Die elektrostatische Feldenergie - Revision history

Schubotz at 12:48, 15 September 2010

2010-09-15T12:48:27Z

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Line 6:		Line 6:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	ist die potenzielle Energie! einer Ladung im Feld		ist die potenzielle Energie! einer Ladung im Feld <math>\bar{E}(\bar{r})</math>
	:<math>\bar{E}(\bar{r})</math>

	Also:		Also:
Line 13:		Line 12:
	:<math>{{W}_{ij}}={{q}_{i}}\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{{{q}_{j}}}{\|{{{\bar{r}}}_{i}}-{{{\bar{r}}}_{j}}\|}={{W}_{ji}}</math>		:<math>{{W}_{ij}}={{q}_{i}}\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{{{q}_{j}}}{\|{{{\bar{r}}}_{i}}-{{{\bar{r}}}_{j}}\|}={{W}_{ji}}</math>

	ist die Energie der Ladung		ist die Energie der Ladung <math>{{q}_{i}}</math> an <math>{{\bar{r}}_{i}}</math> im Feld der Ladung
	:<math>{{q}_{i}}</math> an <math>{{\bar{r}}_{i}}</math>		:<math>{{q}_{j}}</math> an <math>{{\bar{r}}_{j}}</math>. (In ihrem Potenzial)
	im Feld der Ladung		Die '''gesamte potenzielle Energie eines Systems''' von Ladungen q1.... ergibt sich demnach durch Summation:
	:<math>{{q}_{j}}</math> an <math>{{\bar{r}}_{j}}</math>.
	(In ihrem Potenzial)
	Die gesamte potenzielle Energie eines Systems von Ladungen q1.... ergibt sich demnach durch Summation:

	:<math>W=\frac{1}{2}\sum\limits_{\begin{smallmatrix}		:<math>W=\frac{1}{2}\sum\limits_{\begin{smallmatrix}
Line 34:		Line 30:
	:<math>W=\frac{1}{2}\int_{{}}^{{}}{\Phi (\bar{r})\rho (\bar{r}){{d}^{3}}r}</math>		:<math>W=\frac{1}{2}\int_{{}}^{{}}{\Phi (\bar{r})\rho (\bar{r}){{d}^{3}}r}</math>

	Mit		Mit <math>\rho (\bar{r})={{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}</math> folgt:
	:<math>\rho (\bar{r})={{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}</math>

	folgt:

	:<math>W=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{\Phi (\bar{r})\nabla \cdot \bar{E}{{d}^{3}}r}=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}\left[ \int_{{{R}^{3}}}^{{}}{\nabla \cdot \left( \Phi (\bar{r})\bar{E} \right){{d}^{3}}r}-\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{\left( \nabla \Phi (\bar{r}) \right)\cdot \bar{E}{{d}^{3}}r} \right]</math>		:<math>W=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{\Phi (\bar{r})\nabla \cdot \bar{E}{{d}^{3}}r}=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}\left[ \int_{{{R}^{3}}}^{{}}{\nabla \cdot \left( \Phi (\bar{r})\bar{E} \right){{d}^{3}}r}-\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{\left( \nabla \Phi (\bar{r}) \right)\cdot \bar{E}{{d}^{3}}r} \right]</math>

	Mit Hilfe des Gaußschen Satz folgt dann:		Mit Hilfe des {{FB\|Gaußschen Satz}} folgt dann:

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
Line 58:		Line 51:
	:<math>W=\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}{{{\bar{E}}}^{2}}(\bar{r}){{d}^{3}}r}=\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}rw(\bar{r})}</math>		:<math>W=\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}{{{\bar{E}}}^{2}}(\bar{r}){{d}^{3}}r}=\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}rw(\bar{r})}</math>

	Somit folgt für die Energiedichte des elektromagnetischen Feldes:		Somit folgt für die {{FB\|Energiedichte des elektromagnetischen Feldes}}:

	:<math>w(\bar{r})=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}{{\bar{E}}^{2}}(\bar{r})</math>		:<math>w(\bar{r})=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}{{\bar{E}}^{2}}(\bar{r})</math>

	Die Selbstenergie einer Punktladung ergibt sich zu		Die {{FB\|Selbstenergie}} einer Punktladung ergibt sich zu

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
Line 69:		Line 62:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	und die Gesamtenergie ist folglich:		und die {{FB\|Gesamtenergie\|elektrostatisches Feld}} ist folglich:

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
Line 77:		Line 70:

	Dies divergiert jedoch!!		Dies divergiert jedoch!!
	Beim Übergang von Punktladungen zu kontinuierlichen Ladungsverteilungen wird		Beim Übergang von Punktladungen zu kontinuierlichen Ladungsverteilungen wird <math>i\ne j</math> nicht mehr ausgeschlossen. Das bede4utet, zusätzlich zur Wechselwirkungsenergie wird die Energie berücksichtigt, die Zum Aufbau der Punktladung durch Zusammenführung aus dem Unendlichen benötigt wird, mitgenommen.
	:<math>i\ne j</math>
	nicht mehr ausgeschlossen. Das bede4utet, zusätzlich zur Wechselwirkungsenergie wird die Energie berücksichtigt, die Zum Aufbau der Punktladung durch Zusammenführung aus dem Unendlichen benötigt wird, mitgenommen.

	Dies ist jedoch bei einer Punktladung unendlich viel. Also ist der begriff der ~~P8unktladung~~ in einem Widerspruch zum feldtheoretischen Begriff der Energiedichte (wen wunderts ?)		Dies ist jedoch bei einer Punktladung unendlich viel. Also ist der begriff der Punktladung in einem Widerspruch zum feldtheoretischen Begriff der Energiedichte (wen wunderts ?)

*>SchuBot: Interpunktion, replaced: ! → ! (2), ( → ( (2)

2010-09-12T22:13:42Z

Interpunktion, replaced: ! → ! (2), ( → ( (2)

← Older revision		Revision as of 00:13, 13 September 2010
Line 1:		Line 1:


	<noinclude>{{Scripthinweis\|Elektrodynamik\|1\|5}}</noinclude>		<noinclude>{{Scripthinweis\|Elektrodynamik\|1\|5}}</noinclude>
	Kraft:		Kraft:
Line 8:		Line 6:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	ist die potenzielle Energie ! einer Ladung im Feld		ist die potenzielle Energie! einer Ladung im Feld
	:<math>\bar{E}(\bar{r})</math>		:<math>\bar{E}(\bar{r})</math>

Line 18:		Line 16:
	:<math>{{q}_{i}}</math> an <math>{{\bar{r}}_{i}}</math>		:<math>{{q}_{i}}</math> an <math>{{\bar{r}}_{i}}</math>
	im Feld der Ladung		im Feld der Ladung
	:<math>{{q}_{j}}</math> an <math>{{\bar{r}}_{j}}</math>		:<math>{{q}_{j}}</math> an <math>{{\bar{r}}_{j}}</math>.
	. ( In ihrem Potenzial)		(In ihrem Potenzial)
	Die gesamte potenzielle Energie eines Systems von Ladungen q1.... ergibt sich demnach durch Summation:		Die gesamte potenzielle Energie eines Systems von Ladungen q1.... ergibt sich demnach durch Summation:

Line 78:		Line 76:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Dies divergiert jedoch !!		Dies divergiert jedoch!!
	Beim Übergang von Punktladungen zu kontinuierlichen Ladungsverteilungen wird		Beim Übergang von Punktladungen zu kontinuierlichen Ladungsverteilungen wird
	:<math>i\ne j</math>		:<math>i\ne j</math>
	nicht mehr ausgeschlossen. Das bede4utet, zusätzlich zur Wechselwirkungsenergie wird die Energie berücksichtigt, die Zum Aufbau der Punktladung durch Zusammenführung aus dem Unendlichen benötigt wird, mitgenommen.		nicht mehr ausgeschlossen. Das bede4utet, zusätzlich zur Wechselwirkungsenergie wird die Energie berücksichtigt, die Zum Aufbau der Punktladung durch Zusammenführung aus dem Unendlichen benötigt wird, mitgenommen.

	Dies ist jedoch bei einer Punktladung unendlich viel. Also ist der begriff der P8unktladung in einem Widerspruch zum feldtheoretischen Begriff der Energiedichte ( wen wunderts ?)		Dies ist jedoch bei einer Punktladung unendlich viel. Also ist der begriff der P8unktladung in einem Widerspruch zum feldtheoretischen Begriff der Energiedichte (wen wunderts ?)

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T15:52:39Z

Einrückungen Mathematik

← Older revision		Revision as of 17:52, 12 September 2010
Line 3:		Line 3:
	<noinclude>{{Scripthinweis\|Elektrodynamik\|1\|5}}</noinclude>		<noinclude>{{Scripthinweis\|Elektrodynamik\|1\|5}}</noinclude>
	Kraft:		Kraft:
	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& \bar{F}(\bar{r})=q\bar{E}(\bar{r})=-q\nabla \Phi (\bar{r}) \\		& \bar{F}(\bar{r})=q\bar{E}(\bar{r})=-q\nabla \Phi (\bar{r}) \\
	& \Rightarrow V(\bar{r})=\Phi (\bar{r}) \\		& \Rightarrow V(\bar{r})=\Phi (\bar{r}) \\
Line 9:		Line 9:

	ist die potenzielle Energie ! einer Ladung im Feld		ist die potenzielle Energie ! einer Ladung im Feld
	<math>\bar{E}(\bar{r})</math>		:<math>\bar{E}(\bar{r})</math>

	Also:		Also:

	<math>{{W}_{ij}}={{q}_{i}}\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{{{q}_{j}}}{\|{{{\bar{r}}}_{i}}-{{{\bar{r}}}_{j}}\|}={{W}_{ji}}</math>		:<math>{{W}_{ij}}={{q}_{i}}\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{{{q}_{j}}}{\|{{{\bar{r}}}_{i}}-{{{\bar{r}}}_{j}}\|}={{W}_{ji}}</math>

	ist die Energie der Ladung		ist die Energie der Ladung
	<math>{{q}_{i}}</math>		:<math>{{q}_{i}}</math> an <math>{{\bar{r}}_{i}}</math>
	an
	<math>{{\bar{r}}_{i}}</math>
	im Feld der Ladung		im Feld der Ladung
	<math>{{q}_{j}}</math>		:<math>{{q}_{j}}</math> an <math>{{\bar{r}}_{j}}</math>
	an
	<math>{{\bar{r}}_{j}}</math>
	. ( In ihrem Potenzial)		. ( In ihrem Potenzial)
	Die gesamte potenzielle Energie eines Systems von Ladungen q1.... ergibt sich demnach durch Summation:		Die gesamte potenzielle Energie eines Systems von Ladungen q1.... ergibt sich demnach durch Summation:

	<math>W=\frac{1}{2}\sum\limits_{\begin{smallmatrix}		:<math>W=\frac{1}{2}\sum\limits_{\begin{smallmatrix}
	i,j \\		i,j \\
	i\ne j		i\ne j
Line 36:		Line 32:
	und bei einer kontinuierlichen Ladungsverteilung:		und bei einer kontinuierlichen Ladungsverteilung:

	<math>W=\frac{1}{2}\int_{{}}^{{}}{\Phi (\bar{r})\rho (\bar{r}){{d}^{3}}r}=\frac{1}{8\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\rho (\bar{r})\rho (\bar{r}\acute{\ })}{\|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\|}</math>		:<math>W=\frac{1}{2}\int_{{}}^{{}}{\Phi (\bar{r})\rho (\bar{r}){{d}^{3}}r}=\frac{1}{8\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\rho (\bar{r})\rho (\bar{r}\acute{\ })}{\|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\|}</math>

	<math>W=\frac{1}{2}\int_{{}}^{{}}{\Phi (\bar{r})\rho (\bar{r}){{d}^{3}}r}</math>		:<math>W=\frac{1}{2}\int_{{}}^{{}}{\Phi (\bar{r})\rho (\bar{r}){{d}^{3}}r}</math>

	Mit		Mit
	<math>\rho (\bar{r})={{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}</math>		:<math>\rho (\bar{r})={{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}</math>

	folgt:		folgt:

	<math>W=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{\Phi (\bar{r})\nabla \cdot \bar{E}{{d}^{3}}r}=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}\left[ \int_{{{R}^{3}}}^{{}}{\nabla \cdot \left( \Phi (\bar{r})\bar{E} \right){{d}^{3}}r}-\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{\left( \nabla \Phi (\bar{r}) \right)\cdot \bar{E}{{d}^{3}}r} \right]</math>		:<math>W=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{\Phi (\bar{r})\nabla \cdot \bar{E}{{d}^{3}}r}=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}\left[ \int_{{{R}^{3}}}^{{}}{\nabla \cdot \left( \Phi (\bar{r})\bar{E} \right){{d}^{3}}r}-\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{\left( \nabla \Phi (\bar{r}) \right)\cdot \bar{E}{{d}^{3}}r} \right]</math>

	Mit Hilfe des Gaußschen Satz folgt dann:		Mit Hilfe des Gaußschen Satz folgt dann:

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& W=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}\left[ \int_{{{S}_{\infty }}}^{{}}{\left( \Phi (\bar{r})\bar{E} \right)d\bar{f}}+\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{{\bar{E}}}^{2}}(\bar{r}){{d}^{3}}r} \right] \\		& W=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}\left[ \int_{{{S}_{\infty }}}^{{}}{\left( \Phi (\bar{r})\bar{E} \right)d\bar{f}}+\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{{\bar{E}}}^{2}}(\bar{r}){{d}^{3}}r} \right] \\
	& \begin{matrix}		& \begin{matrix}
Line 62:		Line 58:
	Also:		Also:

	<math>W=\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}{{{\bar{E}}}^{2}}(\bar{r}){{d}^{3}}r}=\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}rw(\bar{r})}</math>		:<math>W=\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}{{{\bar{E}}}^{2}}(\bar{r}){{d}^{3}}r}=\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}rw(\bar{r})}</math>

	Somit folgt für die Energiedichte des elektromagnetischen Feldes:		Somit folgt für die Energiedichte des elektromagnetischen Feldes:

	<math>w(\bar{r})=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}{{\bar{E}}^{2}}(\bar{r})</math>		:<math>w(\bar{r})=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}{{\bar{E}}^{2}}(\bar{r})</math>

	Die Selbstenergie einer Punktladung ergibt sich zu		Die Selbstenergie einer Punktladung ergibt sich zu

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& \left\| \bar{E}(\bar{r}) \right\|=\frac{q}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{r}^{2}}} \\		& \left\| \bar{E}(\bar{r}) \right\|=\frac{q}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{r}^{2}}} \\
	& w(\bar{r})=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}{{\left( \frac{q}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}} \right)}^{2}}\frac{1}{{{r}^{4}}} \\		& w(\bar{r})=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}{{\left( \frac{q}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}} \right)}^{2}}\frac{1}{{{r}^{4}}} \\
Line 77:		Line 73:
	und die Gesamtenergie ist folglich:		und die Gesamtenergie ist folglich:

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& W=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}w(\bar{r})=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}{{\left( \frac{q}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}} \right)}^{2}}4\pi \int_{0}^{\infty }{{{r}^{2}}dr}\frac{1}{{{r}^{4}}} \\		& W=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}w(\bar{r})=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}{{\left( \frac{q}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}} \right)}^{2}}4\pi \int_{0}^{\infty }{{{r}^{2}}dr}\frac{1}{{{r}^{4}}} \\
	& \int_{0}^{\infty }{{{r}^{2}}dr}\frac{1}{{{r}^{4}}}=\int_{0}^{\infty }{dr}\frac{1}{{{r}^{2}}}=\left[ \frac{1}{r} \right]_{0}^{\infty }\to \infty \\		& \int_{0}^{\infty }{{{r}^{2}}dr}\frac{1}{{{r}^{4}}}=\int_{0}^{\infty }{dr}\frac{1}{{{r}^{2}}}=\left[ \frac{1}{r} \right]_{0}^{\infty }\to \infty \\
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	Dies divergiert jedoch !!		Dies divergiert jedoch !!
	Beim Übergang von Punktladungen zu kontinuierlichen Ladungsverteilungen wird		Beim Übergang von Punktladungen zu kontinuierlichen Ladungsverteilungen wird
	<math>i\ne j</math>		:<math>i\ne j</math>
	nicht mehr ausgeschlossen. Das bede4utet, zusätzlich zur Wechselwirkungsenergie wird die Energie berücksichtigt, die Zum Aufbau der Punktladung durch Zusammenführung aus dem Unendlichen benötigt wird, mitgenommen.		nicht mehr ausgeschlossen. Das bede4utet, zusätzlich zur Wechselwirkungsenergie wird die Energie berücksichtigt, die Zum Aufbau der Punktladung durch Zusammenführung aus dem Unendlichen benötigt wird, mitgenommen.

	Dies ist jedoch bei einer Punktladung unendlich viel. Also ist der begriff der P8unktladung in einem Widerspruch zum feldtheoretischen Begriff der Energiedichte ( wen wunderts ?)		Dies ist jedoch bei einer Punktladung unendlich viel. Also ist der begriff der P8unktladung in einem Widerspruch zum feldtheoretischen Begriff der Energiedichte ( wen wunderts ?)

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2010-08-28T23:10:20Z

Die Seite wurde neu angelegt: „ <noinclude>{{Scripthinweis|Elektrodynamik|1|5}}</noinclude> Kraft: <math>\begin{align} & \bar{F}(\bar{r})=q\bar{E}(\bar{r})=-q\nabla \Phi (\bar{r}) \\ & \Righta…“

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<noinclude>{{Scripthinweis|Elektrodynamik|1|5}}</noinclude>
Kraft:
<math>\begin{align}
& \bar{F}(\bar{r})=q\bar{E}(\bar{r})=-q\nabla \Phi (\bar{r}) \\
& \Rightarrow V(\bar{r})=\Phi (\bar{r}) \\
\end{align}</math>

ist die potenzielle Energie ! einer Ladung im Feld
<math>\bar{E}(\bar{r})</math>

Also:

<math>{{W}_{ij}}={{q}_{i}}\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{{{q}_{j}}}{|{{{\bar{r}}}_{i}}-{{{\bar{r}}}_{j}}|}={{W}_{ji}}</math>

ist die Energie der Ladung
<math>{{q}_{i}}</math>
an
<math>{{\bar{r}}_{i}}</math>
im Feld der Ladung
<math>{{q}_{j}}</math>
an
<math>{{\bar{r}}_{j}}</math>
. ( In ihrem Potenzial)
Die gesamte potenzielle Energie eines Systems von Ladungen q1.... ergibt sich demnach durch Summation:

<math>W=\frac{1}{2}\sum\limits_{\begin{smallmatrix}
i,j \\
i\ne j
\end{smallmatrix}}^{{}}{{}}{{W}_{ij}}=\frac{1}{8\pi {{\varepsilon }_{0}}}\sum\limits_{\begin{smallmatrix}
i,j \\
i\ne j
\end{smallmatrix}}^{{}}{{}}\frac{{{q}_{i}}{{q}_{j}}}{|{{{\bar{r}}}_{i}}-{{{\bar{r}}}_{j}}|}={{W}_{ji}}</math>

und bei einer kontinuierlichen Ladungsverteilung:

<math>W=\frac{1}{2}\int_{{}}^{{}}{\Phi (\bar{r})\rho (\bar{r}){{d}^{3}}r}=\frac{1}{8\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\rho (\bar{r})\rho (\bar{r}\acute{\ })}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}</math>

<math>W=\frac{1}{2}\int_{{}}^{{}}{\Phi (\bar{r})\rho (\bar{r}){{d}^{3}}r}</math>

Mit
<math>\rho (\bar{r})={{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}</math>

folgt:

<math>W=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{\Phi (\bar{r})\nabla \cdot \bar{E}{{d}^{3}}r}=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}\left[ \int_{{{R}^{3}}}^{{}}{\nabla \cdot \left( \Phi (\bar{r})\bar{E} \right){{d}^{3}}r}-\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{\left( \nabla \Phi (\bar{r}) \right)\cdot \bar{E}{{d}^{3}}r} \right]</math>

Mit Hilfe des Gaußschen Satz folgt dann:

<math>\begin{align}
& W=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}\left[ \int_{{{S}_{\infty }}}^{{}}{\left( \Phi (\bar{r})\bar{E} \right)d\bar{f}}+\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{{\bar{E}}}^{2}}(\bar{r}){{d}^{3}}r} \right] \\
& \begin{matrix}
\lim \\
r\to \infty \\
\end{matrix}\left( \Phi (\bar{r})\bar{E} \right)=0 \\
& \\
\end{align}</math>

da die Größen ~ 1/3 bzw. 1/r² gehen

Also:

<math>W=\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}{{{\bar{E}}}^{2}}(\bar{r}){{d}^{3}}r}=\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}rw(\bar{r})}</math>

Somit folgt für die Energiedichte des elektromagnetischen Feldes:

<math>w(\bar{r})=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}{{\bar{E}}^{2}}(\bar{r})</math>

Die Selbstenergie einer Punktladung ergibt sich zu

<math>\begin{align}
& \left| \bar{E}(\bar{r}) \right|=\frac{q}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{r}^{2}}} \\
& w(\bar{r})=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}{{\left( \frac{q}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}} \right)}^{2}}\frac{1}{{{r}^{4}}} \\
\end{align}</math>

und die Gesamtenergie ist folglich:

<math>\begin{align}
& W=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}w(\bar{r})=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}{{\left( \frac{q}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}} \right)}^{2}}4\pi \int_{0}^{\infty }{{{r}^{2}}dr}\frac{1}{{{r}^{4}}} \\
& \int_{0}^{\infty }{{{r}^{2}}dr}\frac{1}{{{r}^{4}}}=\int_{0}^{\infty }{dr}\frac{1}{{{r}^{2}}}=\left[ \frac{1}{r} \right]_{0}^{\infty }\to \infty \\
\end{align}</math>

Dies divergiert jedoch !!
Beim Übergang von Punktladungen zu kontinuierlichen Ladungsverteilungen wird
<math>i\ne j</math>
nicht mehr ausgeschlossen. Das bede4utet, zusätzlich zur Wechselwirkungsenergie wird die Energie berücksichtigt, die Zum Aufbau der Punktladung durch Zusammenführung aus dem Unendlichen benötigt wird, mitgenommen.

Dies ist jedoch bei einer Punktladung unendlich viel. Also ist der begriff der P8unktladung in einem Widerspruch zum feldtheoretischen Begriff der Energiedichte ( wen wunderts ?)

Die elektrostatische Feldenergie - Revision history

Schubotz at 12:48, 15 September 2010

*>SchuBot: Interpunktion, replaced: ! → ! (2), ( → ( (2)

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

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