Das hamiltonsche Wirkungsprinzip - Revision history

Schubotz at 10:38, 5 July 2011

2011-07-05T10:38:32Z

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	~~FB0C0s~~ , ~~[url~~=~~http~~:/~~/hfhklyciegye~~.~~com~~/~~]hfhklyciegye[~~/~~url]~~, ~~[link~~=~~http~~://~~cbbyewiqiiug.com~~/~~]cbbyewiqiiug[~~/~~link]~~, ~~http~~://~~qnwdbqdlzsru.com~~/		<noinclude>{{Scripthinweis\|Mechanik\|2\|2}}</noinclude>
			[[File:Leastaction.JPG\|miniatur]]
			Voraussetzung:

			* holonome (integrable) Zwangsbed. → Bedingung fuer Existenz generalisierter Koordinaten (q1,..., qf)
			* konservative Kräfte → Bedingung für Existenz der Lagrangegleichung / Lagrangefunktion
			* <math>L({{q}_{1}},...{{q}_{f}},{{\dot{q}}_{1}},...,{{\dot{q}}_{f}},t)=T-V</math>


			Nehmen wir nun die Lgrangegleichung als Funktional:


			:<math>F=L({{q}_{1}},...{{q}_{f}},{{\dot{q}}_{1}},...,{{\dot{q}}_{f}},t)=T-V</math>


			Nun ist auch das Variationsprinzip auf mehrere Variablen zu verallgemeinern:

			Die entstehende Euler- Lagrange- Gleichung entspricht einer Lagrangegleichung 2. Art

			Integralprinzip entspricht dem Hamiltonschen Wirkungsprinzip

			Somit erhalten wir bei Integration über die Zeit ein Wirkungsfunktional:


			:<math>\begin{align}
			& \delta W=0 \\
			& W:=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt}F=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt}L({{q}_{1}},...{{q}_{f}},{{{\dot{q}}}_{1}},...,{{{\dot{q}}}_{f}},t)=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt}T-V \\
			\end{align}</math>


			Bei Berechnung der Variation erhalten wir:


			:<math>\begin{align}
			& \delta W=0 \\
			& \delta W=\delta \int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt}F=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt}\sum\limits_{k=1}^{f}{{}}\left\{ \frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}\delta {{q}_{k}}(t)+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}\frac{d}{dt}\delta {{q}_{k}}(t) \right\} \\
			& \delta W=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt}\sum\limits_{k=1}^{f}{{}}\left\{ \frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}} \right\}\delta {{q}_{k}}(t)=0 \\
			\end{align}</math>


			Da auch hier wieder völlig frei in q variiert werden kann (gilt für beliebige
			:<math>\delta {{q}_{k}}(t),k=1,...,f</math>)


			gilt als Lagrangegleichung 2. Art:


			:<math>\frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}=0</math>


			<u>'''Beispiel: eindimensionaler Oszi'''</u>


			:<math>\begin{align}
			& L=T-V=\frac{m}{2}{{{\dot{q}}}^{2}}-\frac{m{{\omega }^{2}}}{2}{{q}^{2}} \\
			& \delta W=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\delta \left\{ \frac{m}{2}{{{\dot{q}}}^{2}}-\frac{m{{\omega }^{2}}}{2}{{q}^{2}} \right\}} \\
			\end{align}</math>


			Mit Hilfe:


			:<math>\delta {{q}^{2}}=2q\delta q</math>


			ergibt sich:


			:<math>\delta W=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\left\{ -\frac{d}{dt}m\dot{q}-m{{\omega }^{2}}q \right\}}\delta q=0</math>



			:<math>\begin{align}
			& m\ddot{q}-m{{\omega }^{2}}q=0 \\
			& \ddot{q}+{{\omega }^{2}}q=0 \\
			\end{align}</math>


			'''Unterschiede zum d´Alembertschen Prinzip'''

			Das Hamiltonsche Prinzip ist ein Integralprinzip. Das heißt, die integrierte Summe aller Variationen ist extremal, die tatsächliche Bahn (gesamte Bahn) wird also mit einer differenziell benachbarten Bahn verglichen).

