Hamilton-Jacobische Differenzialgleichung - Revision history

Schubotz at 23:32, 7 July 2011

2011-07-07T23:32:50Z

202.53.227.147: hHvKvNABCHUHeY

2011-07-02T13:24:34Z

hHvKvNABCHUHeY

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	~~xFfgVu <a href~~="http://~~oslfjobtfhsj~~.com/~~">oslfjobtfhsj<~~/a>		L6bye5 , [url=http://ojzhdkmjctqv.com/]ojzhdkmjctqv[/url], [link=http://utzjrnifpwht.com/]utzjrnifpwht[/link], http://seeflpozbqoy.com/

57.90.36.29: LoAVJgLpcDvAlk

2011-07-01T16:07:22Z

LoAVJgLpcDvAlk

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	~~Cheers pal. I do appreciate the writnig~~.		xFfgVu <a href="http://oslfjobtfhsj.com/">oslfjobtfhsj</a>

86.24.94.70: DRTkSAAkEmzFwOo

2011-07-01T12:30:14Z

DRTkSAAkEmzFwOo

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84.62.199.137: /* Beispiel: 1 dim Oszi */ Hamilton-Jacobi DGL korrigiert

2011-06-20T16:20:39Z

Beispiel: 1 dim Oszi: Hamilton-Jacobi DGL korrigiert

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	:<math>\frac{1}{2m}\left( \frac{\partial S(q,P,t)}{\partial q} \right)+\frac{m}{2}{{\omega }^{2}}{{q}^{2}}+\frac{\partial S}{\partial t}=0</math>		:<math>\frac{1}{2m}\left( \frac{\partial S(q,P,t)}{\partial q} \right)^{2}+\frac{m}{2}{{\omega }^{2}}{{q}^{2}}+\frac{\partial S}{\partial t}=0</math>


Line 266:		Line 266:
	& \Rightarrow {{{\dot{Q}}}_{j}}=\frac{\partial \bar{H}}{\partial {{P}_{j}}}=\frac{\partial E}{\partial {{\alpha }_{j}}}={{\omega }_{j}}\Rightarrow {{Q}_{j}}={{\omega }_{j}}t+{{\beta }_{j}}=\frac{\partial W}{\partial {{P}_{j}}} \\		& \Rightarrow {{{\dot{Q}}}_{j}}=\frac{\partial \bar{H}}{\partial {{P}_{j}}}=\frac{\partial E}{\partial {{\alpha }_{j}}}={{\omega }_{j}}\Rightarrow {{Q}_{j}}={{\omega }_{j}}t+{{\beta }_{j}}=\frac{\partial W}{\partial {{P}_{j}}} \\
	\end{align}</math>		\end{align}</math>


	====Bezug zur Quantenmechanik====		====Bezug zur Quantenmechanik====

*>SchuBot: Interpunktion, replaced: ! → ! (3), ( → ( (10)

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Interpunktion, replaced: ! → ! (3), ( → ( (10)

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	In vier ( 4.):		In vier (4.):
	:<math>{{p}_{j}}(0)={{p}_{j}}\left( \bar{\alpha },\bar{\beta },0 \right)</math>		:<math>{{p}_{j}}(0)={{p}_{j}}\left( \bar{\alpha },\bar{\beta },0 \right)</math>

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	Mit der Nebenbedingung, dass Q=to ( Dimension: Zeit) !		Mit der Nebenbedingung, dass Q=to (Dimension: Zeit)!

	4.		4.
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	5. Anfangsbedingungen: t=0: p(0)=0, q(0)=q0 ungleich 0 !		5. Anfangsbedingungen: t=0: p(0)=0, q(0)=q0 ungleich 0!


Line 223:		Line 223:
	Alpha beschreibt also die Gesamtenergie. Physikalisch sinnvoll, da zu dieser Zeit nur potenzielle Energie vorhanden ist.		Alpha beschreibt also die Gesamtenergie. Physikalisch sinnvoll, da zu dieser Zeit nur potenzielle Energie vorhanden ist.

