D'Alembertsches Prinzip der virtuellen Arbeit - Revision history

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Interpunktion, replaced: , → ,, ( → ( (2)

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	Bestimme die Richtung der Zwangskraft und multipliziere einen beliebigen skalaren Faktor mit dieser Richtung.		Bestimme die Richtung der Zwangskraft und multipliziere einen beliebigen skalaren Faktor mit dieser Richtung.

	Falls die Richtungen für verschiedene Zwangskräfte verschieden sind, so muss man diese indizieren ( mit einem Index kenntlich machen). Die Zwangskräfte erhalten dann ebenso indizierte skalare Faktoren.		Falls die Richtungen für verschiedene Zwangskräfte verschieden sind, so muss man diese indizieren (mit einem Index kenntlich machen). Die Zwangskräfte erhalten dann ebenso indizierte skalare Faktoren.

	Mit Hilfe des 3. Newtonschen Axioms können wir weiter einschränken:		Mit Hilfe des 3. Newtonschen Axioms können wir weiter einschränken:
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	Beispiel für ein {{FB\|Variationsprinzip}}:		Beispiel für ein {{FB\|Variationsprinzip}}:

	{{FB\|Differentialprinzip}}: ( für infinitesimal kleine Variationen):		{{FB\|Differentialprinzip}}: (für infinitesimal kleine Variationen):

	Der wirklich angenommene Zustand eines Systems ist in Extremalzustand in dem Sinn, dass die gesamte virtuelle Arbeit Null ist. Dieser Zustand ist stabil gegen kleine Verrückungen der Bahn		Der wirklich angenommene Zustand eines Systems ist in Extremalzustand in dem Sinn, dass die gesamte virtuelle Arbeit Null ist. Dieser Zustand ist stabil gegen kleine Verrückungen der Bahn
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	{{Beispiel\|Beispiel Atwoodsche Fallmaschine		{{Beispiel\|Beispiel Atwoodsche Fallmaschine
	[[Datei:~~Atwoods_machine_functionally~~.svg\|miniatur\|Atwoods Fallmaschine]]		[[Datei:Atwoods machine functionally.svg\|miniatur\|Atwoods Fallmaschine]]
	Aus der Schule bekannt ist die Kraft, die an m1 angreift, nämlich -m1g und die Kraft , die an m2 angreift, nämlich -m2g.		Aus der Schule bekannt ist die Kraft, die an m1 angreift, nämlich -m1g und die Kraft, die an m2 angreift, nämlich -m2g.
	Beginnen wir mit dem d´Alembertschen Prinzip:		Beginnen wir mit dem d´Alembertschen Prinzip:

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T15:23:44Z

Einrückungen Mathematik

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2010-09-12T15:03:11Z

Einrückungen Mathematik

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	<math>\delta \|r\|=\delta {{(\vec{r}\cdot \vec{r})}^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2}{{(\vec{r}\cdot \vec{r})}^{-\frac{1}{2}}}2\vec{r}\delta \vec{r}=\frac{\vec{r}\delta \vec{r}}{r}</math>		<math>\delta \|r\|=\delta {{(\vec{r}\cdot \vec{r})}^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2}{{(\vec{r}\cdot \vec{r})}^{-\frac{1}{2}}}2\vec{r}\delta \vec{r}=\frac{\vec{r}\delta \vec{r}}{r}</math> und <math>{{\delta }_{{}}}{{r}_{ij}}=0</math>


	und


	<math>{{\delta }_{{}}}{{r}_{ij}}=0</math>

	}}		}}

Schubotz: /* Variationsprinzip mit Nebenbedingungen */

2010-08-28T14:26:03Z

Variationsprinzip mit Nebenbedingungen

Schubotz: /* Allgemeine Forderung */

2010-08-28T13:32:03Z

Allgemeine Forderung

← Older revision		Revision as of 15:32, 28 August 2010
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	Das d´Alembertsche Prinzip gilt gleichermaßen für holonome und anholonome Zwangsbedingungen		Das d´Alembertsche Prinzip gilt gleichermaßen für holonome und anholonome Zwangsbedingungen

	Beispiel für ein {{FB\|Variationsprinzip}}:'		Beispiel für ein {{FB\|Variationsprinzip}}:

	{{FB\|Differentialprinzip}}: ( für infinitesimal kleine Variationen):		{{FB\|Differentialprinzip}}: ( für infinitesimal kleine Variationen):

	Der wirklich angenommene Zustand eines Systems ist in Extremalzustand in dem Sinn, dass die gesamte virtuelle Arbeit Null ist. Dieser Zustand ist stabil gegen kleine Verrückungen der Bahn		Der wirklich angenommene Zustand eines Systems ist in Extremalzustand in dem Sinn, dass die gesamte virtuelle Arbeit Null ist. Dieser Zustand ist stabil gegen kleine Verrückungen der Bahn
	<math>\left\{ \delta {{{\vec{r}}}_{i}} \right\}</math>		<math>\left\{ \delta {{{\vec{r}}}_{i}} \right\}</math>.
	.

	==Variationsprinzip mit Nebenbedingungen==		==Variationsprinzip mit Nebenbedingungen==

Schubotz at 13:30, 28 August 2010

2010-08-28T13:30:27Z

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Schubotz at 17:52, 27 August 2010

2010-08-27T17:52:28Z

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	{{Scripthinweis\|Mechanik\|1\|3}}		<noinclude>{{Scripthinweis\|Mechanik\|1\|3}}</noinclude>

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Mechanik|1|3}} Gegeben sei ein System von N Massepunkten mit beliebigen ( holonomen oder nicht holonomen) Zwangsbed. Schreiben wir die Bewegung…“

2010-08-23T14:00:13Z

Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Mechanik|1|3}} Gegeben sei ein System von N Massepunkten mit beliebigen ( holonomen oder nicht holonomen) Zwangsbed. Schreiben wir die Bewegung…“

New page

{{Scripthinweis|Mechanik|1|3}}

Gegeben sei ein System von N Massepunkten mit beliebigen ( holonomen oder nicht holonomen) Zwangsbed.

Schreiben wir die Bewegungsgleichungen mit den Zwangskräften Zi als:

<math>\begin{align}
& {{m}_{i}}{{{\ddot{\vec{r}}}}_{i}}(t)-{{{\vec{X}}}_{i}}={{{\vec{Z}}}_{i}}\quad i=1...N \\
& \to \sum\limits_{i}{\left( {{m}_{i}}{{{\ddot{\vec{r}}}}_{i}}(t)-{{{\vec{X}}}_{i}} \right)\delta {{{\vec{r}}}_{i}}=}\sum\limits_{i}{{{{\vec{Z}}}_{i}}\delta {{{\vec{r}}}_{i}}} \\
\end{align}</math>

{{Def|;Dabei versteht man
:<math>\sum\limits_{i}{{{{\vec{X}}}_{i}}\delta {{{\vec{r}}}_{i}}}</math> als virtuelle Arbeit der eingeprägten Kräfte und
:<math>\sum\limits_{i}{{{{\vec{Z}}}_{i}}\delta {{{\vec{r}}}_{i}}}</math> als virtuelle Arbeit der Zwangskräfte.|Virtuelle Arbeit}}

{{Beispiel|<u>'''Beispiel: Bewegung auf einer Fläche'''</u>

<math>f({{\vec{r}}_{i}},t)=0</math>

das ist auf der Ebene gerade durch die Normale auszudrücken:

<math>\vec{a}\cdot (\vec{r}-{{\vec{r}}_{o}}(t))=0</math>

Annahme: Alle Zwangskräfte stehen senkrecht auf die Fläche:

<math>\begin{align}
& {{{\vec{Z}}}_{i}}={{\lambda }_{i}}({{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}},...,{{{\vec{r}}}_{N}}){{\nabla }_{ri}}f \\
& {{\nabla }_{ri}}f\quad z.B.\vec{a}\ f\ddot{u}r\ Ebene \\
\end{align}</math>

Die Virtuelle Arbeit der Zwangskräfte verschwindet nun:

<math>{{\vec{Z}}_{i}}\delta {{\vec{r}}_{i}}=0={{\lambda }_{i}}({{\vec{r}}_{1}},{{\vec{r}}_{2}},...,{{\vec{r}}_{N}}){{\nabla }_{ri}}f\delta {{\vec{r}}_{i}}={{\lambda }_{i}}\delta f</math>