			Das Hamiltonsche Prinzip unterliegt dem teleologischen Prinzip. Es ist zweckgebunden. Der Zweck betrifft dabei die Eigenschaften der gesamten Bahn.

			Außerdem ist das Hamiltonprinzip völlig unabhängig von der Koordinatenwahl.

			Wirkung = Energie X Zeit

			Wirkung = Impuls X Ort

			Vergleiche dazu: Plancksches Wirkungsquantum!

			Die Wirkung ist also quantisiert. Zwischen den Größen, die eine Wirkung best9mmen entsteht eine Unschärfe. Somit ist die Wirkung quantisiert und sucht sich in der Natur ein Minimum.

			Allgemein kann man das Hamil5tonsche Wirkungsprinzip natürlich auch formulieren, wenn die Zwangsbedingungen beliebig (nichtholonom) sind und die eingeprägten Kräfte nicht konservativ:

			Seien die eingeprägten Kräfte (nicht konservativer Art) von der Form:


			:<math>{{\bar{X}}_{i}}</math>


			So gilt mit
			:<math>\delta A=\sum\limits_{i}{{{{\bar{X}}}_{i}}\delta {{{\bar{r}}}_{i}}}</math>



			:<math>\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt}\left( \delta T+\delta A \right)=0</math>

4.71.200.50: DOrKhOuJAGSNvF

2011-07-03T12:15:18Z

DOrKhOuJAGSNvF

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	~~SkTRUF <a href~~="http://~~wafxfcjlepaq~~.com/~~">wafxfcjlepaq<~~/a>		FB0C0s , [url=http://hfhklyciegye.com/]hfhklyciegye[/url], [link=http://cbbyewiqiiug.com/]cbbyewiqiiug[/link], http://qnwdbqdlzsru.com/

94.75.251.183: oWPNUhqh

2011-07-02T08:51:09Z

oWPNUhqh

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	~~Home run! Great slugging with that awnesr!~~		SkTRUF <a href="http://wafxfcjlepaq.com/">wafxfcjlepaq</a>

200.146.119.90: QqFvWPqyjG

2011-07-02T04:11:25Z

QqFvWPqyjG

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	~~<noinclude>{{Scripthinweis\|Mechanik\|2\|2}}</noinclude>~~		Home run! Great slugging with that awnesr!
	~~[[File:Leastaction.JPG\|miniatur]]~~
	~~Voraussetzung:~~

	* holonome (integrable) Zwangsbed. → Bedingung fuer Existenz generalisierter Koordinaten (q1,..., qf)
	* konservative Kräfte → Bedingung für Existenz der Lagrangegleichung / Lagrangefunktion
	* <math>L({{q}_{1}},...{{q}_{f}},{{\dot{q}}_{1}},...,{{\dot{q}}_{f}},t)=T-V</math>


	~~Nehmen wir nun die Lgrangegleichung als Funktional:~~


	~~:<math>F=L({{q}_{1}},...{{q}_{f}},{{\dot{q}}_{1}},...,{{\dot{q}}_{f}},t)=T-V</math>~~


	~~Nun ist auch das Variationsprinzip auf mehrere Variablen zu verallgemeinern:~~

	~~Die entstehende Euler- Lagrange- Gleichung entspricht einer Lagrangegleichung 2. Art~~

	~~Integralprinzip entspricht dem Hamiltonschen Wirkungsprinzip~~

	~~Somit erhalten wir bei Integration über die Zeit ein Wirkungsfunktional:~~


	~~:<math>\begin{align}~~
	~~& \delta W=0 \\~~
	~~& W:=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt}F=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt}L({{q}_{1}},...{{q}_{f}},{{{\dot{q}}}_{1}},...,{{{\dot{q}}}_{f}},t)=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt}T-V \\~~
	~~\end{align}</math>~~


