Klein Gordon Gleichung - Revision history

Schubotz at 16:17, 9 April 2012

2012-04-09T16:17:38Z

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Line 36:		Line 36:
	Allerdings gilt		Allerdings gilt
	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

	& \int{\rho \left( \underline{x},t \right){{d}^{d}}\underline{x}}={{\left( \frac{1}{2\pi } \right)}^{d}}\frac{1}{m}\int{\int{\int{{{\varphi }^{*}}\left( {\underline{k}} \right)\varphi \left( {{\underline{k}}'} \right){{e}^{i\left( \underline{k}-{\underline{k}}' \right)\underline{x}}}\omega \left( {{\underline{k}}'} \right){{d}^{d}}x}{{d}^{d}}k}{{d}^{d}}{k}'} \\		& \int{\rho \left( \underline{x},t \right){{d}^{d}}\underline{x}}={{\left( \frac{1}{2\pi } \right)}^{d}}\frac{1}{m}\int{\int{\int{{{\varphi }^{*}}\left( {\underline{k}} \right)\varphi \left( {{\underline{k}}'} \right){{e}^{i\left( \underline{k}-{\underline{k}}' \right)\underline{x}}}\omega \left( {{\underline{k}}'} \right){{d}^{d}}x}{{d}^{d}}k}{{d}^{d}}{k}'} \\

	& =\frac{1}{m}\int{\omega \left( {\underline{k}} \right){{\left\| \varphi \left( {\underline{k}} \right) \right\|}^{2}}{{d}^{d}}\underline{k}}>0		& =\frac{1}{m}\int{\omega \left( {\underline{k}} \right){{\left\| \varphi \left( {\underline{k}} \right) \right\|}^{2}}{{d}^{d}}\underline{k}}>0
	\end{align}</math> für<math>\omega \left( {\underline{k}} \right)>0</math>.		\end{align}</math> für<math>\omega \left( {\underline{k}} \right)>0</math>.

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T14:41:18Z

Einrückungen Mathematik

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Line 7:		Line 7:
	:was auf die {{FB\|Schrödingergleichung\|freies Teilchen}}		:was auf die {{FB\|Schrödingergleichung\|freies Teilchen}}
	{{NumBlk\|:\|		{{NumBlk\|:\|
	<math>\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\Psi =\hat{H}\Psi ,\quad \hat{H}=-\frac{\Delta }{2m}</math>		:<math>\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\Psi =\hat{H}\Psi ,\quad \hat{H}=-\frac{\Delta }{2m}</math>
	: \|(1.3)}}		: \|(1.3)}}
	:führt.		:führt.
Line 26:		Line 26:
	:mit		:mit
	{{NumBlk\|:\|		{{NumBlk\|:\|
	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& \underline{j}=\frac{1}{2\mathfrak{i} m}\left( {{\Psi }^{}}\nabla \Psi -\Psi \nabla {{\Psi }^{}} \right) \\		& \underline{j}=\frac{1}{2\mathfrak{i} m}\left( {{\Psi }^{}}\nabla \Psi -\Psi \nabla {{\Psi }^{}} \right) \\
	& \rho \equiv \frac{1}{2m}\left( {{\Psi }^{}}{{\partial }_{t}}\Psi -\Psi {{\partial }_{t}}{{\Psi }^{}} \right) \\		& \rho \equiv \frac{1}{2m}\left( {{\Psi }^{}}{{\partial }_{t}}\Psi -\Psi {{\partial }_{t}}{{\Psi }^{}} \right) \\
Line 47:		Line 47:
	* Schreibweise		* Schreibweise
	{{NumBlk\|:\|		{{NumBlk\|:\|
	<math>\left( \square +\frac{{{m}^{2}}{{c}^{2}}}{{{\hbar }^{2}}} \right)\Psi =0</math>		:<math>\left( \square +\frac{{{m}^{2}}{{c}^{2}}}{{{\hbar }^{2}}} \right)\Psi =0</math>
	: \|(1.8)}}		: \|(1.8)}}
	mit <math>\frac{\hbar }{mc}</math>der {{FB\|Compton-Wellenlänge}} als charakteristische Längenskala.		mit <math>\frac{\hbar }{mc}</math>der {{FB\|Compton-Wellenlänge}} als charakteristische Längenskala.

