Räumliche Isotropie - Revision history

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2010-09-12T22:31:16Z

Interpunktion, replaced: ! → !, ( → ( (2)

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	<u>'''Rotationsinvarianz für die Drehung um die z- Achse:'''</u>		<u>'''Rotationsinvarianz für die Drehung um die z- Achse:'''</u>

	Betrachten wir infinitesimale Transformationen ( Drehungen um die z- Achse mit kleinen Winkeln		Betrachten wir infinitesimale Transformationen (Drehungen um die z- Achse mit kleinen Winkeln
	:<math>\delta \phi =\delta s</math>		:<math>\delta \phi =\delta s</math>

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	abhängig und die Drehmatrix ändert die Abstände nicht.		abhängig und die Drehmatrix ändert die Abstände nicht.

	( Drehungen sind orthogonale Transformationen).		(Drehungen sind orthogonale Transformationen).


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	Berechnet man den verallgemeinerten konjugierten Impuls zu		Berechnet man den verallgemeinerten konjugierten Impuls zu
	:<math>{{q}_{1}}=\phi =s</math>		:<math>{{q}_{1}}=\phi =s</math>,
	, so ergibt sich:		so ergibt sich:


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	Wir betrachteten hier eine passive Drehung des Korodinatensystems. Die Aktive Drehung des Koordinatensystems ist jedoch äquivalent. Das bedeutet, wir drehen aktiv alle Massenpunkte mit		Wir betrachteten hier eine passive Drehung des Korodinatensystems. Die Aktive Drehung des Koordinatensystems ist jedoch äquivalent. Das bedeutet, wir drehen aktiv alle Massenpunkte mit
	:<math>\tilde{\phi }=-\phi </math>		:<math>\tilde{\phi }=-\phi </math>.
	.

	Dazu gehören dann die konjugierten Impulse +lz		Dazu gehören dann die konjugierten Impulse +lz
Line 318:		Line 318:
	:<math>{{\bar{\bar{R}}}_{{}}}(\bar{\phi })=\exp \left( -\phi \sum\limits_{i=1}^{3}{{}}{{n}_{i}}{{{\bar{\bar{J}}}}_{i}} \right)</math>		:<math>{{\bar{\bar{R}}}_{{}}}(\bar{\phi })=\exp \left( -\phi \sum\limits_{i=1}^{3}{{}}{{n}_{i}}{{{\bar{\bar{J}}}}_{i}} \right)</math>
	bilden nun eine 3- parametrige		bilden nun eine 3- parametrige
	:<math>\left( {{\phi }_{1}},{{\phi }_{2}},{{\phi }_{3}} \right)</math>		:<math>\left( {{\phi }_{1}},{{\phi }_{2}},{{\phi }_{3}} \right)</math>,
	, stetige, diffbare		stetige, diffbare
	:<math>\left( in\phi \right)</math>		:<math>\left( in\phi \right)</math>
	und orthogonale Gruppe.		und orthogonale Gruppe.
Line 341:		Line 341:
	i,k=x,y,z		i,k=x,y,z

	Dabei vertauschen 2 Drehungen um unterschiedliche Achsen nicht. Das bedeutet, das Ergebnis hängt von der Reihenfolge ab !:		Dabei vertauschen 2 Drehungen um unterschiedliche Achsen nicht. Das bedeutet, das Ergebnis hängt von der Reihenfolge ab!:

>SchuBot: / Rotationsinvarianz der Lagrange-Funktion */Pfeile einfügen, replaced: -> → →

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Rotationsinvarianz der Lagrange-Funktion: Pfeile einfügen, replaced: -> → →

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Line 349:		Line 349:
	& \left[ {{{\bar{\bar{J}}}}_{y}},{{{\bar{\bar{J}}}}_{z}} \right]={{{\bar{\bar{J}}}}_{x}} \\		& \left[ {{{\bar{\bar{J}}}}_{y}},{{{\bar{\bar{J}}}}_{z}} \right]={{{\bar{\bar{J}}}}_{x}} \\
	\end{align}</math>		\end{align}</math>
	-> zyklische Permutation des Lieschen Produktes		→ zyklische Permutation des Lieschen Produktes

