Trägheitstensor - Revision history

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T15:29:00Z

Einrückungen Mathematik

← Older revision		Revision as of 17:29, 12 September 2010
Line 3:		Line 3:

	Raumfestes Koordinatensystem		Raumfestes Koordinatensystem
	<math>\hat{\Sigma }:\hat{r}\left( t \right)=\sum\limits_{i=1}^{3}{{{{\hat{x}}}_{i}}\left( t \right){{{\hat{e}}}_{i}}}</math>		:<math>\hat{\Sigma }:\hat{r}\left( t \right)=\sum\limits_{i=1}^{3}{{{{\hat{x}}}_{i}}\left( t \right){{{\hat{e}}}_{i}}}</math>


Line 10:		Line 10:

	Körperfestes Koordinatensytem		Körperfestes Koordinatensytem
	<math>\Sigma :r\left( t \right)=\sum\limits_{i=1}^{3}{{{x}_{i}}{{e}_{i}}\left( t \right)}</math>		:<math>\Sigma :r\left( t \right)=\sum\limits_{i=1}^{3}{{{x}_{i}}{{e}_{i}}\left( t \right)}</math>


Line 16:		Line 16:


	<math>\hat{r}\left( t \right)={{\hat{r}}_{0}}\left( t \right)+r</math>		:<math>\hat{r}\left( t \right)={{\hat{r}}_{0}}\left( t \right)+r</math>


Line 22:		Line 22:


	<math>\dot{r}=\left( \omega \times r \right)</math>		:<math>\dot{r}=\left( \omega \times r \right)</math>


Line 28:		Line 28:


	<math>\dot{\hat{r}}={{\dot{r}}_{0}}+\left( \omega \times r \right)</math>		:<math>\dot{\hat{r}}={{\dot{r}}_{0}}+\left( \omega \times r \right)</math>


	Die Kinetische Energie ist folglich		Die Kinetische Energie ist folglich

	<math>T=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{\left( {{{\dot{r}}}_{0}}+\left( \omega \times {{r}_{i}} \right) \right)}^{2}}}=\frac{1}{2}M{{\dot{r}}_{0}}^{2}+\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{{\dot{r}}}_{0}}\centerdot \left( \omega \times {{r}_{i}} \right)}+\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{\left( \omega \times {{r}_{i}} \right)}^{2}}}</math>		:<math>T=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{\left( {{{\dot{r}}}_{0}}+\left( \omega \times {{r}_{i}} \right) \right)}^{2}}}=\frac{1}{2}M{{\dot{r}}_{0}}^{2}+\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{{\dot{r}}}_{0}}\centerdot \left( \omega \times {{r}_{i}} \right)}+\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{\left( \omega \times {{r}_{i}} \right)}^{2}}}</math>

	Der mittlere Term stellt ein Spaltprodukt da, daher können die Komponenten dort Zyklisch vertauscht werden. In den wesendlichen Spezialfällen fällt dieser Term weg.		Der mittlere Term stellt ein Spaltprodukt da, daher können die Komponenten dort Zyklisch vertauscht werden. In den wesendlichen Spezialfällen fällt dieser Term weg.
Line 41:		Line 41:
	#. . Wenn nun das System im Schwerpunkt sitz ist der 1. Faktor des Skalarproduktes null.		#. . Wenn nun das System im Schwerpunkt sitz ist der 1. Faktor des Skalarproduktes null.
	Der Term		Der Term
	<math>{{\left( \omega \times {{r}_{i}} \right)}^{2}}</math>		:<math>{{\left( \omega \times {{r}_{i}} \right)}^{2}}</math>
	stellt eine Vektoridentität dar:		stellt eine Vektoridentität dar:

	<math>{{\left( \omega \times {{r}_{i}} \right)}^{2}}={{\omega }^{2}}{{r}_{i}}^{2}+{{\left( \omega \centerdot {{r}_{i}} \right)}^{2}}</math>		:<math>{{\left( \omega \times {{r}_{i}} \right)}^{2}}={{\omega }^{2}}{{r}_{i}}^{2}+{{\left( \omega \centerdot {{r}_{i}} \right)}^{2}}</math>
	(9.7)		(9.7)

Line 51:		Line 51:

	Die Matrix hat dann die Einträge:		Die Matrix hat dann die Einträge:
	<math>\underline{J}</math>		:<math>\underline{J}</math>
	<math>\underline{J}_{lm}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}\left( {{\delta }_{lm}}{{r}_{i}}^{2}-{{\left( {{r}_{i}} \right)}_{l}}{{\left( {{r}_{i}} \right)}_{m}} \right)}</math> (9.8)		<math>\underline{J}_{lm}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}\left( {{\delta }_{lm}}{{r}_{i}}^{2}-{{\left( {{r}_{i}} \right)}_{l}}{{\left( {{r}_{i}} \right)}_{m}} \right)}</math> (9.8)
	Damit ergibt sich der von der Rotation verursachte Teil der Kinetischen Energie (<math>{{T}_{Rot}}</math>) zu		Damit ergibt sich der von der Rotation verursachte Teil der Kinetischen Energie (<math>{{T}_{Rot}}</math>) zu