Schubotz: Änderung 3164 von Schubotz (Diskussion) rückgängig gemacht.

2010-09-06T21:33:39Z

Änderung 3164 von Schubotz (Diskussion) rückgängig gemacht.

← Older revision		Revision as of 23:33, 6 September 2010
Line 56:		Line 56:
	<FONT COLOR="#FFBF00">'''LITERATUR: SKRIPT FREDENHAGEN QMII, HAMBURG'''</FONT>		<FONT COLOR="#FFBF00">'''LITERATUR: SKRIPT FREDENHAGEN QMII, HAMBURG'''</FONT>

	[[Klein-_Gordon-_Gleichung\|Schöll-~~Script♥~~]]		[[Klein-_Gordon-_Gleichung\|Schöll-Script]]

	==Siehe auch==		==Siehe auch==
	[[Klein-Gordon-Gleichung]]		[[Klein-Gordon-Gleichung]]
	</noinclude>		</noinclude>

Schubotz at 21:33, 6 September 2010

2010-09-06T21:33:06Z

← Older revision		Revision as of 23:33, 6 September 2010
Line 56:		Line 56:
	<FONT COLOR="#FFBF00">'''LITERATUR: SKRIPT FREDENHAGEN QMII, HAMBURG'''</FONT>		<FONT COLOR="#FFBF00">'''LITERATUR: SKRIPT FREDENHAGEN QMII, HAMBURG'''</FONT>

	[[Klein-_Gordon-_Gleichung\|Schöll-~~Script~~]]		[[Klein-_Gordon-_Gleichung\|Schöll-Script♥]]

	==Siehe auch==		==Siehe auch==
	[[Klein-Gordon-Gleichung]]		[[Klein-Gordon-Gleichung]]
	</noinclude>		</noinclude>

Schubotz: /* Literatur */

2010-09-06T21:30:50Z

Literatur

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Line 55:		Line 55:
	==Literatur==		==Literatur==
	<FONT COLOR="#FFBF00">'''LITERATUR: SKRIPT FREDENHAGEN QMII, HAMBURG'''</FONT>		<FONT COLOR="#FFBF00">'''LITERATUR: SKRIPT FREDENHAGEN QMII, HAMBURG'''</FONT>

			[[Klein-_Gordon-_Gleichung\|Schöll-Script]]

	==Siehe auch==		==Siehe auch==
	[[Klein-Gordon-Gleichung]]		[[Klein-Gordon-Gleichung]]
	</noinclude>		</noinclude>

