Kernkräfte - Revision history

Schubotz: /* Berechnung des Wirkungsquerschnitts: */

2011-08-28T13:32:03Z

Berechnung des Wirkungsquerschnitts:

← Older revision		Revision as of 15:32, 28 August 2011
Line 176:		Line 176:
	Im niederenergetischen Bereich mit <math>k \ll K</math> kann man die Sinusfunktion		Im niederenergetischen Bereich mit <math>k \ll K</math> kann man die Sinusfunktion
	im Außenbereich durch eine Gerade ersetzen		im Außenbereich durch eine Gerade ersetzen
	:<math>u \~~simto~~ A_2 (kr+\delta_0) = A_2 k(r-a)</math> mit <math>\delta_0 = -ka</math>.		:<math>u \simeq A_2 (kr+\delta_0) = A_2 k(r-a)</math> mit <math>\delta_0 = -ka</math>.

	Die sogenannte {{FB\|Streulänge}} <math>a</math> ist der Schnittpunkt dieser Geraden mit der r-Achse. Je nachdem (<math>V_0,r_0</math>) für <math>E \approx 0</math> bindend oder nichtbindend ist, ist a positiv oder negativ. Sehr große Werte für die		Die sogenannte {{FB\|Streulänge}} <math>a</math> ist der Schnittpunkt dieser Geraden mit der r-Achse. Je nachdem (<math>V_0,r_0</math>) für <math>E \approx 0</math> bindend oder nichtbindend ist, ist a positiv oder negativ. Sehr große Werte für die

Schubotz: /* Berechnung des Wirkungsquerschnitts: */

2011-08-28T13:31:28Z

Berechnung des Wirkungsquerschnitts:

← Older revision		Revision as of 15:31, 28 August 2011
Line 118:		Line 118:

	===Berechnung des Wirkungsquerschnitts:===		===Berechnung des Wirkungsquerschnitts:===


	Zunächst Entwicklung der einlaufenden ebenen Welle nach Kugelwellen.		Zunächst Entwicklung der einlaufenden ebenen Welle nach Kugelwellen.

Line 125:		Line 123:
	:<math>j_l(kr)</math> sphärische Besselfunktionen		:<math>j_l(kr)</math> sphärische Besselfunktionen

			Sinn: Bei niedrigen Energien (<math>E_n \le 10 \rm MeV</math>) kann wegen der kurzen
	Sinn: Bei niedrigen Energien (<math>E_n \le 10 MeV</math>) kann wegen der kurzen
	Reichweite der Kernkräfte nur der <math>1 = O</math>-Anteil (S-Wellen) gestreut		Reichweite der Kernkräfte nur der <math>1 = O</math>-Anteil (S-Wellen) gestreut
	werden. Teilchen mit <math>1 \neq 0</math> kommen bei diesen Energien nicht nahe		werden. Teilchen mit <math>1 \neq 0</math> kommen bei diesen Energien nicht nahe
	genug heran.		genug heran.

	Quantitativ:		Quantitativ:

Line 140:		Line 138:
	Der S-Wellenanteil der einlaufenden ebenen Welle lautet mit <math>j_0(kr)</math>:		Der S-Wellenanteil der einlaufenden ebenen Welle lautet mit <math>j_0(kr)</math>:

	:(S-Wellenanteil) <math>=\frac{\sin kr}{kr}\equiv \frac{e^{ikr}-e^{-ikr}}{2ikr}</math> <math>e^{ikr}</math> auslaufende Kugelwelle <math>e^{-ikr}</math> einlaufende Kugelwelle		:(S-Wellenanteil) <math>=\frac{\sin kr}{kr}\equiv \frac{e^{ikr}-e^{-ikr}}{2ikr}</math>, <math>e^{ikr}</math> auslaufende Kugelwelle, <math>e^{-ikr}</math> einlaufende Kugelwelle

	Nach dem "Durchlaufen" des Zentralpotentials <math>V = V(r)</math> bleiben der		Nach dem "Durchlaufen" des Zentralpotentials <math>V = V(r)</math> bleiben der
	S-Wellencharakter, der Wellenvektor k und die Teilchenzahl erhalten.		S-Wellencharakter, der Wellenvektor <math>k</math> und die Teilchenzahl erhalten.
	Deshalb kann es nur eine '''Phasenänderung''' in der '''auslaufenden		Deshalb kann es nur eine '''Phasenänderung''' in der '''auslaufenden Kugelwelle''' geben.
	Kugelwelle''' geben.

	S-Wellenanteil nach Durchlaufen des Streupotentials:		S-Wellenanteil nach Durchlaufen des Streupotentials:
Line 161:		Line 158:
	{\| class="wikitable center"		{\| class="wikitable center"
	\|-		\|-
	!Innenbereich I !! Außenbereich 11		!Innenbereich I !! Außenbereich II
	\|-		\|-
	\| <math>\left[\frac{h^2}{2\mu}\frac{d^2}{dr^2}+V_0\right] u = E u</math> \|\| <math>\left[\frac{h^2}{2\mu}\frac{d^2}{dr^2}+0\right] u = E u</math>		\| <math>\left[\frac{h^2}{2\mu}\frac{d^2}{dr^2}+V_0\right] u = E u</math> \|\| <math>\left[\frac{h^2}{2\mu}\frac{d^2}{dr^2}+0\right] u = E u</math>
Line 170:		Line 167:
	\|}		\|}

