation ineinander über!)
	Damit folgt:		Damit folgt:
	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
Line 234:		Line 234:
	Da <math>\bar{r}</math>und <math>\bar{p}</math>vollständige Darstellungen sind, folgt:		Da <math>\bar{r}</math>und <math>\bar{p}</math>vollständige Darstellungen sind, folgt:
	:<math>\left\| \Psi \right\rangle =\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}p\left\| {\bar{p}} \right\rangle }\left\langle {\bar{p}} \| \Psi \right\rangle =\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\left\| {\bar{r}} \right\rangle }\left\langle {\bar{r}} \| \Psi \right\rangle </math>		:<math>\left\| \Psi \right\rangle =\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}p\left\| {\bar{p}} \right\rangle }\left\langle {\bar{p}} \| \Psi \right\rangle =\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\left\| {\bar{r}} \right\rangle }\left\langle {\bar{r}} \| \Psi \right\rangle </math>
	analog zur Entwicklung des Vektors <math>\left\| {\bar{a}} \right\rangle \in {{R}^{n}}</math>nach Basisvektoren ( in seinen Koordinaten, mit seinen Koordinaten als Entwicklungskoeffizienten).		analog zur Entwicklung des Vektors <math>\left\| {\bar{a}} \right\rangle \in {{R}^{n}}</math>nach Basisvektoren (in seinen Koordinaten, mit seinen Koordinaten als Entwicklungskoeffizienten).
	:<math>\bar{a}=\sum\limits_{j}{{}}{{a}_{j}}\left\| {{{\bar{e}}}_{j}} \right\rangle =\sum\limits_{j}{\left\| {{{\bar{e}}}_{j}} \right\rangle \left\langle {{{\bar{e}}}_{j}} \| {\bar{a}} \right\rangle =\sum\limits_{j}{{}}{{a}_{j}}\acute{\ }\left\| {{{\bar{e}}}_{j}}\acute{\ } \right\rangle }=\sum\limits_{j}{\left\| {{{\bar{e}}}_{j}}\acute{\ } \right\rangle \left\langle {{{\bar{e}}}_{j}}\acute{\ } \| {\bar{a}} \right\rangle }</math>		:<math>\bar{a}=\sum\limits_{j}{{}}{{a}_{j}}\left\| {{{\bar{e}}}_{j}} \right\rangle =\sum\limits_{j}{\left\| {{{\bar{e}}}_{j}} \right\rangle \left\langle {{{\bar{e}}}_{j}} \| {\bar{a}} \right\rangle =\sum\limits_{j}{{}}{{a}_{j}}\acute{\ }\left\| {{{\bar{e}}}_{j}}\acute{\ } \right\rangle }=\sum\limits_{j}{\left\| {{{\bar{e}}}_{j}}\acute{\ } \right\rangle \left\langle {{{\bar{e}}}_{j}}\acute{\ } \| {\bar{a}} \right\rangle }</math>
	Somit folgt jedoch:		Somit folgt jedoch:
Line 249:		Line 249:
	=====Dual:=====		=====Dual:=====
	:<math>\left\langle \Psi \right\|=\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}p\left\langle \Psi \| {\bar{p}} \right\rangle }\left\langle {\bar{p}} \right\|=\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\left\langle \Psi \| {\bar{r}} \right\rangle }\left\langle {\bar{r}} \right\|</math>		:<math>\left\langle \Psi \right\|=\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}p\left\langle \Psi \| {\bar{p}} \right\rangle }\left\langle {\bar{p}} \right\|=\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\left\langle \Psi \| {\bar{r}} \right\rangle }\left\langle {\bar{r}} \right\|</math>
	Man spricht auch vom " Einschieben einer 1 !".		Man spricht auch vom " Einschieben einer 1!".
	:<math>\left\langle \Psi \| {\bar{r}} \right\rangle =\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}p\left\langle \Psi \| {\bar{p}} \right\rangle }\left\langle {\bar{p}} \| {\bar{r}} \right\rangle =\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}p}\tilde{\Psi }(\bar{p}){{\left( 2\pi \hbar \right)}^{-\tfrac{3}{2}}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }\bar{p}\bar{r}}}=\left\langle {\bar{r}} \| \Psi \right\rangle =\Psi (\bar{r})*</math>		:<math>\left\langle \Psi \| {\bar{r}} \right\rangle =\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}p\left\langle \Psi \| {\bar{p}} \right\rangle }\left\langle {\bar{p}} \| {\bar{r}} \right\rangle =\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}p}\tilde{\Psi }(\bar{p}){{\left( 2\pi \hbar \right)}^{-\tfrac{3}{2}}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }\bar{p}\bar{r}}}=\left\langle {\bar{r}} \| \Psi \right\rangle =\Psi (\bar{r})*</math>
	=====Skalarprodukt:=====		=====Skalarprodukt:=====