Lagrangegleichungen 2. Art - Revision history

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2010-09-12T22:29:50Z

Spezialfall konservative Kräfte: Interpunktion, replaced: ! → !

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	Die sagenumwobene Lagrangegleichung 2. Art für konservative Kräfte !		Die sagenumwobene Lagrangegleichung 2. Art für konservative Kräfte!

	Anmerkung:		Anmerkung:

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

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Einrückungen Mathematik

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*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

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Einrückungen Mathematik

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	<math>\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\ddot{\bar{r}}}}_{i}}\delta {{{\bar{r}}}_{i}}}=\sum\limits_{j}{{}}\left( \sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\ddot{\bar{r}}}}_{i}}\frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}{{{\bar{r}}}_{i}}} \right)\delta {{q}_{j}}=\sum\limits_{j}{{}}\sum\limits_{i}^{{}}{\left\{ \frac{d}{dt}\left( {{m}_{i}}{{{\dot{\vec{r}}}}_{i}}\frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}{{{\bar{r}}}_{i}} \right)-{{m}_{i}}{{{\dot{\vec{r}}}}_{i}}\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}{{{\bar{r}}}_{i}} \right) \right\}\delta {{q}_{j}}_{{}}}</math>		<math>\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\ddot{\bar{r}}}}_{i}}\delta {{{\bar{r}}}_{i}}}=\sum\limits_{j}{{}}\left( \sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\ddot{\bar{r}}}}_{i}}\frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}{{{\bar{r}}}_{i}}} \right)\delta {{q}_{j}}=\sum\limits_{j}{{}}\sum\limits_{i}^{{}}{\left\{ \frac{d}{dt}\left( {{m}_{i}}{{{\dot{\vec{r}}}}_{i}}\frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}{{{\bar{r}}}_{i}} \right)-{{m}_{i}}{{{\dot{\vec{r}}}}_{i}}\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}{{{\bar{r}}}_{i}} \right) \right\}\delta {{q}_{j}}_{{}}}</math> Mit <math>\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}}{{\vec{v}}_{i}}=\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}}{{\left[ \sum\limits_{j=1}^{f}{\left( \frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}{{{\dot{q}}}_{j}} \right)}+\frac{\partial }{\partial t}{{{\bar{r}}}_{i}} \right]}_{{}}}=\frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}{{\bar{r}}_{i}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)</math> und <math>{{\dot{\bar{r}}}_{i}}=\sum\limits_{j=1}^{f}{\left( \frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}} \right)}{{\dot{q}}_{j}}+\frac{\partial }{\partial t}{{\bar{r}}_{i}}=\sum\limits_{j=1}^{f}{\left( \frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}}{{{\vec{v}}}_{i}} \right)}{{\dot{q}}_{j}}+\frac{\partial }{\partial t}{{\bar{r}}_{i}}\Rightarrow \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}} \right)=\frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}{{\vec{v}}_{i}}</math>


	Mit


	<math>\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}}{{\vec{v}}_{i}}=\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}}{{\left[ \sum\limits_{j=1}^{f}{\left( \frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}{{{\dot{q}}}_{j}} \right)}+\frac{\partial }{\partial t}{{{\bar{r}}}_{i}} \right]}_{{}}}=\frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}{{\bar{r}}_{i}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)</math>


	und


	<math>{{\dot{\bar{r}}}_{i}}=\sum\limits_{j=1}^{f}{\left( \frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}} \right)}{{\dot{q}}_{j}}+\frac{\partial }{\partial t}{{\bar{r}}_{i}}=\sum\limits_{j=1}^{f}{\left( \frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}}{{{\vec{v}}}_{i}} \right)}{{\dot{q}}_{j}}+\frac{\partial }{\partial t}{{\bar{r}}_{i}}\Rightarrow \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}} \right)=\frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}{{\vec{v}}_{i}}</math>

Schubotz: /* Anwendungsschema für Lagrangegleichungen zweiter Art: */

2010-08-28T15:23:30Z

Anwendungsschema für Lagrangegleichungen zweiter Art:

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Line 129:		Line 129:
	{{Beispiel\|		{{Beispiel\|
	'''Die Atwoodsche Fallmaschine'''		'''Die Atwoodsche Fallmaschine'''
	[[File:~~Atwoods_machine~~.~~png~~\|miniatur]]		[[File:Atwood.svg\|miniatur]]
	Generalisierte Koordinate: q		Generalisierte Koordinate: q

Line 144:		Line 144:
	{{Beispiel\|		{{Beispiel\|
	'''Beispiel 2:'''		'''Beispiel 2:'''
	[[Datei:MomAng2.png\|Eine Masse m rotiert mit Winkelgeschwindigkeit w an einem Faden der Länge Ro, welcher mit Geschwindigkeit c durch ein Loch gezogen wird (rheonome Zwangsbedingung).]]		[[Datei:MomAng2.png\|miniatur\|Eine Masse m rotiert mit Winkelgeschwindigkeit w an einem Faden der Länge Ro, welcher mit Geschwindigkeit c durch ein Loch gezogen wird (rheonome Zwangsbedingung).]]
	Eine Masse m rotiert mit Winkelgeschwindigkeit w an einem Faden der Länge Ro, welcher mit Geschwindigkeit c durch ein Loch gezogen wird (rheonome Zwangsbedingung).		Eine Masse m rotiert mit Winkelgeschwindigkeit w an einem Faden der Länge Ro, welcher mit Geschwindigkeit c durch ein Loch gezogen wird (rheonome Zwangsbedingung).

Schubotz: /* Anwendungsschema für Lagrangegleichungen zweiter Art: */

2010-08-28T15:21:38Z

Anwendungsschema für Lagrangegleichungen zweiter Art:

← Older revision		Revision as of 17:21, 28 August 2010
Line 129:		Line 129:
	{{Beispiel\|		{{Beispiel\|
	'''Die Atwoodsche Fallmaschine'''		'''Die Atwoodsche Fallmaschine'''
			[[File:Atwoods_machine.png\|miniatur]]
	Generalisierte Koordinate: q		Generalisierte Koordinate: q

Line 144:		Line 144:
	{{Beispiel\|		{{Beispiel\|
	'''Beispiel 2:'''		'''Beispiel 2:'''
			[[Datei:MomAng2.png\|Eine Masse m rotiert mit Winkelgeschwindigkeit w an einem Faden der Länge Ro, welcher mit Geschwindigkeit c durch ein Loch gezogen wird (rheonome Zwangsbedingung).]]
	Eine Masse m rotiert mit Winkelgeschwindigkeit w an einem Faden der Länge Ro, welcher mit Geschwindigkeit c durch ein Loch gezogen wird (rheonome Zwangsbedingung).		Eine Masse m rotiert mit Winkelgeschwindigkeit w an einem Faden der Länge Ro, welcher mit Geschwindigkeit c durch ein Loch gezogen wird (rheonome Zwangsbedingung).

Schubotz at 15:06, 28 August 2010

2010-08-28T15:06:34Z

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Line 1:		Line 1:

	<noinclude>{{Scripthinweis\|Mechanik\|1\|5}}</noinclude>		<noinclude>{{Scripthinweis\|Mechanik\|1\|5}}</noinclude>

Line 42:		Line 41:


	Ziel ist es, diese Seite durch die gesamte ~~KINETISCHE ENERGIE~~ auszudrücken:		Ziel ist es, diese Seite durch die gesamte {{FB\|Kinetische Energie}} auszudrücken:


Line 69:		Line 68:


	Der T-abhängige Ausdruck ist jedoch in qj völlig frei variierbar. Somit ist keine lineare Abhängigkeit der Variationen über verschiedene j gegeben.		Der T-abhängige Ausdruck ist jedoch in <math>q_j</math> völlig frei variierbar. Somit ist keine lineare Abhängigkeit der Variationen über verschiedene j gegeben.

