Nakajima-Zwanzig-Gleichung - Revision history

Schubotz: /* Herleitung */

2010-12-09T14:15:04Z

Herleitung

← Older revision		Revision as of 16:15, 9 December 2010
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	Eingesetzt in die erste Gleichung erhält man die		Eingesetzt in die erste Gleichung erhält man die
	Nakajima-Zwanzig-Gleichung:		Nakajima-Zwanzig-Gleichung:
	::<math>{\text{d}}_{t} \mathcal{P}\chi =\mathcal{P}L\mathcal{P}\chi +\underbrace{\mathcal{P}L{{e}^{\mathcal{Q}Lt}}Q\chi (t=0)}_{=0}+\mathcal{P}L\int\limits_{0}^{t}{dt{{e}^{\mathcal{Q}Lt'}}\mathcal{Q}L\mathcal{P}\chi (t-{t}')}</math>		:<math>{\text{d}}_{t} \mathcal{P}\chi =\mathcal{P}L\mathcal{P}\chi +\underbrace{\mathcal{P}L{{e}^{\mathcal{Q}Lt}}Q\chi (t=0)}_{=0}+\mathcal{P}L\int\limits_{0}^{t}{dt{{e}^{\mathcal{Q}Lt'}}\mathcal{Q}L\mathcal{P}\chi (t-{t}')}</math>

	Unter der Annahme, dass der inhomogene Term verschwindet, (dies kann man machen wenn man annimmt der irrelevante Anteil der Dichtematrix zum Startzeitpunkt als 0 Definiert wird.) und der Abkürzung		Unter der Annahme, dass der inhomogene Term verschwindet, (dies kann man machen wenn man annimmt der irrelevante Anteil der Dichtematrix zum Startzeitpunkt als 0 Definiert wird.) und der Abkürzung
Line 44:		Line 44:
	<math>\mathcal{P}^2=\mathcal{P} </math>		<math>\mathcal{P}^2=\mathcal{P} </math>
	erhält man die endgültige Form		erhält man die endgültige Form
	{{Gln\|:<math>{\text{d}}_{t}{\chi }_{rel}=\mathcal{P}L{{\chi }_{rel}}+\int\limits_{0}^{t}{dt'\mathcal{K}({t}'){{\chi }_{rel}}(t-{t}')}</math>		{{Gln\|<math>{\text{d}}_{t}{\chi }_{rel}=\mathcal{P}L{{\chi }_{rel}}+\int\limits_{0}^{t}{dt'\mathcal{K}({t}'){{\chi }_{rel}}(t-{t}')}</math>
	\|Nakajima-Zwanzig-Gleichung}}		\|Nakajima-Zwanzig-Gleichung}}

Schubotz at 14:14, 9 December 2010

2010-12-09T14:14:39Z

← Older revision		Revision as of 16:14, 9 December 2010
Line 44:		Line 44:
	<math>\mathcal{P}^2=\mathcal{P} </math>		<math>\mathcal{P}^2=\mathcal{P} </math>
	erhält man die endgültige Form		erhält man die endgültige Form
	{{Gln\|<math>{\text{d}}_{t}{\chi }_{rel}=\mathcal{P}L{{\chi }_{rel}}+\int\limits_{0}^{t}{dt'\mathcal{K}({t}'){{\chi }_{rel}}(t-{t}')}</math>		{{Gln\|:<math>{\text{d}}_{t}{\chi }_{rel}=\mathcal{P}L{{\chi }_{rel}}+\int\limits_{0}^{t}{dt'\mathcal{K}({t}'){{\chi }_{rel}}(t-{t}')}</math>
	\|Nakajima-Zwanzig-Gleichung}}		\|Nakajima-Zwanzig-Gleichung}}

Schubotz at 14:13, 9 December 2010

2010-12-09T14:13:13Z

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	Die zweite Zeile wird formal durch		Die zweite Zeile wird formal durch
	:<math>\mathcal{Q}\chi ={{e}^{\mathcal{Q}Lt}}Q\chi (t=0)+\int\limits_{0}^{t}{dt{{e}^{\mathcal{Q}Lt'}}\mathcal{Q}L\mathcal{P}\chi (t-{t}')\|}</math> gelöst.		:<math>\mathcal{Q}\chi ={{e}^{\mathcal{Q}Lt}}Q\chi (t=0)+\int\limits_{0}^{t}{dt{{e}^{\mathcal{Q}Lt'}}\mathcal{Q}L\mathcal{P}\chi (t-{t}')}</math> gelöst.

