Ko- und Kontravariante Schreibweise der Relativitätstheorie - Revision history

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2010-09-12T22:20:42Z

Interpunktion, replaced: ! → ! (11), ( → ( (3)

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Line 3:		Line 3:
	Grundpostulat der speziellen Relativitätstheorie:		Grundpostulat der speziellen Relativitätstheorie:

	Kein Inertialsystem ist gegenüber einem anderen ausgezeichnet ! ( Einstein, 1904).		Kein Inertialsystem ist gegenüber einem anderen ausgezeichnet! (Einstein, 1904).
	Die Lichtgeschwindigkeit c ist in jedem Inertialsystem gleich !		Die Lichtgeschwindigkeit c ist in jedem Inertialsystem gleich!
	* Kugelwellen sind		* Kugelwellen sind
	* → Lorentz- Invariant, also:		* → Lorentz- Invariant, also:
	* <math>{{r}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}=r{{\acute{\ }}^{2}}-{{c}^{2}}t{{\acute{\ }}^{2}}</math>		* <math>{{r}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}=r{{\acute{\ }}^{2}}-{{c}^{2}}t{{\acute{\ }}^{2}}</math>

	Für Lorentz- Transformationen !		Für Lorentz- Transformationen!

	<u>'''Formalisierung:'''</u>		<u>'''Formalisierung:'''</u>
Line 16:		Line 16:
	:<math>{{\left( ds \right)}^{2}}:={{\left( cdt \right)}^{2}}-{{\left( d\bar{r} \right)}^{2}}</math>		:<math>{{\left( ds \right)}^{2}}:={{\left( cdt \right)}^{2}}-{{\left( d\bar{r} \right)}^{2}}</math>

	Zwischen 2 Ereignissen bleibt der raumzeitliche Abstand invariant bei Lorentz- Transformationen ! zwischen den Inertialsystemen :		Zwischen 2 Ereignissen bleibt der raumzeitliche Abstand invariant bei Lorentz- Transformationen! zwischen den Inertialsystemen :
	:<math>\Sigma \leftrightarrow \Sigma \acute{\ }</math>		:<math>\Sigma \leftrightarrow \Sigma \acute{\ }</math>

Line 22:		Line 22:
	Dann schreibt man		Dann schreibt man
	:<math>{{\left( ds \right)}^{2}}</math>		:<math>{{\left( ds \right)}^{2}}</math>
	als Skalarprodukt von Vierervektoren im Minkowski- Raum V und man benutze den Formalismus der '''linearen orthogonalen '''Transformation , unter denen das Skalarprodukt invariant bleibt:		als Skalarprodukt von Vierervektoren im Minkowski- Raum V und man benutze den Formalismus der '''linearen orthogonalen '''Transformation, unter denen das Skalarprodukt invariant bleibt:

	In der ko / kontravarianten Schreibweise tritt jeder Vierervektor in 2 möglichen Versionen auf:		In der ko / kontravarianten Schreibweise tritt jeder Vierervektor in 2 möglichen Versionen auf:
Line 47:		Line 47:

	kovarianter Vektor		kovarianter Vektor
	:<math>\in \tilde{V}</math>		:<math>\in \tilde{V}</math>,
	, dualer Vektorraum zu V !		dualer Vektorraum zu V!
	Merke: Die Räume der kovarianten Vektoren ist dual zur menge der kontravarianten		Merke: Die Räume der kovarianten Vektoren ist dual zur menge der kontravarianten
	→		→
Line 55:		Line 55:
	:<math>V\to R</math>		:<math>V\to R</math>

	Damit werden dann die Skalarprodukte gebildet !		Damit werden dann die Skalarprodukte gebildet!