	Jedes qj ist für sich frei variierbar, so dass der Ausdruck auf der linken Seite für sich Null wird:		Jedes <math>q_j</math> ist für sich frei variierbar, so dass der Ausdruck auf der linken Seite für sich Null wird:


Line 79:		Line 78:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

			{{Def\| <math>\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}T \right){{-}_{{}}}\left( \frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}T \right)={Q}_{k}\quad \quad k=1,....,f</math> heißt '''Lagrange- Gleichungen 2. Art'''\|Lagrange- Gleichungen 2. Art}}

	~~'''Lagrange- Gleichungen 2. Art:'''~~		Die Lagrangegleichungen der zweiten Art können aus dem d ´Alembertschen Prinzip nur für '''holonome''' Zwangsbedingungen gewonnen werden (im Gegensatz zur Lagrangegleichung erster Art).

	Die Lagrangegleichungen der zweiten Art können aus dem d ´Alembertschen Prinzip nur für ~~HOLONOME~~ Zwangsbedingungen gewonnen werden ( im Gegensatz zur Lagrangegleichung erster Art).

	~~Dies liegt daran, dass nur für HOLONOME Zwangsbedingungen generalisierte Koordinaten definiert werden können:~~

	~~<u>~~'''Spezialfall konservative Kräfte~~:'''</u>~~		Dies liegt daran, dass nur für '''holonome''' Zwangsbedingungen {{FB\|generalisierte Koordinaten}} definiert werden können:
			==Spezialfall konservative Kräfte==


Line 118:		Line 115:

	* die genannte Lagrangegleichung L ist nicht eindeutig festgelegt		* die genannte Lagrangegleichung L ist nicht eindeutig festgelegt
	* L=T-V ist nur ~~EINE~~ mögliche Form		* L=T-V ist nur '''eine''' mögliche Form
	*		*<math>\begin{align}
	<math>\begin{align}
	& T({{q}_{k}},{{{\dot{q}}}_{k}},t)=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{\left( \sum\limits_{k=1}^{f}{\frac{\partial {{{\vec{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}}{{{\dot{q}}}_{k}}+\frac{\partial {{{\vec{r}}}_{i}}}{\partial t}} \right)}^{2}}} \\		& T({{q}_{k}},{{{\dot{q}}}_{k}},t)=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{\left( \sum\limits_{k=1}^{f}{\frac{\partial {{{\vec{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}}{{{\dot{q}}}_{k}}+\frac{\partial {{{\vec{r}}}_{i}}}{\partial t}} \right)}^{2}}} \\
	& T({{q}_{k}},{{{\dot{q}}}_{k}},t)=a+\sum\limits_{k=1}^{f}{{{b}_{k}}{{{\dot{q}}}_{k}}}+\sum\limits_{k,l=1}^{f}{{{c}_{kl}}{{{\dot{q}}}_{k}}{{{\dot{q}}}_{l}}} \\		& T({{q}_{k}},{{{\dot{q}}}_{k}},t)=a+\sum\limits_{k=1}^{f}{{{b}_{k}}{{{\dot{q}}}_{k}}}+\sum\limits_{k,l=1}^{f}{{{c}_{kl}}{{{\dot{q}}}_{k}}{{{\dot{q}}}_{l}}} \\
	\end{align}</math>		\end{align}</math>
			* Dabei ist die kinetische Energie nur für skleronome Zwangsbedingungen eine '''homogene''' Bilinearform in
	* Dabei ist die kinetische Energie nur für skleronome Zwangsbedingungen eine ~~HOMOGENE~~ Bilinearform in
	<math>{{\dot{q}}_{k\quad }}(a={{b}_{k}}=0)</math>		<math>{{\dot{q}}_{k\quad }}(a={{b}_{k}}=0)</math>


	Anwendungsschema für Lagrangegleichungen zweiter Art:		==Anwendungsschema für Lagrangegleichungen zweiter Art:==

	Die Atwoodsche Fallmaschine		MISSING
			{{Beispiel\|
			'''Die Atwoodsche Fallmaschine'''