	Stetige Anpassung für u und du/dr bei <math>r = r_0</math> ergibt		Stetige Anpassung für <math>u</math> und <math>du/dr</math> bei <math>r = r_0</math> ergibt
	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	A_1 \sin Kr_0 &= A_2 \sin (k r_0 +\delta_0) &=A_2 k (r_0-a)\\		A_1 \sin Kr_0 &= A_2 \sin (k r_0 +\delta_0) &=A_2 k (r_0-a)\\
Line 177:		Line 174:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Im niederenergetischen Bereich mit <math>k \le K</math> kann man die Sinusfunktion		Im niederenergetischen Bereich mit <math>k \ll K</math> kann man die Sinusfunktion
	im Außenbereich durch eine Gerade ersetzen		im Außenbereich durch eine Gerade ersetzen
	:<math>u \~~approx~~ A_2 (kr+\delta_0) = A_2 k(r-a)</math> mit <math>\delta_0 = -ka</math>.		:<math>u \simto A_2 (kr+\delta_0) = A_2 k(r-a)</math> mit <math>\delta_0 = -ka</math>.

			Die sogenannte {{FB\|Streulänge}} <math>a</math> ist der Schnittpunkt dieser Geraden mit der r-Achse. Je nachdem (<math>V_0,r_0</math>) für <math>E \approx 0</math> bindend oder nichtbindend ist, ist a positiv oder negativ. Sehr große Werte für die
	Die sogenannte Streulänge a ist der Schnittpunkt dieser Geraden
	mit der r-Achse. Je nachdem (<math>V_0,r_0</math>) für <math>E \approx 0</math> bindend oder nichtbindend
	ist, ist a positiv oder negativ. Sehr große Werte für die
	Streulänge erhält man, wenn das Potential gerade noch (<math>V_T</math>) oder		Streulänge erhält man, wenn das Potential gerade noch (<math>V_T</math>) oder
	gerade nicht mehr bindend (<math>~~V_s~~</math>) ist.		gerade nicht mehr bindend (<math>V_S</math>) ist.


	[[Datei:8.7.Wirkungsquerschnitt.Kasten.QM.png]]		[[Datei:8.7.Wirkungsquerschnitt.Kasten.QM.png\|miniatur\|zentriert\|hochkant=2\|Wellefunktion fürStreulänge für Singulett, Triplett etc]]

	Wirkungsquerschnitt <math>\sigma = 4\pi\|f(\theta)\|^2 = 4\pi \frac{\sin^2 \delta_0 }{k^2} = 4 \pi a^2</math>		Wirkungsquerschnitt <math>\sigma = 4\pi\|f(\theta)\|^2 = 4\pi \frac{\sin^2 \delta_0 }{k^2} = 4 \pi a^2</math>
Line 199:		Line 193:
	Experimentell:		Experimentell:

	[[Datei:8.8.Wirkungsquerschnitt.Experimentell.png]]		[[Datei:8.8.Wirkungsquerschnitt.Experimentell.png\|miniatur\|zentriert\|hochkant=2\|Totaler Wirkungsquerschnitt als Funktion der Neutronenenergie]]

	Grobe Abschätzung aus Deuteronproblem ergibt für das Triplettpotential		Grobe Abschätzung aus {{FB\|Deuteronproblem}} ergibt für das {{FB\|Triplettpotential}}
	<math>a_T = 5,7\times 10^{-15}m</math> und damit <math>\sigma_T \approx 4,5\times 10^{-28}m^2</math> . Damit erhält man		:<math>a_T = 5,7\times 10^{-15}m</math> und damit <math>\sigma_T \approx 4,5\times 10^{-28}m^2</math>.
	aus <math>\sigma \approx 20\times 10^{-28}m^2</math> für <math>\~~sigma_s~~ \approx 68 \times 10^{-28}m^ 2</math> und <math>\|~~a_s~~\| = 23\times 10^{- 28}m^2</math>. Das negative Vorzeichen <math>~~a_s~~ < 0</math> folgt aus Messungen der kohärenten
			Damit erhält man aus <math>\sigma \approx 20\times 10^{-28}m^2</math> für <math>\sigma_S \approx 68 \times 10^{-28}m^ 2</math> und
			:<math>\|a_S\| = 23\times 10^{- 28}m^2</math>. Das negative Vorzeichen <math>a_S < 0</math> folgt aus Messungen der kohärenten
	Streuung am Para-Wasserstoff-Molekül.		Streuung am Para-Wasserstoff-Molekül.


	Während der Bereich bis ca. <math>10^4</math> eV vom ~~Sinulett~~-Potential beherrscht		Während der Bereich bis ca.
	wird, tritt für den Bereich <math>10^4 - 10^7</math> eV immer mehr das		:<math>10^4</math> eV vom '''Singulett-Potential''' beherrscht wird, tritt für den Bereich
	Triplett-Potential in den Vordergrund. Ab <math>10^7</math> eV müssen verstärkt		:<math>10^4 - 10^7</math> eV immer mehr das '''Triplett-Potential''' in den Vordergrund. Ab
	höhere Bahndrehimpulsanteile berücksichtigt werden.		:<math>10^7</math> eV müssen verstärkt '''höhere Bahndrehimpulsanteile''' berücksichtigt werden.