Schubotz at 09:44, 6 September 2010

2010-09-06T09:44:50Z

← Older revision		Revision as of 11:44, 6 September 2010
Line 1:		Line 1:
	<noinclude>{{ScriptProf\|Kapitel=1\|Abschnitt=1\|Prof=Prof. Dr. T. Brandes\|Thema=Quantenmechanik\|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude>		<noinclude>{{ScriptProf\|Kapitel=1\|Abschnitt=1\|Prof=Prof. Dr. T. Brandes\|Thema=Quantenmechanik\|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude>
	Ein quantenmechanisches {{FB\|Wellenpaket}} hat die Form		Ein quantenmechanisches {{FB\|Wellenpaket}} hat die Form
	{{NumBlk\|:\|		{{NumBlk\|:\|<math>\Psi \left( \underline{x},t \right)={{\left( 2\pi \right)}^{-{}^{d}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}}\int{\varphi \left( \underline{k} \right){{e}^{-\mathfrak{i} \omega \left( \underline{k} \right)t+\mathfrak{i} \underline{k}.\underline{x}}}{{d}^{d}}\underline{k}}</math>
	<math>\Psi \left( \underline{x},t \right)={{\left( 2\pi \right)}^{-{}^{d}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}}\int{\varphi \left( \underline{k} \right){{e}^{-\mathfrak{i} \omega \left( \underline{k} \right)t+\mathfrak{i} \underline{k}.\underline{x}}}{{d}^{d}}\underline{k}}</math>		\|(1.1)}}
	: \|(1.1)}}		:wobei d die Raumdimension angibt.
	wobei d die Raumdimension angibt.		{{NumBlk\|\|Nach Schrödinger (nicht relativistisch) <math>\omega \left( \underline{k} \right)=\frac{{{k}^{2}}}{2m}\quad \text{mit }\hbar =1</math>\|(1.2)}}
	{{NumBlk\|:\|Nach Schrödinger (nicht relativistisch)		:was auf die {{FB\|Schrödingergleichung\|freies Teilchen}}
	<math>\omega \left( \underline{k} \right)=\frac{{{k}^{2}}}{2m}\quad \text{mit }\hbar =1</math>
	: \|(1.2)}}
	was auf die {{FB\|Schrödingergleichung\|freies Teilchen}}
	{{NumBlk\|:\|		{{NumBlk\|:\|
	<math>\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\Psi =\hat{H}\Psi ,\quad \hat{H}=-\frac{\Delta }{2m}</math>		<math>\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\Psi =\hat{H}\Psi ,\quad \hat{H}=-\frac{\Delta }{2m}</math>
	: \|(1.3)}}		: \|(1.3)}}
	führt.		:führt.

	Relativistisch (SRT) gilt		Relativistisch (SRT) gilt
	{{NumBlk\|:\| <math>\omega \left( \underline{k} \right)=\sqrt{{{{\underline{k}}}^{2}}+{{m}^{2}}}</math> \|(1.4)}}		{{NumBlk\|:\| <math>\omega \left( \underline{k} \right)=\sqrt{{{{\underline{k}}}^{2}}+{{m}^{2}}}</math> \|(1.4)}}
	wegen <math>E=\sqrt{{{m}^{2}}{{c}^{4}}+{{{\underline{p}}}^{2}}{{c}^{2}}}</math> und <math>\underline{p}=\hbar k</math>.		:wegen <math>E=\sqrt{{{m}^{2}}{{c}^{4}}+{{{\underline{p}}}^{2}}{{c}^{2}}}</math> und <math>\underline{p}=\hbar k</math>.

	<u>Ab jetzt gilt <math>c=1</math>.</u>		<u>Ab jetzt gilt <math>c=1</math>.</u>

	Mit (1.4) erfüllt Ψ jetzt die {{FB\|Klein-Gordon-Gleichung}}:		Mit (1.4) erfüllt Ψ jetzt die {{FB\|Klein-Gordon-Gleichung}}:
	{{NumBlk\|:\|Klein-Gordon-Gleichung		{{NumBlk\|:\|Klein-Gordon-Gleichung <math>\left( \partial _{t}^{2}-\Delta +{{m}^{2}} \right)\Psi \left( \underline{x},t \right)=0</math>

	<math>\left( \partial _{t}^{2}-\Delta +{{m}^{2}} \right)\Psi \left( \underline{x},t \right)=0</math>

	: \|(1.5)\|Border=1}}		: \|(1.5)\|Border=1}}

	Es gilt die <font color="#3399FF">'''''(AUFGABE)'''''</FONT>		Es gilt die <font color="#3399FF">'''''(AUFGABE)'''''</FONT>
	{{NumBlk\|:\|{{FB\|Kontinuitätsgleichung}}		{{NumBlk\|:\|{{FB\|Kontinuitätsgleichung}} <math>{{\partial }_{t}}\rho +\nabla .\underline{j}=0</math>\|(1.6)}}
	<math>{{\partial }_{t}}\rho +\nabla .\underline{j}=0</math>		:mit
	: \|(1.6)}}
	mit
	{{NumBlk\|:\|		{{NumBlk\|:\|
	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}