	Also: P=E ( Energie) , Q= to ( Zeit) → Energie und Zeit als neue verallgemeinerte Koordinaten bei der Transformation, die durch		Also: P=E (Energie) , Q= to (Zeit) → Energie und Zeit als neue verallgemeinerte Koordinaten bei der Transformation, die durch
	:<math>S(q,P,t)</math>		:<math>S(q,P,t)</math>
	erzeugt wird.		erzeugt wird.
Line 257:		Line 257:
	heißt verkürztes Wirkungsfunktional		heißt verkürztes Wirkungsfunktional

	Dieses kann auch als Erzeugende einer kanonischen Trafo ( im engeren Sinn) aufgefasst werden:		Dieses kann auch als Erzeugende einer kanonischen Trafo (im engeren Sinn) aufgefasst werden:


Line 271:		Line 271:

	* Betrachten wir 1 Teilchen im Potenzial		* Betrachten wir 1 Teilchen im Potenzial
	:<math>V(\bar{q}),\bar{q}\in {{R}^{3}}</math>		:<math>V(\bar{q}),\bar{q}\in {{R}^{3}}</math>,
	, gilt auch für		gilt auch für
	:<math>V(\bar{q}),\bar{q}\in {{R}^{f}}</math>		:<math>V(\bar{q}),\bar{q}\in {{R}^{f}}</math>

Line 291:		Line 291:

	:<math>\bar{p}=\nabla W(\bar{q})</math>		:<math>\bar{p}=\nabla W(\bar{q})</math>
	Damit haben wir jedoch eine Betrachtung der " Wirkungswellen" entgegen einer Darstellung als Teilchen mit Impuls p ( Welle- Teilchen- Dualismus).		Damit haben wir jedoch eine Betrachtung der " Wirkungswellen" entgegen einer Darstellung als Teilchen mit Impuls p (Welle- Teilchen- Dualismus).

	In jedem Fall erhält man als Hamilton- Jacobi- DiffGl:		In jedem Fall erhält man als Hamilton- Jacobi- DiffGl:
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	Der Übergang zur Quantenmehcanik ist analog dem Übergang von der geometrischen Optik zur Wellenoptik ( Wellenoptik als geometrische Optik für große Wellenlängen) und geometrische optik als Wellenoptik für kleine Weglängen ( gut Übergangsresultate). Die typische optisch- mechanische Analogie		Der Übergang zur Quantenmehcanik ist analog dem Übergang von der geometrischen Optik zur Wellenoptik (Wellenoptik als geometrische Optik für große Wellenlängen) und geometrische optik als Wellenoptik für kleine Weglängen (gut Übergangsresultate). Die typische optisch- mechanische Analogie

	Wir erhalten in der quantenmechanischen Analogie als Wellenformalismus dagegen die Schödingergleichung:		Wir erhalten in der quantenmechanischen Analogie als Wellenformalismus dagegen die Schödingergleichung:
Line 330:		Line 330:
	Aus der klassischen Mechanik gelangen wir durch Übergang von Poissonklammernauf Kommutatoren zur Heisenbergschen Matrizenmechanik, die sich zur Quantenmechanik transformieren läßt.		Aus der klassischen Mechanik gelangen wir durch Übergang von Poissonklammernauf Kommutatoren zur Heisenbergschen Matrizenmechanik, die sich zur Quantenmechanik transformieren läßt.

	führt man in der klassischen Mechanik dagegen die Hamilton- Jacobi- Theorie ein ( optisch- mechanisches Analogon), so gelangt man leicht zur Wellenmechanik ( Schrödinger) und kann sich auf diesem Weg ebenso der Quantenmechanik nähern.		führt man in der klassischen Mechanik dagegen die Hamilton- Jacobi- Theorie ein (optisch- mechanisches Analogon), so gelangt man leicht zur Wellenmechanik (Schrödinger) und kann sich auf diesem Weg ebenso der Quantenmechanik nähern.