Begründung:

<math>{{\nabla }_{ri}}f\delta {{\vec{r}}_{i}}</math>
ist als Variation der Zwangsbedingung zu verstehen:

<math>{{\nabla }_{ri}}f</math>
ist ein Differenzial senkrecht auf die Fläche

<math>f\delta {{\vec{r}}_{i}}</math>
ein Differenzial parallel zur Fläche

Also folgt:

<math>\sum\limits_{i}{{{{\vec{Z}}}_{i}}\delta {{{\vec{r}}}_{i}}}=0</math>

Die reale Arbeit der Zwangskräfte verschwindet dagegen im Allgemeinen nicht:

<math>\sum\limits_{i}{{{{\vec{Z}}}_{i}}d{{{\vec{r}}}_{i}}}\ne 0</math>
}}
{{Beispiel|
'''Beispiel: Starrer Körper'''

<math>{{f}_{\lambda }}=\left| {{{\vec{r}}}_{i}}-{{{\vec{r}}}_{j}} \right|-{{l}_{ij}}:={{r}_{ij}}-{{l}_{ij}}=0</math>

Annahme: Die Zwangskräfte wirken in Richtung
<math>{{\vec{r}}_{i}}-{{\vec{r}}_{j}}</math>

<math>{{\vec{Z}}_{ij}}={{\lambda }_{ij}}\frac{{{{\vec{r}}}_{i}}-{{{\vec{r}}}_{j}}}{{{r}_{ij}}}</math>

Das Vorgehen läßt sich also folgendermaßen schematisieren:

Bestimme die Richtung der Zwangskraft und multipliziere einen beliebigen skalaren Faktor mit dieser Richtung.

Falls die Richtungen für verschiedene Zwangskräfte verschieden sind, so muss man diese indizieren ( mit einem Index kenntlich machen). Die Zwangskräfte erhalten dann ebenso indizierte skalare Faktoren.

Mit Hilfe des 3. Newtonschen Axioms können wir weiter einschränken:

<math>{{\vec{Z}}_{ij}}=-{{\vec{Z}}_{ji}}\Rightarrow {{\lambda }_{i{{j}_{{}}}}}={{\lambda }_{ji}}</math>

Auf das Teilchen i wirkt also insgesamt die Zwangskraft:

<math>{{\vec{Z}}_{i}}=\sum\limits_{j\ne i}{{{Z}_{ij}}}=\sum\limits_{j}{{{\lambda }_{ij}}\frac{{{{\vec{r}}}_{i}}-{{{\vec{r}}}_{j}}}{{{r}_{ij}}}}</math>

<math>{{\vec{Z}}_{i}}\delta {{\vec{r}}_{i}}\ne 0</math>
im Allgemeinen. Es verschwindet also nicht die virtuelle Arbeit für jede Masse einzeln.

Jedoch gilt:

<math>\sum\limits_{i}{{{{\vec{Z}}}_{i}}{{\delta }_{{}}}{{{\vec{r}}}_{i}}}=\sum\limits_{i,j}{{{\lambda }_{ij}}\frac{{{{\vec{r}}}_{i}}-{{{\vec{r}}}_{j}}}{{{r}_{ij}}}{{\delta }_{{}}}{{{\vec{r}}}_{i}}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{i,j}{{{\lambda }_{ij}}\frac{{{{\vec{r}}}_{i}}-{{{\vec{r}}}_{j}}}{{{r}_{ij}}}}{{\delta }_{{}}}{{({{\vec{r}}_{i}}-{{\vec{r}}_{j}})}_{{}}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{i,j}{{{\lambda }_{ij}}}{{\delta }_{{}}}{{r}_{ij}}=0</math>

Beweis:

<math>\delta |r|=\delta {{(\vec{r}\cdot \vec{r})}^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2}{{(\vec{r}\cdot \vec{r})}^{-\frac{1}{2}}}2\vec{r}\delta \vec{r}=\frac{\vec{r}\delta \vec{r}}{r}</math>

und

<math>{{\delta }_{{}}}{{r}_{ij}}=0</math>

}}
Allgemein kann man fordern:

<math>\sum\limits_{i}{{{{\vec{Z}}}_{i}}{{\delta }_{{}}}{{{\vec{r}}}_{i}}}=0</math>
für alle betrachteten Zwangskräfte.