Schubotz at 09:38, 6 September 2010

2010-09-06T09:38:02Z

← Older revision		Revision as of 11:38, 6 September 2010
Line 1:		Line 1:
	<noinclude>{{ScriptProf\|Kapitel=1\|Abschnitt=1\|Prof=Prof. Dr. T. Brandes\|Thema=Quantenmechanik\|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude>		<noinclude>{{ScriptProf\|Kapitel=1\|Abschnitt=1\|Prof=Prof. Dr. T. Brandes\|Thema=Quantenmechanik\|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude>



	Ein quantenmechanisches {{FB\|Wellenpaket}} hat die Form		Ein quantenmechanisches {{FB\|Wellenpaket}} hat die Form

	{{NumBlk\|:\|		{{NumBlk\|:\|

	<math>\Psi \left( \underline{x},t \right)={{\left( 2\pi \right)}^{-{}^{d}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}}\int{\varphi \left( \underline{k} \right){{e}^{-\mathfrak{i} \omega \left( \underline{k} \right)t+\mathfrak{i} \underline{k}.\underline{x}}}{{d}^{d}}\underline{k}}</math>		<math>\Psi \left( \underline{x},t \right)={{\left( 2\pi \right)}^{-{}^{d}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}}\int{\varphi \left( \underline{k} \right){{e}^{-\mathfrak{i} \omega \left( \underline{k} \right)t+\mathfrak{i} \underline{k}.\underline{x}}}{{d}^{d}}\underline{k}}</math>

	: \|(1.1)}}		: \|(1.1)}}

	wobei d die Raumdimension angibt.		wobei d die Raumdimension angibt.


	{{NumBlk\|:\|Nach Schrödinger (nicht relativistisch)		{{NumBlk\|:\|Nach Schrödinger (nicht relativistisch)

	<math>\omega \left( \underline{k} \right)=\frac{{{k}^{2}}}{2m}\quad \text{mit }\hbar =1</math>		<math>\omega \left( \underline{k} \right)=\frac{{{k}^{2}}}{2m}\quad \text{mit }\hbar =1</math>

	: \|(1.2)}}		: \|(1.2)}}

	was auf die {{FB\|Schrödingergleichung\|freies Teilchen}}		was auf die {{FB\|Schrödingergleichung\|freies Teilchen}}

	{{NumBlk\|:\|		{{NumBlk\|:\|

	<math>\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\Psi =\hat{H}\Psi ,\quad \hat{H}=-\frac{\Delta }{2m}</math>		<math>\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\Psi =\hat{H}\Psi ,\quad \hat{H}=-\frac{\Delta }{2m}</math>

	: \|(1.3)}}		: \|(1.3)}}

	führt.		führt.

	Relativistisch (SRT) gilt		Relativistisch (SRT) gilt

	{{NumBlk\|:\| <math>\omega \left( \underline{k} \right)=\sqrt{{{{\underline{k}}}^{2}}+{{m}^{2}}}</math> \|(1.4)}}		{{NumBlk\|:\| <math>\omega \left( \underline{k} \right)=\sqrt{{{{\underline{k}}}^{2}}+{{m}^{2}}}</math> \|(1.4)}}

	wegen <math>E=\sqrt{{{m}^{2}}{{c}^{4}}+{{{\underline{p}}}^{2}}{{c}^{2}}}</math> und <math>\underline{p}=\hbar k</math>.		wegen <math>E=\sqrt{{{m}^{2}}{{c}^{4}}+{{{\underline{p}}}^{2}}{{c}^{2}}}</math> und <math>\underline{p}=\hbar k</math>.