	Eingesetzt in die erste Gleichung erhält man die		Eingesetzt in die erste Gleichung erhält man die
	Nakajima-Zwanzig-Gleichung:		Nakajima-Zwanzig-Gleichung:
	::<math>{\text{d}}_{t} \mathcal{P}\chi =\mathcal{P}L\mathcal{P}\chi +\underbrace{\mathcal{P}L{{e}^{\mathcal{Q}Lt}}Q\chi (t=0)}_{=0}+\mathcal{P}L\int\limits_{0}^{t}{dt{{e}^{\mathcal{Q}Lt'}}\mathcal{Q}L\mathcal{P}\chi (t-{t}')\|}</math>		::<math>{\text{d}}_{t} \mathcal{P}\chi =\mathcal{P}L\mathcal{P}\chi +\underbrace{\mathcal{P}L{{e}^{\mathcal{Q}Lt}}Q\chi (t=0)}_{=0}+\mathcal{P}L\int\limits_{0}^{t}{dt{{e}^{\mathcal{Q}Lt'}}\mathcal{Q}L\mathcal{P}\chi (t-{t}')}</math>

	Unter der Annahme, dass der inhomogene Term verschwindet, (dies kann man machen wenn man annimmt der irrelevante Anteil der Dichtematrix zum Startzeitpunkt als 0 Definiert wird.) und der Abkürzung		Unter der Annahme, dass der inhomogene Term verschwindet, (dies kann man machen wenn man annimmt der irrelevante Anteil der Dichtematrix zum Startzeitpunkt als 0 Definiert wird.) und der Abkürzung
Line 44:		Line 44:
	<math>\mathcal{P}^2=\mathcal{P} </math>		<math>\mathcal{P}^2=\mathcal{P} </math>
	erhält man die endgültige Form		erhält man die endgültige Form
	{{Gln\|<math>{\text{d}}_{t}{\chi }_{rel}=\mathcal{P}L{{\chi }_{rel}}+\int\limits_{0}^{t}{dt'\mathcal{K}({t}'){{\chi }_{rel}}(t-{t}')\|}</math>		{{Gln\|<math>{\text{d}}_{t}{\chi }_{rel}=\mathcal{P}L{{\chi }_{rel}}+\int\limits_{0}^{t}{dt'\mathcal{K}({t}'){{\chi }_{rel}}(t-{t}')}</math>
	\|Nakajima-Zwanzig-Gleichung}}		\|Nakajima-Zwanzig-Gleichung}}

			__SHOWFACTBOX__

	[[Kategorie:Quantenmechanik]]		[[Kategorie:Quantenmechanik]]

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2010-12-09T14:11:46Z

Herleitung

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	Eingesetzt in die erste Gleichung erhält man die		Eingesetzt in die erste Gleichung erhält man die
	Nakajima-Zwanzig-Gleichung:		Nakajima-Zwanzig-Gleichung:
	::<math>{{\text{d}}_{t}}\mathcal{P}\chi =\mathcal{P}L\mathcal{P}\chi +\underbrace{\mathcal{P}L{{e}^{\mathcal{Q}Lt}}Q\chi (t=0)}_{=0}+\mathcal{P}L\int\limits_{0}^{t}{dt{{e}^{\mathcal{Q}Lt'}}\mathcal{Q}L\mathcal{P}\chi (t-{t}')\|}</math>		::<math>{\text{d}}_{t} \mathcal{P}\chi =\mathcal{P}L\mathcal{P}\chi +\underbrace{\mathcal{P}L{{e}^{\mathcal{Q}Lt}}Q\chi (t=0)}_{=0}+\mathcal{P}L\int\limits_{0}^{t}{dt{{e}^{\mathcal{Q}Lt'}}\mathcal{Q}L\mathcal{P}\chi (t-{t}')\|}</math>

