Zeitunabhängige Schrödinger- Gleichung und stationäre Zustände - Revision history

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Einrückungen Mathematik

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Schubotz at 13:17, 9 September 2010

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	{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|1\|5}}		<noinclude>{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|1\|5}}</noinclude>
	<math>i\hbar \dot{\Psi }(\bar{r},t)=\hat{H}\Psi </math>ist ( Schrödinger- Bild) eine Schrödingergleichung mit dem zeitunabhängigen Hamiltonoperator <math>\hat{H}</math>		<math>i\hbar \dot{\Psi }(\bar{r},t)=\hat{H}\Psi </math>ist ( Schrödinger- Bild) eine Schrödingergleichung mit dem zeitunabhängigen Hamiltonoperator <math>\hat{H}</math>

Schubotz at 14:50, 24 August 2010

2010-08-24T14:50:04Z

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	~~#WEITERLEITUNG [[Script~~:Kontinuitätsgleichung]]		{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|1\|5}}
			<math>i\hbar \dot{\Psi }(\bar{r},t)=\hat{H}\Psi </math>ist ( Schrödinger- Bild) eine Schrödingergleichung mit dem zeitunabhängigen Hamiltonoperator <math>\hat{H}</math>

			Es ergibt sich ein Anfangs- bzw. Randwertproblem:

			Die Anfangsbedingung <math>\Psi (\bar{r},0)</math>ist gegeben.

			Aus der Normierbarkeit folgt:

			<math>\begin{align}

			& \int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{\left\| \Psi (\bar{r},t) \right\|}^{2}}{{d}^{3}}r<\infty \\
			& \Rightarrow \left\| \Psi (\bar{r},t) \right\|\to 0\quad f\ddot{u}r\quad \left\| {\bar{r}} \right\|\to \infty \\
			\end{align}</math>
			Eine spezielle Lösung findet man über den '''Separationsansatz:'''
			<math>\begin{align}
			& \Psi (\bar{r},t)=\phi (\bar{r})+T(t) \\
			& i\hbar \phi \dot{T}=T\hat{H}\phi \\
			& i\hbar \phi \frac{{\dot{T}}}{T}=\frac{\hat{H}\phi }{\phi } \\
			\end{align}</math>
			da in der letzten Zeile rechts nur Abhängigkeit vom Ort und links nur Abhängigkeit von der Zeit vorliegt, kann diese Übereinstimmung nur gelten, wenn beide Seiten für sich konstant sind. Also:
			<math>i\hbar \phi \frac{{\dot{T}}}{T}=\frac{\hat{H}\phi }{\phi }=E=const.</math>
			Also:
			<math>\begin{align}
			& \dot{T}=-\frac{i}{\hbar }ET \\
			& \hat{H}\phi (\bar{r})=E\phi (\bar{r}) \\
			\end{align}</math>
			Wir finden eine Lösung für den zeitabhängigen Teil:
			<math>{{T}_{E}}(t)=c{{e}^{-\frac{i}{\hbar }Et}}</math>und erhalten gleichzeitig eine zeitunabhängige Schrödingergleichung: <math>\hat{H}\phi (\bar{r})=E\phi (\bar{r})</math>
			Somit haben wir als Eigenwertproblem des Hamilton- Operators:
			<math>\hat{H}\phi (\bar{r})=E\phi (\bar{r})</math>die Energie- Eigenfunktionen <math>{{\phi }_{E}}(\bar{r})</math>und die Energie- Eigenwerte E. Dies sind die möglichen Meßwert der Observablen "Energie".
			Die Energie- Eigenzustände lauten:
			<math>{{\Psi }_{E}}(\bar{r},t)={{e}^{-\frac{i}{\hbar }Et}}{{\phi }_{E}}(\bar{r})</math>
			Diese heißen stationäre Zustände, da die zugehörige Wahrscheinlichkeitsdichte
			<math>{{\left\| {{\Psi }_{E}}(\bar{r},t) \right\|}^{2}}={{\left\| {{\phi }_{E}}(\bar{r}) \right\|}^{2}}</math>zeitunabhängig ist.
			Also: Die Wahrscheinlichkeit bleibt erhalten !! ( wegen Normierbarkeit !)
			'''Nebenbemerkung:'''
			Die Wellenfunktion <math>{{\Psi }_{E}}(\bar{r},t)={{e}^{-\frac{i}{\hbar }Et}}{{\phi }_{E}}(\bar{r})</math>selbst ist natürlich zeitabhängig, da die Materiewelle mit
			<math>\omega =\frac{E}{\hbar }</math>oszilliert. Dies gilt auch mit Potenzial ( mit Potenzial nimmt die Ozsillationsfrequenz sogar zu, da die Energie steigt !)
			Weiterhin sind jedoch alle Erwartungswerte von Observablen ( nicht die Observablen selbst, sondern ihre Erwartungswerte !) innerhalb von Eigenzuständen ( und nur in diesen) zeitunabhängig:
			<math>\left\langle F(\hat{\bar{p}},\hat{\bar{r}}) \right\rangle =\int_{{}}^{{}}{{}}{{\Psi }_{E}}(\bar{r},t)F(\hat{\bar{p}},\hat{\bar{r}}){{\Psi }_{E}}(\bar{r},t){{d}^{3}}r=\int_{{}}^{{}}{{{\phi }_{E}}(\bar{r})}F(\hat{\bar{p}},\hat{\bar{r}}){{\phi }_{E}}(\bar{r})=\int_{{}}^{{}}{{{\phi }_{E}}(\bar{r})*}F(\frac{\hbar }{i}\nabla ,\hat{\bar{r}}){{\phi }_{E}}(\bar{r})</math>
			Insbesondere gilt:
			<math>\begin{align}
			& \frac{d}{dt}\left\langle {\hat{\bar{p}}} \right\rangle =0 \\
			& \frac{d}{dt}\left\langle {\hat{\bar{r}}} \right\rangle =0 \\
			\end{align}</math>
			====Ehrenfest- Theorem====
			Nach dem Ehrenfestschen Theorem ( Siehe III: Statistische Physik)
			gilt mit
			<math>\begin{align}
			& \frac{d}{dt}\left\langle {\hat{\bar{p}}} \right\rangle =0 \\
			& \frac{d}{dt}\left\langle {\hat{\bar{r}}} \right\rangle =0 \\
			\end{align}</math>
			auch
			<math>\begin{align}
			& \left\langle {\hat{\bar{p}}} \right\rangle =m\frac{d}{dt}\left\langle {\hat{\bar{r}}} \right\rangle =0 \\
			& \left\langle \nabla V \right\rangle =-\frac{d}{dt}\left\langle {\hat{\bar{p}}} \right\rangle =0 \\
			\end{align}</math>
			<u>'''Bemerkungen'''</u>
			1. Die Energie- Eigenwerte E des Hamilton- Operators <math>\hat{H}=\frac{1}{2m}{{\left( \frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A}(\hat{\bar{r}},t) \right)}^{2}}+V</math> sind reell.
			Beweis:
			Nach § 1.4 gilt:
			<math>\left\{ \Psi \hat{H}\Psi -\left( \hat{H}\Psi \right)\Psi \right\}=-i\hbar \nabla \cdot \bar{j}</math>
			<math>\int\limits_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}\left\{ \Psi \hat{H}\Psi -\left( \hat{H}\Psi \right)\Psi \right\}{{d}^{3}}r=-i\hbar \int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}\nabla \cdot \bar{j}{{d}^{3}}r=-i\hbar \int_{\partial {{R}^{3}}}^{{}}{{}}\bar{j}\cdot d\bar{f}</math>
			Der Rand des R³ liegt jedoch im Unendlichen. Aus Gründen der Normierbarkeit muss der Strom dort jedoch verschwinden.
			Also gilt:
			<math>\int\limits_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}\left\{ \Psi \hat{H}\Psi -\left( \hat{H}\Psi \right)\Psi \right\}{{d}^{3}}r=-i\hbar \int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}\nabla \cdot \bar{j}{{d}^{3}}r=-i\hbar \int_{\partial {{R}^{3}}}^{{}}{{}}\bar{j}\cdot d\bar{f}=0</math>
			Andererseits aber gilt:
			<math>\int\limits_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}\Psi *\hat{H}\Psi {{d}^{3}}r=E</math>
			<math>\int\limits_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}\left( \hat{H}\Psi \right)\Psi {{d}^{3}}r=\int\limits_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}\left( E\Psi \right)\Psi {{d}^{3}}r=E*</math>
			Also folgt:
			<math>E=E*</math>
			Für ein komplexes E mit
			<math>E={{E}_{1}}+i{{E}_{2}}</math> wäre <math>{{\left\| {{\Psi }_{E}} \right\|}^{2}}\acute{\ }={{e}^{2\frac{{{E}_{2}}}{\hbar }t}}{{\left\| {{\phi }_{E}} \right\|}^{2}}</math>und würden für E2 <0 zerfallen ( und für E2 > 0 explodieren !)
			Somit folgt bereits aus der Kontinuitätsgleichung, dass alle Energieeigenwerte reell sind !!
			2. Die Energie- Eigenzustände sind scharf in der Energie, jedoch beliebig unscharf in der Zeit:
			<math>\left\langle {\hat{H}} \right\rangle =E</math>Erwartungswert= Eigenwert
			Unschärfe: <math>\Delta H:=\sqrt{\left\langle {{\left( \hat{H}-\left\langle {\hat{H}} \right\rangle \right)}^{2}} \right\rangle }=\sqrt{\left\langle \left\langle {{\left( {\hat{H}} \right)}^{2}} \right\rangle -{{\left\langle {\hat{H}} \right\rangle }^{2}} \right\rangle }=\sqrt{{{E}^{2}}-{{E}^{2}}}=0</math>
			E und t sind wie <math>\hat{\bar{p}},\hat{\bar{q}}</math>zueinander konjugierte Variablen, jedoch keine Operatoren !
			Dies ist analog zur Situation, dass der Impuls in Impuls- Eigenzuständen beliebig scharf ist. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist dann ortsunabhängig ( also beliebig unscharf im Ort, also: gleichverteilt !, konstant !):
			<math>\left\langle {\hat{\bar{p}}} \right\rangle =\int\limits_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}\Psi \frac{\hbar }{i}\nabla \Psi {{d}^{3}}r=\hbar \bar{k}\int\limits_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}\Psi \Psi {{d}^{3}}r=\hbar \bar{k}</math> scharf
			<math>{{\left\| \phi (\bar{r}) \right\|}^{2}}=1</math>unabhängig von r
			Dies läuft analog zur klassischen Mechanik. Dort bedingt die Zeittranslationsinvarianz der Hamiltonfunktion eine Erhaltung der Energie ( E Erhaltungsgröße) und die Ortstranslationsinvarianz der Hamiltonfunktion bedingt eine Impulserhaltung.
			Die Bedingung der Normierbarkeit schränkt die zulässigen Werte der Energie deutlich ein.
			Randbedingungen  Eigenwertproblem !
			====Allgemeine Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung====
			Ein jeder Zustand kann nach stationären Zuständen <math>{{\phi }_{n}}(\bar{r})</math>entwickelt werden:
			<math>\Psi (\bar{r},t)=\sum\limits_{n}^{{}}{{}}{{c}_{n}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{E}_{n}}t}}{{\phi }_{n}}(\bar{r})</math>
			Für verschiedene En ist dies jedoch kein stationärer Zustand mehr: Also ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung zeitabhängig:
			zeitabhängig !!
			<math>\Psi (\bar{r},t)</math>ist kein Energie- Eigenzustand !
			Die Entwicklungskoeffizienten <math>{{c}_{n}}</math>lassen sich durch die Anfangsbedingungen bestimmen:
			<math>\Psi (\bar{r},0)=\sum\limits_{n}^{{}}{{}}{{c}_{n}}{{\phi }_{n}}(\bar{r})\begin{matrix}
			! \\
			= \\
			{} \\
			\end{matrix}{{\Psi }_{0}}(\bar{r})</math>
			Falls <math>\left\{ {{\phi }_{n}}(\bar{r}) \right\}</math>ein vollständiges Orthonormalsystem darstellt, kann jede stückweise steige Funktion nach den stationären Zuständen<math>{{\phi }_{n}}(\bar{r})</math>entwickelt werden:
			Orthonormierung: <math>\begin{align}
			& \int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{\phi }_{m}}(\bar{r})}{{\phi }_{n}}(\bar{r}){{d}^{3}}r={{\delta }_{nm}}\Rightarrow \sum\limits_{n}{{{c}_{n}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{\phi }_{m}}(\bar{r})}{{\phi }_{n}}(\bar{r}){{d}^{3}}r=\sum\limits_{n}{{{c}_{n}}}{{\delta }_{nm}}={{c}_{m}} \\
			& \sum\limits_{n}{{{c}_{n}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{\phi }_{m}}(\bar{r})}{{\phi }_{n}}(\bar{r}){{d}^{3}}r=\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{\Psi }_{0}}(\bar{r}){{\phi }_{m}}(\bar{r}){{d}^{3}}r}={{c}_{m}} \\
			\end{align}</math>
			Man sagt: Durch die Anfangsbedingung können die Entwicklungskoeffizienten "herausprojiziert" werden.
			P.S:: Dies ist im Dirac- Formalismus wesentlich einfacher !!

Schubotz: hat „Zeitunabhängige Schrödinger- Gleichung und stationäre Zustände“ nach „Script:Kontinuitätsgleichung“ verschoben

2010-08-24T14:46:04Z

hat „Zeitunabhängige Schrödinger- Gleichung und stationäre Zustände“ nach „Script:Kontinuitätsgleichung“ verschoben

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#WEITERLEITUNG [[Script:Kontinuitätsgleichung]]

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	<noinclude>{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|1\|5}}</noinclude>		<noinclude>{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|1\|5}}</noinclude>
	:<math>i\hbar \dot{\Psi }(\bar{r},t)=\hat{H}\Psi </math>ist ( Schrödinger- Bild) eine Schrödingergleichung mit dem zeitunabhängigen Hamiltonoperator <math>\hat{H}</math>		:<math>i\hbar \dot{\Psi }(\bar{r},t)=\hat{H}\Psi </math>ist (Schrödinger- Bild) eine Schrödingergleichung mit dem zeitunabhängigen Hamiltonoperator <math>\hat{H}</math>

	Es ergibt sich ein Anfangs- bzw. Randwertproblem:		Es ergibt sich ein Anfangs- bzw. Randwertproblem:
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	Diese heißen stationäre Zustände, da die zugehörige Wahrscheinlichkeitsdichte		Diese heißen stationäre Zustände, da die zugehörige Wahrscheinlichkeitsdichte
	:<math>{{\left\| {{\Psi }_{E}}(\bar{r},t) \right\|}^{2}}={{\left\| {{\phi }_{E}}(\bar{r}) \right\|}^{2}}</math>zeitunabhängig ist.		:<math>{{\left\| {{\Psi }_{E}}(\bar{r},t) \right\|}^{2}}={{\left\| {{\phi }_{E}}(\bar{r}) \right\|}^{2}}</math>zeitunabhängig ist.
	Also: Die Wahrscheinlichkeit bleibt erhalten !! ( wegen Normierbarkeit !)		Also: Die Wahrscheinlichkeit bleibt erhalten!! (wegen Normierbarkeit!)
	'''Nebenbemerkung:'''		'''Nebenbemerkung:'''
	Die Wellenfunktion <math>{{\Psi }_{E}}(\bar{r},t)={{e}^{-\frac{i}{\hbar }Et}}{{\phi }_{E}}(\bar{r})</math>selbst ist natürlich zeitabhängig, da die Materiewelle mit		Die Wellenfunktion <math>{{\Psi }_{E}}(\bar{r},t)={{e}^{-\frac{i}{\hbar }Et}}{{\phi }_{E}}(\bar{r})</math>selbst ist natürlich zeitabhängig, da die Materiewelle mit
	:<math>\omega =\frac{E}{\hbar }</math>oszilliert. Dies gilt auch mit Potenzial ( mit Potenzial nimmt die Ozsillationsfrequenz sogar zu, da die Energie steigt !)		:<math>\omega =\frac{E}{\hbar }</math>oszilliert. Dies gilt auch mit Potenzial (mit Potenzial nimmt die Ozsillationsfrequenz sogar zu, da die Energie steigt!)
	Weiterhin sind jedoch alle Erwartungswerte von Observablen ( nicht die Observablen selbst, sondern ihre Erwartungswerte !) innerhalb von Eigenzuständen ( und nur in diesen) zeitunabhängig:		Weiterhin sind jedoch alle Erwartungswerte von Observablen (nicht die Observablen selbst, sondern ihre Erwartungswerte!) innerhalb von Eigenzuständen (und nur in diesen) zeitunabhängig:
	:<math>\left\langle F(\hat{\bar{p}},\hat{\bar{r}}) \right\rangle =\int_{{}}^{{}}{{}}{{\Psi }_{E}}(\bar{r},t)F(\hat{\bar{p}},\hat{\bar{r}}){{\Psi }_{E}}(\bar{r},t){{d}^{3}}r=\int_{{}}^{{}}{{{\phi }_{E}}(\bar{r})}F(\hat{\bar{p}},\hat{\bar{r}}){{\phi }_{E}}(\bar{r})=\int_{{}}^{{}}{{{\phi }_{E}}(\bar{r})*}F(\frac{\hbar }{i}\nabla ,\hat{\bar{r}}){{\phi }_{E}}(\bar{r})</math>		:<math>\left\langle F(\hat{\bar{p}},\hat{\bar{r}}) \right\rangle =\int_{{}}^{{}}{{}}{{\Psi }_{E}}(\bar{r},t)F(\hat{\bar{p}},\hat{\bar{r}}){{\Psi }_{E}}(\bar{r},t){{d}^{3}}r=\int_{{}}^{{}}{{{\phi }_{E}}(\bar{r})}F(\hat{\bar{p}},\hat{\bar{r}}){{\phi }_{E}}(\bar{r})=\int_{{}}^{{}}{{{\phi }_{E}}(\bar{r})*}F(\frac{\hbar }{i}\nabla ,\hat{\bar{r}}){{\phi }_{E}}(\bar{r})</math>
	Insbesondere gilt:		Insbesondere gilt:
Line 46:		Line 46:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>
	====Ehrenfest- Theorem====		====Ehrenfest- Theorem====
	Nach dem Ehrenfestschen Theorem ( Siehe III: Statistische Physik)		Nach dem Ehrenfestschen Theorem (Siehe III: Statistische Physik)
	gilt mit		gilt mit
	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
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	:<math>E=E*</math>		:<math>E=E*</math>
	Für ein komplexes E mit		Für ein komplexes E mit
	:<math>E={{E}_{1}}+i{{E}_{2}}</math> wäre <math>{{\left\| {{\Psi }_{E}} \right\|}^{2}}\acute{\ }={{e}^{2\frac{{{E}_{2}}}{\hbar }t}}{{\left\| {{\phi }_{E}} \right\|}^{2}}</math>und würden für E2 <0 zerfallen ( und für E2 > 0 explodieren !)		:<math>E={{E}_{1}}+i{{E}_{2}}</math> wäre <math>{{\left\| {{\Psi }_{E}} \right\|}^{2}}\acute{\ }={{e}^{2\frac{{{E}_{2}}}{\hbar }t}}{{\left\| {{\phi }_{E}} \right\|}^{2}}</math>und würden für E2 <0 zerfallen (und für E2 > 0 explodieren!)
	Somit folgt bereits aus der Kontinuitätsgleichung, dass alle Energieeigenwerte reell sind !!		Somit folgt bereits aus der Kontinuitätsgleichung, dass alle Energieeigenwerte reell sind!!
	2. Die Energie- Eigenzustände sind scharf in der Energie, jedoch beliebig unscharf in der Zeit:		2. Die Energie- Eigenzustände sind scharf in der Energie, jedoch beliebig unscharf in der Zeit:
	:<math>\left\langle {\hat{H}} \right\rangle =E</math>Erwartungswert= Eigenwert		:<math>\left\langle {\hat{H}} \right\rangle =E</math>Erwartungswert= Eigenwert
	Unschärfe: <math>\Delta H:=\sqrt{\left\langle {{\left( \hat{H}-\left\langle {\hat{H}} \right\rangle \right)}^{2}} \right\rangle }=\sqrt{\left\langle \left\langle {{\left( {\hat{H}} \right)}^{2}} \right\rangle -{{\left\langle {\hat{H}} \right\rangle }^{2}} \right\rangle }=\sqrt{{{E}^{2}}-{{E}^{2}}}=0</math>		Unschärfe: <math>\Delta H:=\sqrt{\left\langle {{\left( \hat{H}-\left\langle {\hat{H}} \right\rangle \right)}^{2}} \right\rangle }=\sqrt{\left\langle \left\langle {{\left( {\hat{H}} \right)}^{2}} \right\rangle -{{\left\langle {\hat{H}} \right\rangle }^{2}} \right\rangle }=\sqrt{{{E}^{2}}-{{E}^{2}}}=0</math>
	E und t sind wie <math>\hat{\bar{p}},\hat{\bar{q}}</math>zueinander konjugierte Variablen, jedoch keine Operatoren !		E und t sind wie <math>\hat{\bar{p}},\hat{\bar{q}}</math>zueinander konjugierte Variablen, jedoch keine Operatoren!
	Dies ist analog zur Situation, dass der Impuls in Impuls- Eigenzuständen beliebig scharf ist. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist dann ortsunabhängig ( also beliebig unscharf im Ort, also: gleichverteilt !, konstant !):		Dies ist analog zur Situation, dass der Impuls in Impuls- Eigenzuständen beliebig scharf ist. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist dann ortsunabhängig (also beliebig unscharf im Ort, also: gleichverteilt!, konstant!):