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

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Einrückungen Mathematik

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2010-09-12T15:07:37Z

Einrückungen Mathematik

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Line 63:		Line 63:
	-s & 0 & 0 \\		-s & 0 & 0 \\
	0 & 0 & 0 \\		0 & 0 & 0 \\
	\end{matrix} \right)=-s{{\bar{\bar{J}}}_{z}}</math>		\end{matrix} \right)=-s{{\bar{\bar{J}}}_{z}}</math> Mit <math>{{\bar{\bar{J}}}_{z}}</math>


	Mit
	<math>{{\bar{\bar{J}}}_{z}}</math>
	als Erzeugende für infinitesimale Drehungen um die z- Achse.		als Erzeugende für infinitesimale Drehungen um die z- Achse.

Line 95:		Line 91:


	<math>{{\bar{r}}_{i}}\acute{\ }={{h}^{s}}({{\bar{r}}_{i}})\left\| _{s=0} \right.+s{{\left( \frac{d}{ds}{{h}^{s}}({{{\bar{r}}}_{i}}) \right)}_{s=0}}+O({{s}^{2}})</math>		<math>{{\bar{r}}_{i}}\acute{\ }={{h}^{s}}({{\bar{r}}_{i}})\left\| _{s=0} \right.+s{{\left( \frac{d}{ds}{{h}^{s}}({{{\bar{r}}}_{i}}) \right)}_{s=0}}+O({{s}^{2}})</math> mit <math>{{\left( \frac{d}{ds}{{h}^{s}}({{{\bar{r}}}_{i}}) \right)}_{s=0}}={{\bar{r}}_{i}}\times {{\bar{e}}_{z}}</math>


	mit
	<math>{{\left( \frac{d}{ds}{{h}^{s}}({{{\bar{r}}}_{i}}) \right)}_{s=0}}={{\bar{r}}_{i}}\times {{\bar{e}}_{z}}</math>


Line 128:		Line 120:


	<math>{{\left( \frac{\partial L}{\partial s} \right)}_{s=0}}=-{{\left( \frac{\partial V}{\partial s} \right)}_{s=0}}={{\bar{e}}_{z}}\cdot \sum\limits_{i}{\left( {{{\bar{F}}}_{i}}\times {{{\bar{r}}}_{i}} \right)}=-{{\bar{e}}_{z}}\cdot \sum\limits_{i}{\left( {{{\bar{r}}}_{i}}\times {{{\bar{F}}}_{i}} \right)}</math>		<math>{{\left( \frac{\partial L}{\partial s} \right)}_{s=0}}=-{{\left( \frac{\partial V}{\partial s} \right)}_{s=0}}={{\bar{e}}_{z}}\cdot \sum\limits_{i}{\left( {{{\bar{F}}}_{i}}\times {{{\bar{r}}}_{i}} \right)}=-{{\bar{e}}_{z}}\cdot \sum\limits_{i}{\left( {{{\bar{r}}}_{i}}\times {{{\bar{F}}}_{i}} \right)}</math> Mit <math>\sum\limits_{i}{\left( {{{\bar{r}}}_{i}}\times {{{\bar{F}}}_{i}} \right)}</math>


	Mit
	<math>\sum\limits_{i}{\left( {{{\bar{r}}}_{i}}\times {{{\bar{F}}}_{i}} \right)}</math>
	als gesamtes Drehmoment und der Tatsache, dass die z-Komponente des äußeren resultierenden Drehmomentes verschwindet:		als gesamtes Drehmoment und der Tatsache, dass die z-Komponente des äußeren resultierenden Drehmomentes verschwindet:

Line 154:		Line 142:

	Trafo:		Trafo:
	<math>{{\bar{r}}_{i}}={{\bar{r}}_{i}}(\phi ,{{q}_{2}},...,{{q}_{f}},t)</math>		<math>{{\bar{r}}_{i}}={{\bar{r}}_{i}}(\phi ,{{q}_{2}},...,{{q}_{f}},t)</math> mit <math>\frac{\partial }{\partial {{q}_{1}}}{{\bar{r}}_{i}}={{\left( \frac{d}{ds}{{h}^{s}}({{{\bar{r}}}_{i}}) \right)}_{s=0}}={{\bar{r}}_{i}}\times {{\bar{e}}_{z}}</math>


	mit
	<math>\frac{\partial }{\partial {{q}_{1}}}{{\bar{r}}_{i}}={{\left( \frac{d}{ds}{{h}^{s}}({{{\bar{r}}}_{i}}) \right)}_{s=0}}={{\bar{r}}_{i}}\times {{\bar{e}}_{z}}</math>