Line 39:		Line 20:

	Mit (1.4) erfüllt Ψ jetzt die {{FB\|Klein-Gordon-Gleichung}}:		Mit (1.4) erfüllt Ψ jetzt die {{FB\|Klein-Gordon-Gleichung}}:

	{{NumBlk\|:\|Klein-Gordon-Gleichung		{{NumBlk\|:\|Klein-Gordon-Gleichung

Line 47:		Line 27:

	Es gilt die <font color="#3399FF">'''''(AUFGABE)'''''</FONT>		Es gilt die <font color="#3399FF">'''''(AUFGABE)'''''</FONT>

	{{NumBlk\|:\|{{FB\|Kontinuitätsgleichung}}		{{NumBlk\|:\|{{FB\|Kontinuitätsgleichung}}

	<math>{{\partial }_{t}}\rho +\nabla .\underline{j}=0</math>		<math>{{\partial }_{t}}\rho +\nabla .\underline{j}=0</math>

	: \|(1.6)}}		: \|(1.6)}}

	mit		mit

	{{NumBlk\|:\|		{{NumBlk\|:\|

	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}

	& \underline{j}=\frac{1}{2\mathfrak{i} m}\left( {{\Psi }^{}}\nabla \Psi -\Psi \nabla {{\Psi }^{}} \right) \\		& \underline{j}=\frac{1}{2\mathfrak{i} m}\left( {{\Psi }^{}}\nabla \Psi -\Psi \nabla {{\Psi }^{}} \right) \\

	& \rho \equiv \frac{1}{2m}\left( {{\Psi }^{}}{{\partial }_{t}}\Psi -\Psi {{\partial }_{t}}{{\Psi }^{}} \right) \\		& \rho \equiv \frac{1}{2m}\left( {{\Psi }^{}}{{\partial }_{t}}\Psi -\Psi {{\partial }_{t}}{{\Psi }^{}} \right) \\

	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	: \|(1.7)}}		: \|(1.7)}}

Schubotz at 09:33, 6 September 2010

2010-09-06T09:33:34Z

← Older revision		Revision as of 11:33, 6 September 2010
Line 88:		Line 88:
	Hier ist <math>\square ={{\partial }_{\mu }}{{\partial }^{\mu }}={{c}^{-2}}\partial _{t}^{2}-\Delta </math> der {{FB\|d’Alambert-Operator}}.		Hier ist <math>\square ={{\partial }_{\mu }}{{\partial }^{\mu }}={{c}^{-2}}\partial _{t}^{2}-\Delta </math> der {{FB\|d’Alambert-Operator}}.

			<noinclude>
	==Literatur==		==Literatur==
	<FONT COLOR="#FFBF00">'''LITERATUR: SKRIPT FREDENHAGEN QMII, HAMBURG'''</FONT>		<FONT COLOR="#FFBF00">'''LITERATUR: SKRIPT FREDENHAGEN QMII, HAMBURG'''</FONT>
			==Siehe auch==
			[[Klein-Gordon-Gleichung]]
			</noinclude>

Schubotz at 11:34, 5 September 2010

2010-09-05T11:34:25Z

← Older revision		Revision as of 13:34, 5 September 2010
Line 1:		Line 1:
	<noinclude>{{ScriptProf\|Kapitel=1\|Abschnitt=1\|Prof=Brandes\|Thema=Quantenmechanik\|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude>		<noinclude>{{ScriptProf\|Kapitel=1\|Abschnitt=1\|Prof=Prof. Dr. T. Brandes\|Thema=Quantenmechanik\|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude>

Schubotz at 10:03, 5 September 2010

2010-09-05T10:03:44Z

← Older revision		Revision as of 12:03, 5 September 2010
Line 13:		Line 13:
	wobei d die Raumdimension angibt.		wobei d die Raumdimension angibt.