	Bei einer feldtheoretischen Behandlung in Analogie zur Quantenelektrodynamik		Bei einer feldtheoretischen Behandlung in Analogie zur Quantenelektrodynamik
	versucht man die Kernkräfte durch Mesonen-Austauschprozesse		versucht man die Kernkräfte durch {{FB\|Mesonen-Austauschprozesse}} zu beschreiben. Dabei wird der "langreichweitige"
	zu beschreiben. Dabei wird der "langreichweitige"		Teil durch {{FB\|Ein-Pion-Austauschprozess}}e (Yukawa-Ansatz 1935) und der Bereich mittlerer Reichweite durch {{FB\|Zwei-Pion-Austauschprozess}}e beschrieben.
	Teil durch Ein-Pion-~~Austauschprozesse~~ (Yukawa-Ansatz 1935) und der
	Bereich mittlerer Reichweite durch Zwei-Pion-~~Austauschprozesse~~ beschrieben.		Der "kurzreichweitige" Teil mit einem stark abstoßenden Anteil (''hard core'') muß durch den Austausch mehrerer Mesonen behandelt
	Der "kurzreichweitige" Teil mit einem stark abstoßenden
	Anteil (hard core) muß durch den Austausch mehrerer Mesonen behandelt
	werden. Dabei spielen nicht nur die <math>\omega</math>-Mesonen, sondern schwere		werden. Dabei spielen nicht nur die <math>\omega</math>-Mesonen, sondern schwere
	Mesonen (z.B. das <math>\omega</math>-Meson mit <math>mc^2 = 783 MeV</math>) wegen ihrer		Mesonen (z.B. das <math>\omega</math>-Meson mit <math>mc^2 = 783 MeV</math>) wegen ihrer
	kleinen Compton-Wellenlänge eine besondere Rolle. Da Nukleonen und		'''kleinen Compton-Wellenlänge''' eine besondere Rolle. Da Nukleonen und
	Mesonen ihrerseits aus Quarks zusammengesetzt sind, die von		Mesonen ihrerseits aus {{FB\|Quarks}} zusammengesetzt sind, die von {{FB\|Gluonen}} zusammengehalten werden, muß eine genauere Feldtheorie der
	Gluonen zusammengehalten werden, muß eine genauere Feldtheorie der
	Kernkräfte auf diesen Teilchen aufbauen.		Kernkräfte auf diesen Teilchen aufbauen.

Schubotz: /* n-p Streuung */

2011-08-28T13:13:42Z

n-p Streuung

← Older revision		Revision as of 15:13, 28 August 2011
Line 81:		Line 81:
	Wirkungsquerschnitt <math>\sigma[m^2]</math>		Wirkungsquerschnitt <math>\sigma[m^2]</math>

	[[Datei:8.3.Wirkungsquerschnitt.png]]		[[Datei:8.3.Wirkungsquerschnitt.png\|zentriert\|miniatur\|hochkant=2\|Wikungsquerschnitt für Protonen Neutronen Streuung]]

	<math>\sigma</math> als "Trefferfläche" , z.B. <math>\sigma(geom.) = \pi R^2 \approx 10^{-29}-10^{-28} m^2 (10^{-28}m^2		<math>\sigma</math> als "Trefferfläche" , z.B. <math>\sigma(geom.) = \pi R^2 \approx 10^{-29}-10^{-28} m^2 (10^{-28}m^2
Line 90:		Line 90:
	Kinematik: <math>m_p \approx m_n</math>, "Billardproblem"		Kinematik: <math>m_p \approx m_n</math>, "Billardproblem"

	[[Datei:8.4.Zweikoerperproblem.png]]		[[Datei:8.4.Zweikoerperproblem.png\|zentriert\|miniatur\|hochkant=2\|Protonen Neutronen Streuung in verschiedenen Bezugssystemen]]

	<math>2 \to 1</math> Körperproblem: Stoß zweier Teilchen gleicher Masse im CM-System		<math>2 \to 1</math> Körperproblem: Stoß zweier Teilchen gleicher Masse im CM-System
Line 98:		Line 98:
	Quantenmechanische Formulierung des Streuproblems		Quantenmechanische Formulierung des Streuproblems

	[[Datei:8.5.Streuproblem.Quantenemechanische.Formulierung.png]]		[[Datei:8.5.Streuproblem.Quantenemechanische.Formulierung.png\|zentriert\|miniatur\|hochkant=2\|Quantenmechanische Formulierung für Protonen Neutronen Streuung]]


	{{FB\|differentieller Wirkungsquerschnitt}} <math>d\sigma/dn</math> in Raumwinkel <math>d\Omega</math>:		{{FB\|differentieller Wirkungsquerschnitt}} <math>d\sigma/d\Omega</math> in Raumwinkel <math>d\Omega</math>:
	:<math>\frac{d\sigma}{dn}=\frac{\text{ Fluss der gestreuten Teilchen in Raumwinkel d}{\Omega}\text{(Detektor)}}{\text{Fluss der einlaufenden Teilchen pro Einheitsflaeche}}</math>		{{Gln\|
			:<math>\frac{d\sigma}{dn}=\frac{\text{ Fluss der gestreuten Teilchen in Raumwinkel d}{\Omega}\text{(Detektor)}}{\text{Fluss der einlaufenden Teilchen pro Einheitsflaeche}}</math>\|Differentieller Wirklungsquerschnitt}}

