Fermis Goldene Regel - Revision history

*>SchuBot: Kategorie QM

2010-09-16T22:00:11Z

Kategorie QM

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	verwendet		verwendet
			[[Kategorie:Quantenmechanik]]

*>SchuBot: Mathematik einrücken

2010-09-12T16:27:12Z

Mathematik einrücken

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Line 42:		Line 42:
	:<math>\,\left\langle f \right\|{{V}_{I}}\left( t \right)\left\| i \right\rangle =\,\left\langle f \right\|U_{0}^{+}V{{U}_{0}}\left\| i \right\rangle =\,{{e}^{i\left( {{E }_{f}}-{{E }_{i}} \right)t}}\left\langle f \right\|V\left\| i \right\rangle </math>		:<math>\,\left\langle f \right\|{{V}_{I}}\left( t \right)\left\| i \right\rangle =\,\left\langle f \right\|U_{0}^{+}V{{U}_{0}}\left\| i \right\rangle =\,{{e}^{i\left( {{E }_{f}}-{{E }_{i}} \right)t}}\left\langle f \right\|V\left\| i \right\rangle </math>

	<math>{{P}_{i\to f}}\left( t \right):={{\left\| \left\langle f \right\|V\left\| i \right\rangle \right\|}^{2}}{{\left\| \int\limits_{0}^{t}{dt'\,\,{{e}^{i\left( {{E }_{f}}-{{E }_{i}} \right)t'}}} \right\|}^{2}}</math>		:<math>{{P}_{i\to f}}\left( t \right):={{\left\| \left\langle f \right\|V\left\| i \right\rangle \right\|}^{2}}{{\left\| \int\limits_{0}^{t}{dt'\,\,{{e}^{i\left( {{E }_{f}}-{{E }_{i}} \right)t'}}} \right\|}^{2}}</math>

	Unter Verwendung der Definition der [http://de.wikipedia.org/wiki/Sinus_und_Kosinus#Analytische_Definition\|Sinusfunktion] ergibt das Integral		Unter Verwendung der Definition der [http://de.wikipedia.org/wiki/Sinus_und_Kosinus#Analytische_Definition\|Sinusfunktion] ergibt das Integral
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	Nach NOLTING macht jedoch Sinn, ein kontinuierliches Spektrum zu betrachten und Übergänge in ein Energieintervall zu betrachten. Also muss ersetzt man (grob gesagt) die Deltafunktion durch die Zustandsdichte <math>\rho(E)</math>.		Nach NOLTING macht jedoch Sinn, ein kontinuierliches Spektrum zu betrachten und Übergänge in ein Energieintervall zu betrachten. Also muss ersetzt man (grob gesagt) die Deltafunktion durch die Zustandsdichte <math>\rho(E)</math>.
	<math>{{\Gamma }_{i\to f}}=\frac{2\pi }{\left( \hbar \right)}\rho \left( {{E}_{f}} \right){{\left\| \left\langle f \right\|V\left\| i \right\rangle \right\|}^{2}}</math>		:<math>{{\Gamma }_{i\to f}}=\frac{2\pi }{\left( \hbar \right)}\rho \left( {{E}_{f}} \right){{\left\| \left\langle f \right\|V\left\| i \right\rangle \right\|}^{2}}</math>

	Zu bemerken ist noch, dass		Zu bemerken ist noch, dass
Line 63:		Line 63:

	Dabei wurde bei ...		Dabei wurde bei ...
	<math>{{\delta }_{\epsilon }}(x)=\frac{1}{\pi x}\sin \left( \frac{x}{\epsilon } \right)</math>		:<math>{{\delta }_{\epsilon }}(x)=\frac{1}{\pi x}\sin \left( \frac{x}{\epsilon } \right)</math>
	mit <math>\int\limits_{-\infty }^{\infty }{dx\operatorname{sinc}\left( x \right)}=\int\limits_{-\infty }^{\infty }{dx{{\operatorname{sinc}}^{2}}\left( x \right)}=\pi </math> folgt dass		mit <math>\int\limits_{-\infty }^{\infty }{dx\operatorname{sinc}\left( x \right)}=\int\limits_{-\infty }^{\infty }{dx{{\operatorname{sinc}}^{2}}\left( x \right)}=\pi </math> folgt dass
	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& \underset{E \to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{E }f\left( \frac{x}{E } \right)=\delta \left( x \right) \\		& \underset{E \to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{E }f\left( \frac{x}{E } \right)=\delta \left( x \right) \\
	& \underset{t\to \infty }{\mathop{\lim }}\,tf\left( tx \right)=\delta \left( x \right) \\		& \underset{t\to \infty }{\mathop{\lim }}\,tf\left( tx \right)=\delta \left( x \right) \\

Schubotz at 21:47, 7 September 2010

2010-09-07T21:47:19Z

← Older revision		Revision as of 23:47, 7 September 2010
Line 3:		Line 3:
	:<math>\frac{d}{dt}\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle =-\text{i}\hat{H}\left( t \right)\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle </math>		:<math>\frac{d}{dt}\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle =-\text{i}\hat{H}\left( t \right)\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle </math>

	Definiert man ein Wechselwirkungsbild bezüglich <math>{{H}_{0}}</math>mit <math>U_{0}^{+}=U_{0}^{+}\left( t \right)={{e}^{i{{H}_{0}}t}}</math>also		Definiert man ein Wechselwirkungsbild bezüglich <math>{{H}_{0}}</math>mit <math>U_{0}^{+}=U_{0}^{+}\left( t \right)={{e}^{i{{H}_{0}}t}}</math> also

	:<math>{{\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}=U_{0}^{+}\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle ={{e}^{\text{i}{{H}_{0}}t}}\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle </math>		:<math>{{\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}=U_{0}^{+}\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle ={{e}^{\text{i}{{H}_{0}}t}}\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle </math>,

	so folgt für die Entwicklung des Zustands im Wechselwirkungsbild (mit Produktregel)<math>\frac{d}{dt}{{\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}=\text{i}{{H}_{0}}{{\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}+U_{0}^{+}\frac{d}{dt}\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle </math>~~. Setzt man dies in die Schrödingergleichung ein so erhält man~~		so folgt für die Entwicklung des Zustands im Wechselwirkungsbild (mit Produktregel)
			:<math>\frac{d}{dt}{{\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}=\text{i}{{H}_{0}}{{\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}+U_{0}^{+}\frac{d}{dt}\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle .</math>

			Setzt man dies in die Schrödingergleichung ein so erhält man
	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& \frac{d}{dt}{{\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}=\text{i}{{H}_{0}}{{\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}-\text{i}U_{0}^{+}\left( {{H}_{0}}+V\left( t \right) \right)\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle \\		& \frac{d}{dt}{{\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}=\text{i}{{H}_{0}}{{\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}-\text{i}U_{0}^{+}\left( {{H}_{0}}+V\left( t \right) \right)\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle \\
	& =\text{i}\left( {{H}_{0}}-U_{0}^{+}\left( {{H}_{0}}+V\left( t \right) \right){{U}_{0}} \right){{\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}		& =\text{i}\left( {{H}_{0}}-U_{0}^{+}\left( {{H}_{0}}+V\left( t \right) \right){{U}_{0}} \right){{\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}
	\end{align}</math>		\end{align}</math>
			:mit <math>\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle ={{U}_{0}}U_{0}^{+}\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle ={{U}_{0}}\left( t \right){{\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}={{e}^{-\text{i}{{H}_{0}}t}}{{\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}</math>.