	Schreibe		Schreibe
Line 61:		Line 61:
	:<math>{{\left( ds \right)}^{2}}=d{{x}^{0}}d{{x}_{0}}+d{{x}^{1}}d{{x}_{1}}+d{{x}^{2}}d{{x}_{2}}+d{{x}^{3}}d{{x}_{3}}=d{{x}^{i}}d{{x}_{i}}</math>		:<math>{{\left( ds \right)}^{2}}=d{{x}^{0}}d{{x}_{0}}+d{{x}^{1}}d{{x}_{1}}+d{{x}^{2}}d{{x}_{2}}+d{{x}^{3}}d{{x}_{3}}=d{{x}^{i}}d{{x}_{i}}</math>

	Mit: Summenkonvention !		Mit: Summenkonvention!
	über je einen ko- und einen kontravarianten Index ( hier i =0,1,2,3) wird summiert !		über je einen ko- und einen kontravarianten Index (hier i =0,1,2,3) wird summiert!

	<u>'''Physikalische Anwendung'''</u>		<u>'''Physikalische Anwendung'''</u>
Line 68:		Line 68:
	Lorentz- Invarianten lassen sich als Skalarprodukt		Lorentz- Invarianten lassen sich als Skalarprodukt
	:<math>{{a}^{i}}{{a}_{i}}</math>		:<math>{{a}^{i}}{{a}_{i}}</math>
	schreiben !		schreiben!

	'''Beispiel: dÁlemebert- Operator:'''		'''Beispiel: dÁlemebert- Operator:'''
Line 152:		Line 152:

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& \left( {{x}^{0}}\begin{matrix}		& \left( {{x}^{0}}\begin{matrix},
	, & {{x}^{1}}, & {{x}^{2}}, & {{x}^{3}} \\		& {{x}^{1}}, & {{x}^{2}}, & {{x}^{3}} \\
	\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}		\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}
	ct, & x, & y, & z \\		ct, & x, & y, & z \\
Line 193:		Line 193:
	:<math>v\|\|{{x}_{1}}</math>		:<math>v\|\|{{x}_{1}}</math>

	Wesentliche Eigenschaft ( die Viererschreibweise ist so konstruiert worden):		Wesentliche Eigenschaft (die Viererschreibweise ist so konstruiert worden):

	U ist orthogonale Trafo:		U ist orthogonale Trafo:
Line 204:		Line 204:
	Das Skalarprodukt ist invariant, falls U eine orthogonale Trafo ist		Das Skalarprodukt ist invariant, falls U eine orthogonale Trafo ist
	Bzw.		Bzw.
	Forderung: Skalarprodukt invariant → U muss orthogonale Trafo sein !		Forderung: Skalarprodukt invariant → U muss orthogonale Trafo sein!

	Umkehr- Transformation:		Umkehr- Transformation:

	:<math>{{x}^{i}}={{U}_{k}}^{i}x{{\acute{\ }}^{k}}</math>		:<math>{{x}^{i}}={{U}_{k}}^{i}x{{\acute{\ }}^{k}}</math>

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2010-09-12T19:56:05Z

Pfeile einfügen, replaced: -> → → (3)

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Line 6:		Line 6:
	Die Lichtgeschwindigkeit c ist in jedem Inertialsystem gleich !		Die Lichtgeschwindigkeit c ist in jedem Inertialsystem gleich !
	* Kugelwellen sind		* Kugelwellen sind
	* -> Lorentz- Invariant, also:		* → Lorentz- Invariant, also:
	* <math>{{r}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}=r{{\acute{\ }}^{2}}-{{c}^{2}}t{{\acute{\ }}^{2}}</math>		* <math>{{r}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}=r{{\acute{\ }}^{2}}-{{c}^{2}}t{{\acute{\ }}^{2}}</math>

Line 50:		Line 50:
	, dualer Vektorraum zu V !		, dualer Vektorraum zu V !
	Merke: Die Räume der kovarianten Vektoren ist dual zur menge der kontravarianten		Merke: Die Räume der kovarianten Vektoren ist dual zur menge der kontravarianten
	->		→
	:<math>\in \tilde{V}</math>		:<math>\in \tilde{V}</math>
	als Raum der linearen Funktionale l:		als Raum der linearen Funktionale l:
Line 204:		Line 204:
	Das Skalarprodukt ist invariant, falls U eine orthogonale Trafo ist		Das Skalarprodukt ist invariant, falls U eine orthogonale Trafo ist
	Bzw.		Bzw.
	Forderung: Skalarprodukt invariant -> U muss orthogonale Trafo sein !		Forderung: Skalarprodukt invariant → U muss orthogonale Trafo sein !