	;Fluß der einfallenden Teilchen: <math>\|e^{ikz}\|^2 v</math>, <math>\|e^{ikz}\|^2 </math> 1 Teilchen pro Raumeinheit		;Fluß der einfallenden Teilchen: <math>\|e^{ikz}\|^2 v</math>, <math>\|e^{ikz}\|^2 </math> 1 Teilchen pro Raumeinheit
Line 111:		Line 112:


	Speziell für isotrope Streuung <math>(f(\sigma) = const.)</math> ist dann der (Gesamt)-Wirkungsquerschnitt <math>\sigma = 4 \pi \|f\|^2</math> .		Speziell für {{FB\|isotrope Streuung}} <math>(f(\sigma) = const.)</math> ist dann der (Gesamt)-{{FB\|Wirkungsquerschnitt}}
			:<math>\sigma = 4 \pi \|f\|^2</math> .


Line 224:		Line 226:
	Gluonen zusammengehalten werden, muß eine genauere Feldtheorie der		Gluonen zusammengehalten werden, muß eine genauere Feldtheorie der
	Kernkräfte auf diesen Teilchen aufbauen.		Kernkräfte auf diesen Teilchen aufbauen.

	==Ergänzende Informationen==		==Ergänzende Informationen==
	(gehört nicht zum Skript)		(gehört nicht zum Skript)

Schubotz: /* Deuteron */

2011-08-28T13:03:16Z

Deuteron

Schubotz: /* Berechnung des Wirkungsquerschnitts: */

2011-08-17T12:42:31Z

Berechnung des Wirkungsquerschnitts:

← Older revision		Revision as of 14:42, 17 August 2011
Line 224:		Line 224:
	Gluonen zusammengehalten werden, muß eine genauere Feldtheorie der		Gluonen zusammengehalten werden, muß eine genauere Feldtheorie der
	Kernkräfte auf diesen Teilchen aufbauen.		Kernkräfte auf diesen Teilchen aufbauen.
			==Ergänzende Informationen==
			(gehört nicht zum Skript)
			===Prüfungsfragen===
			*Was ist das besondere der starken und schwachen WW? -> sehr kurze Reichweite
			* Analogie QCD -> \pi , QED -> \gamma (Quarks als Grundbaustein der Hadronen mit Gluonen als Austauschteilehen und Pionen als Austauschteilehen der Hadronen im Atomkern (Yukawa Potential), nur erwähnt, Quarks und Leptonen (speziell Elektronen) sind Punkteilchen)

Schubotz: /* Berechnung des Wirkungsquerschnitts: */

2011-08-12T10:53:23Z

Berechnung des Wirkungsquerschnitts:

← Older revision		Revision as of 12:53, 12 August 2011
Line 157:		Line 157:
	Berechnung der Streuphase mit einem Kastenpotential (<math>V_0,r_0</math>) über		Berechnung der Streuphase mit einem Kastenpotential (<math>V_0,r_0</math>) über
	die Schrödingergleichung analog zum Deuteronproblem, jedoch <math>E > O</math>.		die Schrödingergleichung analog zum Deuteronproblem, jedoch <math>E > O</math>.
	{\| class="wikitable"		{\| class="wikitable center"
	\|-		\|-
	!Innenbereich I !! Außenbereich 11		!Innenbereich I !! Außenbereich 11

Schubotz: /* n-p Streuung */

2011-08-12T10:49:39Z

n-p Streuung

← Older revision		Revision as of 12:49, 12 August 2011
Line 111:		Line 111:


	Speziell für isotrope Streuung (f(\sigma) = const.) ist dann der (Gesamt)-Wirkungsquerschnitt <math>\sigma = 4 \pi \|f\|^2</math> .		Speziell für isotrope Streuung <math>(f(\sigma) = const.)</math> ist dann der (Gesamt)-Wirkungsquerschnitt <math>\sigma = 4 \pi \|f\|^2</math> .


Line 121:		Line 121:

	:<math>e^{ikz} = e^{ikr\cos\theta} =\sum_1 i^l (2l+1) j_l(kr)P_1(cos\theta)</math>		:<math>e^{ikz} = e^{ikr\cos\theta} =\sum_1 i^l (2l+1) j_l(kr)P_1(cos\theta)</math>
			:<math>j_l(kr)</math> sphärische Besselfunktionen
	<math>j_l(kr)</math> sphärische Besselfunktionen


Line 131:		Line 130:
	Quantitativ:		Quantitativ:

	[[Datei:8.6.SWellenAnteil.png]]		[[Datei:8.6.SWellenAnteil.png\|miniatur\|zentriert\|hochkant=3]]

	Wegen <math>k=\sqrt{\frac{2 \mu E}{\hbar^2}}= 0,15\sqrt{\tfrac{1}{2}E_{LAB}[MeV]} 10^{15} m^{- l}</math>		Wegen <math>k=\sqrt{\frac{2 \mu E}{\hbar^2}}= 0,15\sqrt{\tfrac{1}{2}E_{LAB}[MeV]} 10^{15} m^{- l}</math>
Line 140:		Line 139:

	:(S-Wellenanteil) <math>=\frac{\sin kr}{kr}\equiv \frac{e^{ikr}-e^{-ikr}}{2ikr}</math> <math>e^{ikr}</math> auslaufende Kugelwelle <math>e^{-ikr}</math> einlaufende Kugelwelle		:(S-Wellenanteil) <math>=\frac{\sin kr}{kr}\equiv \frac{e^{ikr}-e^{-ikr}}{2ikr}</math> <math>e^{ikr}</math> auslaufende Kugelwelle <math>e^{-ikr}</math> einlaufende Kugelwelle



	Nach dem "Durchlaufen" des Zentralpotentials <math>V = V(r)</math> bleiben der		Nach dem "Durchlaufen" des Zentralpotentials <math>V = V(r)</math> bleiben der
Line 147:		Line 144:
	Deshalb kann es nur eine '''Phasenänderung''' in der '''auslaufenden		Deshalb kann es nur eine '''Phasenänderung''' in der '''auslaufenden
	Kugelwelle''' geben.		Kugelwelle''' geben.


	S-Wellenanteil nach Durchlaufen des Streupotentials:		S-Wellenanteil nach Durchlaufen des Streupotentials:
			:<math>\frac{e^{i (kr+2\delta_0)}- e^{ikr}}{2ikr} \equiv e^{i\delta_0} \frac{\sin(kr+\delta_0)}{kr}</math>

	~~<math>\frac{e^{i (kr+2\delta_0)}- e^{ikr}}{2ikr} \equiv e^{i\delta_0} \frac{\sin(kr+\delta_0)}{kr}</math>~~		Die Differenz des S-Wellenanteils vor und nach der Streuung charakterisiert


	Die Differenz des S-Wellenanteils vor und. nach der Streuung charakterisiert
	die qestreuten Teilchen, also die gestreute auslaufende Kugelwelle <math>\frac{e^{ikr}}{r} f(\theta)</math>:		die qestreuten Teilchen, also die gestreute auslaufende Kugelwelle <math>\frac{e^{ikr}}{r} f(\theta)</math>:
	:<math>\frac{e^{i(kr+2\delta_{0}}-e^{ikr}}{2ikr}\equiv\frac{e^{i(kr+\delta_{0}})}{r}\frac{\sin\delta_{0}}{k}</math>		:<math>\frac{e^{i(kr+2\delta_{0}}-e^{ikr}}{2ikr}\equiv\frac{e^{i(kr+\delta_{0}})}{r}\frac{\sin\delta_{0}}{k}</math>
Line 163:		Line 157:
	Berechnung der Streuphase mit einem Kastenpotential (<math>V_0,r_0</math>) über		Berechnung der Streuphase mit einem Kastenpotential (<math>V_0,r_0</math>) über
	die Schrödingergleichung analog zum Deuteronproblem, jedoch <math>E > O</math>.		die Schrödingergleichung analog zum Deuteronproblem, jedoch <math>E > O</math>.
			{\| class="wikitable"
			\|-
			!Innenbereich I !! Außenbereich 11
			\|-
			\| <math>\left[\frac{h^2}{2\mu}\frac{d^2}{dr^2}+V_0\right] u = E u</math> \|\| <math>\left[\frac{h^2}{2\mu}\frac{d^2}{dr^2}+0\right] u = E u</math>
			\|-
			\| <math>u=A_1 \sin Kr</math> \|\| <math>u=A_1 \sin( kr+\delta_0)</math>
			\|-
			\| <math>K=\sqrt\frac{2\mu(E-V_0)}{\hbar^2}</math> \|\| <math>k=\sqrt\frac{2\mu(E)}{\hbar^2}</math> (siehe <math>e^{i\delta_0}\frac{\sin(kr+\delta_0)}{kr}</math> und <math>\Psi \sim \frac{u}{r}</math>
			\|}

	~~Innenbereich I Außenbereich 11~~		Stetige Anpassung für u und du/dr bei <math>r = r_0</math> ergibt
	2		:<math>\begin{align}
	~~[-~2~~		A_1 \sin Kr_0 &= A_2 \sin (k r_0 +\delta_0) &=A_2 k (r_0-a)\\
	-		K A_1 \cos Kr_0 &= k A_2 \cos (k r_0 +\delta_0) &=A_2 k\\[0.5em]
	d2		K \cot Kr_0 &= \cot (k r_0 +\delta_0) &= \underbrace{(r_0-a)^{-1}}_{k \ll K}\\
	~~+ V ] U = E " u [_h ~ + 0] U = E • u~~		\end{align}</math>
	~~2p. dr2 0 2p. dr2~~
	~~u = Al • sinKr u = A2 " sin(kr+oo )~~
	~~K = ,; 2fL(E-VQ)' (siehe eiOo"sin(~~+Og) und W ~ u~~
	~~ofi2 r~~
	~~k =j~i~~
	~~112~~
	Stetige Anpassung für u und du/dr bei r = ~~r o~~ ergibt
	Al sin ~~Kro~~ = ~~A2 "~~ sin (~~kro~~+~~o o~~ ) = ~~A2k~~(ro-a)
	K ~~• Al~~ cos ~~Kro~~ = k ~~• A2 "~~ cos (~~kro~~+oo ) = ~~A2k~~
	k " K
	.