Schubotz at 11:39, 17 August 2010

2010-08-17T11:39:45Z

← Older revision		Revision as of 13:39, 17 August 2010
Line 54:		Line 54:
	<math>\underline{J}_{lm}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}\left( {{\delta }_{lm}}{{r}_{i}}^{2}-{{\left( {{r}_{i}} \right)}_{l}}{{\left( {{r}_{i}} \right)}_{m}} \right)}</math> (9.8)		<math>\underline{J}_{lm}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}\left( {{\delta }_{lm}}{{r}_{i}}^{2}-{{\left( {{r}_{i}} \right)}_{l}}{{\left( {{r}_{i}} \right)}_{m}} \right)}</math> (9.8)
	Damit ergibt sich der von der Rotation verursachte Teil der Kinetischen Energie (<math>{{T}_{Rot}}</math>) zu		Damit ergibt sich der von der Rotation verursachte Teil der Kinetischen Energie (<math>{{T}_{Rot}}</math>) zu
	<math>{{T}_{Rot}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{l,m=1}^{3}{{\underline{J}}_{lm}}{{\omega }_{l}}{{\omega }_{m}}}=\frac{1}{2}{{\omega }^{2}}\sum\limits_{l,m=1}^{3}{{\underline{J}}_{lm}{{n}_{l}}{{n}_{m}}}</math> (9.9)		<math>{{T}_{Rot}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{l,m=1}^{3}{{\underline{J}}_{lm}{{\omega }_{l}}{{\omega }_{m}}}=\frac{1}{2}{{\omega }^{2}}\sum\limits_{l,m=1}^{3}{{\underline{J}}_{lm}{{n}_{l}}{{n}_{m}}}</math> (9.9)
	n sollen hierbei die normierten Komponenten von  sein.		n sollen hierbei die normierten Komponenten von  sein.
	Es ist nun sogar möglich ist Kontinuum überzugehen:		Es ist nun sogar möglich ist Kontinuum überzugehen:

Schubotz at 11:38, 17 August 2010

2010-08-17T11:38:31Z

← Older revision		Revision as of 13:38, 17 August 2010
Line 52:		Line 52:
	Die Matrix hat dann die Einträge:		Die Matrix hat dann die Einträge:
	<math>\underline{J}</math>		<math>\underline{J}</math>
	<math>\underline{J}_{lm}}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}\left( {{\delta }_{lm}}{{r}_{i}}^{2}-{{\left( {{r}_{i}} \right)}_{l}}{{\left( {{r}_{i}} \right)}_{m}} \right)}</math> (9.8)		<math>\underline{J}_{lm}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}\left( {{\delta }_{lm}}{{r}_{i}}^{2}-{{\left( {{r}_{i}} \right)}_{l}}{{\left( {{r}_{i}} \right)}_{m}} \right)}</math> (9.8)
	Damit ergibt sich der von der Rotation verursachte Teil der Kinetischen Energie (<math>{{T}_{Rot}}</math>) zu		Damit ergibt sich der von der Rotation verursachte Teil der Kinetischen Energie (<math>{{T}_{Rot}}</math>) zu
	<math>{{T}_{Rot}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{l,m=1}^{3}{{\underline{J}}_{lm}}{{\omega }_{l}}{{\omega }_{m}}}=\frac{1}{2}{{\omega }^{2}}\sum\limits_{l,m=1}^{3}{{\underline{J}}_{lm}}{{n}_{l}}{{n}_{m}}}</math> (9.9)		<math>{{T}_{Rot}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{l,m=1}^{3}{{\underline{J}}_{lm}}{{\omega }_{l}}{{\omega }_{m}}}=\frac{1}{2}{{\omega }^{2}}\sum\limits_{l,m=1}^{3}{{\underline{J}}_{lm}{{n}_{l}}{{n}_{m}}}</math> (9.9)
	n sollen hierbei die normierten Komponenten von  sein.		n sollen hierbei die normierten Komponenten von  sein.
	Es ist nun sogar möglich ist Kontinuum überzugehen:		Es ist nun sogar möglich ist Kontinuum überzugehen:
	<math>\underline{J}_{lm}}=\iiint{\rho \left( r \right)\left( {{\delta }_{lm}}{{r}^{2}}-{{r}_{l}}{{r}_{m}} \right)d{{r}_{1}}d{{r}_{2}}d{{r}_{3}}}</math> (9.10)		<math>\underline{J}_{lm}=\iiint{\rho \left( r \right)\left( {{\delta }_{lm}}{{r}^{2}}-{{r}_{l}}{{r}_{m}} \right)d{{r}_{1}}d{{r}_{2}}d{{r}_{3}}}</math> (9.10)
	Der Tensor <math>\underline{J}</math>hängt von der Wahl des Koordinatensystems ab. Es ist aber immer möglich die Achsen so zu Wählen das <math>\underline{J}</math> Diagonalgestalt annimmt. Dieses ist aber Isomorph zum Eigenwertproblem		Der Tensor <math>\underline{J}</math>hängt von der Wahl des Koordinatensystems ab. Es ist aber immer möglich die Achsen so zu Wählen das <math>\underline{J}</math> Diagonalgestalt annimmt. Dieses ist aber Isomorph zum Eigenwertproblem
	<math>\underline{J}\omega =J\omega </math> (9.11)		<math>\underline{J}\omega =J\omega </math> (9.11)