	Generalisierte Koordinate: q		Generalisierte Koordinate: q
Line 144:		Line 141:
	& \\		& \\
	\end{align}</math>		\end{align}</math>
			}}
			{{Beispiel\|
	~~<u>~~'''Beispiel 2:'''~~</u>~~		'''Beispiel 2:'''

	Eine Masse m rotiert mit Winkelgeschwindigkeit w an einem Faden der Länge Ro, welcher mit Geschwindigkeit c durch ein Loch gezogen wird (rheonome Zwangsbedingung).		Eine Masse m rotiert mit Winkelgeschwindigkeit w an einem Faden der Länge Ro, welcher mit Geschwindigkeit c durch ein Loch gezogen wird (rheonome Zwangsbedingung).

	Generalisierte Koordinate q ist der Winkel		'''Generalisierte Koordinate''' q ist der Winkel
	<math>\phi </math>		<math>\phi </math>
	:		:
Line 181:		Line 177:


	Somit haben wir eine Bewegungsgleichung für die Winkelgeschwindigkeit gefunden:		Somit haben wir eine '''Bewegungsgleichung für die Winkelgeschwindigkeit''' gefunden:


Line 195:		Line 191:
	Bestimmung der Konstanten aus den Anfangsbedingungen liefert:		Bestimmung der Konstanten aus den Anfangsbedingungen liefert:

	Drehimpuls:		'''Drehimpuls''':


Line 214:		Line 210:


	Das heißt, wie zu erwarten war, die Masse dreht sich immer schneller, je kürzer der Faden wird ( Drehimpulserhaltung !)		Das heißt, wie zu erwarten war, die Masse dreht sich immer schneller, je kürzer der Faden wird (Drehimpulserhaltung!)}}

Schubotz at 17:53, 27 August 2010

2010-08-27T17:53:01Z

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Line 1:		Line 1:
	{{Scripthinweis\|Mechanik\|1\|5}}
	Betrachten wir wieder das d ~~Álembertsche~~ Prinzip:		<noinclude>{{Scripthinweis\|Mechanik\|1\|5}}</noinclude>

			Betrachten wir wieder das d'Alembertsche Prinzip:

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Mechanik|1|5}} Betrachten wir wieder das d Álembertsche Prinzip: $\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\ddot{\bar{r}}}}_{i}}\delta {{{\bar{r}}}_{i}…“$

2010-08-23T14:01:54Z

Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Mechanik|1|5}} Betrachten wir wieder das d Álembertsche Prinzip: <math>\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\ddot{\bar{r}}}}_{i}}\delta {{{\bar{r}}}_{i}…“

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{{Scripthinweis|Mechanik|1|5}}
Betrachten wir wieder das d Álembertsche Prinzip:

<math>\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\ddot{\bar{r}}}}_{i}}\delta {{{\bar{r}}}_{i}}}=\sum\limits_{i}^{{}}{{{{\vec{X}}}_{i}}\delta {{{\bar{r}}}_{i}}=\sum\limits_{j}{{{Q}_{j}}}}\delta {{q}_{j}}</math>

Linke Seite:

<math>\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\ddot{\bar{r}}}}_{i}}\delta {{{\bar{r}}}_{i}}}=\sum\limits_{j}{{}}\left( \sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\ddot{\bar{r}}}}_{i}}\frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}{{{\bar{r}}}_{i}}} \right)\delta {{q}_{j}}=\sum\limits_{j}{{}}\sum\limits_{i}^{{}}{\left\{ \frac{d}{dt}\left( {{m}_{i}}{{{\dot{\vec{r}}}}_{i}}\frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}{{{\bar{r}}}_{i}} \right)-{{m}_{i}}{{{\dot{\vec{r}}}}_{i}}\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}{{{\bar{r}}}_{i}} \right) \right\}\delta {{q}_{j}}_{{}}}</math>

Mit

<math>\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}}{{\vec{v}}_{i}}=\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}}{{\left[ \sum\limits_{j=1}^{f}{\left( \frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}{{{\dot{q}}}_{j}} \right)}+\frac{\partial }{\partial t}{{{\bar{r}}}_{i}} \right]}_{{}}}=\frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}{{\bar{r}}_{i}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)</math>

und

<math>{{\dot{\bar{r}}}_{i}}=\sum\limits_{j=1}^{f}{\left( \frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}} \right)}{{\dot{q}}_{j}}+\frac{\partial }{\partial t}{{\bar{r}}_{i}}=\sum\limits_{j=1}^{f}{\left( \frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}}{{{\vec{v}}}_{i}} \right)}{{\dot{q}}_{j}}+\frac{\partial }{\partial t}{{\bar{r}}_{i}}\Rightarrow \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}} \right)=\frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}{{\vec{v}}_{i}}</math>

Beweis für die letzte Deduktion:

<math>\begin{align}
& \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}} \right)=\sum\limits_{k=1}^{{}}{\left( \frac{{{\partial }^{2}}{{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}\partial {{q}_{j}}} \right)}{{{\dot{q}}}_{k}}+\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{q}_{j}}\partial t}{{{\bar{r}}}_{i}} \\
& \frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}{{{\vec{v}}}_{i}}=\frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}\left\{ \sum\limits_{k=1}^{{}}{\left( \frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}} \right)}{{{\dot{q}}}_{k}}+\frac{\partial }{\partial t}{{{\bar{r}}}_{i}} \right\}=\sum\limits_{k=1}^{{}}{\left( \frac{{{\partial }^{2}}{{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}\partial {{q}_{j}}} \right)}{{{\dot{q}}}_{k}}+\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{q}_{j}}\partial t}{{{\bar{r}}}_{i}} \\
\end{align}</math>

Somit ergibt sich für die linke Seite

<math>\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\ddot{\bar{r}}}}_{i}}\delta {{{\bar{r}}}_{i}}}=\sum\limits_{i,j}{\left\{ \frac{d}{dt}\left( {{m}_{i}}{{{\vec{v}}}_{i}}\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}}{{{\vec{v}}}_{i}} \right)-{{m}_{i}}{{{\vec{v}}}_{i}}\left( \frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}{{{\vec{v}}}_{i}} \right) \right\}\delta {{q}_{j}}}</math>

Ziel ist es, diese Seite durch die gesamte KINETISCHE ENERGIE auszudrücken:

<math>T=\sum\limits_{i}{\frac{1}{2}{{m}_{i}}{{{\vec{v}}}_{i}}^{2}}</math>

<math>\begin{align}
& {{m}_{i}}{{{\vec{v}}}_{i}}\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}}{{{\vec{v}}}_{i}}=\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}}\left( \frac{1}{2}{{m}_{i}}{{{\vec{v}}}_{i}}^{2} \right) \\
& {{m}_{i}}{{{\vec{v}}}_{i}}\frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}{{{\vec{v}}}_{i}}=\frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}\left( \frac{1}{2}{{m}_{i}}{{{\vec{v}}}_{i}}^{2} \right) \\
\end{align}</math>

Somit folgt:

<math>\left\{ \frac{d}{dt}\left( {{m}_{i}}{{{\vec{v}}}_{i}}\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}}{{{\vec{v}}}_{i}} \right)-{{m}_{i}}{{{\vec{v}}}_{i}}\left( \frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}{{{\vec{v}}}_{i}} \right) \right\}=\left\{ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}}T \right)-\left( \frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}T \right) \right\}</math>

<math>\begin{align}
& \sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\ddot{\bar{r}}}}_{i}}\delta {{{\bar{r}}}_{i}}}=\sum\limits_{i}^{{}}{{{{\vec{X}}}_{i}}\delta {{{\bar{r}}}_{i}}=\sum\limits_{j}{{{Q}_{j}}}}\delta {{q}_{j}} \\
& \Rightarrow \sum\limits_{j}{\left\{ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}}T \right){{-}_{{}}}\left( \frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}T \right)-{{Q}_{j}} \right\}\delta {{q}_{j}}=0} \\
\end{align}</math>

Der T-abhängige Ausdruck ist jedoch in qj völlig frei variierbar. Somit ist keine lineare Abhängigkeit der Variationen über verschiedene j gegeben.

Jedes qj ist für sich frei variierbar, so dass der Ausdruck auf der linken Seite für sich Null wird:

<math>\begin{align}
& \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}}T \right){{-}_{{}}}\left( \frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}T \right)-{{Q}_{j}}=0 \\
& \Rightarrow \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}T \right){{-}_{{}}}\left( \frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}T \right)={{Q}_{k\quad \quad k=1,....,f}} \\
\end{align}</math>

'''Lagrange- Gleichungen 2. Art:'''

Die Lagrangegleichungen der zweiten Art können aus dem d ´Alembertschen Prinzip nur für HOLONOME Zwangsbedingungen gewonnen werden ( im Gegensatz zur Lagrangegleichung erster Art).

Dies liegt daran, dass nur für HOLONOME Zwangsbedingungen generalisierte Koordinaten definiert werden können:

<u>'''Spezialfall konservative Kräfte:'''</u>

<math>\begin{align}
& -\frac{\partial V}{\partial {{q}_{j}}}={{Q}_{j}} \\
& V({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)=V({{{\vec{r}}}_{1}}({{q}_{1,}}...,{{q}_{f}},t),...,{{{\vec{r}}}_{N}}({{q}_{1,}}...,{{q}_{f}},t)) \\
\end{align}</math>

Dies bedingt jedoch:

<math>\frac{\partial V({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}=0</math>

Wir können uns die Lagrangefunktion derart definieren, dass:

<math>L({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},{{\dot{q}}_{1}},...,{{\dot{q}}_{f}},t)=L({{q}_{k}},{{\dot{q}}_{k}},t)=T-V</math>

Es folgt:

<math>\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}} \right)-\frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}=0</math>

Die sagenumwobene Lagrangegleichung 2. Art für konservative Kräfte !

Anmerkung:

* die genannte Lagrangegleichung L ist nicht eindeutig festgelegt
* L=T-V ist nur EINE mögliche Form
*
<math>\begin{align}
& T({{q}_{k}},{{{\dot{q}}}_{k}},t)=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{\left( \sum\limits_{k=1}^{f}{\frac{\partial {{{\vec{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}}{{{\dot{q}}}_{k}}+\frac{\partial {{{\vec{r}}}_{i}}}{\partial t}} \right)}^{2}}} \\
& T({{q}_{k}},{{{\dot{q}}}_{k}},t)=a+\sum\limits_{k=1}^{f}{{{b}_{k}}{{{\dot{q}}}_{k}}}+\sum\limits_{k,l=1}^{f}{{{c}_{kl}}{{{\dot{q}}}_{k}}{{{\dot{q}}}_{l}}} \\
\end{align}</math>

* Dabei ist die kinetische Energie nur für skleronome Zwangsbedingungen eine HOMOGENE Bilinearform in
<math>{{\dot{q}}_{k\quad }}(a={{b}_{k}}=0)</math>

Anwendungsschema für Lagrangegleichungen zweiter Art:

Die Atwoodsche Fallmaschine

Generalisierte Koordinate: q

<math>\begin{align}
& T({{q}_{{}}},{{{\dot{q}}}_{{}}},t)=\frac{1}{2}({{m}_{{{1}_{{}}}}}+{{m}_{2}}){{{\dot{q}}}^{2}} \\
& V(q,\dot{q},t)={{m}_{1}}gq+{{m}_{2}}(l-q)g \\
& \frac{\partial L}{\partial q}={{m}_{1}}g-{{m}_{2}}g \\
& \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\dot{q} \\
& ({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\ddot{q}+{{m}_{1}}g-{{m}_{2}}g=0 \\
& \\
\end{align}</math>

<u>'''Beispiel 2:'''</u>

Eine Masse m rotiert mit Winkelgeschwindigkeit w an einem Faden der Länge Ro, welcher mit Geschwindigkeit c durch ein Loch gezogen wird (rheonome Zwangsbedingung).

Generalisierte Koordinate q ist der Winkel
<math>\phi </math>
:

<math>\begin{align}
& T({{q}_{{}}},{{{\dot{q}}}_{{}}},t)=\frac{1}{2}m{{c}^{2}}+\frac{1}{2}m{{{\dot{q}}}^{2}}{{({{R}_{o}}^{{}}-ct)}^{2}} \\
& V(q,\dot{q},t)=0 \\
& L=\frac{1}{2}m{{c}^{2}}+\frac{1}{2}m{{{\dot{q}}}^{2}}{{({{R}_{o}}^{{}}-ct)}^{2}} \\
\end{align}</math>

Dahin kommt man im Übrigen aus:

<math>\begin{align}
& T=\frac{1}{2}m({{{\dot{x}}}^{2}}+{{{\dot{y}}}^{2}}) \\
& x=({{R}_{o}}-ct)\cos \phi \\
& \dot{x}=-c\cos \phi -({{R}_{o}}-ct)\dot{\phi }\sin \phi =-c\cos q-({{R}_{o}}-ct)\dot{q}\sin q \\
& y=({{R}_{o}}-ct)\sin \phi \\
\end{align}</math>

<math>\begin{align}
& \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=m\dot{q}{{({{R}_{o}}^{{}}-ct)}^{2}} \\
& \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=m\ddot{q}{{({{R}_{o}}^{{}}-ct)}^{2}}-2cm\dot{q}({{R}_{o}}^{{}}-ct) \\
& \Rightarrow \ddot{q}({{R}_{o}}-ct)=2c{{{\dot{q}}}^{{}}} \\
\end{align}</math>

Somit haben wir eine Bewegungsgleichung für die Winkelgeschwindigkeit gefunden:

<math>\begin{align}
& \frac{{\dot{\omega }}}{\omega }=\frac{2c}{{{R}_{o}}-ct} \\
& \int{\frac{d\omega }{\omega }=2c\int{\frac{dt}{{{R}_{o}}-ct}}} \\
& \ln \omega =-2\ln ({{R}_{o}}-ct)+const \\
& \ln \omega =\ln \frac{con\tilde{s}}{{{({{R}_{o}}-ct)}^{2}}} \\
& \omega =\frac{con\tilde{s}}{{{({{R}_{o}}-ct)}^{2}}} \\
\end{align}</math>

Bestimmung der Konstanten aus den Anfangsbedingungen liefert:

Drehimpuls:

<math>\begin{align}
& \vec{L}=m\vec{v}\times \vec{r} \\
& {{{\vec{L}}}_{o}}=m{{\omega }_{o}}^{{}}{{R}_{o}}^{2}\quad {{v}_{o}}={{\omega }_{o}}{{R}_{o}}\quad {{r}_{o}}={{R}_{o}} \\
& andererseits: \\
& {{\omega }_{o}}=\frac{con\tilde{s}}{{{({{R}_{o}})}^{2}}} \\
& \Rightarrow \omega =\frac{con\tilde{s}}{{{({{R}_{o}}-ct)}^{2}}}\Rightarrow con\tilde{s}=\frac{{{{\vec{L}}}_{o}}}{m} \\
& \omega =\frac{{{{\vec{L}}}_{o}}}{m{{({{R}_{o}}-ct)}^{2}}}=\dot{q} \\
\end{align}</math>

Durch Integration gewinnt man:

<math>q={{q}_{o}}+\frac{{{{\vec{L}}}_{o}}}{cm({{R}_{o}}-ct)}</math>

Das heißt, wie zu erwarten war, die Masse dreht sich immer schneller, je kürzer der Faden wird ( Drehimpulserhaltung !)

Lagrangegleichungen 2. Art - Revision history

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Schubotz: /* Anwendungsschema für Lagrangegleichungen zweiter Art: */

Schubotz: /* Anwendungsschema für Lagrangegleichungen zweiter Art: */

Schubotz at 15:06, 28 August 2010

Schubotz at 17:53, 27 August 2010

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