	Umkehr- Transformation:		Umkehr- Transformation:

	:<math>{{x}^{i}}={{U}_{k}}^{i}x{{\acute{\ }}^{k}}</math>		:<math>{{x}^{i}}={{U}_{k}}^{i}x{{\acute{\ }}^{k}}</math>

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T15:55:13Z

Einrückungen Mathematik

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Schubotz at 23:42, 28 August 2010

2010-08-28T23:42:41Z

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	<noinclude>{{Scripthinweis\|Elektrodynamik\|6\|1}}</noinclude>~~= Ko- und Kontravariante Schreibweise der Relativitätstheorie=~~		<noinclude>{{Scripthinweis\|Elektrodynamik\|6\|1}}</noinclude>

	Grundpostulat der speziellen Relativitätstheorie:		Grundpostulat der speziellen Relativitätstheorie:
Line 7:		Line 7:
	* Kugelwellen sind		* Kugelwellen sind
	* -> Lorentz- Invariant, also:		* -> Lorentz- Invariant, also:
	*
	* <math>{{r}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}=r{{\acute{\ }}^{2}}-{{c}^{2}}t{{\acute{\ }}^{2}}</math>		* <math>{{r}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}=r{{\acute{\ }}^{2}}-{{c}^{2}}t{{\acute{\ }}^{2}}</math>
	*

	Für Lorentz- Transformationen !		Für Lorentz- Transformationen !

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2010-08-28T23:38:20Z

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<noinclude>{{Scripthinweis|Elektrodynamik|6|1}}</noinclude>= Ko- und Kontravariante Schreibweise der Relativitätstheorie=

Grundpostulat der speziellen Relativitätstheorie:

Kein Inertialsystem ist gegenüber einem anderen ausgezeichnet ! ( Einstein, 1904).
Die Lichtgeschwindigkeit c ist in jedem Inertialsystem gleich !
* Kugelwellen sind
* -> Lorentz- Invariant, also:
*
* <math>{{r}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}=r{{\acute{\ }}^{2}}-{{c}^{2}}t{{\acute{\ }}^{2}}</math>
*

Für Lorentz- Transformationen !

'''Formalisierung:'''
'''Der Raumzeitliche Abstand als'''

<math>{{\left( ds \right)}^{2}}:={{\left( cdt \right)}^{2}}-{{\left( d\bar{r} \right)}^{2}}</math>

Zwischen 2 Ereignissen bleibt der raumzeitliche Abstand invariant bei Lorentz- Transformationen ! zwischen den Inertialsystemen :
<math>\Sigma \leftrightarrow \Sigma \acute{\ }</math>

Ziel: Um dies sofort zu sehen führt man Vierervektoren ein.
Dann schreibt man
<math>{{\left( ds \right)}^{2}}</math>
als Skalarprodukt von Vierervektoren im Minkowski- Raum V und man benutze den Formalismus der '''linearen orthogonalen '''Transformation , unter denen das Skalarprodukt invariant bleibt:

In der ko / kontravarianten Schreibweise tritt jeder Vierervektor in 2 möglichen Versionen auf:

'''kontravariante Komponenten:'''

<math>\begin{align}
& {{x}^{i}} \\
& {{x}^{1}}:=ct \\
& {{x}^{1}},{{x}^{2}},{{x}^{3}} \\
\end{align}</math>

als Komponenten des Ortsvektors
<math>\bar{r}</math>
:

'''kovariante Komponenten'''

<math>\begin{align}
& {{x}_{i}}: \\
& {{x}_{0}}:=ct \\
& {{x}_{\alpha }}=-{{x}^{\alpha }},\alpha =1,2,3 \\
\end{align}</math>

kovarianter Vektor
<math>\in \tilde{V}</math>
, dualer Vektorraum zu V !
Merke: Die Räume der kovarianten Vektoren ist dual zur menge der kontravarianten
->
<math>\in \tilde{V}</math>
als Raum der linearen Funktionale l:
<math>V\to R</math>

Damit werden dann die Skalarprodukte gebildet !

Schreibe

<math>{{\left( ds \right)}^{2}}=d{{x}^{0}}d{{x}_{0}}+d{{x}^{1}}d{{x}_{1}}+d{{x}^{2}}d{{x}_{2}}+d{{x}^{3}}d{{x}_{3}}=d{{x}^{i}}d{{x}_{i}}</math>

Mit: Summenkonvention !
über je einen ko- und einen kontravarianten Index ( hier i =0,1,2,3) wird summiert !

'''Physikalische Anwendung'''

Lorentz- Invarianten lassen sich als Skalarprodukt
<math>{{a}^{i}}{{a}_{i}}</math>
schreiben !

'''Beispiel: dÁlemebert- Operator:'''

<math>\#=\Delta -\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}=-\frac{\partial }{\partial {{x}^{i}}}\frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}=-{{\partial }_{i}}{{\partial }^{i}}</math>

'''Vierergeschwindigkeit'''

<math>\begin{align}
& {{u}^{i}}:=\frac{d{{x}^{i}}}{ds}\Rightarrow {{u}^{i}}{{u}_{i}}=\frac{d{{x}^{i}}d{{x}_{i}}}{{{\left( ds \right)}^{2}}}=1 \\
& mit \\
& ds={{\left( d{{x}^{i}}d{{x}_{i}} \right)}^{\frac{1}{2}}}=c{{\left( 1-{{\beta }^{2}} \right)}^{\frac{1}{2}dt}}=\frac{c}{\gamma }dt \\
& \Rightarrow {{u}^{0}}=\gamma \\
& {{u}^{\alpha }}=\frac{\gamma }{c}{{v}^{\alpha }} \\
& {{v}^{\alpha }}:=\frac{d{{x}^{\alpha }}}{dt} \\
& \beta :=\frac{v}{c} \\
& \gamma :=\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} \\
\end{align}</math>

'''Physikalische Interpretation'''

<math>\begin{align}
& {{u}^{\alpha }}=\frac{1}{c}\frac{d{{x}^{\alpha }}}{d\tau } \\
& d\tau =\frac{dt}{\gamma } \\
\end{align}</math>

'''Viererimpuls'''

<math>{{p}^{i}}:={{m}_{0}}c{{u}^{i}}</math>
mit der Ruhemasse m0

Also:

<math>\begin{align}
& {{p}^{i}}{{p}_{i}}={{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}}{{u}^{i}}{{u}_{i}} \\
& {{u}^{i}}{{u}_{i}}=1 \\
& \Rightarrow {{p}^{i}}{{p}_{i}}={{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}} \\
& {{p}^{0}}={{m}_{0}}\gamma c=m(v)c=\frac{E}{c} \\
& {{p}^{\alpha }}={{m}_{0}}\gamma {{v}^{\alpha }}=m(v){{v}^{\alpha }} \\
& {{p}^{i}}{{p}_{i}}={{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}}{{u}^{i}}{{u}_{i}}\Leftrightarrow {{E}^{2}}={{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}+{{c}^{2}}{{{\bar{p}}}^{2}} \\
\end{align}</math>