Schubotz at 11:36, 17 August 2010

2010-08-17T11:36:39Z

← Older revision		Revision as of 13:36, 17 August 2010
Line 52:		Line 52:
	Die Matrix hat dann die Einträge:		Die Matrix hat dann die Einträge:
	<math>\underline{J}</math>		<math>\underline{J}</math>
	<math>~~{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{~~\~~scriptscriptstyle-}$}}~~{J}}_{lm}}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}\left( {{\delta }_{lm}}{{r}_{i}}^{2}-{{\left( {{r}_{i}} \right)}_{l}}{{\left( {{r}_{i}} \right)}_{m}} \right)}</math> (9.8)		<math>\underline{J}_{lm}}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}\left( {{\delta }_{lm}}{{r}_{i}}^{2}-{{\left( {{r}_{i}} \right)}_{l}}{{\left( {{r}_{i}} \right)}_{m}} \right)}</math> (9.8)
	Damit ergibt sich der von der Rotation verursachte Teil der Kinetischen Energie (<math>{{T}_{Rot}}</math>) zu		Damit ergibt sich der von der Rotation verursachte Teil der Kinetischen Energie (<math>{{T}_{Rot}}</math>) zu
	<math>{{T}_{Rot}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{l,m=1}^{3}{{{{\~~underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}~~{J}}}_{lm}}{{\omega }_{l}}{{\omega }_{m}}}=\frac{1}{2}{{\omega }^{2}}\sum\limits_{l,m=1}^{3}{{{{\~~underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}~~{J}}}_{lm}}{{n}_{l}}{{n}_{m}}}</math> (9.9)		<math>{{T}_{Rot}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{l,m=1}^{3}{{\underline{J}}_{lm}}{{\omega }_{l}}{{\omega }_{m}}}=\frac{1}{2}{{\omega }^{2}}\sum\limits_{l,m=1}^{3}{{\underline{J}}_{lm}}{{n}_{l}}{{n}_{m}}}</math> (9.9)
	n sollen hierbei die normierten Komponenten von  sein.		n sollen hierbei die normierten Komponenten von  sein.
	Es ist nun sogar möglich ist Kontinuum überzugehen:		Es ist nun sogar möglich ist Kontinuum überzugehen:
	<math>~~{{\underset{~~\~~raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}~~{J}}_{lm}}=\iiint{\rho \left( r \right)\left( {{\delta }_{lm}}{{r}^{2}}-{{r}_{l}}{{r}_{m}} \right)d{{r}_{1}}d{{r}_{2}}d{{r}_{3}}}</math> (9.10)		<math>\underline{J}_{lm}}=\iiint{\rho \left( r \right)\left( {{\delta }_{lm}}{{r}^{2}}-{{r}_{l}}{{r}_{m}} \right)d{{r}_{1}}d{{r}_{2}}d{{r}_{3}}}</math> (9.10)
	Der Tensor <math>\~~underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}~~{J}</math>hängt von der Wahl des Koordinatensystems ab. Es ist aber immer möglich die Achsen so zu Wählen das <math>\~~underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}~~{J}</math> Diagonalgestalt annimmt. Dieses ist aber Isomorph zum Eigenwertproblem		Der Tensor <math>\underline{J}</math>hängt von der Wahl des Koordinatensystems ab. Es ist aber immer möglich die Achsen so zu Wählen das <math>\underline{J}</math> Diagonalgestalt annimmt. Dieses ist aber Isomorph zum Eigenwertproblem
	<math>\~~underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}~~{J}\omega =J\omega </math> (9.11)		<math>\underline{J}\omega =J\omega </math> (9.11)
	Hier eignen Sich die Eulerschen Winkel um ein System in Kugelkoordinaten zu beschreiben.		Hier eignen Sich die Eulerschen Winkel um ein System in Kugelkoordinaten zu beschreiben.

	[[Kategorie:Mechanik]]		[[Kategorie:Mechanik]]

Schubotz at 11:32, 17 August 2010

2010-08-17T11:32:09Z

← Older revision		Revision as of 13:32, 17 August 2010
Line 51:		Line 51:

	Die Matrix hat dann die Einträge:		Die Matrix hat dann die Einträge:
	<math>\~~underset~~{J~~}{_~~}</math>		<math>\underline{J}</math>
	<math>{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{J}}_{lm}}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}\left( {{\delta }_{lm}}{{r}_{i}}^{2}-{{\left( {{r}_{i}} \right)}_{l}}{{\left( {{r}_{i}} \right)}_{m}} \right)}</math> (9.8)		<math>{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{J}}_{lm}}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}\left( {{\delta }_{lm}}{{r}_{i}}^{2}-{{\left( {{r}_{i}} \right)}_{l}}{{\left( {{r}_{i}} \right)}_{m}} \right)}</math> (9.8)
	Damit ergibt sich der von der Rotation verursachte Teil der Kinetischen Energie (<math>{{T}_{Rot}}</math>) zu		Damit ergibt sich der von der Rotation verursachte Teil der Kinetischen Energie (<math>{{T}_{Rot}}</math>) zu

Schubotz at 11:30, 17 August 2010

2010-08-17T11:30:01Z

← Older revision		Revision as of 13:30, 17 August 2010
Line 36:		Line 36:

	Der mittlere Term stellt ein Spaltprodukt da, daher können die Komponenten dort Zyklisch vertauscht werden. In den wesendlichen Spezialfällen fällt dieser Term weg.		Der mittlere Term stellt ein Spaltprodukt da, daher können die Komponenten dort Zyklisch vertauscht werden. In den wesendlichen Spezialfällen fällt dieser Term weg.
	1. Der Ursprung des Körperfesten Systems ist ein Fixpunkt im Ortsfesten System, so dass <math>{{r}_{0}}</math>konstant ist und die Ableitung verschwindet.		# Der Ursprung des Körperfesten Systems ist ein Fixpunkt im Ortsfesten System, so dass <math>{{r}_{0}}</math>konstant ist und die Ableitung verschwindet.
	2. Zyklische Vertauschung liefert:		#. Zyklische Vertauschung liefert:
	3. <math>\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{r}_{i}}\centerdot \left( {{{\dot{r}}}_{0}}\times \omega \right)}</math>		#. <math>\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{r}_{i}}\centerdot \left( {{{\dot{r}}}_{0}}\times \omega \right)}</math>
	4. . Wenn nun das System im Schwerpunkt sitz ist der 1. Faktor des Skalarproduktes null.		#. . Wenn nun das System im Schwerpunkt sitz ist der 1. Faktor des Skalarproduktes null.
	Der Term		Der Term
	<math>{{\left( \omega \times {{r}_{i}} \right)}^{2}}</math>		<math>{{\left( \omega \times {{r}_{i}} \right)}^{2}}</math>
Line 46:		Line 46:
	<math>{{\left( \omega \times {{r}_{i}} \right)}^{2}}={{\omega }^{2}}{{r}_{i}}^{2}+{{\left( \omega \centerdot {{r}_{i}} \right)}^{2}}</math>		<math>{{\left( \omega \times {{r}_{i}} \right)}^{2}}={{\omega }^{2}}{{r}_{i}}^{2}+{{\left( \omega \centerdot {{r}_{i}} \right)}^{2}}</math>
	(9.7)		(9.7)


	Das Ausmultiplizieren dieser Terme würde relativ viele Summanden zur Folge haben. Man entschließt sich daher dazu die Summanden nach Indizes von  zu Ordnen und als Matrix aufzufassen.		Das Ausmultiplizieren dieser Terme würde relativ viele Summanden zur Folge haben. Man entschließt sich daher dazu die Summanden nach Indizes von  zu Ordnen und als Matrix aufzufassen.

	Die Matrix hat dann die Einträge:		Die Matrix hat dann die Einträge:
			<math>\underset{J}{_}</math>
	<math>{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{J}}_{lm}}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}\left( {{\delta }_{lm}}{{r}_{i}}^{2}-{{\left( {{r}_{i}} \right)}_{l}}{{\left( {{r}_{i}} \right)}_{m}} \right)}</math> (9.8)		<math>{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{J}}_{lm}}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}\left( {{\delta }_{lm}}{{r}_{i}}^{2}-{{\left( {{r}_{i}} \right)}_{l}}{{\left( {{r}_{i}} \right)}_{m}} \right)}</math> (9.8)
	Damit ergibt sich der von der Rotation verursachte Teil der Kinetischen Energie (<math>{{T}_{Rot}}</math>) zu		Damit ergibt sich der von der Rotation verursachte Teil der Kinetischen Energie (<math>{{T}_{Rot}}</math>) zu

Schubotz at 16:03, 16 August 2010

2010-08-16T16:03:45Z

Schubotz at 15:46, 16 August 2010

2010-08-16T15:46:48Z

← Older revision		Revision as of 17:46, 16 August 2010
Line 1:		Line 1:
	Natürlich ist es nicht praktisch alle in der Physik vorkommenden Phänomene durch Massenpunktsystem zu beschreiben. Daher existiert noch ein weiters Konzept. Man kann einen starren Körper als Vielteilchensystem betrachten, wobei die Zwangsbedingungen lauten, dass sich die Abstände der einzelnen Punkte zueinander nicht verändern. Es ist für diese Betrachtung zweckmäßig 2 Koordinatensysteme zu verwenden. Ein Raumfestes bei dem sich die Achsen nicht bewegen, wohl aber die Koordinaten der einzelnen Punkte.		Natürlich ist es nicht praktisch alle in der Physik vorkommenden Phänomene durch Massenpunktsystem zu beschreiben. Daher existiert noch ein weiters Konzept. Man kann einen starren Körper als Vielteilchensystem betrachten, wobei die Zwangsbedingungen lauten, dass sich die Abstände der einzelnen Punkte zueinander nicht verändern. Es ist für diese Betrachtung zweckmäßig 2 Koordinatensysteme zu verwenden. Ein Raumfestes bei dem sich die Achsen nicht bewegen, wohl aber die Koordinaten der einzelnen Punkte.


			Raumfestes Koordinatensystem
	<math>\hat{\Sigma }:\hat{r}\left( t \right)=\sum\limits_{i=1}^{3}{{{{\hat{x}}}_{i}}\left( t \right){{{\hat{e}}}_{i}}}</math>		<math>\hat{\Sigma }:\hat{r}\left( t \right)=\sum\limits_{i=1}^{3}{{{{\hat{x}}}_{i}}\left( t \right){{{\hat{e}}}_{i}}}</math>
	~~(9.1)~~

	Sowie ein Körperfestes System was sich mit dem Körper mitbewegt, und bei dem die Orts Koordinaten aufgrund der zum Körper gehörenden Orte Zwangsbedingungen fest gewählt sind.		Sowie ein Körperfestes System was sich mit dem Körper mitbewegt, und bei dem die Orts Koordinaten aufgrund der zum Körper gehörenden Orte Zwangsbedingungen fest gewählt sind.