	Unter der Annahme, dass der inhomogene Term verschwindet, (dies kann man machen wenn man annimmt der irrelevante Anteil der Dichtematrix zum Startzeitpunkt als 0 Definiert wird.) und der Abkürzung		Unter der Annahme, dass der inhomogene Term verschwindet, (dies kann man machen wenn man annimmt der irrelevante Anteil der Dichtematrix zum Startzeitpunkt als 0 Definiert wird.) und der Abkürzung
Line 44:		Line 44:
	<math>\mathcal{P}^2=\mathcal{P} </math>		<math>\mathcal{P}^2=\mathcal{P} </math>
	erhält man die endgültige Form		erhält man die endgültige Form
	{{Gln\|<math>{{\text{d}}_{t}}{{\chi }_{rel}}=\mathcal{P}L{{\chi }_{rel}}+\int\limits_{0}^{t}{dt'\mathcal{K}({t}'){{\chi }_{rel}}(t-{t}')\|}</math>		{{Gln\|<math>{\text{d}}_{t}{\chi }_{rel}=\mathcal{P}L{{\chi }_{rel}}+\int\limits_{0}^{t}{dt'\mathcal{K}({t}'){{\chi }_{rel}}(t-{t}')\|}</math>
	\|Nakajima-Zwanzig-Gleichung}}		\|Nakajima-Zwanzig-Gleichung}}

	[[Kategorie:Quantenmechanik]]		[[Kategorie:Quantenmechanik]]

Schubotz: /* Herleitung */

2010-12-09T14:10:18Z

Herleitung

← Older revision		Revision as of 16:10, 9 December 2010
Line 3:		Line 3:
	==Herleitung==		==Herleitung==
	Beginnend mit der {{FB\|Liouville von Neumann Gleichung }}		Beginnend mit der {{FB\|Liouville von Neumann Gleichung }}
	:<math>{{d}_{t}}\chi = L \chi </math>		:<math>{d}_{t} \chi = L \chi </math>
	wobei der {{FB\|Dichteoperator}} durch den {{FB\|Projektionsoperator}}		wobei der {{FB\|Dichteoperator}} durch den {{FB\|Projektionsoperator}}
	<math>\mathcal{P}</math>		<math>\mathcal{P}</math>

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2010-12-09T14:09:38Z

Herleitung

← Older revision		Revision as of 16:09, 9 December 2010
Line 3:		Line 3:
	==Herleitung==		==Herleitung==
	Beginnend mit der {{FB\|Liouville von Neumann Gleichung }}		Beginnend mit der {{FB\|Liouville von Neumann Gleichung }}
	:<math>{{d}_{t}}\chi =L \chi </math>		:<math>{{d}_{t}}\chi = L \chi </math>
	wobei der {{FB\|Dichteoperator}} durch den {{FB\|Projektionsoperator}}		wobei der {{FB\|Dichteoperator}} durch den {{FB\|Projektionsoperator}}
	<math>\mathcal{P}</math>		<math>\mathcal{P}</math>
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	Unter der Annahme, dass der inhomogene Term verschwindet, (dies kann man machen wenn man annimmt der irrelevante Anteil der Dichtematrix zum Startzeitpunkt als 0 Definiert wird.) und der Abkürzung		Unter der Annahme, dass der inhomogene Term verschwindet, (dies kann man machen wenn man annimmt der irrelevante Anteil der Dichtematrix zum Startzeitpunkt als 0 Definiert wird.) und der Abkürzung
	:<math>\mathcal{K}\left( t \right)=\mathcal{P}L{{e}^{\mathcal{Q}Lt}}\mathcal{Q}L\mathcal{P} </math>		:<math>\mathcal{K}\left( t \right)=\mathcal{P}L{{e}^{\mathcal{Q}Lt}}\mathcal{Q}L\mathcal{P} </math>,
			<math>\mathcal{P}\chi \equiv {{\chi }_{rel}}</math>
	sowie der Ausnutzung von		sowie der Ausnutzung von
	<math>\mathcal{P}^2=\mathcal{P} </math>		<math>\mathcal{P}^2=\mathcal{P} </math>
	erhält man die endgültige Form		erhält man die endgültige Form
	{{Gln\|		{{Gln\|<math>{{\text{d}}_{t}}{{\chi }_{rel}}=\mathcal{P}L{{\chi }_{rel}}+\int\limits_{0}^{t}{dt'\mathcal{K}({t}'){{\chi }_{rel}}(t-{t}')\|}</math>
	<math>{{\text{d}}_{t}}~~\mathcal~~{P}\chi ~~=\mathcal~~{P}~~L\mathcal{P~~}~~\chi +\underbrace{~~\mathcal{P}L{~~{e}^~~{~~\mathcal{Q}Lt}}Q~~\chi ~~(t=0)~~}_{=0}+\int\limits_{0}^{t}{dt'\mathcal{K}({t}')\~~mathcal~~{P}~~\chi~~ (t-{t}')\|}</math>
	\|Nakajima-Zwanzig-Gleichung}}		\|Nakajima-Zwanzig-Gleichung}}