	~~Nach Schrödinger (nicht relativistisch~~
	{{NumBlk\|:\|)		{{NumBlk\|:\|Nach Schrödinger (nicht relativistisch)

	<math>\omega \left( \underline{k} \right)=\frac{{{k}^{2}}}{2m}\quad \text{mit }\hbar =1</math>		<math>\omega \left( \underline{k} \right)=\frac{{{k}^{2}}}{2m}\quad \text{mit }\hbar =1</math>
Line 36:		Line 36:
	wegen <math>E=\sqrt{{{m}^{2}}{{c}^{4}}+{{{\underline{p}}}^{2}}{{c}^{2}}}</math> und <math>\underline{p}=\hbar k</math>.		wegen <math>E=\sqrt{{{m}^{2}}{{c}^{4}}+{{{\underline{p}}}^{2}}{{c}^{2}}}</math> und <math>\underline{p}=\hbar k</math>.

	Ab jetzt gilt <math>c=1</math>.		<u>Ab jetzt gilt <math>c=1</math>.</u>

	Mit (1.4) erfüllt Ψ jetzt die {{FB\|Klein-Gordon-Gleichung}}:		Mit (1.4) erfüllt Ψ jetzt die {{FB\|Klein-Gordon-Gleichung}}:

← Older revision		Revision as of 11:44, 6 September 2010
Line 1:		Line 1:
	<noinclude>{{ScriptProf\|Kapitel=1\|Abschnitt=1\|Prof=Prof. Dr. T. Brandes\|Thema=Quantenmechanik\|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude>		<noinclude>{{ScriptProf\|Kapitel=1\|Abschnitt=1\|Prof=Prof. Dr. T. Brandes\|Thema=Quantenmechanik\|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude>
	Ein quantenmechanisches {{FB\|Wellenpaket}} hat die Form		Ein quantenmechanisches {{FB\|Wellenpaket}} hat die Form
	{{NumBlk\|:\|		{{NumBlk\|:\|<math>\Psi \left( \underline{x},t \right)={{\left( 2\pi \right)}^{-{}^{d}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}}\int{\varphi \left( \underline{k} \right){{e}^{-\mathfrak{i} \omega \left( \underline{k} \right)t+\mathfrak{i} \underline{k}.\underline{x}}}{{d}^{d}}\underline{k}}</math>
	<math>\Psi \left( \underline{x},t \right)={{\left( 2\pi \right)}^{-{}^{d}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}}\int{\varphi \left( \underline{k} \right){{e}^{-\mathfrak{i} \omega \left( \underline{k} \right)t+\mathfrak{i} \underline{k}.\underline{x}}}{{d}^{d}}\underline{k}}</math>		\|(1.1)}}
	: \|(1.1)}}		:wobei d die Raumdimension angibt.
	wobei d die Raumdimension angibt.		{{NumBlk\|\|Nach Schrödinger (nicht relativistisch) <math>\omega \left( \underline{k} \right)=\frac{{{k}^{2}}}{2m}\quad \text{mit }\hbar =1</math>\|(1.2)}}
	{{NumBlk\|:\|Nach Schrödinger (nicht relativistisch)		:was auf die {{FB\|Schrödingergleichung\|freies Teilchen}}
	<math>\omega \left( \underline{k} \right)=\frac{{{k}^{2}}}{2m}\quad \text{mit }\hbar =1</math>
	: \|(1.2)}}
	was auf die {{FB\|Schrödingergleichung\|freies Teilchen}}
	{{NumBlk\|:\|		{{NumBlk\|:\|
	<math>\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\Psi =\hat{H}\Psi ,\quad \hat{H}=-\frac{\Delta }{2m}</math>		<math>\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\Psi =\hat{H}\Psi ,\quad \hat{H}=-\frac{\Delta }{2m}</math>
	: \|(1.3)}}		: \|(1.3)}}
	führt.		:führt.