Line 178:		Line 162:


	<math>{{p}_{1}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}^{2}=}\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}=\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}\left( {{{\bar{r}}}_{i}}\times {{{\bar{e}}}_{z}} \right)}}=-{{\bar{e}}_{z}}\sum\limits_{i}{\left( {{{\bar{r}}}_{i}}\times {{m}_{i}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}} \right)}=-{{l}_{z}}</math>		<math>{{p}_{1}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}^{2}=}\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}=\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}\left( {{{\bar{r}}}_{i}}\times {{{\bar{e}}}_{z}} \right)}}=-{{\bar{e}}_{z}}\sum\limits_{i}{\left( {{{\bar{r}}}_{i}}\times {{m}_{i}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}} \right)}=-{{l}_{z}}</math> wegen <math>\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}{{\dot{\bar{r}}}_{i}}=\frac{\partial }{\partial {{q}_{1}}}{{\bar{r}}_{i}}\ da{{\ }_{{}}}{{\dot{\bar{r}}}_{i}}=\sum\limits_{k}{\frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}}{{{\dot{q}}}_{k}}+}\frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial t}</math>


	wegen


	<math>\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}{{\dot{\bar{r}}}_{i}}=\frac{\partial }{\partial {{q}_{1}}}{{\bar{r}}_{i}}\ da{{\ }_{{}}}{{\dot{\bar{r}}}_{i}}=\sum\limits_{k}{\frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}}{{{\dot{q}}}_{k}}+}\frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial t}</math>


Line 202:		Line 180:


	<math>V({{\bar{r}}_{1}},...,{{\bar{r}}_{N}})=V({{r}_{12}},...,{{r}_{ij}},...)</math>		<math>V({{\bar{r}}_{1}},...,{{\bar{r}}_{N}})=V({{r}_{12}},...,{{r}_{ij}},...)</math> mit <math>{{r}_{ij}}=\left\| {{{\bar{r}}}_{i}}-{{{\bar{r}}}_{j}} \right\|</math>
	mit
	<math>{{r}_{ij}}=\left\| {{{\bar{r}}}_{i}}-{{{\bar{r}}}_{j}} \right\|</math>


Line 336:		Line 312:


	<math>{{\bar{\bar{R}}}_{{}}}(\bar{\phi })=\exp \left( -\phi \sum\limits_{i=1}^{3}{{}}{{n}_{i}}{{{\bar{\bar{J}}}}_{i}} \right)</math>		<math>{{\bar{\bar{R}}}_{{}}}(\bar{\phi })=\exp \left( -\phi \sum\limits_{i=1}^{3}{{}}{{n}_{i}}{{{\bar{\bar{J}}}}_{i}} \right)</math> mit <math>\bar{\phi }:=\phi \bar{n}</math>


	mit
	<math>\bar{\phi }:=\phi \bar{n}</math>


Line 356:		Line 328:


	<math>SO\left( 3 \right)=\left\{ \bar{\bar{R}}:{{R}^{3}}\to {{R}^{3}}linear\left\| {{{\bar{\bar{R}}}}^{t}}\bar{\bar{R}}=1\left\| \det \bar{\bar{R}}=1 \right. \right. \right\}</math>		<math>SO\left( 3 \right)=\left\{ \bar{\bar{R}}:{{R}^{3}}\to {{R}^{3}}linear\left\| {{{\bar{\bar{R}}}}^{t}}\bar{\bar{R}}=1\left\| \det \bar{\bar{R}}=1 \right. \right. \right\}</math> Mit <math>{{\bar{\bar{R}}}^{t}}\bar{\bar{R}}=1</math>


	Mit
	<math>{{\bar{\bar{R}}}^{t}}\bar{\bar{R}}=1</math>
	als Orthogonalitätsbedingung, so dass		als Orthogonalitätsbedingung, so dass
	<math>\|\bar{r}\acute{\ }\|=\|\bar{r}\|</math>		<math>\|\bar{r}\acute{\ }\|=\|\bar{r}\|</math> und <math>\det \bar{\bar{R}}=1</math>
	und
	<math>\det \bar{\bar{R}}=1</math>
	zum Ausschluß von Raumspiegelungen.		zum Ausschluß von Raumspiegelungen.