	Mit <math>\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle ={{U}_{0}}U_{0}^{+}\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle ={{U}_{0}}\left( t \right){{\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}={{e}^{-\text{i}{{H}_{0}}t}}{{\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}</math>. Unter Verwendung von <math>\left[ {{H}_{0}},{{U}_{0}}\left( t \right) \right]=0</math> erhält man		Unter Verwendung von <math>\left[ {{H}_{0}},{{U}_{0}}\left( t \right) \right]=0</math> erhält man

	:<math>\frac{d}{dt}{{\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}=-\text{i}\underbrace{\left( U_{0}^{+}V\left( t \right){{U}_{0}} \right)}_{:={{V}_{I}}\left( t \right)}{{\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}.</math>		:<math>\frac{d}{dt}{{\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}=-\text{i}\underbrace{\left( U_{0}^{+}V\left( t \right){{U}_{0}} \right)}_{:={{V}_{I}}\left( t \right)}{{\left\| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}.</math>
Line 25:		Line 28:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Nimmt man die Eigenwerte der ungestörten Schrödingergleichung <math>{{H}_{0}}\left\| n \right\rangle ={{~~\varepsilon~~ }_{n}}\left\| n \right\rangle </math>als bekannt an so erhält man mit der Festlegung <math>\left\| {{\Psi }_{0}} \right\rangle =\left\| i \right\rangle </math>		Nimmt man die Eigenwerte der ungestörten Schrödingergleichung <math>{{H}_{0}}\left\| n \right\rangle ={{E }_{n}}\left\| n \right\rangle </math>als bekannt an so erhält man mit der Festlegung <math>\left\| {{\Psi }_{0}} \right\rangle =\left\| i \right\rangle </math>

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
Line 32:		Line 35:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Für <math>i\ne f</math>folgt in erster Ordnung (also unter Vernachlässigung von <math>O{{\left( {{V}_{I}} \right)}^{2}}</math>)		Für <math>i\ne f</math> folgt in erster Ordnung (also unter Vernachlässigung von <math>O{{\left( {{V}_{I}} \right)}^{2}}</math>)

	:<math>{{P}_{i\to f}}\left( t \right):={{\left\| \left\langle f \| \Psi \left( t \right) \right\rangle \right\|}^{2}}=\underbrace{{{\left\| {{e}^{\text{i}\left( {{~~\varepsilon~~ }_{f}}-{{~~\varepsilon~~ }_{f}} \right)t}} \right\|}^{2}}}_{1}{{\left\| {{\left\langle f \| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}} \right\|}^{2}}={{\left\| \int\limits_{0}^{t}{dt'\,\left\langle f \right\|{{V}_{I}}\left( t' \right)\left\| i \right\rangle } \right\|}^{2}}</math> (das –i verschwindet durch den Betrag).		:<math>{{P}_{i\to f}}\left( t \right):={{\left\| \left\langle f \| \Psi \left( t \right) \right\rangle \right\|}^{2}}=\underbrace{{{\left\| {{e}^{\text{i}\left( {{E }_{f}}-{{E }_{f}} \right)t}} \right\|}^{2}}}_{1}{{\left\| {{\left\langle f \| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}} \right\|}^{2}}={{\left\| \int\limits_{0}^{t}{dt'\,\left\langle f \right\|{{V}_{I}}\left( t' \right)\left\| i \right\rangle } \right\|}^{2}}</math> (das –i verschwindet durch den Betrag).

	Für <math>V\left( t \right)=V\theta \left( t \right)</math>folgt nun,		Für <math>V\left( t \right)=V\theta \left( t \right)</math> folgt nun,
	:<math>\,\left\langle f \right\|{{V}_{I}}\left( t \right)\left\| i \right\rangle =\,\left\langle f \right\|U_{0}^{+}V{{U}_{0}}\left\| i \right\rangle =\,{{e}^{i\left( {{~~\varepsilon~~ }_{f}}-{{~~\varepsilon~~ }_{i}} \right)t}}\left\langle f \right\|V\left\| i \right\rangle </math>		:<math>\,\left\langle f \right\|{{V}_{I}}\left( t \right)\left\| i \right\rangle =\,\left\langle f \right\|U_{0}^{+}V{{U}_{0}}\left\| i \right\rangle =\,{{e}^{i\left( {{E }_{f}}-{{E }_{i}} \right)t}}\left\langle f \right\|V\left\| i \right\rangle </math>