	Relativistisch (SRT) gilt		Relativistisch (SRT) gilt
	{{NumBlk\|:\| <math>\omega \left( \underline{k} \right)=\sqrt{{{{\underline{k}}}^{2}}+{{m}^{2}}}</math> \|(1.4)}}		{{NumBlk\|:\| <math>\omega \left( \underline{k} \right)=\sqrt{{{{\underline{k}}}^{2}}+{{m}^{2}}}</math> \|(1.4)}}
	wegen <math>E=\sqrt{{{m}^{2}}{{c}^{4}}+{{{\underline{p}}}^{2}}{{c}^{2}}}</math> und <math>\underline{p}=\hbar k</math>.		:wegen <math>E=\sqrt{{{m}^{2}}{{c}^{4}}+{{{\underline{p}}}^{2}}{{c}^{2}}}</math> und <math>\underline{p}=\hbar k</math>.

	<u>Ab jetzt gilt <math>c=1</math>.</u>		<u>Ab jetzt gilt <math>c=1</math>.</u>

	Mit (1.4) erfüllt Ψ jetzt die {{FB\|Klein-Gordon-Gleichung}}:		Mit (1.4) erfüllt Ψ jetzt die {{FB\|Klein-Gordon-Gleichung}}:
	{{NumBlk\|:\|Klein-Gordon-Gleichung		{{NumBlk\|:\|Klein-Gordon-Gleichung <math>\left( \partial _{t}^{2}-\Delta +{{m}^{2}} \right)\Psi \left( \underline{x},t \right)=0</math>

	<math>\left( \partial _{t}^{2}-\Delta +{{m}^{2}} \right)\Psi \left( \underline{x},t \right)=0</math>

	: \|(1.5)\|Border=1}}		: \|(1.5)\|Border=1}}

	Es gilt die <font color="#3399FF">'''''(AUFGABE)'''''</FONT>		Es gilt die <font color="#3399FF">'''''(AUFGABE)'''''</FONT>
	{{NumBlk\|:\|{{FB\|Kontinuitätsgleichung}}		{{NumBlk\|:\|{{FB\|Kontinuitätsgleichung}} <math>{{\partial }_{t}}\rho +\nabla .\underline{j}=0</math>\|(1.6)}}
	<math>{{\partial }_{t}}\rho +\nabla .\underline{j}=0</math>		:mit
	: \|(1.6)}}
	mit
	{{NumBlk\|:\|		{{NumBlk\|:\|
	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}

← Older revision		Revision as of 11:38, 6 September 2010
Line 1:		Line 1:
	<noinclude>{{ScriptProf\|Kapitel=1\|Abschnitt=1\|Prof=Prof. Dr. T. Brandes\|Thema=Quantenmechanik\|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude>		<noinclude>{{ScriptProf\|Kapitel=1\|Abschnitt=1\|Prof=Prof. Dr. T. Brandes\|Thema=Quantenmechanik\|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude>



	Ein quantenmechanisches {{FB\|Wellenpaket}} hat die Form		Ein quantenmechanisches {{FB\|Wellenpaket}} hat die Form

	{{NumBlk\|:\|		{{NumBlk\|:\|

	<math>\Psi \left( \underline{x},t \right)={{\left( 2\pi \right)}^{-{}^{d}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}}\int{\varphi \left( \underline{k} \right){{e}^{-\mathfrak{i} \omega \left( \underline{k} \right)t+\mathfrak{i} \underline{k}.\underline{x}}}{{d}^{d}}\underline{k}}</math>		<math>\Psi \left( \underline{x},t \right)={{\left( 2\pi \right)}^{-{}^{d}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}}\int{\varphi \left( \underline{k} \right){{e}^{-\mathfrak{i} \omega \left( \underline{k} \right)t+\mathfrak{i} \underline{k}.\underline{x}}}{{d}^{d}}\underline{k}}</math>

	: \|(1.1)}}		: \|(1.1)}}

	wobei d die Raumdimension angibt.		wobei d die Raumdimension angibt.


