Bornsche Näherung - Revision history

Schubotz at 11:57, 23 September 2010

2010-09-23T11:57:25Z

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Line 1:		Line 1:
	<noinclude>{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|6\|3}}</noinclude>		<noinclude>{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|6\|3}}</noinclude>

	Die '''Bornsche Näherung''' ist eine störungstheoretische Näherung für große Einfallsenergien		Die '''Bornsche Näherung''' ist eine störungstheoretische Näherung für '''große Einfallsenergien'''

	:<math>\frac{{{\hbar }^{2}}{{{\bar{k}}}^{2}}}{2m}>>V(\bar{r})</math>		:<math>\frac{{{\hbar }^{2}}{{{\bar{k}}}^{2}}}{2m}>>V(\bar{r})</math>
Line 27:		Line 27:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Es folgt für die Streuamplitude in erster Bornscher Näherung		Es folgt für die {{FB\|Streuamplitude}} in erster Bornscher Näherung

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
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	Das heißt, in erster Bornscher Näherung ist die Streuamplitude proportional zur Fouriertransformierten des Potenzials <math>V(\bar{r})</math>.		Das heißt, in erster Bornscher Näherung ist die Streuamplitude proportional zur Fouriertransformierten des Potenzials <math>V(\bar{r})</math>.

	Das Problem kann für ~~Kugelsymmetrische~~ Potenzial wieder gut durch den Übergang in Kueglkoordinaten gelöst werden: :V=V(r)		Das Problem kann für kugelsymmetrische Potenzial wieder gut durch den Übergang in Kueglkoordinaten gelöst werden: :V=V(r)

	Dann kann wieder <math>{{\bar{e}}_{r}}</math> durch <math>\vartheta ,\phi </math> parametrisiert werden!		Dann kann wieder <math>{{\bar{e}}_{r}}</math> durch <math>\vartheta ,\phi </math> parametrisiert werden!
Line 45:		Line 45:
	:<math>K=\left\| \bar{k}-\bar{k}{{{\bar{e}}}_{r}} \right\|=\sqrt{{{k}^{2}}+{{k}^{2}}-2{{k}^{2}}\cos \vartheta }=2k\sin {}^{\vartheta }\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;</math>		:<math>K=\left\| \bar{k}-\bar{k}{{{\bar{e}}}_{r}} \right\|=\sqrt{{{k}^{2}}+{{k}^{2}}-2{{k}^{2}}\cos \vartheta }=2k\sin {}^{\vartheta }\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;</math>

	Die Integration <math>\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}V(\bar{r}\acute{\ }){{e}^{i\bar{K}\bar{r}\acute{\ }}}</math>		Die Integration <math>\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}V(\bar{r}\acute{\ }){{e}^{i\bar{K}\bar{r}\acute{\ }}}</math> erfolgt in Kugelkoordinaten um die <math>\bar{K}</math>- Achse:

	erfolgt in Kugelkoordinaten um die <math>\bar{K}</math>- Achse:
	:<math>\bar{K}\bar{r}\acute{\ }=Kr\acute{\ }\cos \vartheta </math>		:<math>\bar{K}\bar{r}\acute{\ }=Kr\acute{\ }\cos \vartheta </math>