>SchuBot: / Beispiel: 1 dim Oszi */Pfeile einfügen, replaced: -> → →

2010-09-12T19:49:59Z

Beispiel: 1 dim Oszi: Pfeile einfügen, replaced: -> → →

← Older revision		Revision as of 21:49, 12 September 2010
Line 223:		Line 223:
	Alpha beschreibt also die Gesamtenergie. Physikalisch sinnvoll, da zu dieser Zeit nur potenzielle Energie vorhanden ist.		Alpha beschreibt also die Gesamtenergie. Physikalisch sinnvoll, da zu dieser Zeit nur potenzielle Energie vorhanden ist.

	Also: P=E ( Energie) , Q= to ( Zeit) -> Energie und Zeit als neue verallgemeinerte Koordinaten bei der Transformation, die durch		Also: P=E ( Energie) , Q= to ( Zeit) → Energie und Zeit als neue verallgemeinerte Koordinaten bei der Transformation, die durch
	:<math>S(q,P,t)</math>		:<math>S(q,P,t)</math>
	erzeugt wird.		erzeugt wird.

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T15:26:51Z

Einrückungen Mathematik

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*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T15:06:15Z

Einrückungen Mathematik

← Older revision		Revision as of 17:06, 12 September 2010
Line 19:		Line 19:
	& (\bar{q},\bar{p})\to \left( \bar{Q},\bar{P} \right) \\		& (\bar{q},\bar{p})\to \left( \bar{Q},\bar{P} \right) \\
	& H(\bar{q},\bar{p},t)\to \bar{H}\left( \bar{Q},\bar{P} \right)=H+\frac{\partial S}{\partial t} \\		& H(\bar{q},\bar{p},t)\to \bar{H}\left( \bar{Q},\bar{P} \right)=H+\frac{\partial S}{\partial t} \\
	\end{align}</math>		\end{align}</math> mit <math>\begin{align}


	mit


	<math>\begin{align}
	& {{p}_{k}}=\frac{\partial S}{\partial {{q}_{k}}} \\		& {{p}_{k}}=\frac{\partial S}{\partial {{q}_{k}}} \\
	& {{Q}_{k}}=\frac{\partial S}{\partial {{P}_{k}}} \\		& {{Q}_{k}}=\frac{\partial S}{\partial {{P}_{k}}} \\
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	Nach Gleichungen 3) und 4) ist damit		Nach Gleichungen 3) und 4) ist damit
	<math>{{q}_{j}}(t)</math>		<math>{{q}_{j}}(t)</math> und <math>{{p}_{j}}(t)</math>
	und
	<math>{{p}_{j}}(t)</math>
	bestimmt		bestimmt

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	<math>\bar{u}\approx \nabla W(\bar{q})</math>		<math>\bar{u}\approx \nabla W(\bar{q})</math> mit <math>\bar{u}\bot W(\bar{q})=const</math>
	mit
	<math>\bar{u}\bot W(\bar{q})=const</math>

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Mechanik|5|1}} Der einfachste Fall, bei dem alle Koordinaten zyklisch sind: $\bar{H}\equiv 0$ Allgemeiner w…“

2010-08-28T22:39:44Z

Die Seite wurde neu angelegt: „<noinclude>{{Scripthinweis|Mechanik|5|1}}</noinclude> Der einfachste Fall, bei dem alle Koordinaten zyklisch sind: <math>\bar{H}\equiv 0</math> Allgemeiner w…“

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<noinclude>{{Scripthinweis|Mechanik|5|1}}</noinclude>

Der einfachste Fall, bei dem alle Koordinaten zyklisch sind:

<math>\bar{H}\equiv 0</math>

Allgemeiner wähle man speziell als Erzeugende der kanonischen Trafo:

<math>{{M}_{2}}(\bar{q},\bar{P},t)=:S</math>

dann suchen wir die folgende Trafo:

<math>\begin{align}
& (\bar{q},\bar{p})\to \left( \bar{Q},\bar{P} \right) \\
& H(\bar{q},\bar{p},t)\to \bar{H}\left( \bar{Q},\bar{P} \right)=H+\frac{\partial S}{\partial t} \\
\end{align}</math>

mit

<math>\begin{align}
& {{p}_{k}}=\frac{\partial S}{\partial {{q}_{k}}} \\
& {{Q}_{k}}=\frac{\partial S}{\partial {{P}_{k}}} \\
\end{align}</math>

So dass:

<math>\bar{H}\left( \bar{Q},\bar{P} \right)=H\left( {{q}_{1}},...,{{q}_{f}},\frac{\partial S}{\partial {{q}_{1}}},...,\frac{\partial S}{\partial {{q}_{f}}},t \right)+\frac{\partial S}{\partial t}=0</math>

Dies ist eine Differenzialgleichung zur Bestimmung von S und der Koordinaten P und Q, die so genannte

<u>'''Hamilton- Jacobi- Differenzialgleichung.'''</u>

Eine nichtlineare partielle Differenzialgleichung erster Ordnung für
<math>\begin{align}
& S(\bar{q},\bar{\alpha },t) \\
& {{\alpha }_{k}}={{P}_{k}}=const. \\
\end{align}</math>

Also haben wir nur Abhängigkeit von f+1 Variablen:
<math>\bar{q},t</math>

'''Die kanonischen Gleichungen lauten:'''

<math>\begin{align}
& {{{\dot{P}}}_{k}}=-\frac{\partial H}{\partial {{Q}_{k}}}\equiv 0\Rightarrow {{P}_{k}}={{\alpha }_{k}}=cons \\
& {{{\dot{Q}}}_{k}}=\frac{\partial \bar{H}}{\partial {{P}_{k}}}\equiv 0\Rightarrow {{Q}_{k}}={{\beta }_{k}}=const \\
\end{align}</math>

====Lösungsschema für die Hamilton- Jacobi DGL:====

#
<math>\begin{align}
& H(\bar{q},\bar{p},t) \\
& {{p}_{k}}=\frac{\partial S}{\partial {{q}_{k}}} \\
& H(\bar{q},\frac{\partial S}{\partial \bar{q}},t)+\frac{\partial S}{\partial t}=0\quad Ham.Jac.DGL \\
\end{align}</math>

# Lösung der Ham- Jacobi-DGL:
<math>\begin{align}
& S(\bar{q},\bar{\alpha },t) \\
& {{\alpha }_{k}}={{P}_{k}}=const. \\
\end{align}</math>

# Aus der Erzeugenden
<math>S(\bar{q},\bar{\alpha },t)</math>
folgt:

<math>{{Q}_{k}}=\frac{\partial S(\bar{q},\bar{\alpha },t)}{\partial {{\alpha }_{k}}}={{\beta }_{k}}</math>

mit der implizierten Umkehrung:

<math>{{q}_{j}}={{q}_{j}}(\bar{\alpha },\bar{\beta },t)</math>

möglich wegen

<math>\det \frac{{{\partial }^{2}}S(\bar{q},\bar{\alpha },t)}{\partial {{\alpha }_{k}}\partial {{q}_{l}}}\ne 0</math>

Somit ergeben sich f Gleichungen für q1,...qf

4.
<math>{{p}_{j}}=\frac{\partial S}{\partial {{q}_{j}}}={{p}_{j}}\left( \bar{q},\bar{\alpha },t \right)={{p}_{j}}\left( \bar{q}(\bar{\alpha },\bar{\beta }),\bar{\alpha },t \right)</math>

5. Bestimmung von
<math>\bar{\alpha },\bar{\beta }</math>
aus den Anfangsbedingungen:

In drei (3.):
<math>{{q}_{j}}(0)={{q}_{j}}(\bar{\alpha },\bar{\beta },0)</math>

In vier ( 4.):
<math>{{p}_{j}}(0)={{p}_{j}}\left( \bar{\alpha },\bar{\beta },0 \right)</math>

<math>\begin{align}
& \Rightarrow \bar{\alpha }(\bar{q}(0),\bar{p}(0)) \\
& \bar{\beta }(\bar{q}(0),\bar{p}(0)) \\
\end{align}</math>

Nach Gleichungen 3) und 4) ist damit
<math>{{q}_{j}}(t)</math>
und
<math>{{p}_{j}}(t)</math>
bestimmt

====Physikalische Bedeutung von S:====

<math>\begin{align}
& \frac{dS}{dt}=\sum\limits_{j}{{}}\frac{\partial S}{\partial {{q}_{j}}}{{{\dot{q}}}_{j}}+\frac{\partial S}{\partial t}=\sum\limits_{j}{{}}{{p}_{j}}{{{\dot{q}}}_{j}}+\frac{\partial S}{\partial t} \\
& \frac{\partial S}{\partial t}=\bar{H}-H=-H \\
& \frac{dS}{dt}=\sum\limits_{j}{{}}{{p}_{j}}{{{\dot{q}}}_{j}}-H=L \\
& \Rightarrow S=\int{Ldt} \\
\end{align}</math>

S kann somit als Wirkungsfunktional interpretiert werden.

====Beispiel: 1 dim Oszi====

1.
<math>\begin{align}
& H=\frac{{{p}^{2}}}{2m}+\frac{m}{2}{{\omega }^{2}}{{q}^{2}} \\
& S(q,P,t) \\
\end{align}</math>

H als Hamiltonfunktion und S als Erzeugende der kanonischen Trafo mit
<math>\frac{\partial S(q,P,t)}{\partial q}=p</math>

Hamilton- Jacobi DGL:

<math>\frac{1}{2m}\left( \frac{\partial S(q,P,t)}{\partial q} \right)+\frac{m}{2}{{\omega }^{2}}{{q}^{2}}+\frac{\partial S}{\partial t}=0</math>

2. Lösungsansatz:

<math>S(q,P,t)=W(q;P)+V(t;P)</math>

Dies ist als Separationsansatz nach q und t zu interpretieren. P ist ein Parameter

<math>\frac{1}{2m}{{\left( \frac{dW}{dq} \right)}^{2}}+\frac{m}{2}{{\omega }^{2}}{{q}^{2}}=-\frac{dV}{dt}</math>

Dabei ist die linke Seite unabhängig von t und die rechte unabhängig von q. Die Lösung kann also nur dann für alle t und q übereinstimmen, wenn:

<math>\frac{1}{2m}{{\left( \frac{dW}{dq} \right)}^{2}}+\frac{m}{2}{{\omega }^{2}}{{q}^{2}}=-\frac{dV}{dt}=\alpha \equiv const</math>

<math>V(t)=-\alpha t+{{V}_{0}}</math>

Es folgt:

<math>\begin{align}
& {{\left( \frac{dW}{dq} \right)}^{2}}={{m}^{2}}{{\omega }^{2}}\left( \frac{2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}} \right) \\
& W=m\omega \int{dq}\sqrt{\left( \frac{2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}} \right)} \\
\end{align}</math>

Also:

<math>S(q,\alpha ,t)=m\omega \int{dq}\sqrt{\left( \frac{2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}} \right)}-\alpha t+{{V}_{0}}</math>

Da Potenziale um skalare Faktoren verschoben werden können:

<math>S(q,\alpha ,t)=m\omega \int{dq}\sqrt{\left( \frac{2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}} \right)}-\alpha t=-\alpha t+m\omega \left[ \frac{q}{2}\sqrt{\left( \frac{2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}} \right)}+\frac{\alpha }{m{{\omega }^{2}}}\arcsin \left( q\sqrt{\frac{m{{\omega }^{2}}}{2\left| \alpha \right|}} \right) \right]</math>
3.
<math>\begin{align}
& Q=\left( \frac{\partial S(q,P,t)}{\partial \alpha } \right)=-t+\frac{1}{\omega }\int{dq}{{\left( \frac{2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}} \right)}^{-\frac{1}{2}}}=\beta \\
& Q=\beta =-t+\frac{1}{\omega }\arcsin \left( q\sqrt{\frac{m{{\omega }^{2}}}{2\left| \alpha \right|}} \right) \\
& \Rightarrow q=\frac{1}{\omega }\sqrt{\frac{2\alpha }{m}}\sin \left( \omega (t+\beta ) \right) \\
\end{align}</math>

Mit der Nebenbedingung, dass Q=to ( Dimension: Zeit) !

4.
<math>p=\left( \frac{\partial S(q,P,t)}{\partial q} \right)=\frac{dW}{dq}=m\omega \sqrt{\frac{2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}}}=\sqrt{2\alpha m}\cos \left( \omega (t+\beta ) \right)</math>

5. Anfangsbedingungen: t=0: p(0)=0, q(0)=q0 ungleich 0 !

<math>p(0)=0,q(0)={{q}_{0}}\ne 0</math>

<math>\begin{align}
& \Rightarrow {{q}_{0}}=\frac{1}{\omega }\sqrt{\frac{2\alpha }{m}}\sin \left( \omega (\beta ) \right) \\
& 0={{p}_{0}}=\sqrt{2\alpha m}\cos \left( \omega (\beta ) \right) \\
& \Rightarrow \beta =\frac{\pi }{2\omega }\Rightarrow {{q}_{0}}=\sqrt{\frac{2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}} \\
& \Rightarrow \alpha =\frac{m}{2}{{\omega }^{2}}{{q}_{0}}^{2}=E \\
\end{align}</math>

Alpha beschreibt also die Gesamtenergie. Physikalisch sinnvoll, da zu dieser Zeit nur potenzielle Energie vorhanden ist.

Also: P=E ( Energie) , Q= to ( Zeit) -> Energie und Zeit als neue verallgemeinerte Koordinaten bei der Transformation, die durch
<math>S(q,P,t)</math>
erzeugt wird.

'''Spezialfall:'''

Nicht explizit zeitabhängige Hamiltonfunktion H

<math>\frac{\partial H}{\partial t}=0\Leftrightarrow \frac{dH}{dt}=\left\{ H,H \right\}=0</math>
H ist dann Integral der Bewegung

Hamilton- Jacobi DGL:

<math>H(\bar{q},\frac{\partial S}{\partial {{q}_{1}}},...,\frac{\partial S}{\partial {{q}_{f}}})+\frac{\partial S}{\partial t}=0</math>

Lösungsansatz:

<math>S(\bar{q},\bar{P},t)=W(\bar{q};\bar{P})-Et</math>

Somit folgt:

<math>H(\bar{q},\frac{\partial W}{\partial {{q}_{1}}},...,\frac{\partial W}{\partial {{q}_{f}}})=E</math>
Energie bei skleronomen Zwangsbedingungen

<math>W(\bar{q};\bar{P})</math>
heißt verkürztes Wirkungsfunktional

Dieses kann auch als Erzeugende einer kanonischen Trafo ( im engeren Sinn) aufgefasst werden:

<math>\begin{align}
& {{p}_{j}}=\frac{\partial W}{\partial {{q}_{j}}} \\
& {{Q}_{j}}=\frac{\partial W}{\partial {{P}_{j}}} \\
& \bar{H}=H=E \\
& \Rightarrow {{{\dot{Q}}}_{j}}=\frac{\partial \bar{H}}{\partial {{P}_{j}}}=\frac{\partial E}{\partial {{\alpha }_{j}}}={{\omega }_{j}}\Rightarrow {{Q}_{j}}={{\omega }_{j}}t+{{\beta }_{j}}=\frac{\partial W}{\partial {{P}_{j}}} \\
\end{align}</math>

====Bezug zur Quantenmechanik====

* Betrachten wir 1 Teilchen im Potenzial
<math>V(\bar{q}),\bar{q}\in {{R}^{3}}</math>
, gilt auch für
<math>V(\bar{q}),\bar{q}\in {{R}^{f}}</math>

*
<math>W(\bar{q})=const</math>
sind dann Flächen im R³:

Dabei sind
<math>S(\bar{q},t)=W(\bar{q})-Et</math>
Wirkunsgwellen mit einer Phasengeschwindigkeit

<math>\bar{u}\approx \nabla W(\bar{q})</math>
mit
<math>\bar{u}\bot W(\bar{q})=const</math>

Der Teilchenimpuls eines fliegenden Teilchens dagegen berechnet such ebenfalls als Gradient der Erzeugenden:

<math>\bar{p}=\nabla W(\bar{q})</math>
Damit haben wir jedoch eine Betrachtung der " Wirkungswellen" entgegen einer Darstellung als Teilchen mit Impuls p ( Welle- Teilchen- Dualismus).

In jedem Fall erhält man als Hamilton- Jacobi- DiffGl:

<math>H(\bar{q},\nabla W)=\frac{1}{2m}{{\left( \nabla W(\bar{q}) \right)}^{2}}+V(\bar{q})=E</math>

Der Übergang zur Quantenmehcanik ist analog dem Übergang von der geometrischen Optik zur Wellenoptik ( Wellenoptik als geometrische Optik für große Wellenlängen) und geometrische optik als Wellenoptik für kleine Weglängen ( gut Übergangsresultate). Die typische optisch- mechanische Analogie

Wir erhalten in der quantenmechanischen Analogie als Wellenformalismus dagegen die Schödingergleichung:

<math>\left( \frac{-{{\hbar }^{2}}}{2m}\Delta +V(\bar{r}) \right)\Psi (\bar{r})=E\Psi (\bar{r})</math>

links mit H = hamiltonoperator in Ortsdarstellung.
<math>\Psi (\bar{r})={{e}^{\frac{i}{\hbar }W(\bar{r})}}</math>
als Wellenfunktion

Unsere Koordinatentrafo lautet:

<math>\begin{align}
& \bar{q}\to \bar{r} \\
& \bar{p}\to \frac{\hbar }{i}\nabla \\
\end{align}</math>

Auch hier sieht man die Analogie bei kleinen Wellenlängen, wenn folgende Näherung erlaubt ist:

<math>\Delta {{e}^{\frac{i}{\hbar }W(\bar{r})}}=\nabla \frac{i}{\hbar }\left( \nabla W{{e}^{\frac{i}{\hbar }W(\bar{r})}} \right)\cong -\frac{1}{{{\hbar }^{2}}}{{\left( \nabla W \right)}^{2}}{{e}^{\frac{i}{\hbar }W(\bar{r})}}</math>

====Veranschaulichung der Zusammenhänge:====

Aus der klassischen Mechanik gelangen wir durch Übergang von Poissonklammernauf Kommutatoren zur Heisenbergschen Matrizenmechanik, die sich zur Quantenmechanik transformieren läßt.

führt man in der klassischen Mechanik dagegen die Hamilton- Jacobi- Theorie ein ( optisch- mechanisches Analogon), so gelangt man leicht zur Wellenmechanik ( Schrödinger) und kann sich auf diesem Weg ebenso der Quantenmechanik nähern.

Hamilton-Jacobische Differenzialgleichung - Revision history

Schubotz at 23:32, 7 July 2011

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