	{{NumBlk\|:\|Nach Schrödinger (nicht relativistisch)		{{NumBlk\|:\|Nach Schrödinger (nicht relativistisch)

	<math>\omega \left( \underline{k} \right)=\frac{{{k}^{2}}}{2m}\quad \text{mit }\hbar =1</math>		<math>\omega \left( \underline{k} \right)=\frac{{{k}^{2}}}{2m}\quad \text{mit }\hbar =1</math>

	: \|(1.2)}}		: \|(1.2)}}

	was auf die {{FB\|Schrödingergleichung\|freies Teilchen}}		was auf die {{FB\|Schrödingergleichung\|freies Teilchen}}

	{{NumBlk\|:\|		{{NumBlk\|:\|

	<math>\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\Psi =\hat{H}\Psi ,\quad \hat{H}=-\frac{\Delta }{2m}</math>		<math>\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\Psi =\hat{H}\Psi ,\quad \hat{H}=-\frac{\Delta }{2m}</math>

	: \|(1.3)}}		: \|(1.3)}}

	führt.		führt.

	Relativistisch (SRT) gilt		Relativistisch (SRT) gilt

	{{NumBlk\|:\| <math>\omega \left( \underline{k} \right)=\sqrt{{{{\underline{k}}}^{2}}+{{m}^{2}}}</math> \|(1.4)}}		{{NumBlk\|:\| <math>\omega \left( \underline{k} \right)=\sqrt{{{{\underline{k}}}^{2}}+{{m}^{2}}}</math> \|(1.4)}}

	wegen <math>E=\sqrt{{{m}^{2}}{{c}^{4}}+{{{\underline{p}}}^{2}}{{c}^{2}}}</math> und <math>\underline{p}=\hbar k</math>.		wegen <math>E=\sqrt{{{m}^{2}}{{c}^{4}}+{{{\underline{p}}}^{2}}{{c}^{2}}}</math> und <math>\underline{p}=\hbar k</math>.

Line 39:		Line 20:

	Mit (1.4) erfüllt Ψ jetzt die {{FB\|Klein-Gordon-Gleichung}}:		Mit (1.4) erfüllt Ψ jetzt die {{FB\|Klein-Gordon-Gleichung}}:

	{{NumBlk\|:\|Klein-Gordon-Gleichung		{{NumBlk\|:\|Klein-Gordon-Gleichung

Line 47:		Line 27:

	Es gilt die <font color="#3399FF">'''''(AUFGABE)'''''</FONT>		Es gilt die <font color="#3399FF">'''''(AUFGABE)'''''</FONT>

	{{NumBlk\|:\|{{FB\|Kontinuitätsgleichung}}		{{NumBlk\|:\|{{FB\|Kontinuitätsgleichung}}

	<math>{{\partial }_{t}}\rho +\nabla .\underline{j}=0</math>		<math>{{\partial }_{t}}\rho +\nabla .\underline{j}=0</math>

	: \|(1.6)}}		: \|(1.6)}}

	mit		mit

	{{NumBlk\|:\|		{{NumBlk\|:\|

	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}

	& \underline{j}=\frac{1}{2\mathfrak{i} m}\left( {{\Psi }^{}}\nabla \Psi -\Psi \nabla {{\Psi }^{}} \right) \\		& \underline{j}=\frac{1}{2\mathfrak{i} m}\left( {{\Psi }^{}}\nabla \Psi -\Psi \nabla {{\Psi }^{}} \right) \\

	& \rho \equiv \frac{1}{2m}\left( {{\Psi }^{}}{{\partial }_{t}}\Psi -\Psi {{\partial }_{t}}{{\Psi }^{}} \right) \\		& \rho \equiv \frac{1}{2m}\left( {{\Psi }^{}}{{\partial }_{t}}\Psi -\Psi {{\partial }_{t}}{{\Psi }^{}} \right) \\

	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	: \|(1.7)}}		: \|(1.7)}}