	Im niederenergetischen Bereich mit <math>k \le K</math> kann man die Sinusfunktion		Im niederenergetischen Bereich mit <math>k \le K</math> kann man die Sinusfunktion

Schubotz: /* Deuteron */

2011-08-12T10:25:09Z

Deuteron

← Older revision		Revision as of 12:25, 12 August 2011
Line 61:		Line 61:


	*Ansatz <math>V =V_1(r) + V_2 (r)(\vec s_1 \vec s_2 ) \quad (\vec s_1 \vec s_2 ) \Rightarrow \frac{1}{2}\left[S(S+1)-\frac{3}{4}-\frac{3}{4}</math>		*Ansatz <math>V =V_1(r) + V_2 (r)(\vec s_1 \vec s_2 ) \quad (\vec s_1 \vec s_2 ) \Rightarrow \frac{1}{2}\left[S(S+1)-\frac{3}{4}-\frac{3}{4}\right]</math>
	*{{FB\|Triplett}} <math>V_T = V_1 (r) +\frac{1}{4}V_2 (r), \quad S = 1</math>		*{{FB\|Triplett}} <math>V_T = V_1 (r) +\frac{1}{4}V_2 (r), \quad S = 1</math>
	*{{FB\|Singulett}} <math>V_S = V_1 (r) -\frac{3}{4}V_2 (r), \quad S = 0</math>		*{{FB\|Singulett}} <math>V_S = V_1 (r) -\frac{3}{4}V_2 (r), \quad S = 0</math>

Schubotz: /* Deuteron */

2011-08-12T10:24:22Z

Deuteron

← Older revision		Revision as of 12:24, 12 August 2011
Line 15:		Line 15:
	:3) es existiert kein angeregter Zustand, außerdem gibt es kein Diproton oder Dineutron.		:3) es existiert kein angeregter Zustand, außerdem gibt es kein Diproton oder Dineutron.

			Reduktion des {{FB\|Zweikörperproblem}}s durch Relativkoordinate <math>r = r -r_n</math> und red. Masse <math>\mu = \frac{m_p m_n}{m_p+m_n}\approx \frac{1}{2}m_p</math>
	Reduktion des ~~Zweikörperproblems~~ durch Relativkoordinate <math>r = r -r_n</math> und red. Masse <math>\mu = \frac{m_p m_n}{m_p+m_n}\approx \frac{1}{2}m_p</math>

	Schrödingergleichung <math>\left[ \frac{-\hbar^2}{2\mu} \nabla^2 + V \right] \Psi = E \Psi</math>		Schrödingergleichung <math>\left[ \frac{-\hbar^2}{2\mu} \nabla^2 + V \right] \Psi = E \Psi</math>

			Problem <math>E = -2,2 MeV</math> bekannt, V unbekannt.

	~~Problem <math>E = -2,2 MeV</math> bekannt, V unbekannt.~~ Annahme: <math>V = V(r)</math> Zentralpotential.		Annahme: <math>V = V(r)</math> Zentralpotential.
	Separationsansatz von Radial- und Winkelteil <math>\Psi_{nlm}=R_{nl}(r) Y_{lm}(\theta, \phi)</math>		Separationsansatz von Radial- und Winkelteil <math>\Psi_{nlm}=R_{nl}(r) Y_{lm}(\theta, \phi)</math>


	Radialteil <math>\left[ - \frac{\hbar^2}{2\mu} \frac{d^2}{dr^2}+V(r) + \frac{l(l+1) \hbar ^2}{2 \mu r^2}\right] \left( r R_{nl} \right) = E_{nl} (rR_{nl})</math> mit <math>\frac{l(l+1) \hbar ^2}{2 \mu r^2}</math> Zentrifugalpotential		Radialteil <math>\left[ - \frac{\hbar^2}{2\mu} \frac{d^2}{dr^2}+V(r) + \frac{l(l+1) \hbar ^2}{2 \mu r^2}\right] \left( r R_{nl} \right) = E_{nl} (rR_{nl})</math> mit <math>\frac{l(l+1) \hbar ^2}{2 \mu r^2}</math> Zentrifugalpotential


	Zentrifugalpotential abstoßend --> Grundzustand 1 = 0 (wird durch I = 1 und <math>\mu_I \approx \mu_n+\mu_p</math> unterstützt). <math>(rR_{nl} ) = (rR_{l0} )= u</math>		Zentrifugalpotential abstoßend --> Grundzustand 1 = 0 (wird durch I = 1 und <math>\mu_I \approx \mu_n+\mu_p</math> unterstützt). <math>(rR_{nl} ) = (rR_{l0} )= u</math>


	Erste (grobe) Annahme von V(r): Kastenpotential (<math>V_0,r_0</math> )		Erste (grobe) Annahme von V(r): Kastenpotential (<math>V_0,r_0</math> )
			[[Datei:8.1.Kastenpotential.png\|miniatur\|Trennung der Radialgleichung in Innen(I)- und Außen (II)-Bereich]]

			'''Innen (I):''' <math>r \le r_0 \frac{d^2u}{dr^2}+\frac{2 \mu}{\hbar^2}(E-V_0) u =0</math> , <math>K = \sqrt{\frac{2\mu(E-V_0)}{\hbar^2}}</math>

	~~[[Datei:8.1.Kastenpotential.png\|miniatur\|~~
	~~Trennung der Radialgleichung in~~ Innen
	(I)~~- und Außen (II)-Bereich ]]~~