Das bedeutet: Gleitreibungskräfte längs einer Fläche sind als Zwangskräfte ausgeschlossen.

Somit folgt als d'Alembertsches Prinzip:

<math>\sum\limits_{i}{{{{\vec{Z}}}_{i}}{{\delta }_{{}}}{{{\vec{r}}}_{i}}}=\sum\limits_{i}{\left( {{m}_{i}}{{{\ddot{\vec{r}}}}_{i}}-{{{\vec{X}}}_{i}} \right)}\delta {{\vec{r}}_{i}}=0</math>

Das d´Alembertsche Prinzip gilt gleichermaßen für holonome und anholonome Zwangsbedingungen

<u>'''Beispiel für ein Variationsprinzip:'''</u>

'''Differentialprinzip: ( für infinitesimal kleine Variationen):'''

Der wirklich angenommene Zustand eines Systems ist in Extremalzustand in dem Sinn, dass die gesamte virtuelle Arbeit Null ist. Dieser Zustand ist stabil gegen kleine Verrückungen der Bahn
<math>\left\{ \delta {{{\vec{r}}}_{i}} \right\}</math>
.

====Variationsprinzip mit Nebenbedingungen====

Wir numerieren nun die Vektorkoordinaten um:

<math>\begin{align}
& \vec{r}\to {{r}_{j}}(j=1...3) \\
& \vec{X}\to {{X}_{j}} \\
& \vec{a}\to {{b}_{j}}^{n} \\
\end{align}</math>

Aus dem d´Alembertschen Prinzip gewinnen wir:

<math>\sum\limits_{i=1}^{3N}{{{Z}_{i}}{{\delta }_{{}}}{{r}_{i}}}=\sum\limits_{i=1}^{3N}{\left( {{m}_{i}}{{{\ddot{r}}}_{i}}-{{X}_{i}} \right)\delta {{r}_{i}}=0}</math>

Nebenbedingung:

<math>\sum\limits_{i=1}^{3N}{{{b}_{i}}^{n}\delta {{r}_{i}}=0\quad n=1,...,\nu }</math>

Nü charakterisiert auch hier die Zahl der Nebenbedingungen, der Index n steht für die n-te Nebenbedingung

Dies ist lösbar mit der Methode der Lagrange-Multiplikatoren.

Denn: Wenn die Vektorkomponenten
<math>{{r}_{i}}</math>
frei variierbar wären, also
<math>\delta {{r}_{i}}</math>
beliebig, so müsste gelten:

<math>{{m}_{i}}{{\ddot{r}}_{i}}-{{X}_{i}}=0</math>

Also wäre es sinnvoll, das lineare Gleichungssystem so umzuschreiben, dass ein Satz von Faktoren frei variierbar ist:

Zuerst addieren wir die Nebenbedingungen mit noch beliebigen Lagrangemultiplikatoren
<math>{{\lambda }_{n}}</math>
:

Wir erhalten:

<math>\sum\limits_{j=1}^{3N}{\left( {{m}_{j}}{{{\ddot{r}}}_{j}}-{{X}_{j}}-\sum\limits_{n=1}^{\nu }{{{\lambda }_{n}}{{b}_{j}}^{n}} \right)\delta {{r}_{j}}=0}</math>

Nun sind
<math>\delta {{r}_{1}},\delta {{r}_{2}},...,\delta {{r}_{\nu }}</math>
aus den Nebenbedingungen zu eliminieren.

Die verbleibenden
<math>\delta {{r}_{\nu +1}},...,\delta {{r}_{3N}}</math>
sind nun frei variierbar.

Nun kann das Summenzeichen weggelassen werden, da die verbleibenden Vektorkomponenten frei variiert werden können und dementsprechend jeder Summand für sich Null sein muss:

Es lassen sich
<math>{{\lambda }_{1,}}...,{{\lambda }_{\nu }}</math>
derart bestimmen, dass

<math>{{m}_{j}}{{\ddot{r}}_{j}}-{{X}_{j}}-\sum\limits_{n=1}^{\nu }{{{\lambda }_{n}}{{b}_{j}}^{n}}=0\quad j=1,...,\nu </math>

Das heißt, wir suchen die
<math>{{\lambda }_{1,}}...,{{\lambda }_{\nu }}</math>
aus diesem gegebenen linearen Gleichungssystem für die
<math>{{\lambda }_{n}}(t)</math>
als Funktion der
<math>{{\ddot{r}}_{j}}(t)</math>
. Im stationären Fall ist dies direkt auflösbar.