	~~Bei Berechnung der Variation erhalten wir:~~


	~~:<math>\begin{align}~~
	~~& \delta W=0 \\~~
	& \delta W=\delta \int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt}F=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt}\sum\limits_{k=1}^{f}{{}}\left\{ \frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}\delta {{q}_{k}}(t)+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}\frac{d}{dt}\delta {{q}_{k}}(t) \right\} \\
	& \delta W=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt}\sum\limits_{k=1}^{f}{{}}\left\{ \frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}} \right\}\delta {{q}_{k}}(t)=0 \\
	~~\end{align}</math>~~


	~~Da auch hier wieder völlig frei in q variiert werden kann (gilt für beliebige~~
	~~:<math>\delta {{q}_{k}}(t),k=1,...,f</math>)~~


	~~gilt als Lagrangegleichung 2. Art:~~


	~~:<math>\frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}=0</math>~~


	~~<u>'''Beispiel: eindimensionaler Oszi'''</u>~~


	~~:<math>\begin{align}~~
	~~& L=T-V=\frac{m}{2}{{{\dot{q}}}^{2}}-\frac{m{{\omega }^{2}}}{2}{{q}^{2}} \\~~
	~~& \delta W=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\delta \left\{ \frac{m}{2}{{{\dot{q}}}^{2}}-\frac{m{{\omega }^{2}}}{2}{{q}^{2}} \right\}} \\~~
	~~\end{align}</math>~~


	~~Mit Hilfe:~~


	~~:<math>\delta {{q}^{2}}=2q\delta q</math>~~


	~~ergibt sich:~~


	~~:<math>\delta W=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\left\{ -\frac{d}{dt}m\dot{q}-m{{\omega }^{2}}q \right\}}\delta q=0</math>~~



	~~:<math>\begin{align}~~
	~~& m\ddot{q}-m{{\omega }^{2}}q=0 \\~~
	~~& \ddot{q}+{{\omega }^{2}}q=0 \\~~
	~~\end{align}</math>~~


	~~'''Unterschiede zum d´Alembertschen Prinzip'''~~

	Das Hamiltonsche Prinzip ist ein Integralprinzip. Das heißt, die integrierte Summe aller Variationen ist extremal, die tatsächliche Bahn (gesamte Bahn) wird also mit einer differenziell benachbarten Bahn verglichen).

	~~Das Hamiltonsche Prinzip unterliegt dem teleologischen Prinzip. Es ist zweckgebunden. Der Zweck betrifft dabei die Eigenschaften der gesamten Bahn.~~

	~~Außerdem ist das Hamiltonprinzip völlig unabhängig von der Koordinatenwahl.~~

	~~Wirkung = Energie X Zeit~~

	~~Wirkung = Impuls X Ort~~

	~~Vergleiche dazu: Plancksches Wirkungsquantum~~!

	~~Die Wirkung ist also quantisiert. Zwischen den Größen, die eine Wirkung best9mmen entsteht eine Unschärfe. Somit ist die Wirkung quantisiert und sucht sich in der Natur ein Minimum.~~

	~~Allgemein kann man das Hamil5tonsche Wirkungsprinzip natürlich auch formulieren, wenn die Zwangsbedingungen beliebig (nichtholonom) sind und die eingeprägten Kräfte nicht konservativ:~~

	~~Seien die eingeprägten Kräfte (nicht konservativer Art) von der Form:~~


	~~:<math>{{\bar{X}}_{i}}</math>~~


	~~So gilt mit~~
	~~:<math>\delta A=\sum\limits_{i}{{{{\bar{X}}}_{i}}\delta {{{\bar{r}}}_{i}}}</math>~~



	~~:<math>\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt}\left( \delta T+\delta A \right)=0</math>~~

*>SchuBot: Interpunktion, replaced: ) → ) (3), ( → ( (6)