	I <math>r \le r_0 \frac{d^2u}{dr^2}+\frac{2 \mu}{\hbar^2}(E-V_0) u =0</math> , <math>K = \sqrt{\frac{2\mu(E-V_0)}{\hbar^2}}</math>

	Lösung <math>u = A \sin Kr + C\cos Kr RB: u = A \sin Kr</math> RB: <math>u=0</math> für <math>r \to 0</math> wegen u/r endlich C = 0		Lösung <math>u = A \sin Kr + C\cos Kr RB: u = A \sin Kr</math> RB: <math>u=0</math> für <math>r \to 0</math> wegen u/r endlich C = 0
			----
			'''Außen (II):''' <math>r \ge r_0 \frac{d^2u}{dr^2}+\frac{2 \mu}{\hbar^2}(E) u =0</math> , <math>k = \sqrt{\frac{2\mu E}{\hbar^2}}=[4,3 10^{-15}m]^{-1}</math>
	I <math>r \ge r_0 \frac{d^2u}{dr^2}+\frac{2 \mu}{\hbar^2}(E) u =0</math> , <math>k = \sqrt{\frac{2\mu E}{\hbar^2}}=[4,3 10^{-15}m]^{-1}</math>

	Lösung <math>u = B' e^{-kr} + D e^{kr} = B e^{-k(r-r_0)}</math> RB: u = A \sin Kr</math> RB: <math>u\to0</math> für <math>r \to \infty \to </math> D=0		Lösung <math>u = B' e^{-kr} + D e^{kr} = B e^{-k(r-r_0)}</math> RB: u = A \sin Kr</math> RB: <math>u\to0</math> für <math>r \to \infty \to </math> D=0


			Stetiger Anlschluß von u und <math>\frac{du}{dr}</math> bei <math>r = r_0</math>:
	Stetiger Anlschluß von u und \frac{du}{dr} bei <math>r = r_0</math> :		:<math>\begin{align}
			A\sin Kr_0 &= B \\
	<math>\begin{align}		K A \cos Kr_0 &= B (-k)\\
	A\sin Kr_0 &= B		\to K \operatorname{ctg} K r_0 &= -k
	K A \cos Kr_0 &= B (-k)
	K \operatorname{ctg} K r_0 &= -k
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Damit werden die beiden Parameter (<math>V_0,r_0</math> ) des Kastenpotentials miteinander		Damit werden die beiden Parameter (<math>V_0,r_0</math>) des Kastenpotentials miteinander
	verknüpft, z.B. mögliche		verknüpft, z.B. mögliche Wertepaare
	Wertepaare		:<math>\begin{align}
	<math>\begin{align}		r_0 &= 1,4 \times 10^{-15} m, &2 \times 10^{-15} m\\
	r_0 &= 1,4 \times 10^{-15} m, 2 \times 10^{-15} m		V_0 &= 50 MeV, &30 MeV
	V_0 &= 50 MeV, 30 MeV
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

Line 69:		Line 57:

	Da für <math>I =\tfrac{1}{2} +\tfrac{1}{2}</math> nur I = 1 existiert, sind die Kernkräfte '''spinabhängig''',		Da für <math>I =\tfrac{1}{2} +\tfrac{1}{2}</math> nur I = 1 existiert, sind die Kernkräfte '''spinabhängig''',
	wobei nur das Triplettpotential bindend ist. Erklärt auch		wobei nur das Triplettpotential bindend ist.
	die Nichtexistenz von <math>p^2</math> und <math>n^2</math> durch das Pauli-Prinzip.		Erklärt auch die Nichtexistenz von <math>p^2</math> und <math>n^2</math> durch das Pauli-Prinzip.


	~~Ailsatz~~ V =V1( r) + ~~v 2~~ (r)0(~~s--l+o-s-+2~~ ) (~~-5-+~~1 ~~--+ 1 3~~		*Ansatz <math>V =V_1(r) + V_2 (r)(\vec s_1 \vec s_2 ) \quad (\vec s_1 \vec s_2 ) \Rightarrow \frac{1}{2}\left[S(S+1)-\frac{3}{4}-\frac{3}{4}</math>
	05 2 ~~) :::~~} 7[S(S+1) 4		*{{FB\|Triplett}} <math>V_T = V_1 (r) +\frac{1}{4}V_2 (r), \quad S = 1</math>
	Triplett VT = VI (r) + 4 ~~0 V2~~ (r) S = 1		*{{FB\|Singulett}} <math>V_S = V_1 (r) -\frac{3}{4}V_2 (r), \quad S = 0</math>
	1
	Singulett Vs = VI (r) - 4
	~~3 0 V2~~ (r) S = 0


	Grobe Abschätzung für Singulett-Potential:		Grobe Abschätzung für Singulett-Potential:
	Falls V_s gerade nicht mehr ~~bindender,~~ <math>\sin Kr_0 \approx 1</math> senkrecht auf Potentialwand, so daß man keine abnehmende Exponentialfunktion im
			Falls V_s gerade nicht mehr bindend <math>\to \sin Kr_0 \approx 1</math> senkrecht auf Potentialwand, so daß man keine abnehmende Exponentialfunktion im
	Außenraum anfügen kann.		Außenraum anfügen kann.