<math>\sum\limits_{j=\nu +1}^{3N}{\left( {{m}_{j}}{{{\ddot{r}}}_{j}}-{{X}_{j}}-\sum\limits_{n=1}^{\nu }{{{\lambda }_{n}}{{b}_{j}}^{n}} \right)\delta {{r}_{j}}=0}</math>

Da hier jedoch die
<math>\delta {{r}_{j}}</math>
frei variierbar sind, gilt:

<math>{{m}_{j}}{{\ddot{r}}_{j}}-{{X}_{j}}-\sum\limits_{n=1}^{\nu }{{{\lambda }_{n}}{{b}_{j}}^{n}}=0</math>

Die Lagrange- Gleichung der 1. Art

<math>\sum\limits_{n=1}^{\nu }{{{\lambda }_{n}}{{b}_{j}}^{n}}</math>
kann als Zwangskraft interpretiert werden und taucht in der Statik als Lagrange- Parameter auf.

====Beispiel Atwoodsche Fallmaschine====

[[Datei:Atwoods_machine_functionally.svg|miniatur|Atwoods Fallmaschine]]

Aus der Schule bekannt ist die Kraft, die an m1 angreift, nämlich -m1g und die Kraft , die an m2 angreift, nämlich -m2g.

Beginnen wir mit dem d´Alembertschen Prinzip:

<math>\sum\limits_{i}{{{{\vec{Z}}}_{i}}{{\delta }_{{}}}{{{\vec{r}}}_{i}}}=\sum\limits_{i}{\left( {{m}_{i}}{{{\ddot{\vec{r}}}}_{i}}-{{{\vec{X}}}_{i}} \right)}\delta {{\vec{r}}_{i}}=0</math>

so folgt:

<math>({{m}_{1}}{{\ddot{h}}_{1}}-{{X}_{1}})\delta {{h}_{1}}+({{m}_{2}}{{\ddot{h}}_{2}}-{{X}_{2}})\delta {{h}_{2}}=0</math>

Da der Aufbau nur ein Rädchen besitzt gilt ganz einfach:

<math>\begin{align}
& {{h}_{1}}+{{h}_{2}}=const. \\
& \delta {{h}_{1}}=-\delta {{h}_{2}} \\
& {{{\ddot{h}}}_{1}}=-{{{\ddot{h}}}_{2}} \\
\end{align}</math>

Also folgt:

<math>({{m}_{1}}{{\ddot{h}}_{1}}+{{m}_{1}}g)\delta {{h}_{1}}-(-{{m}_{2}}{{\ddot{h}}_{1}}+{{m}_{2}}g)\delta {{h}_{1}}=0</math>

<math>{{m}_{1}}{{\ddot{h}}_{1}}+{{m}_{1}}g+{{m}_{2}}{{\ddot{h}}_{1}}-{{m}_{2}}g=0</math>

<math>{{\ddot{h}}_{1}}=\frac{({{m}_{2}}-{{m}_{1}})}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}g</math>

Also: Am bedeutendsten ist das d´Alembertsche Prinzip, welches sagt, dass die Summe über alle virtuellen Arbeiten der Zwangskräfte Null ist:

<math>\sum\limits_{i}{{{{\vec{Z}}}_{i}}{{\delta }_{{}}}{{{\vec{r}}}_{i}}}=\sum\limits_{i}{\left( {{m}_{i}}{{{\ddot{\vec{r}}}}_{i}}-{{{\vec{X}}}_{i}} \right)}\delta {{\vec{r}}_{i}}=0</math>

← Older revision		Revision as of 16:26, 28 August 2010
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	<math>\nu<\math> charakterisiert auch hier die Zahl der Nebenbedingungen, der Index n steht für die n-te Nebenbedingung		<math>\nu</math> charakterisiert auch hier die Zahl der Nebenbedingungen, der Index n steht für die n-te Nebenbedingung