			Körperfestes Koordinatensytem
	<math>\Sigma :r\left( t \right)=\sum\limits_{i=1}^{3}{{{x}_{i}}{{e}_{i}}\left( t \right)}</math>		<math>\Sigma :r\left( t \right)=\sum\limits_{i=1}^{3}{{{x}_{i}}{{e}_{i}}\left( t \right)}</math>
	~~(9.2)~~

	Dadurch ergibt sich die Beziehung, dass jeder Punkt im Ortsfesten System als Summe aus Verbindungsvektor mit dem Ursprung des köperfesten Systems plus dem Vektor im körperfesten System geschrieben werden kann.		Dadurch ergibt sich die Beziehung, dass jeder Punkt im Ortsfesten System als Summe aus Verbindungsvektor mit dem Ursprung des köperfesten Systems plus dem Vektor im körperfesten System geschrieben werden kann.

Schubotz at 15:27, 16 August 2010

2010-08-16T15:27:42Z

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „Natürlich ist es nicht praktisch alle in der Physik vorkommenden Phänomene durch Massenpunktsystem zu beschreiben. Daher existiert noch ein weiters Konzept. Man…“

2010-04-15T00:16:42Z

Die Seite wurde neu angelegt: „Natürlich ist es nicht praktisch alle in der Physik vorkommenden Phänomene durch Massenpunktsystem zu beschreiben. Daher existiert noch ein weiters Konzept. Man…“

New page

Natürlich ist es nicht praktisch alle in der Physik vorkommenden Phänomene durch Massenpunktsystem zu beschreiben. Daher existiert noch ein weiters Konzept. Man kann einen starren Körper als Vielteilchensystem betrachten, wobei die Zwangsbedingungen lauten, dass sich die Abstände der einzelnen Punkte zueinander nicht verändern. Es ist für diese Betrachtung zweckmäßig 2 Koordinatensysteme zu verwenden. Ein Raumfestes bei dem sich die Achsen nicht bewegen, wohl aber die Koordinaten der einzelnen Punkte.

<math>\hat{\Sigma }:\hat{r}\left( t \right)=\sum\limits_{i=1}^{3}{{{{\hat{x}}}_{i}}\left( t \right){{{\hat{e}}}_{i}}}</math>
(9.1)
Sowie ein Körperfestes System was sich mit dem Körper mitbewegt, und bei dem die Orts Koordinaten aufgrund der zum Körper gehörenden Orte Zwangsbedingungen fest gewählt sind.

<math>\Sigma :r\left( t \right)=\sum\limits_{i=1}^{3}{{{x}_{i}}{{e}_{i}}\left( t \right)}</math>
(9.2)
Dadurch ergibt sich die Beziehung, dass jeder Punkt im Ortsfesten System als Summe aus Verbindungsvektor mit dem Ursprung des köperfesten Systems plus dem Vektor im körperfesten System geschrieben werden kann.

<math>\hat{r}\left( t \right)={{\hat{r}}_{0}}\left( t \right)+r</math>
(9.3)
Die zeitliche Änderung eines Vektors im körperfesten System ist nur von der Drehung des Koordinatensystems abhängig. Also ist Geschwindigkeit nur von der Drehung und nicht von der Translation abhängig.

<math>\dot{r}=\left( \omega \times r \right)</math>
(9.4)
Im ortsfesten System folgt dann, dass sich die Gesamtgeschwindigkeit aus Translation des Ursprungs des ortsfesten Systems und Drehung im köperfesten System zusammensetzt.

<math>\dot{\hat{r}}={{\dot{r}}_{0}}+\left( \omega \times r \right)</math>
(9.5)
Die Kinetische Energie ist folglich

<math>T=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{\left( {{{\dot{r}}}_{0}}+\left( \omega \times {{r}_{i}} \right) \right)}^{2}}}=\frac{1}{2}M{{\dot{r}}_{0}}^{2}+\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{{\dot{r}}}_{0}}\centerdot \left( \omega \times {{r}_{i}} \right)}+\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{\left( \omega \times {{r}_{i}} \right)}^{2}}}</math>
(9.6)
Der mittlere Term stellt ein Spaltprodukt da, daher können die Komponenten dort Zyklisch vertauscht werden. In den wesendlichen Spezialfällen fällt dieser Term weg.
1. Der Ursprung des Körperfesten Systems ist ein Fixpunkt im Ortsfesten System, so dass <math>{{r}_{0}}</math>konstant ist und die Ableitung verschwindet.
2. Zyklische Vertauschung liefert:
3. <math>\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{r}_{i}}\centerdot \left( {{{\dot{r}}}_{0}}\times \omega \right)}</math>
4. . Wenn nun das System im Schwerpunkt sitz ist der 1. Faktor des Skalarproduktes null.
Der Term
<math>{{\left( \omega \times {{r}_{i}} \right)}^{2}}</math>
stellt eine Vektoridentität dar:

<math>{{\left( \omega \times {{r}_{i}} \right)}^{2}}={{\omega }^{2}}{{r}_{i}}^{2}+{{\left( \omega \centerdot {{r}_{i}} \right)}^{2}}</math>
(9.7)
Das Ausmultiplizieren dieser Terme würde relativ viele Summanden zur Folge haben. Man entschließt sich daher dazu die Summanden nach Indizes von  zu Ordnen und als Matrix aufzufassen.