	~~<math>~~
	~~\begin{align}~~
	~~& {{d}_{t}}\left( \begin{matrix}~~
	~~\mathcal{P} \\~~
	~~\mathcal{Q} \\~~
	~~\end{matrix} \right)\chi =\left( \begin{matrix}~~
	~~\mathcal{P} \\~~
	~~\mathcal{Q} \\~~
	~~\end{matrix} \right)L\left( \begin{matrix}~~
	~~\mathcal{P} \\~~
	~~\mathcal{Q} \\~~
	~~\end{matrix} \right)\chi +\left( \begin{matrix}~~
	~~\mathcal{P} \\~~
	~~\mathcal{Q} \\~~
	~~\end{matrix} \right)L\left( \begin{matrix}~~
	~~\mathcal{Q} \\~~
	~~\mathcal{P} \\~~
	~~\end{matrix} \right)\chi \\~~
	~~& \Rightarrow \mathcal{Q}\chi ={{e}^{\mathcal{Q}Lt}}Q{{\chi }_{0}}+\int '{{e}^{\mathcal{Q}Lt}}\mathcal{Q}L\mathcal{P}\chi (t-{t}') \\~~
	& \Rightarrow {{\text{d}}_{t}}\mathcal{P}\chi =\mathcal{P}L\mathcal{P}\chi +\underbrace{\mathcal{P}{{e}^{\mathcal{Q}Lt}}Q{{\chi }_{0}}}_{=0}+\mathcal{P}L\int '{{e}^{\mathcal{Q}Lt}}\mathcal{Q}L\mathcal{P}\chi (t-{t}') \\
	~~\end{align}~~
	~~</math>~~

	[[Kategorie:Quantenmechanik]]		[[Kategorie:Quantenmechanik]]

Schubotz: /* Herleitung */

2010-12-09T14:05:58Z

Herleitung

← Older revision		Revision as of 16:05, 9 December 2010
Line 3:		Line 3:
	==Herleitung==		==Herleitung==
	Beginnend mit der {{FB\|Liouville von Neumann Gleichung }}		Beginnend mit der {{FB\|Liouville von Neumann Gleichung }}
	:<math>{{d}_{t}}\chi =L\chi </math>		:<math>{{d}_{t}}\chi =L \chi </math>
	wobei der {{FB\|Dichteoperator}} durch den {{FB\|Projektionsoperator}}		wobei der {{FB\|Dichteoperator}} durch den {{FB\|Projektionsoperator}}
	<math>\mathcal{P}</math>		<math>\mathcal{P}</math>
Line 32:		Line 32:

	Die zweite Zeile wird formal durch		Die zweite Zeile wird formal durch
	:<math>\mathcal{Q}\chi ={{e}^{\mathcal{Q}Lt}}Q\chi (t=0)+\int\limits_{0}^{t}{dt{{e}^{\mathcal{Q}Lt'}}\mathcal{Q}L\mathcal{P}\chi (t-{t}')\|}</math>		:<math>\mathcal{Q}\chi ={{e}^{\mathcal{Q}Lt}}Q\chi (t=0)+\int\limits_{0}^{t}{dt{{e}^{\mathcal{Q}Lt'}}\mathcal{Q}L\mathcal{P}\chi (t-{t}')\|}</math> gelöst.
	gelöst ~~wird~~.
	Eingesetzt in die erste Gleichung erhält man die		Eingesetzt in die erste Gleichung erhält man die
	Nakajima-Zwanzig-Gleichung:		Nakajima-Zwanzig-Gleichung:
	::<math>{{\text{d}}_{t}}\mathcal{P}\chi =\mathcal{P}L\mathcal{P}\chi +\underbrace{\mathcal{P}L{{e}^{\mathcal{Q}Lt}}Q\chi (t=0)}_{=0}+\mathcal{P}L\int\limits_{0}^{t}{dt{{e}^{\mathcal{Q}Lt'}}\mathcal{Q}L\mathcal{P}\chi (t-{t}')\|}</math>		::<math>{{\text{d}}_{t}}\mathcal{P}\chi =\mathcal{P}L\mathcal{P}\chi +\underbrace{\mathcal{P}L{{e}^{\mathcal{Q}Lt}}Q\chi (t=0)}_{=0}+\mathcal{P}L\int\limits_{0}^{t}{dt{{e}^{\mathcal{Q}Lt'}}\mathcal{Q}L\mathcal{P}\chi (t-{t}')\|}</math>


	Unter der Annahme, dass der inhomogene Term verschwindet, (dies kann man machen wenn man annimmt der irrelevante Anteil der Dichtematrix zum Startzeitpunkt als 0 Definiert wird.) und der Abkürzung		Unter der Annahme, dass der inhomogene Term verschwindet, (dies kann man machen wenn man annimmt der irrelevante Anteil der Dichtematrix zum Startzeitpunkt als 0 Definiert wird.) und der Abkürzung
	:<math>\mathcal{K}\left( t \right)=\mathcal{P}L{{e}^{\mathcal{Q}Lt}}\mathcal{Q}L\mathcal{P}</math>		:<math>\mathcal{K}\left( t \right)=\mathcal{P}L{{e}^{\mathcal{Q}Lt}}\mathcal{Q}L\mathcal{P} </math>
	sowie der Ausnutzung von		sowie der Ausnutzung von
	<math>\mathcal{P}^2=\mathcal{P}</math>		<math>\mathcal{P}^2=\mathcal{P} </math>
	erhält man die endgültige Form		erhält man die endgültige Form
	{{~~Gleichung~~\|		{{Gln\|
	<math>{{\text{d}}_{t}}\mathcal{P}\chi =\mathcal{P}L\mathcal{P}\chi +\underbrace{\mathcal{P}L{{e}^{\mathcal{Q}Lt}}Q\chi (t=0)}_{=0}+\int\limits_{0}^{t}{dt'\mathcal{K}({t}')\mathcal{P}\chi (t-{t}')\|}</math>		<math>{{\text{d}}_{t}}\mathcal{P}\chi =\mathcal{P}L\mathcal{P}\chi +\underbrace{\mathcal{P}L{{e}^{\mathcal{Q}Lt}}Q\chi (t=0)}_{=0}+\int\limits_{0}^{t}{dt'\mathcal{K}({t}')\mathcal{P}\chi (t-{t}')\|}</math>
	\|Nakajima-Zwanzig-Gleichung}}		\|Nakajima-Zwanzig-Gleichung}}

Schubotz at 14:03, 9 December 2010

2010-12-09T14:03:02Z

@@ Line 1: / Line 1: @@
-Die Nakajima-Zwangzig Gleichung ist eine Integrodifferentialgleichung die die Zeitentwicklung des relevanten Anteils eine quantenmechanischen Systems beschreibt. Sie wird im Dichteopertorformalismus formuliert und kann als Verallgemeinerung der Mastergleichung angesehen werden.
+Die {{FB|Nakajima-Zwangzig Gleichung}} ist eine {{FB|Integrodifferentialgleichung}} die die Zeitentwicklung des relevanten Anteils eine quantenmechanischen Systems beschreibt. Sie wird im Dichteopertorformalismus formuliert und kann als Verallgemeinerung der {{FB|Mastergleichung}} angesehen werden.
 ==Herleitung==
-<math>\begin{align}
+Die Liouville von Neumann Gleichung kann also durch
-  & {{d}_{t}}\chi =L\chi  \\
+:<math>{{d}_{t}}\left( \begin{matrix}
- & \chi =\mathcal{P}\chi +\mathcal{Q}\chi
+   \mathcal{P}  \\
-\end{align}
+   \mathcal{Q}  \\
-</math><math>
+\end{matrix} \right)\chi =\left( \begin{matrix}
 \begin{align}
   & {{d}_{t}}\left( \begin{matrix}

Schubotz: hat „Nakajima zwanzig“ nach „Nakajima-Zwanzig-Gleichung“ verschoben

2010-12-09T13:33:08Z

hat „Nakajima zwanzig“ nach „Nakajima-Zwanzig-Gleichung“ verschoben

← Older revision	Revision as of 15:33, 9 December 2010
(No difference)

Schubotz at 13:32, 9 December 2010

2010-12-09T13:32:18Z

← Older revision		Revision as of 15:32, 9 December 2010
Line 1:		Line 1:
	Nakajima ~~Zwanzig Equation~~		Die Nakajima-Zwangzig Gleichung ist eine Integrodifferentialgleichung die die Zeitentwicklung des relevanten Anteils eine quantenmechanischen Systems beschreibt. Sie wird im Dichteopertorformalismus formuliert und kann als Verallgemeinerung der Mastergleichung angesehen werden.

			==Herleitung==

	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}
	& {{d}_{t}}\chi =L\chi \\		& {{d}_{t}}\chi =L\chi \\