Line 88:		Line 74:


	Die Existenz des (sehr kleinen) Quadrupolmoments bedeutet einen		Die Existenz des (sehr kleinen) Quadrupolmoments bedeutet einen sehr kleinen Beitrag einer '''nichtzentralen''' Kraft,
	sehr kleinen Beitrag einer '''nichtzentralen''' Kraft, die eine <math>^3D_1</math>-Zumischung		die eine <math>^3D_1</math>-Zumischung ermöglicht.
	ermöglicht.


	== n-p Streuung ==		== n-p Streuung ==

Schubotz at 09:59, 12 August 2011

2011-08-12T09:59:53Z

← Older revision		Revision as of 11:59, 12 August 2011
Line 3:		Line 3:

	Wegen <math>B/A \approx const \to</math> Kräfte immer nur zwischen zwei Nukleonen. Einfachste		Wegen <math>B/A \approx const \to</math> Kräfte immer nur zwischen zwei Nukleonen. Einfachste
	Modellsysteme: ~~a) das Deuteron und b) n-p Streuung~~		Modellsysteme:

			*a) das Deuteron und
			*b) n-p Streuung

	==a) Deuteron ==
			== Deuteron ==
	das Deuteron als einfachstes gebundenes Nukleonensystem mit folgenden Eigenschaften		das Deuteron als einfachstes gebundenes Nukleonensystem mit folgenden Eigenschaften
	:1) Bindungsenergie <math>n + p \to d + 2,2 MeV</math>		:1) Bindungsenergie <math>n + p \to d + 2,2 MeV</math>
Line 90:		Line 93:


	== b) n-p Streuung ==		== n-p Streuung ==

	Wirkungsquerschnitt <math>\sigma[m^2]</math>		Wirkungsquerschnitt <math>\sigma[m^2]</math>

← Older revision		Revision as of 15:03, 28 August 2011
Line 10:		Line 10:

	== Deuteron ==		== Deuteron ==
	~~das~~ Deuteron als einfachstes gebundenes Nukleonensystem mit folgenden Eigenschaften		Das Deuteron als einfachstes gebundenes Nukleonensystem mit folgenden Eigenschaften
	:1) Bindungsenergie <math>n + p \to d + 2,2 MeV</math>		:1) Bindungsenergie <math>n + p \to d + 2,2 MeV</math>
	:2) Kernspin <math>I = 1</math>, ~~magn.~~ Kerndipolmoment <math>\mu_I = 0,857 ... \mu_K</math> (<math>\mu_I \approx \mu_p + \mu_n = 0,879 ... \mu_K \to I = \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} , {}^~~3S_l~~</math>-Zustand) ~~el.~~ Quadrupolmoment <math>Q = +2,86 10^{-31} m^2 = 2,7</math>mb, d.h. sehr klein		:2) {{FB\|Kernspin}} <math>I = 1</math>, {{FB\|magnetisches Kerndipolmoment}} <math>\mu_I = 0,857 ... \mu_K</math> (<math>\mu_I \approx \mu_p + \mu_n = 0,879 ... \mu_K \to I = \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} , {}^3S_1</math>-Zustand) elektrisches Quadrupolmoment <math>Q = +2,86 10^{-31} {\rm m^2} = 2,7{\rm mb}</math>, d.h. sehr klein
	:3) es existiert kein angeregter Zustand, außerdem gibt es kein Diproton oder Dineutron.		:3) es existiert kein angeregter Zustand, außerdem gibt es '''kein''' Diproton oder Dineutron.

	Reduktion des {{FB\|Zweikörperproblem}}s durch Relativkoordinate <math>r = r -r_n</math> und red. Masse <math>\mu = \frac{m_p m_n}{m_p+m_n}\approx \frac{1}{2}m_p</math>		Reduktion des {{FB\|Zweikörperproblem}}s durch Relativkoordinate <math>r = r -r_n</math> und red. Masse <math>\mu = \frac{m_p m_n}{m_p+m_n}\approx \frac{1}{2}m_p</math>
Line 56:		Line 56:
	[[Datei:8.2.Kastenpotential.Vernbessert.png\|miniatur]]		[[Datei:8.2.Kastenpotential.Vernbessert.png\|miniatur]]

	Da für <math>I =\tfrac{1}{2} +\tfrac{1}{2}</math> nur I = 1 existiert, sind die Kernkräfte '''spinabhängig''',		Da für <math>\vec I =\vec \tfrac{1}{2} +\vec \tfrac{1}{2}</math> nur I = 1 existiert, sind die Kernkräfte '''spinabhängig''',
	wobei nur das Triplettpotential bindend ist.		wobei nur das Triplettpotential bindend ist.
	Erklärt auch die Nichtexistenz von <math>p^2</math> und <math>n^2</math> durch das Pauli-Prinzip.		Erklärt auch die Nichtexistenz von <math>p^2</math> und <math>n^2</math> durch das Pauli-Prinzip.
Line 68:		Line 68:
	Grobe Abschätzung für Singulett-Potential:		Grobe Abschätzung für Singulett-Potential:

	Falls V_s gerade nicht mehr bindend <math>\to \sin Kr_0 \approx 1</math> senkrecht auf Potentialwand, so daß man keine abnehmende Exponentialfunktion im		Falls <math>V_s</math> gerade nicht mehr bindend <math>\to \sin Kr_0 \approx 1</math> senkrecht auf Potentialwand, so daß man keine abnehmende Exponentialfunktion im
	Außenraum anfügen kann.		Außenraum anfügen kann.