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Mechanik|3|3}} Nebenbedingung: konservative Kräfte, keine Zwangsbedingungen Es erfolgt eine Drehung des Bezugssystems um …“

2010-08-28T22:16:24Z

Die Seite wurde neu angelegt: „<noinclude>{{Scripthinweis|Mechanik|3|3}}</noinclude> Nebenbedingung: konservative Kräfte, keine Zwangsbedingungen Es erfolgt eine Drehung des Bezugssystems um …“

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<noinclude>{{Scripthinweis|Mechanik|3|3}}</noinclude>
Nebenbedingung: konservative Kräfte, keine Zwangsbedingungen

Es erfolgt eine Drehung des Bezugssystems um den Winkel
<math>\phi =s</math>
um die z- Achse.

An einer Skizze kann man sich schnell verdeutlichen:

<math>{{h}^{s}}:{{\bar{r}}_{i}}=({{x}_{i}},{{y}_{i}},{{z}_{i}})\to {{\bar{r}}_{i}}\acute{\ }=(x{{\acute{\ }}_{i}},y{{\acute{\ }}_{i}},z{{\acute{\ }}_{i}})</math>

Dabei gilt:

<math>\begin{align}
& {{x}_{i}}\acute{\ }={{x}_{i}}\cos s+{{y}_{i}}\sin s \\
& {{y}_{i}}\acute{\ }={{y}_{i}}\cos s-{{x}_{i}}\sin s \\
& {{z}_{i}}\acute{\ }={{z}_{i}} \\
\end{align}</math>

'''Rotationsinvarianz für die Drehung um die z- Achse:'''

Betrachten wir infinitesimale Transformationen ( Drehungen um die z- Achse mit kleinen Winkeln
<math>\delta \phi =\delta s</math>

<math>\left( \begin{matrix}
{{x}_{i}}\acute{\ } \\
{{y}_{i}}\acute{\ } \\
{{z}_{i}}\acute{\ } \\
\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}
\cos s & \sin s & 0 \\
-\sin s & \cos s & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}
{{x}_{i}} \\
{{y}_{i}} \\
{{z}_{i}} \\
\end{matrix} \right)\approx \left[ \left( \begin{matrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix}
0 & s & 0 \\
-s & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{matrix} \right) \right]\left( \begin{matrix}
{{x}_{i}} \\
{{y}_{i}} \\
{{z}_{i}} \\
\end{matrix} \right)</math>

Dabei gilt die rechtsseitige Taylorentwicklung für kleine Winkel. Wir schreiben

<math>\left( \begin{matrix}
0 & s & 0 \\
-s & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{matrix} \right)=-s{{\bar{\bar{J}}}_{z}}</math>

Mit
<math>{{\bar{\bar{J}}}_{z}}</math>
als Erzeugende für infinitesimale Drehungen um die z- Achse.

Somit folgt:

<math>\left( \begin{matrix}
{{x}_{i}}\acute{\ } \\
{{y}_{i}}\acute{\ } \\
{{z}_{i}}\acute{\ } \\
\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}
{{x}_{i}} \\
{{y}_{i}} \\
{{z}_{i}} \\
\end{matrix} \right)+s\left( \begin{matrix}
{{y}_{i}} \\
-{{x}_{i}} \\
0 \\
\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}
{{x}_{i}} \\
{{y}_{i}} \\
{{z}_{i}} \\
\end{matrix} \right)+s\left( {{{\bar{r}}}_{i}}\times {{{\bar{e}}}_{z}} \right)</math>

Formal schreibt man:

<math>{{\bar{r}}_{i}}\acute{\ }={{h}^{s}}({{\bar{r}}_{i}})\left| _{s=0} \right.+s{{\left( \frac{d}{ds}{{h}^{s}}({{{\bar{r}}}_{i}}) \right)}_{s=0}}+O({{s}^{2}})</math>

mit
<math>{{\left( \frac{d}{ds}{{h}^{s}}({{{\bar{r}}}_{i}}) \right)}_{s=0}}={{\bar{r}}_{i}}\times {{\bar{e}}_{z}}</math>

=====Rotationsinvarianz der Lagrange-Funktion=====

<math>T=\frac{1}{2}\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}^{2}}</math>
ist rotationsinvariant, da nur von
<math>\left| {{{\dot{\bar{r}}}}_{i}} \right|</math>
abhängig und die Drehmatrix ändert die Abstände nicht.