	<math>{{P}_{i\to f}}\left( t \right):={{\left\| \left\langle f \right\|V\left\| i \right\rangle \right\|}^{2}}{{\left\| \int\limits_{0}^{t}{dt'\,\,{{e}^{i\left( {{~~\varepsilon~~ }_{f}}-{{~~\varepsilon~~ }_{i}} \right)t'}}} \right\|}^{2}}</math>		<math>{{P}_{i\to f}}\left( t \right):={{\left\| \left\langle f \right\|V\left\| i \right\rangle \right\|}^{2}}{{\left\| \int\limits_{0}^{t}{dt'\,\,{{e}^{i\left( {{E }_{f}}-{{E }_{i}} \right)t'}}} \right\|}^{2}}</math>

	Unter Verwendung der Definition der [http://de.wikipedia.org/wiki/Sinus_und_Kosinus#Analytische_Definition\|Sinusfunktion] ergibt das Integral		Unter Verwendung der Definition der [http://de.wikipedia.org/wiki/Sinus_und_Kosinus#Analytische_Definition\|Sinusfunktion] ergibt das Integral
	:<math>{{\left\| \int\limits_{0}^{t}{dt'\,\,{{e}^{\text{i}\left( {{~~\varepsilon~~ }_{f}}-{{~~\varepsilon~~ }_{i}} \right)t'}}} \right\|}^{2}}={{\left\| \frac{{{e}^{\text{i}\left( {{~~\varepsilon~~ }_{f}}-{{~~\varepsilon~~ }_{i}} \right)t}}-1}{\text{i}\left( {{~~\varepsilon~~ }_{f}}-{{~~\varepsilon~~ }_{i}} \right)} \right\|}^{2}}=\frac{{{\sin }^{2}}\left( \frac{{{~~\varepsilon~~ }_{f}}-{{~~\varepsilon~~ }_{i}}}{2}t \right)}{{{\left( \frac{{{~~\varepsilon~~ }_{f}}-{{~~\varepsilon~~ }_{i}}}{2} \right)}^{2}}}={{t}^{2}}{{\operatorname{sinc}}^{2}}\left( \frac{{{~~\varepsilon~~ }_{f}}-{{~~\varepsilon~~ }_{i}}}{2}t \right)</math>		:<math>{{\left\| \int\limits_{0}^{t}{dt'\,\,{{e}^{\text{i}\left( {{E }_{f}}-{{E }_{i}} \right)t'}}} \right\|}^{2}}={{\left\| \frac{{{e}^{\text{i}\left( {{E }_{f}}-{{E }_{i}} \right)t}}-1}{\text{i}\left( {{E }_{f}}-{{E }_{i}} \right)} \right\|}^{2}}=\frac{{{\sin }^{2}}\left( \frac{{{E }_{f}}-{{E }_{i}}}{2}t \right)}{{{\left( \frac{{{E }_{f}}-{{E }_{i}}}{2} \right)}^{2}}}={{t}^{2}}{{\operatorname{sinc}}^{2}}\left( \frac{{{E }_{f}}-{{E }_{i}}}{2}t \right)</math>

	Um die Rate, die durch		Um die Rate, die durch
	:<math>{{\Gamma }_{i\to f}}:=\underset{t\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{t}{{P}_{i\to f}}\left( t \right)={{\left\| \left\langle f \right\|V\left\| i \right\rangle \right\|}^{2}}\underset{t\to \infty }{\mathop{\lim }}\,t{{\operatorname{sinc}}^{2}}\left( \frac{{{~~\varepsilon~~ }_{f}}-{{~~\varepsilon~~ }_{i}}}{2}t \right)</math>		:<math>{{\Gamma }_{i\to f}}:=\underset{t\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{t}{{P}_{i\to f}}\left( t \right)={{\left\| \left\langle f \right\|V\left\| i \right\rangle \right\|}^{2}}\underset{t\to \infty }{\mathop{\lim }}\,t{{\operatorname{sinc}}^{2}}\left( \frac{{{E }_{f}}-{{E }_{i}}}{2}t \right)</math>
	:definiert ist zu berechnen kann man den "Trick", ~~umschreiben~~ der [[Sinc-Funktion]] als [http://de.wikipedia.org/wiki/Delta-Distribution#Beispiele_f.C3.BCr_Dirac-Folgen\|Dirac-Folge ] verwenden.		:definiert ist, zu berechnen kann man den "Trick", Umschreiben der [[Sinc-Funktion]] als [http://de.wikipedia.org/wiki/Delta-Distribution#Beispiele_f.C3.BCr_Dirac-Folgen\|Dirac-Folge ], verwenden.

	<math>{{\Gamma }_{i\to f}}={{\left\| \left\langle f \right\|V\left\| i \right\rangle \right\|}^{2}}\pi \underset{t\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{t}{\pi }{{\operatorname{sinc}}^{2}}\left( \frac{{{~~\varepsilon~~ }_{f}}-{{~~\varepsilon~~ }_{i}}}{2}t \right)=2\pi {{\left\| \left\langle f \right\|V\left\| i \right\rangle \right\|}^{2}}\delta \left( {{~~\varepsilon~~ }_{f}}-{{~~\varepsilon~~ }_{i}} \right)</math>		:<math>{{\Gamma }_{i\to f}}={{\left\| \left\langle f \right\|V\left\| i \right\rangle \right\|}^{2}}\pi \underset{t\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{t}{\pi }{{\operatorname{sinc}}^{2}}\left( \frac{{{E }_{f}}-{{E }_{i}}}{2}t \right)=2\pi {{\left\| \left\langle f \right\|V\left\| i \right\rangle \right\|}^{2}}\delta \left( {{E }_{f}}-{{E }_{i}} \right)</math>
	Es macht jedoch Sinn ein kontinuierliches Spektrum zu betrachten da in ~~der Realität <math>t<\infty </math> gilt und~~ man ~~daher keine exakte~~ Deltafunktion ~~erhält. Zu bemerken ist noch, dass~~<math>\rho ~~\left~~( {{E~~}_{f}} \right)\approx \rho \left( {{E}_{i}} \right~~)</math>
			Nach NOLTING macht jedoch Sinn, ein kontinuierliches Spektrum zu betrachten und Übergänge in ein Energieintervall zu betrachten. Also muss ersetzt man (grob gesagt) die Deltafunktion durch die Zustandsdichte <math>\rho(E)</math>.
	<math>{{\Gamma }_{i\to f}}=\frac{2\pi }{\left( \hbar \right)}\rho \left( {{E}_{f}} \right){{\left\| \left\langle f \right\|V\left\| i \right\rangle \right\|}^{2}}</math>		<math>{{\Gamma }_{i\to f}}=\frac{2\pi }{\left( \hbar \right)}\rho \left( {{E}_{f}} \right){{\left\| \left\langle f \right\|V\left\| i \right\rangle \right\|}^{2}}</math>

			Zu bemerken ist noch, dass
			* <math>\rho \left( {{E}_{f}} \right)\approx \rho \left( {{E}_{i}} \right)</math>.
			* die http://de.wikipedia.org/wiki/Energie-Zeit-Unschärferelation für <math>t<\infty</math> folgt.