Die Matrix hat dann die Einträge:
<math>{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{J}}_{lm}}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}\left( {{\delta }_{lm}}{{r}_{i}}^{2}-{{\left( {{r}_{i}} \right)}_{l}}{{\left( {{r}_{i}} \right)}_{m}} \right)}</math> (9.8)
Damit ergibt sich der von der Rotation verursachte Teil der Kinetischen Energie (<math>{{T}_{Rot}}</math>) zu
<math>{{T}_{Rot}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{l,m=1}^{3}{{{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{J}}}_{lm}}{{\omega }_{l}}{{\omega }_{m}}}=\frac{1}{2}{{\omega }^{2}}\sum\limits_{l,m=1}^{3}{{{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{J}}}_{lm}}{{n}_{l}}{{n}_{m}}}</math> (9.9)
n sollen hierbei die normierten Komponenten von  sein.
Es ist nun sogar möglich ist Kontinuum überzugehen:
<math>{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{J}}_{lm}}=\iiint{\rho \left( r \right)\left( {{\delta }_{lm}}{{r}^{2}}-{{r}_{l}}{{r}_{m}} \right)d{{r}_{1}}d{{r}_{2}}d{{r}_{3}}}</math> (9.10)
Der Tensor <math>\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{J}</math>hängt von der Wahl des Koordinatensystems ab. Es ist aber immer möglich die Achsen so zu Wählen das <math>\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{J}</math> Diagonalgestalt annimmt. Dieses ist aber Isomorph zum Eigenwertproblem
<math>\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{J}\omega =J\omega </math> (9.11)
Hier eignen Sich die Eulerschen Winkel um ein System in Kugelkoordinaten zu beschreiben.

[[Kategorie:Mechanik]]

← Older revision		Revision as of 18:03, 16 August 2010
Line 14:		Line 14:

	Dadurch ergibt sich die Beziehung, dass jeder Punkt im Ortsfesten System als Summe aus Verbindungsvektor mit dem Ursprung des köperfesten Systems plus dem Vektor im körperfesten System geschrieben werden kann.		Dadurch ergibt sich die Beziehung, dass jeder Punkt im Ortsfesten System als Summe aus Verbindungsvektor mit dem Ursprung des köperfesten Systems plus dem Vektor im körperfesten System geschrieben werden kann.


	<math>\hat{r}\left( t \right)={{\hat{r}}_{0}}\left( t \right)+r</math>		<math>\hat{r}\left( t \right)={{\hat{r}}_{0}}\left( t \right)+r</math>
	~~(9.3)~~

	Die zeitliche Änderung eines Vektors im körperfesten System ist nur von der Drehung des Koordinatensystems abhängig. Also ist Geschwindigkeit nur von der Drehung und nicht von der Translation abhängig.		Die zeitliche Änderung eines Vektors im körperfesten System ist nur von der Drehung des Koordinatensystems abhängig. Also ist Geschwindigkeit nur von der Drehung und nicht von der Translation abhängig.


	<math>\dot{r}=\left( \omega \times r \right)</math>		<math>\dot{r}=\left( \omega \times r \right)</math>
	~~(9.4)~~

	Im ortsfesten System folgt dann, dass sich die Gesamtgeschwindigkeit aus Translation des Ursprungs des ortsfesten Systems und Drehung im köperfesten System zusammensetzt.		Im ortsfesten System folgt dann, dass sich die Gesamtgeschwindigkeit aus Translation des Ursprungs des ortsfesten Systems und Drehung im köperfesten System zusammensetzt.


	<math>\dot{\hat{r}}={{\dot{r}}_{0}}+\left( \omega \times r \right)</math>		<math>\dot{\hat{r}}={{\dot{r}}_{0}}+\left( \omega \times r \right)</math>
	~~(9.5)~~

	Die Kinetische Energie ist folglich		Die Kinetische Energie ist folglich

	<math>T=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{\left( {{{\dot{r}}}_{0}}+\left( \omega \times {{r}_{i}} \right) \right)}^{2}}}=\frac{1}{2}M{{\dot{r}}_{0}}^{2}+\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{{\dot{r}}}_{0}}\centerdot \left( \omega \times {{r}_{i}} \right)}+\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{\left( \omega \times {{r}_{i}} \right)}^{2}}}</math>		<math>T=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{\left( {{{\dot{r}}}_{0}}+\left( \omega \times {{r}_{i}} \right) \right)}^{2}}}=\frac{1}{2}M{{\dot{r}}_{0}}^{2}+\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{{\dot{r}}}_{0}}\centerdot \left( \omega \times {{r}_{i}} \right)}+\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{\left( \omega \times {{r}_{i}} \right)}^{2}}}</math>
	~~(9.6)~~
	Der mittlere Term stellt ein Spaltprodukt da, daher können die Komponenten dort Zyklisch vertauscht werden. In den wesendlichen Spezialfällen fällt dieser Term weg.		Der mittlere Term stellt ein Spaltprodukt da, daher können die Komponenten dort Zyklisch vertauscht werden. In den wesendlichen Spezialfällen fällt dieser Term weg.
	1. Der Ursprung des Körperfesten Systems ist ein Fixpunkt im Ortsfesten System, so dass <math>{{r}_{0}}</math>konstant ist und die Ableitung verschwindet.		1. Der Ursprung des Körperfesten Systems ist ein Fixpunkt im Ortsfesten System, so dass <math>{{r}_{0}}</math>konstant ist und die Ableitung verschwindet.

← Older revision		Revision as of 17:27, 16 August 2010
Line 1:		Line 1:
	Natürlich ist es nicht praktisch alle in der Physik vorkommenden Phänomene durch Massenpunktsystem zu beschreiben. Daher existiert noch ein weiters Konzept. Man kann einen starren Körper als Vielteilchensystem betrachten, wobei die Zwangsbedingungen lauten, dass sich die Abstände der einzelnen Punkte zueinander nicht verändern. Es ist für diese Betrachtung zweckmäßig 2 Koordinatensysteme zu verwenden. Ein Raumfestes bei dem sich die Achsen nicht bewegen, wohl aber die Koordinaten der einzelnen Punkte.		Natürlich ist es nicht praktisch alle in der Physik vorkommenden Phänomene durch Massenpunktsystem zu beschreiben. Daher existiert noch ein weiters Konzept. Man kann einen starren Körper als Vielteilchensystem betrachten, wobei die Zwangsbedingungen lauten, dass sich die Abstände der einzelnen Punkte zueinander nicht verändern. Es ist für diese Betrachtung zweckmäßig 2 Koordinatensysteme zu verwenden. Ein Raumfestes bei dem sich die Achsen nicht bewegen, wohl aber die Koordinaten der einzelnen Punkte.

	<math>\hat{\Sigma }:\hat{r}\left( t \right)=\sum\limits_{i=1}^{3}{{{{\hat{x}}}_{i}}\left( t \right){{{\hat{e}}}_{i}}}</math>		<math>\hat{\Sigma }:\hat{r}\left( t \right)=\sum\limits_{i=1}^{3}{{{{\hat{x}}}_{i}}\left( t \right){{{\hat{e}}}_{i}}}</math>
	(9.1)		(9.1)
	Sowie ein Körperfestes System was sich mit dem Körper mitbewegt, und bei dem die Orts Koordinaten aufgrund der zum Körper gehörenden Orte Zwangsbedingungen fest gewählt sind.		Sowie ein Körperfestes System was sich mit dem Körper mitbewegt, und bei dem die Orts Koordinaten aufgrund der zum Körper gehörenden Orte Zwangsbedingungen fest gewählt sind.

	<math>\Sigma :r\left( t \right)=\sum\limits_{i=1}^{3}{{{x}_{i}}{{e}_{i}}\left( t \right)}</math>		<math>\Sigma :r\left( t \right)=\sum\limits_{i=1}^{3}{{{x}_{i}}{{e}_{i}}\left( t \right)}</math>
	(9.2)		(9.2)
	Dadurch ergibt sich die Beziehung, dass jeder Punkt im Ortsfesten System als Summe aus Verbindungsvektor mit dem Ursprung des köperfesten Systems plus dem Vektor im körperfesten System geschrieben werden kann.		Dadurch ergibt sich die Beziehung, dass jeder Punkt im Ortsfesten System als Summe aus Verbindungsvektor mit dem Ursprung des köperfesten Systems plus dem Vektor im körperfesten System geschrieben werden kann.

	<math>\hat{r}\left( t \right)={{\hat{r}}_{0}}\left( t \right)+r</math>		<math>\hat{r}\left( t \right)={{\hat{r}}_{0}}\left( t \right)+r</math>
	(9.3)		(9.3)
	Die zeitliche Änderung eines Vektors im körperfesten System ist nur von der Drehung des Koordinatensystems abhängig. Also ist Geschwindigkeit nur von der Drehung und nicht von der Translation abhängig.		Die zeitliche Änderung eines Vektors im körperfesten System ist nur von der Drehung des Koordinatensystems abhängig. Also ist Geschwindigkeit nur von der Drehung und nicht von der Translation abhängig.

	<math>\dot{r}=\left( \omega \times r \right)</math>		<math>\dot{r}=\left( \omega \times r \right)</math>
	(9.4)		(9.4)
	Im ortsfesten System folgt dann, dass sich die Gesamtgeschwindigkeit aus Translation des Ursprungs des ortsfesten Systems und Drehung im köperfesten System zusammensetzt.		Im ortsfesten System folgt dann, dass sich die Gesamtgeschwindigkeit aus Translation des Ursprungs des ortsfesten Systems und Drehung im köperfesten System zusammensetzt.

	<math>\dot{\hat{r}}={{\dot{r}}_{0}}+\left( \omega \times r \right)</math>		<math>\dot{\hat{r}}={{\dot{r}}_{0}}+\left( \omega \times r \right)</math>
	(9.5)		(9.5)
	Die Kinetische Energie ist folglich		Die Kinetische Energie ist folglich

	<math>T=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{\left( {{{\dot{r}}}_{0}}+\left( \omega \times {{r}_{i}} \right) \right)}^{2}}}=\frac{1}{2}M{{\dot{r}}_{0}}^{2}+\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{{\dot{r}}}_{0}}\centerdot \left( \omega \times {{r}_{i}} \right)}+\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{\left( \omega \times {{r}_{i}} \right)}^{2}}}</math>		<math>T=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{\left( {{{\dot{r}}}_{0}}+\left( \omega \times {{r}_{i}} \right) \right)}^{2}}}=\frac{1}{2}M{{\dot{r}}_{0}}^{2}+\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{{\dot{r}}}_{0}}\centerdot \left( \omega \times {{r}_{i}} \right)}+\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{\left( \omega \times {{r}_{i}} \right)}^{2}}}</math>
	(9.6)		(9.6)
	Der mittlere Term stellt ein Spaltprodukt da, daher können die Komponenten dort Zyklisch vertauscht werden. In den wesendlichen Spezialfällen fällt dieser Term weg.		Der mittlere Term stellt ein Spaltprodukt da, daher können die Komponenten dort Zyklisch vertauscht werden. In den wesendlichen Spezialfällen fällt dieser Term weg.
	1. Der Ursprung des Körperfesten Systems ist ein Fixpunkt im Ortsfesten System, so dass <math>{{r}_{0}}</math>konstant ist und die Ableitung verschwindet.		1. Der Ursprung des Körperfesten Systems ist ein Fixpunkt im Ortsfesten System, so dass <math>{{r}_{0}}</math>konstant ist und die Ableitung verschwindet.
	2. Zyklische Vertauschung liefert:		2. Zyklische Vertauschung liefert:
	3. <math>\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{r}_{i}}\centerdot \left( {{{\dot{r}}}_{0}}\times \omega \right)}</math>		3. <math>\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{r}_{i}}\centerdot \left( {{{\dot{r}}}_{0}}\times \omega \right)}</math>
	4. . Wenn nun das System im Schwerpunkt sitz ist der 1. Faktor des Skalarproduktes null.		4. . Wenn nun das System im Schwerpunkt sitz ist der 1. Faktor des Skalarproduktes null.
	Der Term		Der Term
	<math>{{\left( \omega \times {{r}_{i}} \right)}^{2}}</math>		<math>{{\left( \omega \times {{r}_{i}} \right)}^{2}}</math>
	stellt eine Vektoridentität dar:		stellt eine Vektoridentität dar:

	<math>{{\left( \omega \times {{r}_{i}} \right)}^{2}}={{\omega }^{2}}{{r}_{i}}^{2}+{{\left( \omega \centerdot {{r}_{i}} \right)}^{2}}</math>		<math>{{\left( \omega \times {{r}_{i}} \right)}^{2}}={{\omega }^{2}}{{r}_{i}}^{2}+{{\left( \omega \centerdot {{r}_{i}} \right)}^{2}}</math>
	(9.7)		(9.7)
	Das Ausmultiplizieren dieser Terme würde relativ viele Summanden zur Folge haben. Man entschließt sich daher dazu die Summanden nach Indizes von  zu Ordnen und als Matrix aufzufassen.		Das Ausmultiplizieren dieser Terme würde relativ viele Summanden zur Folge haben. Man entschließt sich daher dazu die Summanden nach Indizes von  zu Ordnen und als Matrix aufzufassen.

	Die Matrix hat dann die Einträge:		Die Matrix hat dann die Einträge:
	<math>{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{J}}_{lm}}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}\left( {{\delta }_{lm}}{{r}_{i}}^{2}-{{\left( {{r}_{i}} \right)}_{l}}{{\left( {{r}_{i}} \right)}_{m}} \right)}</math> (9.8)		<math>{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{J}}_{lm}}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}\left( {{\delta }_{lm}}{{r}_{i}}^{2}-{{\left( {{r}_{i}} \right)}_{l}}{{\left( {{r}_{i}} \right)}_{m}} \right)}</math> (9.8)
	Damit ergibt sich der von der Rotation verursachte Teil der Kinetischen Energie (<math>{{T}_{Rot}}</math>) zu		Damit ergibt sich der von der Rotation verursachte Teil der Kinetischen Energie (<math>{{T}_{Rot}}</math>) zu
	<math>{{T}_{Rot}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{l,m=1}^{3}{{{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{J}}}_{lm}}{{\omega }_{l}}{{\omega }_{m}}}=\frac{1}{2}{{\omega }^{2}}\sum\limits_{l,m=1}^{3}{{{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{J}}}_{lm}}{{n}_{l}}{{n}_{m}}}</math> (9.9)		<math>{{T}_{Rot}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{l,m=1}^{3}{{{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{J}}}_{lm}}{{\omega }_{l}}{{\omega }_{m}}}=\frac{1}{2}{{\omega }^{2}}\sum\limits_{l,m=1}^{3}{{{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{J}}}_{lm}}{{n}_{l}}{{n}_{m}}}</math> (9.9)
	n sollen hierbei die normierten Komponenten von  sein.		n sollen hierbei die normierten Komponenten von  sein.
	Es ist nun sogar möglich ist Kontinuum überzugehen:		Es ist nun sogar möglich ist Kontinuum überzugehen:
	<math>{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{J}}_{lm}}=\iiint{\rho \left( r \right)\left( {{\delta }_{lm}}{{r}^{2}}-{{r}_{l}}{{r}_{m}} \right)d{{r}_{1}}d{{r}_{2}}d{{r}_{3}}}</math> (9.10)		<math>{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{J}}_{lm}}=\iiint{\rho \left( r \right)\left( {{\delta }_{lm}}{{r}^{2}}-{{r}_{l}}{{r}_{m}} \right)d{{r}_{1}}d{{r}_{2}}d{{r}_{3}}}</math> (9.10)
	Der Tensor <math>\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{J}</math>hängt von der Wahl des Koordinatensystems ab. Es ist aber immer möglich die Achsen so zu Wählen das <math>\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{J}</math> Diagonalgestalt annimmt. Dieses ist aber Isomorph zum Eigenwertproblem		Der Tensor <math>\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{J}</math>hängt von der Wahl des Koordinatensystems ab. Es ist aber immer möglich die Achsen so zu Wählen das <math>\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{J}</math> Diagonalgestalt annimmt. Dieses ist aber Isomorph zum Eigenwertproblem
	<math>\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{J}\omega =J\omega </math> (9.11)		<math>\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{J}\omega =J\omega </math> (9.11)
	Hier eignen Sich die Eulerschen Winkel um ein System in Kugelkoordinaten zu beschreiben.		Hier eignen Sich die Eulerschen Winkel um ein System in Kugelkoordinaten zu beschreiben.

	[[Kategorie:Mechanik]]		[[Kategorie:Mechanik]]