( Drehungen sind orthogonale Transformationen).

<math>{{\left( \frac{\partial L}{\partial s} \right)}_{s=0}}=-{{\left( \frac{\partial V}{\partial s} \right)}_{s=0}}=-\sum\limits_{i=1}^{N}{\left( {{\nabla }_{ri\acute{\ }}}V \right){{\left( \frac{d{{{\bar{r}}}_{i}}\acute{\ }}{ds} \right)}_{s=0}}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{{\bar{F}}}_{i}}({{{\bar{r}}}_{i}}\times {{{\bar{e}}}_{z}})}}</math>

wegen:

<math>\begin{align}
& \left( {{\nabla }_{ri\acute{\ }}}V \right)=-{{{\bar{F}}}_{i}} \\
& {{\left( \frac{d{{{\bar{r}}}_{i}}\acute{\ }}{ds} \right)}_{s=0}}={{\left( \frac{d{{h}^{s}}}{ds} \right)}_{s=0}} \\
\end{align}</math>

Als zyklische Permutation gilt dann jedoch:

<math>{{\left( \frac{\partial L}{\partial s} \right)}_{s=0}}=-{{\left( \frac{\partial V}{\partial s} \right)}_{s=0}}={{\bar{e}}_{z}}\cdot \sum\limits_{i}{\left( {{{\bar{F}}}_{i}}\times {{{\bar{r}}}_{i}} \right)}=-{{\bar{e}}_{z}}\cdot \sum\limits_{i}{\left( {{{\bar{r}}}_{i}}\times {{{\bar{F}}}_{i}} \right)}</math>

Mit
<math>\sum\limits_{i}{\left( {{{\bar{r}}}_{i}}\times {{{\bar{F}}}_{i}} \right)}</math>
als gesamtes Drehmoment und der Tatsache, dass die z-Komponente des äußeren resultierenden Drehmomentes verschwindet:

<math>-{{\bar{e}}_{z}}\cdot \sum\limits_{i}{\left( {{{\bar{r}}}_{i}}\times {{{\bar{F}}}_{i}} \right)}={{\left( \frac{\partial L}{\partial s} \right)}_{s=0}}=-{{\left( \frac{\partial V}{\partial s} \right)}_{s=0}}=0</math>

'''Interpretation nach dem Noetherschen Theorem'''

<math>I(\bar{r},\dot{\bar{r}})=\sum\limits_{i=1}^{N}{{}}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}}\cdot {{\left( \frac{d{{h}^{s}}}{ds} \right)}_{s=0}}=\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}\cdot \left( {{{\bar{r}}}_{i}}\times {{{\bar{e}}}_{z}} \right)}=-{{\bar{e}}_{z}}\sum\limits_{i}{\left( {{{\bar{r}}}_{i}}\times {{m}_{i}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}} \right)}=-{{\bar{e}}_{z}}\bar{l}=-{{l}_{z}}</math>

Also: Rotationsinvarianz entspricht Drehimpulserhaltung

'''Andere Betrachtungsweise'''

Wähle
<math>{{q}_{1}}=\phi =s</math>
als verallgemeinerte Koordinate

Trafo:
<math>{{\bar{r}}_{i}}={{\bar{r}}_{i}}(\phi ,{{q}_{2}},...,{{q}_{f}},t)</math>

mit
<math>\frac{\partial }{\partial {{q}_{1}}}{{\bar{r}}_{i}}={{\left( \frac{d}{ds}{{h}^{s}}({{{\bar{r}}}_{i}}) \right)}_{s=0}}={{\bar{r}}_{i}}\times {{\bar{e}}_{z}}</math>

Für infinitesimale Drehung um z-Achse.

'''Invarianz Erhaltungssätze'''

<math>{{\frac{\partial L}{\partial {{q}_{1}}}}_{{}}}=0\Leftrightarrow \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}=0</math>
äquivalent zum Erhaltungssatz
<math>{{p}_{1}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}=const</math>

Der Winkel ist also eine zyklische Variable.

Berechnet man den verallgemeinerten konjugierten Impuls zu
<math>{{q}_{1}}=\phi =s</math>
, so ergibt sich:

<math>{{p}_{1}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}^{2}=}\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}=\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}\left( {{{\bar{r}}}_{i}}\times {{{\bar{e}}}_{z}} \right)}}=-{{\bar{e}}_{z}}\sum\limits_{i}{\left( {{{\bar{r}}}_{i}}\times {{m}_{i}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}} \right)}=-{{l}_{z}}</math>

wegen

<math>\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}{{\dot{\bar{r}}}_{i}}=\frac{\partial }{\partial {{q}_{1}}}{{\bar{r}}_{i}}\ da{{\ }_{{}}}{{\dot{\bar{r}}}_{i}}=\sum\limits_{k}{\frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}}{{{\dot{q}}}_{k}}+}\frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial t}</math>

Es ergibt sich also wieder die z-Komponente des Drehimpulses als verallgemeinerter Impuls.

Nebenbedingung:

Wir betrachteten hier eine passive Drehung des Korodinatensystems. Die Aktive Drehung des Koordinatensystems ist jedoch äquivalent. Das bedeutet, wir drehen aktiv alle Massenpunkte mit
<math>\tilde{\phi }=-\phi </math>
.

Dazu gehören dann die konjugierten Impulse +lz

'''Beispiel:'''

N Teilchen mit einer inneren Paarwechselwirkung, die nur vom Abstand abhängt:

<math>V({{\bar{r}}_{1}},...,{{\bar{r}}_{N}})=V({{r}_{12}},...,{{r}_{ij}},...)</math>
mit
<math>{{r}_{ij}}=\left| {{{\bar{r}}}_{i}}-{{{\bar{r}}}_{j}} \right|</math>

Rotationsinvarianz gegen Drehung um '''alle '''Achsen:

<math>\frac{\partial V({{r}_{12}},...,{{r}_{ij}},...)}{\partial \phi }=\sum\limits_{i,j}{\frac{\partial V}{\partial {{r}_{ij}}}\cdot \frac{\partial }{\partial \phi }{{r}_{ij}}=0}</math>
für beliebige Achsen, da

<math>\begin{align}
& \frac{\partial }{\partial \phi }{{r}_{ij}}=\frac{\partial }{\partial \phi }{{\left[ \left( {{{\bar{r}}}_{i}}-{{{\bar{r}}}_{j}} \right)\left( {{{\bar{r}}}_{i}}-{{{\bar{r}}}_{j}} \right) \right]}^{1/2}}=\frac{1}{{{r}_{ij}}}\left( {{{\bar{r}}}_{i}}-{{{\bar{r}}}_{j}} \right)\frac{\partial }{\partial \phi }\left( {{{\bar{r}}}_{i}}-{{{\bar{r}}}_{j}} \right)=\frac{{{{\bar{r}}}_{i}}-{{{\bar{r}}}_{j}}}{{{r}_{ij}}}\left( \frac{\partial }{\partial \phi }{{{\bar{r}}}_{i}}-\frac{\partial }{\partial \phi }{{{\bar{r}}}_{j}} \right) \\
& \frac{\partial }{\partial \phi }{{{\bar{r}}}_{i}}={{{\bar{r}}}_{i}}\times {{{\bar{e}}}_{k}} \\
& \Rightarrow \frac{{{{\bar{r}}}_{i}}-{{{\bar{r}}}_{j}}}{{{r}_{ij}}}\left( \frac{\partial }{\partial \phi }{{{\bar{r}}}_{i}}-\frac{\partial }{\partial \phi }{{{\bar{r}}}_{j}} \right)=\frac{{{{\bar{r}}}_{i}}-{{{\bar{r}}}_{j}}}{{{r}_{ij}}}\left[ \left( {{{\bar{r}}}_{i}}-{{{\bar{r}}}_{j}} \right)\times {{{\bar{e}}}_{k}} \right]=\frac{1}{{{r}_{ij}}}{{{\bar{e}}}_{k}}\left[ \left( {{{\bar{r}}}_{i}}-{{{\bar{r}}}_{j}} \right)\times \left( {{{\bar{r}}}_{i}}-{{{\bar{r}}}_{j}} \right) \right]=0 \\
\end{align}</math>

Also ist der resultierende Drehimpuls
<math>\bar{l}</math>
eine Erhaltungsgröße

'''Erzeugende der infinitesimalen Drehung um z-Achse'''

Die infinitesimale Drehung läßt sich schreiben als:

<math>{{\bar{r}}_{i}}\acute{\ }={{h}^{s}}({{\bar{r}}_{i}})=(\bar{\bar{1}}-s{{\bar{\bar{J}}}_{z}}){{\bar{r}}_{i}}</math>

Mit der Erzeugenden
<math>{{\bar{\bar{J}}}_{z}}=\left( \begin{matrix}
0 & -1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{matrix} \right)</math>

Bei einer Drehung um den endlichen Winkel
<math>\phi </math>
gilt:

<math>{{\bar{r}}_{i}}\acute{\ }={{\bar{\bar{R}}}_{z}}(\phi ){{\bar{r}}_{i}}=\left( \begin{matrix}
\cos \phi & \sin \phi & 0 \\
-\sin \phi & \cos \phi & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{matrix} \right){{\bar{r}}_{i}}</math>

Es gilt:

<math>{{\bar{\bar{R}}}_{z}}(\phi )=\exp \left( -{{{\bar{\bar{J}}}}_{z}}\phi \right)</math>

mit Definition

<math>\exp \left( -{{{\bar{\bar{J}}}}_{z}}\phi \right):=\bar{\bar{1}}+\left( -{{{\bar{\bar{J}}}}_{z}}\phi \right)+\frac{1}{2}{{\left( -{{{\bar{\bar{J}}}}_{z}}\phi \right)}^{2}}+...+\frac{1}{k!}{{\left( -{{{\bar{\bar{J}}}}_{z}}\phi \right)}^{k}}</math>

'''Beweis:'''

'''Für'''

<math>\begin{align}
& \bar{\bar{M}}=\left( \begin{matrix}
0 & -1 \\
1 & 0 \\
\end{matrix} \right)\Rightarrow {{{\bar{\bar{M}}}}^{2}}=-\bar{\bar{1}},{{{\bar{\bar{M}}}}^{3}}=-\bar{\bar{M}},{{{\bar{\bar{M}}}}^{4}}=\bar{\bar{1}} \\
& {{{\bar{\bar{M}}}}^{2n}}={{\left( -1 \right)}^{n}}\bar{\bar{1}} \\
& {{{\bar{\bar{M}}}}^{(2n+1)}}={{\left( -1 \right)}^{n}}\bar{\bar{M}} \\
\end{align}</math>

Mit Hilfe der Taylorreihen für Sinus und Cosinus folgt dann:

<math>\begin{align}
& \left( \begin{matrix}
\cos \phi & \sin \phi \\
-\sin \phi & \cos \phi \\
\end{matrix} \right)=\bar{\bar{1}}\sum\limits_{n=0}^{\infty }{\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}}{\left( 2n \right)!}{{\phi }^{2n}}-\bar{\bar{M}}}\sum\limits_{n=0}^{\infty }{\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}}{\left( 2n+1 \right)!}{{\phi }^{2n+1}}} \\
& =\sum\limits_{n=0}^{\infty }{\frac{1}{\left( 2n \right)!}{{{\bar{\bar{M}}}}^{2n}}{{\phi }^{2n}}-\bar{\bar{M}}}\sum\limits_{n=0}^{\infty }{\frac{1}{\left( 2n+1 \right)!}{{{\bar{\bar{M}}}}^{2n+1}}{{\phi }^{2n+1}}} \\
& =\exp \left( -\bar{\bar{M}}\phi \right) \\
\end{align}</math>

Analog behandelbar ist die Drehung um die x-Achse

Erzeugende:

<math>{{\bar{\bar{J}}}_{x}}=\left( \begin{matrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 \\
0 & 1 & 0 \\
\end{matrix} \right)</math>

Hier gewinnen wir die Drehmatrix:

<math>{{\bar{\bar{R}}}_{x}}(\phi )=\exp \left( -{{{\bar{\bar{J}}}}_{x}}\phi \right)</math>

Bei der y- Achse gilt:

Erzeugende:

<math>{{\bar{\bar{J}}}_{y}}=\left( \begin{matrix}
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 0 \\
\end{matrix} \right)</math>

Hier gewinnen wir die Drehmatrix:

<math>{{\bar{\bar{R}}}_{y}}(\phi )=\exp \left( -{{{\bar{\bar{J}}}}_{y}}\phi \right)</math>

Beliebige Drehungen um den Winkel
<math>\phi </math>
mit der Drehachse
<math>\bar{n}</math>
:

<math>{{\bar{\bar{R}}}_{{}}}(\bar{\phi })=\exp \left( -\phi \sum\limits_{i=1}^{3}{{}}{{n}_{i}}{{{\bar{\bar{J}}}}_{i}} \right)</math>

mit
<math>\bar{\phi }:=\phi \bar{n}</math>

Die Drehmatrizen
<math>{{\bar{\bar{R}}}_{{}}}(\bar{\phi })=\exp \left( -\phi \sum\limits_{i=1}^{3}{{}}{{n}_{i}}{{{\bar{\bar{J}}}}_{i}} \right)</math>
bilden nun eine 3- parametrige
<math>\left( {{\phi }_{1}},{{\phi }_{2}},{{\phi }_{3}} \right)</math>
, stetige, diffbare
<math>\left( in\phi \right)</math>
und orthogonale Gruppe.

Eine solche Gruppe heißt Lie- Gruppe oder kontinuierliche Gruppe in drei reellen Dimensionen

SO(3)

<math>SO\left( 3 \right)=\left\{ \bar{\bar{R}}:{{R}^{3}}\to {{R}^{3}}linear\left| {{{\bar{\bar{R}}}}^{t}}\bar{\bar{R}}=1\left| \det \bar{\bar{R}}=1 \right. \right. \right\}</math>

Mit
<math>{{\bar{\bar{R}}}^{t}}\bar{\bar{R}}=1</math>
als Orthogonalitätsbedingung, so dass
<math>|\bar{r}\acute{\ }|=|\bar{r}|</math>
und
<math>\det \bar{\bar{R}}=1</math>
zum Ausschluß von Raumspiegelungen.

Die Erzeugenden
<math>{{\bar{\bar{J}}}_{i}}</math>
der Drehgruppe bilden eine Lie- Algebra mit dem Lieschen Produkt (=Kommutator):

<math>\left[ {{{\bar{\bar{J}}}}_{i}},{{{\bar{\bar{J}}}}_{k}} \right]={{\bar{\bar{J}}}_{i}}{{\bar{\bar{J}}}_{k}}-{{\bar{\bar{J}}}_{k}}{{\bar{\bar{J}}}_{i}}</math>
i,k=x,y,z

Dabei vertauschen 2 Drehungen um unterschiedliche Achsen nicht. Das bedeutet, das Ergebnis hängt von der Reihenfolge ab !:

<math>\begin{align}
& \left[ {{{\bar{\bar{J}}}}_{x}},{{{\bar{\bar{J}}}}_{y}} \right]={{{\bar{\bar{J}}}}_{z}} \\
& \left[ {{{\bar{\bar{J}}}}_{z}},{{{\bar{\bar{J}}}}_{x}} \right]={{{\bar{\bar{J}}}}_{y}} \\
& \left[ {{{\bar{\bar{J}}}}_{y}},{{{\bar{\bar{J}}}}_{z}} \right]={{{\bar{\bar{J}}}}_{x}} \\
\end{align}</math>
-> zyklische Permutation des Lieschen Produktes

Räumliche Isotropie - Revision history

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*>SchuBot: /* Rotationsinvarianz der Lagrange-Funktion */Pfeile einfügen, replaced: -> → →

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

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>SchuBot: / Rotationsinvarianz der Lagrange-Funktion */Pfeile einfügen, replaced: -> → →