Line 57:		Line 66:
	mit <math>\int\limits_{-\infty }^{\infty }{dx\operatorname{sinc}\left( x \right)}=\int\limits_{-\infty }^{\infty }{dx{{\operatorname{sinc}}^{2}}\left( x \right)}=\pi </math> folgt dass		mit <math>\int\limits_{-\infty }^{\infty }{dx\operatorname{sinc}\left( x \right)}=\int\limits_{-\infty }^{\infty }{dx{{\operatorname{sinc}}^{2}}\left( x \right)}=\pi </math> folgt dass
	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}
	& \underset{~~\varepsilon~~ \to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{~~\varepsilon~~ }f\left( \frac{x}{~~\varepsilon~~ } \right)=\delta \left( x \right) \\		& \underset{E \to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{E }f\left( \frac{x}{E } \right)=\delta \left( x \right) \\
	& \underset{t\to \infty }{\mathop{\lim }}\,tf\left( tx \right)=\delta \left( x \right) \\		& \underset{t\to \infty }{\mathop{\lim }}\,tf\left( tx \right)=\delta \left( x \right) \\
	& \underset{t\to \infty }{\mathop{\lim }}\,t\frac{1}{\pi }{{\operatorname{sinc}}^{2}}\left( tx \right)=\delta \left( x \right)		& \underset{t\to \infty }{\mathop{\lim }}\,t\frac{1}{\pi }{{\operatorname{sinc}}^{2}}\left( tx \right)=\delta \left( x \right)
	\end{align}</math>		\end{align}</math>
	Mit <math>x=\frac{{{~~\varepsilon~~ }_{f}}-{{~~\varepsilon~~ }_{i}}}{2}</math>und <math>\delta \left( kx \right)=\frac{1}{k}\delta \left( x \right)</math> folgt		Mit <math>x=\frac{{{E }_{f}}-{{E }_{i}}}{2}</math>und <math>\delta \left( kx \right)=\frac{1}{k}\delta \left( x \right)</math> folgt


	verwendet		verwendet

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „Sei $H\left( t \right)={{H}_{0}}+V\left( t \right)$ und es gelte die Schödingergleichung mit $\hbar =1$ : $\frac{d}{dt}\left| \Psi \le…“$

2010-09-07T21:01:45Z

Die Seite wurde neu angelegt: „Sei <math>H\left( t \right)={{H}_{0}}+V\left( t \right)</math> und es gelte die Schödingergleichung mit <math>\hbar =1</math> :<math>\frac{d}{dt}\left| \Psi \le…“

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Sei <math>H\left( t \right)={{H}_{0}}+V\left( t \right)</math> und es gelte die Schödingergleichung mit <math>\hbar =1</math>

:<math>\frac{d}{dt}\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle =-\text{i}\hat{H}\left( t \right)\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle </math>

Definiert man ein Wechselwirkungsbild bezüglich <math>{{H}_{0}}</math>mit <math>U_{0}^{+}=U_{0}^{+}\left( t \right)={{e}^{i{{H}_{0}}t}}</math>also

:<math>{{\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}=U_{0}^{+}\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle ={{e}^{\text{i}{{H}_{0}}t}}\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle </math>

so folgt für die Entwicklung des Zustands im Wechselwirkungsbild (mit Produktregel)<math>\frac{d}{dt}{{\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}=\text{i}{{H}_{0}}{{\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}+U_{0}^{+}\frac{d}{dt}\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle </math>. Setzt man dies in die Schrödingergleichung ein so erhält man

:<math>\begin{align}
& \frac{d}{dt}{{\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}=\text{i}{{H}_{0}}{{\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}-\text{i}U_{0}^{+}\left( {{H}_{0}}+V\left( t \right) \right)\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle \\
& =\text{i}\left( {{H}_{0}}-U_{0}^{+}\left( {{H}_{0}}+V\left( t \right) \right){{U}_{0}} \right){{\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}
\end{align}</math>

Mit <math>\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle ={{U}_{0}}U_{0}^{+}\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle ={{U}_{0}}\left( t \right){{\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}={{e}^{-\text{i}{{H}_{0}}t}}{{\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}</math>. Unter Verwendung von <math>\left[ {{H}_{0}},{{U}_{0}}\left( t \right) \right]=0</math> erhält man

:<math>\frac{d}{dt}{{\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}=-\text{i}\underbrace{\left( U_{0}^{+}V\left( t \right){{U}_{0}} \right)}_{:={{V}_{I}}\left( t \right)}{{\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}.</math>

Nun kann man mit der Abkürzung <math>{{V}_{I}}\left( t \right):=U_{0}^{+}V\left( t \right){{U}_{0}}</math> und <math>\left| {{\Psi }_{0}} \right\rangle ={{\left| \Psi \left( t=0 \right) \right\rangle }_{I}}</math> die Zeitentwicklung im Wechselwirkungsbild hinschreiben:

:<math>\begin{align}
& {{\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}=\left| {{\Psi }_{0}} \right\rangle -\text{i}\int\limits_{0}^{t}{dt'\,{{V}_{I}}\left( t' \right)}{{\left| \Psi \left( t' \right) \right\rangle }_{I}} \\
& =\left| {{\Psi }_{0}} \right\rangle -\text{i}\int\limits_{0}^{t}{dt'\,{{V}_{I}}\left( t' \right)}\left| {{\Psi }_{0}} \right\rangle +O{{\left( {{V}_{I}} \right)}^{2}}
\end{align}</math>

Nimmt man die Eigenwerte der ungestörten Schrödingergleichung <math>{{H}_{0}}\left| n \right\rangle ={{\varepsilon }_{n}}\left| n \right\rangle </math>als bekannt an so erhält man mit der Festlegung <math>\left| {{\Psi }_{0}} \right\rangle =\left| i \right\rangle </math>

:<math>\begin{align}
& {{\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}=\left| i \right\rangle -\text{i}\int\limits_{0}^{t}{dt'\,{{V}_{I}}\left( t' \right)}\left| i \right\rangle +O{{\left( {{V}_{I}} \right)}^{2}} \\
& {{\left\langle f | \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}={{\delta }_{i,f}}-\text{i}\int\limits_{0}^{t}{dt'\,\left\langle f \right|{{V}_{I}}\left( t' \right)}\left| i \right\rangle +O{{\left( {{V}_{I}} \right)}^{2}}
\end{align}</math>

Für <math>i\ne f</math>folgt in erster Ordnung (also unter Vernachlässigung von <math>O{{\left( {{V}_{I}} \right)}^{2}}</math>)

:<math>{{P}_{i\to f}}\left( t \right):={{\left| \left\langle f | \Psi \left( t \right) \right\rangle \right|}^{2}}=\underbrace{{{\left| {{e}^{\text{i}\left( {{\varepsilon }_{f}}-{{\varepsilon }_{f}} \right)t}} \right|}^{2}}}_{1}{{\left| {{\left\langle f | \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}} \right|}^{2}}={{\left| \int\limits_{0}^{t}{dt'\,\left\langle f \right|{{V}_{I}}\left( t' \right)\left| i \right\rangle } \right|}^{2}}</math> (das –i verschwindet durch den Betrag).

Für <math>V\left( t \right)=V\theta \left( t \right)</math>folgt nun,
:<math>\,\left\langle f \right|{{V}_{I}}\left( t \right)\left| i \right\rangle =\,\left\langle f \right|U_{0}^{+}V{{U}_{0}}\left| i \right\rangle =\,{{e}^{i\left( {{\varepsilon }_{f}}-{{\varepsilon }_{i}} \right)t}}\left\langle f \right|V\left| i \right\rangle </math>

<math>{{P}_{i\to f}}\left( t \right):={{\left| \left\langle f \right|V\left| i \right\rangle \right|}^{2}}{{\left| \int\limits_{0}^{t}{dt'\,\,{{e}^{i\left( {{\varepsilon }_{f}}-{{\varepsilon }_{i}} \right)t'}}} \right|}^{2}}</math>

Unter Verwendung der Definition der [http://de.wikipedia.org/wiki/Sinus_und_Kosinus#Analytische_Definition|Sinusfunktion] ergibt das Integral
:<math>{{\left| \int\limits_{0}^{t}{dt'\,\,{{e}^{\text{i}\left( {{\varepsilon }_{f}}-{{\varepsilon }_{i}} \right)t'}}} \right|}^{2}}={{\left| \frac{{{e}^{\text{i}\left( {{\varepsilon }_{f}}-{{\varepsilon }_{i}} \right)t}}-1}{\text{i}\left( {{\varepsilon }_{f}}-{{\varepsilon }_{i}} \right)} \right|}^{2}}=\frac{{{\sin }^{2}}\left( \frac{{{\varepsilon }_{f}}-{{\varepsilon }_{i}}}{2}t \right)}{{{\left( \frac{{{\varepsilon }_{f}}-{{\varepsilon }_{i}}}{2} \right)}^{2}}}={{t}^{2}}{{\operatorname{sinc}}^{2}}\left( \frac{{{\varepsilon }_{f}}-{{\varepsilon }_{i}}}{2}t \right)</math>