	:<math>\left\langle {\hat{\bar{p}}} \right\rangle =\int\limits_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}\Psi \frac{\hbar }{i}\nabla \Psi {{d}^{3}}r=\hbar \bar{k}\int\limits_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}\Psi \Psi {{d}^{3}}r=\hbar \bar{k}</math> scharf		:<math>\left\langle {\hat{\bar{p}}} \right\rangle =\int\limits_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}\Psi \frac{\hbar }{i}\nabla \Psi {{d}^{3}}r=\hbar \bar{k}\int\limits_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}\Psi \Psi {{d}^{3}}r=\hbar \bar{k}</math> scharf
	:<math>{{\left\| \phi (\bar{r}) \right\|}^{2}}=1</math>unabhängig von r		:<math>{{\left\| \phi (\bar{r}) \right\|}^{2}}=1</math>unabhängig von r
	Dies läuft analog zur klassischen Mechanik. Dort bedingt die Zeittranslationsinvarianz der Hamiltonfunktion eine Erhaltung der Energie ( E Erhaltungsgröße) und die Ortstranslationsinvarianz der Hamiltonfunktion bedingt eine Impulserhaltung.		Dies läuft analog zur klassischen Mechanik. Dort bedingt die Zeittranslationsinvarianz der Hamiltonfunktion eine Erhaltung der Energie (E Erhaltungsgröße) und die Ortstranslationsinvarianz der Hamiltonfunktion bedingt eine Impulserhaltung.
	Die Bedingung der Normierbarkeit schränkt die zulässigen Werte der Energie deutlich ein.		Die Bedingung der Normierbarkeit schränkt die zulässigen Werte der Energie deutlich ein.
	Randbedingungen  Eigenwertproblem !		Randbedingungen à Eigenwertproblem!
	====Allgemeine Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung====		====Allgemeine Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung====
	Ein jeder Zustand kann nach stationären Zuständen <math>{{\phi }_{n}}(\bar{r})</math>entwickelt werden:		Ein jeder Zustand kann nach stationären Zuständen <math>{{\phi }_{n}}(\bar{r})</math>entwickelt werden:
	:<math>\Psi (\bar{r},t)=\sum\limits_{n}^{{}}{{}}{{c}_{n}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{E}_{n}}t}}{{\phi }_{n}}(\bar{r})</math>		:<math>\Psi (\bar{r},t)=\sum\limits_{n}^{{}}{{}}{{c}_{n}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{E}_{n}}t}}{{\phi }_{n}}(\bar{r})</math>
	Für verschiedene En ist dies jedoch kein stationärer Zustand mehr: Also ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung zeitabhängig:		Für verschiedene En ist dies jedoch kein stationärer Zustand mehr: Also ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung zeitabhängig:
	zeitabhängig !!		zeitabhängig!!
	:<math>\Psi (\bar{r},t)</math>ist kein Energie- Eigenzustand !		:<math>\Psi (\bar{r},t)</math>ist kein Energie- Eigenzustand!
	Die Entwicklungskoeffizienten <math>{{c}_{n}}</math>lassen sich durch die Anfangsbedingungen bestimmen:		Die Entwicklungskoeffizienten <math>{{c}_{n}}</math>lassen sich durch die Anfangsbedingungen bestimmen:
	:<math>\Psi (\bar{r},0)=\sum\limits_{n}^{{}}{{}}{{c}_{n}}{{\phi }_{n}}(\bar{r})\begin{matrix}		:<math>\Psi (\bar{r},0)=\sum\limits_{n}^{{}}{{}}{{c}_{n}}{{\phi }_{n}}(\bar{r})\begin{matrix}
Line 102:		Line 102:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>
	Man sagt: Durch die Anfangsbedingung können die Entwicklungskoeffizienten "herausprojiziert" werden.		Man sagt: Durch die Anfangsbedingung können die Entwicklungskoeffizienten "herausprojiziert" werden.
	P.S:: Dies ist im Dirac- Formalismus wesentlich einfacher !!		P.S:: Dies ist im Dirac- Formalismus wesentlich einfacher!!