2010-09-12T22:25:25Z

Interpunktion, replaced: ) → ) (3), ( → ( (6)

*>SchuBot: Pfeile einfügen, replaced: -> → → (2)

2010-09-12T19:44:44Z

Pfeile einfügen, replaced: -> → → (2)

← Older revision		Revision as of 21:44, 12 September 2010
Line 3:		Line 3:
	Voraussetzung:		Voraussetzung:

	* holonome ( integrable) Zwangsbed. -> Bedingung fuer Existenz generalisierter Koordinaten ( q1,..., qf)		* holonome ( integrable) Zwangsbed. → Bedingung fuer Existenz generalisierter Koordinaten ( q1,..., qf)
	* konservative Kräfte -> Bedingung für Existenz der Lagrangegleichung / Lagrangefunktion		* konservative Kräfte → Bedingung für Existenz der Lagrangegleichung / Lagrangefunktion
	* <math>L({{q}_{1}},...{{q}_{f}},{{\dot{q}}_{1}},...,{{\dot{q}}_{f}},t)=T-V</math>		* <math>L({{q}_{1}},...{{q}_{f}},{{\dot{q}}_{1}},...,{{\dot{q}}_{f}},t)=T-V</math>

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T15:24:16Z

Einrückungen Mathematik

← Older revision		Revision as of 17:24, 12 September 2010
Line 11:		Line 11:


	<math>F=L({{q}_{1}},...{{q}_{f}},{{\dot{q}}_{1}},...,{{\dot{q}}_{f}},t)=T-V</math>		:<math>F=L({{q}_{1}},...{{q}_{f}},{{\dot{q}}_{1}},...,{{\dot{q}}_{f}},t)=T-V</math>


Line 23:		Line 23:


	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& \delta W=0 \\		& \delta W=0 \\
	& W:=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt}F=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt}L({{q}_{1}},...{{q}_{f}},{{{\dot{q}}}_{1}},...,{{{\dot{q}}}_{f}},t)=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt}T-V \\		& W:=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt}F=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt}L({{q}_{1}},...{{q}_{f}},{{{\dot{q}}}_{1}},...,{{{\dot{q}}}_{f}},t)=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt}T-V \\
Line 32:		Line 32:


	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& \delta W=0 \\		& \delta W=0 \\
	& \delta W=\delta \int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt}F=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt}\sum\limits_{k=1}^{f}{{}}\left\{ \frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}\delta {{q}_{k}}(t)+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}\frac{d}{dt}\delta {{q}_{k}}(t) \right\} \\		& \delta W=\delta \int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt}F=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt}\sum\limits_{k=1}^{f}{{}}\left\{ \frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}\delta {{q}_{k}}(t)+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}\frac{d}{dt}\delta {{q}_{k}}(t) \right\} \\
Line 40:		Line 40:

	Da auch hier wieder völlig frei in q variiert werden kann ( gilt für beliebige		Da auch hier wieder völlig frei in q variiert werden kann ( gilt für beliebige
	<math>\delta {{q}_{k}}(t),k=1,...,f</math>		:<math>\delta {{q}_{k}}(t),k=1,...,f</math>
	)		)

Line 46:		Line 46:


	<math>\frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}=0</math>		:<math>\frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}=0</math>


Line 52:		Line 52:


	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& L=T-V=\frac{m}{2}{{{\dot{q}}}^{2}}-\frac{m{{\omega }^{2}}}{2}{{q}^{2}} \\		& L=T-V=\frac{m}{2}{{{\dot{q}}}^{2}}-\frac{m{{\omega }^{2}}}{2}{{q}^{2}} \\
	& \delta W=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\delta \left\{ \frac{m}{2}{{{\dot{q}}}^{2}}-\frac{m{{\omega }^{2}}}{2}{{q}^{2}} \right\}} \\		& \delta W=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\delta \left\{ \frac{m}{2}{{{\dot{q}}}^{2}}-\frac{m{{\omega }^{2}}}{2}{{q}^{2}} \right\}} \\
Line 61:		Line 61:


	<math>\delta {{q}^{2}}=2q\delta q</math>		:<math>\delta {{q}^{2}}=2q\delta q</math>


Line 67:		Line 67:


	<math>\delta W=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\left\{ -\frac{d}{dt}m\dot{q}-m{{\omega }^{2}}q \right\}}\delta q=0</math>		:<math>\delta W=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\left\{ -\frac{d}{dt}m\dot{q}-m{{\omega }^{2}}q \right\}}\delta q=0</math>



	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& m\ddot{q}-m{{\omega }^{2}}q=0 \\		& m\ddot{q}-m{{\omega }^{2}}q=0 \\
	& \ddot{q}+{{\omega }^{2}}q=0 \\		& \ddot{q}+{{\omega }^{2}}q=0 \\
Line 98:		Line 98:


	<math>{{\bar{X}}_{i}}</math>		:<math>{{\bar{X}}_{i}}</math>


	So gilt mit		So gilt mit
	<math>\delta A=\sum\limits_{i}{{{{\bar{X}}}_{i}}\delta {{{\bar{r}}}_{i}}}</math>		:<math>\delta A=\sum\limits_{i}{{{{\bar{X}}}_{i}}\delta {{{\bar{r}}}_{i}}}</math>



	<math>\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt}\left( \delta T+\delta A \right)=0</math>		:<math>\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt}\left( \delta T+\delta A \right)=0</math>

Schubotz at 17:26, 28 August 2010

2010-08-28T17:26:57Z

← Older revision		Revision as of 19:26, 28 August 2010
Line 1:		Line 1:
	<noinclude>{{Scripthinweis\|Mechanik\|2\|2}}</noinclude>		<noinclude>{{Scripthinweis\|Mechanik\|2\|2}}</noinclude>
			[[File:Leastaction.JPG\|miniatur]]
	Voraussetzung:		Voraussetzung:

	* holonome ( integrable) Zwangsbed. -> Bedingung fuer Existenz generalisierter Koordinaten ( q1,..., qf)		* holonome ( integrable) Zwangsbed. -> Bedingung fuer Existenz generalisierter Koordinaten ( q1,..., qf)
	* konservative Kräfte -> Bedingung für Existenz der Lagrangegleichung / Lagrangefunktion		* konservative Kräfte -> Bedingung für Existenz der Lagrangegleichung / Lagrangefunktion
	*		* <math>L({{q}_{1}},...{{q}_{f}},{{\dot{q}}_{1}},...,{{\dot{q}}_{f}},t)=T-V</math>
	<math>L({{q}_{1}},...{{q}_{f}},{{\dot{q}}_{1}},...,{{\dot{q}}_{f}},t)=T-V</math>

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Mechanik|2|2}} Voraussetzung: * holonome ( integrable) Zwangsbed. -> Bedingung fuer Existenz generalisierter Koordinaten …“

2010-08-28T16:02:36Z

Die Seite wurde neu angelegt: „<noinclude>{{Scripthinweis|Mechanik|2|2}}</noinclude> Voraussetzung: * holonome ( integrable) Zwangsbed. -> Bedingung fuer Existenz generalisierter Koordinaten …“

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<noinclude>{{Scripthinweis|Mechanik|2|2}}</noinclude>

Voraussetzung:

* holonome ( integrable) Zwangsbed. -> Bedingung fuer Existenz generalisierter Koordinaten ( q1,..., qf)
* konservative Kräfte -> Bedingung für Existenz der Lagrangegleichung / Lagrangefunktion
*
<math>L({{q}_{1}},...{{q}_{f}},{{\dot{q}}_{1}},...,{{\dot{q}}_{f}},t)=T-V</math>

Nehmen wir nun die Lgrangegleichung als Funktional:

<math>F=L({{q}_{1}},...{{q}_{f}},{{\dot{q}}_{1}},...,{{\dot{q}}_{f}},t)=T-V</math>

Nun ist auch das Variationsprinzip auf mehrere Variablen zu verallgemeinern:

Die entstehende Euler- Lagrange- Gleichung entspricht einer Lagrangegleichung 2. Art

Integralprinzip entspricht dem Hamiltonschen Wirkungsprinzip

Somit erhalten wir bei Integration über die Zeit ein Wirkungsfunktional:

<math>\begin{align}
& \delta W=0 \\
& W:=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt}F=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt}L({{q}_{1}},...{{q}_{f}},{{{\dot{q}}}_{1}},...,{{{\dot{q}}}_{f}},t)=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt}T-V \\
\end{align}</math>

Bei Berechnung der Variation erhalten wir:

<math>\begin{align}
& \delta W=0 \\
& \delta W=\delta \int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt}F=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt}\sum\limits_{k=1}^{f}{{}}\left\{ \frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}\delta {{q}_{k}}(t)+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}\frac{d}{dt}\delta {{q}_{k}}(t) \right\} \\
& \delta W=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt}\sum\limits_{k=1}^{f}{{}}\left\{ \frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}} \right\}\delta {{q}_{k}}(t)=0 \\
\end{align}</math>

Da auch hier wieder völlig frei in q variiert werden kann ( gilt für beliebige
<math>\delta {{q}_{k}}(t),k=1,...,f</math>
)

gilt als Lagrangegleichung 2. Art:

<math>\frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}=0</math>

<u>'''Beispiel: eindimensionaler Oszi'''</u>

<math>\begin{align}
& L=T-V=\frac{m}{2}{{{\dot{q}}}^{2}}-\frac{m{{\omega }^{2}}}{2}{{q}^{2}} \\
& \delta W=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\delta \left\{ \frac{m}{2}{{{\dot{q}}}^{2}}-\frac{m{{\omega }^{2}}}{2}{{q}^{2}} \right\}} \\
\end{align}</math>

Mit Hilfe:

<math>\delta {{q}^{2}}=2q\delta q</math>

ergibt sich:

<math>\delta W=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\left\{ -\frac{d}{dt}m\dot{q}-m{{\omega }^{2}}q \right\}}\delta q=0</math>

<math>\begin{align}
& m\ddot{q}-m{{\omega }^{2}}q=0 \\
& \ddot{q}+{{\omega }^{2}}q=0 \\
\end{align}</math>

'''Unterschiede zum d´Alembertschen Prinzip'''

Das Hamiltonsche Prinzip ist ein Integralprinzip. Das heißt, die integrierte Summe aller Variationen ist extremal, die tatsächliche Bahn ( gesamte Bahn) wird also mit einer differenziell benachbarten Bahn verglichen ).

Das Hamiltonsche Prinzip unterliegt dem teleologischen Prinzip. Es ist zweckgebunden. Der Zweck betrifft dabei die Eigenschaften der gesamten Bahn.

Außerdem ist das Hamiltonprinzip völlig unabhängig von der Koordinatenwahl.

Wirkung = Energie X Zeit

Wirkung = Impuls X Ort

Vergleiche dazu: Plancksches Wirkungsquantum !

Die Wirkung ist also quantisiert . Zwischen den Größen, die eine Wirkung best9mmen entsteht eine Unschärfe. Somit ist die Wirkung quantisiert und sucht sich in der Natur ein Minimum.