Um die Rate, die durch
:<math>{{\Gamma }_{i\to f}}:=\underset{t\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{t}{{P}_{i\to f}}\left( t \right)={{\left| \left\langle f \right|V\left| i \right\rangle \right|}^{2}}\underset{t\to \infty }{\mathop{\lim }}\,t{{\operatorname{sinc}}^{2}}\left( \frac{{{\varepsilon }_{f}}-{{\varepsilon }_{i}}}{2}t \right)</math>
:definiert ist zu berechnen kann man den "Trick", umschreiben der [[Sinc-Funktion]] als [http://de.wikipedia.org/wiki/Delta-Distribution#Beispiele_f.C3.BCr_Dirac-Folgen|Dirac-Folge ] verwenden.

<math>{{\Gamma }_{i\to f}}={{\left| \left\langle f \right|V\left| i \right\rangle \right|}^{2}}\pi \underset{t\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{t}{\pi }{{\operatorname{sinc}}^{2}}\left( \frac{{{\varepsilon }_{f}}-{{\varepsilon }_{i}}}{2}t \right)=2\pi {{\left| \left\langle f \right|V\left| i \right\rangle \right|}^{2}}\delta \left( {{\varepsilon }_{f}}-{{\varepsilon }_{i}} \right)</math>
Es macht jedoch Sinn ein kontinuierliches Spektrum zu betrachten da in der Realität <math>t<\infty </math> gilt und man daher keine exakte Deltafunktion erhält. Zu bemerken ist noch, dass<math>\rho \left( {{E}_{f}} \right)\approx \rho \left( {{E}_{i}} \right)</math>
<math>{{\Gamma }_{i\to f}}=\frac{2\pi }{\left( \hbar \right)}\rho \left( {{E}_{f}} \right){{\left| \left\langle f \right|V\left| i \right\rangle \right|}^{2}}</math>

Dabei wurde bei ...
<math>{{\delta }_{\epsilon }}(x)=\frac{1}{\pi x}\sin \left( \frac{x}{\epsilon } \right)</math>
mit <math>\int\limits_{-\infty }^{\infty }{dx\operatorname{sinc}\left( x \right)}=\int\limits_{-\infty }^{\infty }{dx{{\operatorname{sinc}}^{2}}\left( x \right)}=\pi </math> folgt dass
<math>\begin{align}
& \underset{\varepsilon \to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\varepsilon }f\left( \frac{x}{\varepsilon } \right)=\delta \left( x \right) \\
& \underset{t\to \infty }{\mathop{\lim }}\,tf\left( tx \right)=\delta \left( x \right) \\
& \underset{t\to \infty }{\mathop{\lim }}\,t\frac{1}{\pi }{{\operatorname{sinc}}^{2}}\left( tx \right)=\delta \left( x \right)
\end{align}</math>
Mit <math>x=\frac{{{\varepsilon }_{f}}-{{\varepsilon }_{i}}}{2}</math>und <math>\delta \left( kx \right)=\frac{1}{k}\delta \left( x \right)</math> folgt

verwendet

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Schubotz at 21:47, 7 September 2010

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „Sei H\left( t \right)={{H}_{0}}+V\left( t \right) und es gelte die Schödingergleichung mit \hbar =1 :\frac{d}{dt}\left| \Psi \le…“

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „Sei $H\left( t \right)={{H}_{0}}+V\left( t \right)$ und es gelte die Schödingergleichung mit $\hbar =1$ : $\frac{d}{dt}\left| \Psi \le…“$