	Dies ist lösbar mit der {{FB\|Methode der Lagrange-Multiplikatoren}}.		Dies ist lösbar mit der {{FB\|Methode der Lagrange-Multiplikatoren}}.
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	** <math>\sum\limits_{j=\nu +1}^{3N}{\left( {{m}_{j}}{{{\ddot{r}}}_{j}}-{{X}_{j}}-\sum\limits_{n=1}^{\nu }{{{\lambda }_{n}}{{b}_{j}}^{n}} \right)\delta {{r}_{j}}=0}</math>		** <math>\sum\limits_{j=\nu +1}^{3N}{\left( {{m}_{j}}{{{\ddot{r}}}_{j}}-{{X}_{j}}-\sum\limits_{n=1}^{\nu }{{{\lambda }_{n}}{{b}_{j}}^{n}} \right)\delta {{r}_{j}}=0}</math>
	**Da hier jedoch die <math>\delta {{r}_{j}}</math> frei variierbar sind, gilt:		**Da hier jedoch die <math>\delta {{r}_{j}}</math> frei variierbar sind, gilt:
	**{{Def\|math>{{m}_{j}}{{\ddot{r}}_{j}}-{{X}_{j}}-\sum\limits_{n=1}^{\nu }{{{\lambda }_{n}}{{b}_{j}}^{n}}=0</math>Lagrange- Gleichung der 1. Art\|Lagrange- Gleichung der 1. Art}}		{{Def\|<math>{{m}_{j}}{{\ddot{r}}_{j}}-{{X}_{j}}-\sum\limits_{n=1}^{\nu }{{{\lambda }_{n}}{{b}_{j}}^{n}}=0</math>'''Lagrange- Gleichung der 1. Art'''\|Lagrange- Gleichung der 1. Art}}
	**<math>\sum\limits_{n=1}^{\nu }{{{\lambda }_{n}}{{b}_{j}}^{n}}</math> kann als Zwangskraft interpretiert werden und taucht in der Statik als Lagrange- Parameter auf.		<math>\sum\limits_{n=1}^{\nu }{{{\lambda }_{n}}{{b}_{j}}^{n}}</math> kann als Zwangskraft interpretiert werden und taucht in der Statik als Lagrange- Parameter auf.

	{{Beispiel\|Beispiel Atwoodsche Fallmaschine		{{Beispiel\|Beispiel Atwoodsche Fallmaschine
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	Aus der Schule bekannt ist die Kraft, die an m1 angreift, nämlich -m1g und die Kraft , die an m2 angreift, nämlich -m2g.		Aus der Schule bekannt ist die Kraft, die an m1 angreift, nämlich -m1g und die Kraft , die an m2 angreift, nämlich -m2g.
	Beginnen wir mit dem d´Alembertschen Prinzip:		Beginnen wir mit dem d´Alembertschen Prinzip:

	<math>\sum\limits_{i}{{{{\vec{Z}}}_{i}}{{\delta }_{{}}}{{{\vec{r}}}_{i}}}=\sum\limits_{i}{\left( {{m}_{i}}{{{\ddot{\vec{r}}}}_{i}}-{{{\vec{X}}}_{i}} \right)}\delta {{\vec{r}}_{i}}=0</math>		<math>\sum\limits_{i}{{{{\vec{Z}}}_{i}}{{\delta }_{{}}}{{{\vec{r}}}_{i}}}=\sum\limits_{i}{\left( {{m}_{i}}{{{\ddot{\vec{r}}}}_{i}}-{{{\vec{X}}}_{i}} \right)}\delta {{\vec{r}}_{i}}=0</math>

	so folgt:		so folgt:
	<math>({{m}_{1}}{{\ddot{h}}_{1}}-{{X}_{1}})\delta {{h}_{1}}+({{m}_{2}}{{\ddot{h}}_{2}}-{{X}_{2}})\delta {{h}_{2}}=0</math>		<math>({{m}_{1}}{{\ddot{h}}_{1}}-{{X}_{1}})\delta {{h}_{1}}+({{m}_{2}}{{\ddot{h}}_{2}}-{{X}_{2}})\delta {{h}_{2}}=0</math>