Allgemein kann man das Hamil5tonsche Wirkungsprinzip natürlich auch formulieren, wenn die Zwangsbedingungen beliebig ( nichtholonom) sind und die eingeprägten Kräfte nicht konservativ:

Seien die eingeprägten Kräfte ( nicht konservativer Art) von der Form:

<math>{{\bar{X}}_{i}}</math>

So gilt mit
<math>\delta A=\sum\limits_{i}{{{{\bar{X}}}_{i}}\delta {{{\bar{r}}}_{i}}}</math>

<math>\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt}\left( \delta T+\delta A \right)=0</math>

← Older revision		Revision as of 00:25, 13 September 2010
Line 3:		Line 3:
	Voraussetzung:		Voraussetzung:

	* holonome ( integrable) Zwangsbed. → Bedingung fuer Existenz generalisierter Koordinaten ( q1,..., qf)		* holonome (integrable) Zwangsbed. → Bedingung fuer Existenz generalisierter Koordinaten (q1,..., qf)
	* konservative Kräfte → Bedingung für Existenz der Lagrangegleichung / Lagrangefunktion		* konservative Kräfte → Bedingung für Existenz der Lagrangegleichung / Lagrangefunktion
	* <math>L({{q}_{1}},...{{q}_{f}},{{\dot{q}}_{1}},...,{{\dot{q}}_{f}},t)=T-V</math>		* <math>L({{q}_{1}},...{{q}_{f}},{{\dot{q}}_{1}},...,{{\dot{q}}_{f}},t)=T-V</math>
Line 39:		Line 39:


	Da auch hier wieder völlig frei in q variiert werden kann ( gilt für beliebige		Da auch hier wieder völlig frei in q variiert werden kann (gilt für beliebige
	:<math>\delta {{q}_{k}}(t),k=1,...,f</math>		:<math>\delta {{q}_{k}}(t),k=1,...,f</math>)
	)

	gilt als Lagrangegleichung 2. Art:		gilt als Lagrangegleichung 2. Art:
Line 79:		Line 79:
	'''Unterschiede zum d´Alembertschen Prinzip'''		'''Unterschiede zum d´Alembertschen Prinzip'''

	Das Hamiltonsche Prinzip ist ein Integralprinzip. Das heißt, die integrierte Summe aller Variationen ist extremal, die tatsächliche Bahn ( gesamte Bahn) wird also mit einer differenziell benachbarten Bahn verglichen ).		Das Hamiltonsche Prinzip ist ein Integralprinzip. Das heißt, die integrierte Summe aller Variationen ist extremal, die tatsächliche Bahn (gesamte Bahn) wird also mit einer differenziell benachbarten Bahn verglichen).

	Das Hamiltonsche Prinzip unterliegt dem teleologischen Prinzip. Es ist zweckgebunden. Der Zweck betrifft dabei die Eigenschaften der gesamten Bahn.		Das Hamiltonsche Prinzip unterliegt dem teleologischen Prinzip. Es ist zweckgebunden. Der Zweck betrifft dabei die Eigenschaften der gesamten Bahn.
Line 89:		Line 89:
	Wirkung = Impuls X Ort		Wirkung = Impuls X Ort

	Vergleiche dazu: Plancksches Wirkungsquantum !		Vergleiche dazu: Plancksches Wirkungsquantum!

	Die Wirkung ist also quantisiert . Zwischen den Größen, die eine Wirkung best9mmen entsteht eine Unschärfe. Somit ist die Wirkung quantisiert und sucht sich in der Natur ein Minimum.		Die Wirkung ist also quantisiert. Zwischen den Größen, die eine Wirkung best9mmen entsteht eine Unschärfe. Somit ist die Wirkung quantisiert und sucht sich in der Natur ein Minimum.

	Allgemein kann man das Hamil5tonsche Wirkungsprinzip natürlich auch formulieren, wenn die Zwangsbedingungen beliebig ( nichtholonom) sind und die eingeprägten Kräfte nicht konservativ:		Allgemein kann man das Hamil5tonsche Wirkungsprinzip natürlich auch formulieren, wenn die Zwangsbedingungen beliebig (nichtholonom) sind und die eingeprägten Kräfte nicht konservativ:

	Seien die eingeprägten Kräfte ( nicht konservativer Art) von der Form:		Seien die eingeprägten Kräfte (nicht konservativer Art) von der Form: