Magnetisches Moment und Zeeman- Effekt - Revision history

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2010-09-12T22:43:32Z

Interpunktion, replaced: ! → ! (4), ( → ( (2)

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Line 9:		Line 9:
	Durch den kinetischen Impulsoperator: <math>\left( \bar{p}-e\bar{A} \right)</math>		Durch den kinetischen Impulsoperator: <math>\left( \bar{p}-e\bar{A} \right)</math>

	ist der Einfluss von äußeren Feldern auf den Bahndrehimpuls schon in der Gleichungen enthalten. Es folgt bereits der Zeemann Effekt aus dem gemachten Ansatz. Würde man dagegen auf Effekte hoffen, die erst angesichts des Spins von Elektronen auftreten, so wäre dies vergebens. Effekte des Spins sind in die Gleichung noch nicht eingebaut !		ist der Einfluss von äußeren Feldern auf den Bahndrehimpuls schon in der Gleichungen enthalten. Es folgt bereits der Zeemann Effekt aus dem gemachten Ansatz. Würde man dagegen auf Effekte hoffen, die erst angesichts des Spins von Elektronen auftreten, so wäre dies vergebens. Effekte des Spins sind in die Gleichung noch nicht eingebaut!

	:<math>H=\frac{1}{2{{m}_{0}}}\left( {{{\bar{p}}}^{2}}-2e\bar{A}\bar{p}+{{e}^{2}}{{{\bar{A}}}^{2}} \right)+V(r)</math>		:<math>H=\frac{1}{2{{m}_{0}}}\left( {{{\bar{p}}}^{2}}-2e\bar{A}\bar{p}+{{e}^{2}}{{{\bar{A}}}^{2}} \right)+V(r)</math>
Line 22:		Line 22:

	sei für Atome vernachlässigbar, falls <math>\left\langle {{L}_{3}} \right\rangle \ne 0</math>		sei für Atome vernachlässigbar, falls <math>\left\langle {{L}_{3}} \right\rangle \ne 0</math>
			,
	, falls <math>B<{{10}^{5}}G</math>		falls <math>B<{{10}^{5}}G</math>

	vergl. Schwabl S. 128		vergl. Schwabl S. 128
Line 63:		Line 63:
	:<math>\frac{e}{2{{m}_{0}}}\hbar m:={{\mu }_{3}}</math>		:<math>\frac{e}{2{{m}_{0}}}\hbar m:={{\mu }_{3}}</math>

	( magnetisches Moment)		(magnetisches Moment)

	Klassisch:		Klassisch:
Line 99:		Line 99:
	→ Die m- Entartung wird vollständig aufgehoben		→ Die m- Entartung wird vollständig aufgehoben

	Das heißt: für jedes m ergibt sich eine eigene Energie !		Das heißt: für jedes m ergibt sich eine eigene Energie!

	:<math>m=-l,...,+l</math>		:<math>m=-l,...,+l</math>
Line 105:		Line 105:
	→ Aufspaltung in <math>2l+1</math>		→ Aufspaltung in <math>2l+1</math>

	- Niveaus ( Multipletts) mit m = magnetische Quantenzahl		- Niveaus (Multipletts) mit m = magnetische Quantenzahl

	Achtung ! Die l- Entartung wird keineswegs aufgehoben. Allerdings ist natürlich m abhängig von l		Achtung! Die l- Entartung wird keineswegs aufgehoben. Allerdings ist natürlich m abhängig von l

	Nebenbemerkung: Anomaler Zeeman- Effekt → Effekt des Spins (vergl. nächstes Kapitel)		Nebenbemerkung: Anomaler Zeeman- Effekt → Effekt des Spins (vergl. nächstes Kapitel)
Line 113:		Line 113:
	H- Atom: l- Entartung		H- Atom: l- Entartung

	Atome mit ungerader Kernladungszahl: Spin- Bahn - Zustände !		Atome mit ungerader Kernladungszahl: Spin- Bahn - Zustände!

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2010-09-12T20:06:08Z

Pfeile einfügen, replaced: -> → → (4)

← Older revision		Revision as of 22:06, 12 September 2010
Line 15:		Line 15:
	Verwende: Coulombeichung: <math>\nabla \cdot \bar{A}=0</math>		Verwende: Coulombeichung: <math>\nabla \cdot \bar{A}=0</math>

	-> <math>\bar{A}\bar{p}=\bar{p}\bar{A}</math>		→ <math>\bar{A}\bar{p}=\bar{p}\bar{A}</math>

	für Operatoren		für Operatoren
Line 97:		Line 97:
	:<math>\Rightarrow E={{E}_{nl}}-\frac{\hbar eB}{2{{m}_{0}}}m</math>		:<math>\Rightarrow E={{E}_{nl}}-\frac{\hbar eB}{2{{m}_{0}}}m</math>

	-> Die m- Entartung wird vollständig aufgehoben		→ Die m- Entartung wird vollständig aufgehoben

	Das heißt: für jedes m ergibt sich eine eigene Energie !		Das heißt: für jedes m ergibt sich eine eigene Energie !
Line 103:		Line 103:
	:<math>m=-l,...,+l</math>		:<math>m=-l,...,+l</math>

	-> Aufspaltung in <math>2l+1</math>		→ Aufspaltung in <math>2l+1</math>

	- Niveaus ( Multipletts) mit m = magnetische Quantenzahl		- Niveaus ( Multipletts) mit m = magnetische Quantenzahl
Line 109:		Line 109:
	Achtung ! Die l- Entartung wird keineswegs aufgehoben. Allerdings ist natürlich m abhängig von l		Achtung ! Die l- Entartung wird keineswegs aufgehoben. Allerdings ist natürlich m abhängig von l

	Nebenbemerkung: Anomaler Zeeman- Effekt -> Effekt des Spins (vergl. nächstes Kapitel)		Nebenbemerkung: Anomaler Zeeman- Effekt → Effekt des Spins (vergl. nächstes Kapitel)

	H- Atom: l- Entartung		H- Atom: l- Entartung

	Atome mit ungerader Kernladungszahl: Spin- Bahn - Zustände !		Atome mit ungerader Kernladungszahl: Spin- Bahn - Zustände !

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T14:42:55Z

Einrückungen Mathematik

← Older revision		Revision as of 16:42, 12 September 2010
Line 3:		Line 3:
	Hamilton- Operator mit äußerem Magnetfeld:		Hamilton- Operator mit äußerem Magnetfeld:

	<math>H=\frac{1}{2{{m}_{0}}}{{\left( \bar{p}-e\bar{A} \right)}^{2}}+V(r)</math>		:<math>H=\frac{1}{2{{m}_{0}}}{{\left( \bar{p}-e\bar{A} \right)}^{2}}+V(r)</math>

	mit kugelsymmetrischem Potenzial		mit kugelsymmetrischem Potenzial
Line 11:		Line 11:
	ist der Einfluss von äußeren Feldern auf den Bahndrehimpuls schon in der Gleichungen enthalten. Es folgt bereits der Zeemann Effekt aus dem gemachten Ansatz. Würde man dagegen auf Effekte hoffen, die erst angesichts des Spins von Elektronen auftreten, so wäre dies vergebens. Effekte des Spins sind in die Gleichung noch nicht eingebaut !		ist der Einfluss von äußeren Feldern auf den Bahndrehimpuls schon in der Gleichungen enthalten. Es folgt bereits der Zeemann Effekt aus dem gemachten Ansatz. Würde man dagegen auf Effekte hoffen, die erst angesichts des Spins von Elektronen auftreten, so wäre dies vergebens. Effekte des Spins sind in die Gleichung noch nicht eingebaut !

	<math>H=\frac{1}{2{{m}_{0}}}\left( {{{\bar{p}}}^{2}}-2e\bar{A}\bar{p}+{{e}^{2}}{{{\bar{A}}}^{2}} \right)+V(r)</math>		:<math>H=\frac{1}{2{{m}_{0}}}\left( {{{\bar{p}}}^{2}}-2e\bar{A}\bar{p}+{{e}^{2}}{{{\bar{A}}}^{2}} \right)+V(r)</math>

	Verwende: Coulombeichung: <math>\nabla \cdot \bar{A}=0</math>		Verwende: Coulombeichung: <math>\nabla \cdot \bar{A}=0</math>
Line 19:		Line 19:
	für Operatoren		für Operatoren

	<math>{{e}^{2}}{{\bar{A}}^{2}}</math>		:<math>{{e}^{2}}{{\bar{A}}^{2}}</math>

	sei für Atome vernachlässigbar, falls <math>\left\langle {{L}_{3}} \right\rangle \ne 0</math>		sei für Atome vernachlässigbar, falls <math>\left\langle {{L}_{3}} \right\rangle \ne 0</math>
Line 35:		Line 35:
	Somit:		Somit:

	<math>\frac{\hbar }{i}\left( \bar{A}\cdot \nabla \Psi \right)=\frac{\hbar }{2i}\left( \bar{B}\times \bar{r} \right)\nabla \Psi =\frac{\hbar }{2i}\bar{B}\left( \bar{r}\times \nabla \right)\Psi =\frac{1}{2}\left( \bar{B}\cdot \bar{L} \right)\Psi </math>		:<math>\frac{\hbar }{i}\left( \bar{A}\cdot \nabla \Psi \right)=\frac{\hbar }{2i}\left( \bar{B}\times \bar{r} \right)\nabla \Psi =\frac{\hbar }{2i}\bar{B}\left( \bar{r}\times \nabla \right)\Psi =\frac{1}{2}\left( \bar{B}\cdot \bar{L} \right)\Psi </math>

	Sei		Sei

	<math>\bar{B}=\left( 0,0,B \right)\Rightarrow \bar{B}\cdot \bar{L}=B{{L}_{3}}</math>		:<math>\bar{B}=\left( 0,0,B \right)\Rightarrow \bar{B}\cdot \bar{L}=B{{L}_{3}}</math>

	Schrödinger- Gleichung:		Schrödinger- Gleichung:

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

	& -\frac{{{\hbar }^{2}}}{2{{m}_{0}}}\Delta \Psi +\left( V-E-\frac{e}{2{{m}_{0}}}B{{L}_{3}} \right)\Psi =0 \\		& -\frac{{{\hbar }^{2}}}{2{{m}_{0}}}\Delta \Psi +\left( V-E-\frac{e}{2{{m}_{0}}}B{{L}_{3}} \right)\Psi =0 \\
Line 53:		Line 53:
	Wobei		Wobei

	<math>{{L}_{3}}\Psi =\hbar m\Psi </math>		:<math>{{L}_{3}}\Psi =\hbar m\Psi </math>

	für Drehimpuls- Eigenzustände		für Drehimpuls- Eigenzustände

	<math>\Rightarrow -\frac{{{\hbar }^{2}}}{2{{m}_{0}}}\Delta \Psi +\left( V(r)-E-\frac{e}{2{{m}_{0}}}\hbar mB \right)\Psi =0</math>		:<math>\Rightarrow -\frac{{{\hbar }^{2}}}{2{{m}_{0}}}\Delta \Psi +\left( V(r)-E-\frac{e}{2{{m}_{0}}}\hbar mB \right)\Psi =0</math>

	mit		mit

	<math>\frac{e}{2{{m}_{0}}}\hbar m:={{\mu }_{3}}</math>		:<math>\frac{e}{2{{m}_{0}}}\hbar m:={{\mu }_{3}}</math>

	( magnetisches Moment)		( magnetisches Moment)
Line 67:		Line 67:
	Klassisch:		Klassisch:

	<math>\bar{\mu }=-\frac{\partial H}{\partial \bar{B}}=\frac{e}{2{{m}_{0}}}\bar{L}</math>		:<math>\bar{\mu }=-\frac{\partial H}{\partial \bar{B}}=\frac{e}{2{{m}_{0}}}\bar{L}</math>

	Der Term im Hamiltonian der magnetischen Wechselwirkung.		Der Term im Hamiltonian der magnetischen Wechselwirkung.

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

	& {{H}_{mag.}}={{\mu }_{B}}\bar{B}=\frac{e\bar{B}\cdot \bar{L}}{2{{m}_{0}}}=\frac{eB{{L}_{3}}}{2{{m}_{0}}} \\		& {{H}_{mag.}}={{\mu }_{B}}\bar{B}=\frac{e\bar{B}\cdot \bar{L}}{2{{m}_{0}}}=\frac{eB{{L}_{3}}}{2{{m}_{0}}} \\
Line 83:		Line 83:
	Atom im homogenen Magnetfeld:		Atom im homogenen Magnetfeld:

	<math>\left( {{H}_{0}}-E-{{\mu }_{3}}B \right)\Psi =0</math>		:<math>\left( {{H}_{0}}-E-{{\mu }_{3}}B \right)\Psi =0</math>

	H0: Hamiltonoperator ohne B- Feld		H0: Hamiltonoperator ohne B- Feld

	<math>\frac{e}{2{{m}_{0}}}\hbar m:={{\mu }_{3}}</math>		:<math>\frac{e}{2{{m}_{0}}}\hbar m:={{\mu }_{3}}</math>

	<math>\frac{e\hbar }{2{{m}_{0}}}:={{\mu }_{B}}</math>		:<math>\frac{e\hbar }{2{{m}_{0}}}:={{\mu }_{B}}</math>

	Bohrsches Magneton: e<0		Bohrsches Magneton: e<0

	<math>{{H}_{0}}{{\Psi }_{nlm}}={{E}_{nl}}{{\Psi }_{nlm}}</math>		:<math>{{H}_{0}}{{\Psi }_{nlm}}={{E}_{nl}}{{\Psi }_{nlm}}</math>

	<math>\Rightarrow E={{E}_{nl}}-\frac{\hbar eB}{2{{m}_{0}}}m</math>		:<math>\Rightarrow E={{E}_{nl}}-\frac{\hbar eB}{2{{m}_{0}}}m</math>

	-> Die m- Entartung wird vollständig aufgehoben		-> Die m- Entartung wird vollständig aufgehoben
Line 101:		Line 101:
	Das heißt: für jedes m ergibt sich eine eigene Energie !		Das heißt: für jedes m ergibt sich eine eigene Energie !

	<math>m=-l,...,+l</math>		:<math>m=-l,...,+l</math>

	-> Aufspaltung in <math>2l+1</math>		-> Aufspaltung in <math>2l+1</math>

Schubotz at 22:19, 7 September 2010

2010-09-07T22:19:08Z

← Older revision		Revision as of 00:19, 8 September 2010
Line 1:		Line 1:
	{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|3\|5}}		<noinclude>{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|3\|5}}</noinclude>

	Hamilton- Operator mit äußerem Magnetfeld:		Hamilton- Operator mit äußerem Magnetfeld:

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Quantenmechanik|3|5}} Hamilton- Operator mit äußerem Magnetfeld: $H=\frac{1}{2{{m}_{0}}}{{\left( \bar{p}-e\bar{A} \right)}^{2}}+V(r)$
2010-08-24T16:43:37Z

Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Quantenmechanik|3|5}} Hamilton- Operator mit äußerem Magnetfeld: <math>H=\frac{1}{2{{m}_{0}}}{{\left( \bar{p}-e\bar{A} \right)}^{2}}+V(r)</mat…“

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{{Scripthinweis|Quantenmechanik|3|5}}

Hamilton- Operator mit äußerem Magnetfeld:

<math>H=\frac{1}{2{{m}_{0}}}{{\left( \bar{p}-e\bar{A} \right)}^{2}}+V(r)</math>

mit kugelsymmetrischem Potenzial

Durch den kinetischen Impulsoperator: <math>\left( \bar{p}-e\bar{A} \right)</math>

ist der Einfluss von äußeren Feldern auf den Bahndrehimpuls schon in der Gleichungen enthalten. Es folgt bereits der Zeemann Effekt aus dem gemachten Ansatz. Würde man dagegen auf Effekte hoffen, die erst angesichts des Spins von Elektronen auftreten, so wäre dies vergebens. Effekte des Spins sind in die Gleichung noch nicht eingebaut !

<math>H=\frac{1}{2{{m}_{0}}}\left( {{{\bar{p}}}^{2}}-2e\bar{A}\bar{p}+{{e}^{2}}{{{\bar{A}}}^{2}} \right)+V(r)</math>

Verwende: Coulombeichung: <math>\nabla \cdot \bar{A}=0</math>

-> <math>\bar{A}\bar{p}=\bar{p}\bar{A}</math>

für Operatoren

<math>{{e}^{2}}{{\bar{A}}^{2}}</math>

sei für Atome vernachlässigbar, falls <math>\left\langle {{L}_{3}} \right\rangle \ne 0</math>

, falls <math>B<{{10}^{5}}G</math>

vergl. Schwabl S. 128

<u>'''Homogenes Magnetfeld: '''</u><math>\bar{A}=\frac{1}{2}\left( \bar{B}\times \bar{r} \right)</math>

wegen <math>\bar{B}=\nabla \times \bar{A}=\frac{1}{2}\left( \bar{B}\left( \nabla \cdot \bar{r} \right) \right)-\frac{1}{2}\left( \bar{B}\cdot \nabla \right)\bar{r}=\frac{1}{2}\left( \nabla \times \left( \bar{B}\times \bar{r} \right) \right)=\bar{B}</math>

Da ja <math>\left( \nabla \cdot \bar{r} \right)=3,\left( \bar{B}\cdot \nabla \right)\bar{r}=\bar{B}</math>

Somit:

<math>\frac{\hbar }{i}\left( \bar{A}\cdot \nabla \Psi \right)=\frac{\hbar }{2i}\left( \bar{B}\times \bar{r} \right)\nabla \Psi =\frac{\hbar }{2i}\bar{B}\left( \bar{r}\times \nabla \right)\Psi =\frac{1}{2}\left( \bar{B}\cdot \bar{L} \right)\Psi </math>

Sei

<math>\bar{B}=\left( 0,0,B \right)\Rightarrow \bar{B}\cdot \bar{L}=B{{L}_{3}}</math>

Schrödinger- Gleichung:

<math>\begin{align}

& -\frac{{{\hbar }^{2}}}{2{{m}_{0}}}\Delta \Psi +\left( V-E-\frac{e}{2{{m}_{0}}}B{{L}_{3}} \right)\Psi =0 \\

& {{L}_{3}}\Psi =\hbar m\Psi \\

\end{align}</math>

Wobei

<math>{{L}_{3}}\Psi =\hbar m\Psi </math>

für Drehimpuls- Eigenzustände

<math>\Rightarrow -\frac{{{\hbar }^{2}}}{2{{m}_{0}}}\Delta \Psi +\left( V(r)-E-\frac{e}{2{{m}_{0}}}\hbar mB \right)\Psi =0</math>

mit

<math>\frac{e}{2{{m}_{0}}}\hbar m:={{\mu }_{3}}</math>

( magnetisches Moment)

Klassisch:

<math>\bar{\mu }=-\frac{\partial H}{\partial \bar{B}}=\frac{e}{2{{m}_{0}}}\bar{L}</math>

Der Term im Hamiltonian der magnetischen Wechselwirkung.

<math>\begin{align}

& {{H}_{mag.}}={{\mu }_{B}}\bar{B}=\frac{e\bar{B}\cdot \bar{L}}{2{{m}_{0}}}=\frac{eB{{L}_{3}}}{2{{m}_{0}}} \\

& {{\mu }_{B}}=\frac{\hbar e}{2{{m}_{0}}} \\

\end{align}</math>

====Normaler Zeeman- Effekt:====

Atom im homogenen Magnetfeld:

<math>\left( {{H}_{0}}-E-{{\mu }_{3}}B \right)\Psi =0</math>

H0: Hamiltonoperator ohne B- Feld

<math>\frac{e}{2{{m}_{0}}}\hbar m:={{\mu }_{3}}</math>

<math>\frac{e\hbar }{2{{m}_{0}}}:={{\mu }_{B}}</math>

Bohrsches Magneton: e<0

<math>{{H}_{0}}{{\Psi }_{nlm}}={{E}_{nl}}{{\Psi }_{nlm}}</math>

<math>\Rightarrow E={{E}_{nl}}-\frac{\hbar eB}{2{{m}_{0}}}m</math>

-> Die m- Entartung wird vollständig aufgehoben

Das heißt: für jedes m ergibt sich eine eigene Energie !

<math>m=-l,...,+l</math>

-> Aufspaltung in <math>2l+1</math>

- Niveaus ( Multipletts) mit m = magnetische Quantenzahl

Achtung ! Die l- Entartung wird keineswegs aufgehoben. Allerdings ist natürlich m abhängig von l

Nebenbemerkung: Anomaler Zeeman- Effekt -> Effekt des Spins (vergl. nächstes Kapitel)

H- Atom: l- Entartung

Atome mit ungerader Kernladungszahl: Spin- Bahn - Zustände !