Mit der Energie

<math>E=m(v){{c}^{2}}</math>

'''Analoge Definition von Tensoren 2. Stufe:'''

<math>\begin{align}
& {{A}^{ik}},{{A}^{i}}_{k},{{A}_{i}}^{k},{{A}_{ik}} \\
& {{A}^{00}}={{A}^{0}}_{0}={{A}_{0}}^{0}={{A}_{00}} \\
& {{A}^{10}}={{A}^{1}}_{0}=-{{A}_{1}}^{0}=-{{A}_{10}} \\
& {{A}^{11}}=-{{A}^{1}}_{1}=-{{A}_{1}}^{1}={{A}_{11}} \\
\end{align}</math>

'''Der metrische Tensor'''

<math>{{g}^{ik}}:={{\delta }^{ik}}=\left. \left\{ \begin{matrix}
{{\delta }^{i}}_{k}\quad k=0 \\
-{{\delta }^{i}}_{k}\quad k=1,2,3 \\
\end{matrix} \right. \right\}={{g}_{ik}}</math>

<math>{{g}^{ik}}={{g}_{ik}}=\left( \begin{matrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
\end{matrix} \right)</math>

Mittels der Metrik werden Indices gehoben bzw. gesenkt:

<math>{{g}^{ik}}{{a}_{k}}={{a}^{i}}</math>

Wichtig fürs Skalarprodukt:

<math>d{{s}^{2}}={{g}^{ik}}d{{x}_{i}}d{{x}_{k}}={{g}_{ik}}d{{x}^{i}}d{{x}^{k}}</math>

Lorentz- Trafo

zwischen Bezugssystemen: Lineare / homogene Trafo

die Lorentz- Transformation für

<math>\begin{align}
& \left( {{x}^{0}}\begin{matrix}
, & {{x}^{1}}, & {{x}^{2}}, & {{x}^{3}} \\
\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}
ct, & x, & y, & z \\
\end{matrix} \right) \\
& d{{s}^{2}}={{c}^{2}}d{{t}^{2}}-d{{x}^{2}}-d{{y}^{2}}-d{{z}^{2}} \\
\end{align}</math>

Nämlich:

<math>\begin{align}
& \left( \begin{matrix}
{{x}_{0}}\acute{\ } \\
{{x}_{1}}\acute{\ } \\
{{x}_{2}}\acute{\ } \\
{{x}_{3}}\acute{\ } \\
\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}
\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & \frac{-\beta }{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & 0 & 0 \\
\frac{-\beta }{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & \frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}
{{x}_{0}} \\
{{x}_{1}} \\
{{x}_{2}} \\
{{x}_{3}} \\
\end{matrix} \right) \\
& x{{\acute{\ }}^{i}}={{U}^{i}}_{k}{{x}^{k}} \\
\end{align}</math>

Mit
<math>{{U}^{i}}_{k}=\left( \begin{matrix}
\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & \frac{-\beta }{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & 0 & 0 \\
\frac{-\beta }{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & \frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{matrix} \right)</math>

für
<math>v||{{x}_{1}}</math>

Wesentliche Eigenschaft ( die Viererschreibweise ist so konstruiert worden):

U ist orthogonale Trafo:

<math>\begin{align}
& {{U}^{i}}_{k}{{U}_{i}}^{l}=\delta _{k}^{l} \\
& \Rightarrow a{{\acute{\ }}^{i}}b{{\acute{\ }}_{i}}={{U}^{i}}_{k}{{U}_{i}}^{l}{{a}^{k}}{{b}_{l}}={{a}^{k}}{{b}_{k}} \\
\end{align}</math>

Das Skalarprodukt ist invariant, falls U eine orthogonale Trafo ist
Bzw.
Forderung: Skalarprodukt invariant -> U muss orthogonale Trafo sein !

Umkehr- Transformation:

<math>{{x}^{i}}={{U}_{k}}^{i}x{{\acute{\ }}^{k}}</math>