Line 79:		Line 77:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Anwendungsbeispiel ist die Rutherford- Streuung.		Anwendungsbeispiel ist die {{FB\|Rutherford-Streuung}}.
	Dies ist die Streuung eines Z<sub>1</sub>- fach geladenen Teilchens an einem Z<sub>2</sub>- fach geladenen. Das Potenzial schreibt sich also gemäß		Dies ist die Streuung eines Z<sub>1</sub>- fach geladenen Teilchens an einem Z<sub>2</sub>- fach geladenen. Das Potenzial schreibt sich also gemäß
	:<math>V(r)=-\frac{{{Z}_{1}}{{Z}_{2}}{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}r}</math>		:<math>V(r)=-\frac{{{Z}_{1}}{{Z}_{2}}{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}r}</math>
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	Als <math>\frac{d\sigma }{d\Omega }={{\left( \frac{{{Z}_{1}}{{Z}_{2}}{{e}^{2}}}{8\pi {{\varepsilon }_{0}}m{{v}^{2}}} \right)}^{2}}\frac{1}{{{\sin }^{4}}\left( \frac{\vartheta }{2} \right)}</math> ergibt sich dann die entsprechende Formel aus der klassischen Mechanik.		Als <math>\frac{d\sigma }{d\Omega }={{\left( \frac{{{Z}_{1}}{{Z}_{2}}{{e}^{2}}}{8\pi {{\varepsilon }_{0}}m{{v}^{2}}} \right)}^{2}}\frac{1}{{{\sin }^{4}}\left( \frac{\vartheta }{2} \right)}</math> ergibt sich dann die entsprechende Formel aus der klassischen Mechanik.
	Rutherford hatte hier Glück, dass sich durch die klassische Rechnung in diesem Potenzial zwei Fehler gegen die Quantenmechanik gegenseitig annulieren. Somit erhält man die quantenmechanisch korrekte Lösung schon aus der Ersten Bpornschen Näherung!!		Rutherford hatte hier Glück, dass sich durch die klassische Rechnung in diesem Potenzial '''zwei Fehler''' gegen die Quantenmechanik gegenseitig annulieren. Somit erhält man die quantenmechanisch korrekte Lösung schon aus der Ersten Bpornschen Näherung!!


	~~<u>Nebenbemerkung:</u>~~

	Für <math>\vartheta \to 0</math> divergiert <math>\frac{d\sigma }{d\Omega }</math> wegen der unendlichen Reichweite von V(r). Auch <math>\sigma </math> divergiert in diesem Fall.		{{Bemerkung\|<u>Nebenbemerkung:</u> Für <math>\vartheta \to 0</math> divergiert <math>\frac{d\sigma }{d\Omega }</math> wegen der unendlichen Reichweite von V(r). Auch <math>\sigma </math> divergiert in diesem Fall.}}
	====Systematische Störungsentwicklung====		====Systematische Störungsentwicklung====
	Man kann eine {{FB\|Bornsche Reihe}} Bilden. Dies ist die Iteration der {{FB\|Lippmann-Schwinger-Gleichung}}:		Man kann eine {{FB\|Bornsche Reihe}} Bilden. Dies ist die Iteration der {{FB\|Lippmann-Schwinger-Gleichung}}:

*>SchuBot: Interpunktion, replaced: ! → ! (4)

2010-09-12T22:35:00Z

Interpunktion, replaced: ! → ! (4)

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T14:35:47Z

Einrückungen Mathematik

← Older revision		Revision as of 16:35, 12 September 2010
Line 81:		Line 81:
	Anwendungsbeispiel ist die Rutherford- Streuung.		Anwendungsbeispiel ist die Rutherford- Streuung.
	Dies ist die Streuung eines Z<sub>1</sub>- fach geladenen Teilchens an einem Z<sub>2</sub>- fach geladenen. Das Potenzial schreibt sich also gemäß		Dies ist die Streuung eines Z<sub>1</sub>- fach geladenen Teilchens an einem Z<sub>2</sub>- fach geladenen. Das Potenzial schreibt sich also gemäß
	<math>V(r)=-\frac{{{Z}_{1}}{{Z}_{2}}{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}r}</math>		:<math>V(r)=-\frac{{{Z}_{1}}{{Z}_{2}}{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}r}</math>

	Mit diesem Potenzial bekommt man allerdings Konvergenz- Schwierigkeiten.		Mit diesem Potenzial bekommt man allerdings Konvergenz- Schwierigkeiten.
	Einzige Lösung ist das {{FB\|Yukawa-Potenzial}}		Einzige Lösung ist das {{FB\|Yukawa-Potenzial}}
	<math>V(r)=\begin{matrix}		:<math>V(r)=\begin{matrix}
	\lim \\		\lim \\
	\kappa \to 0 \\		\kappa \to 0 \\

Schubotz: /* Systematische Störungsentwicklung */

2010-09-10T13:12:35Z

Systematische Störungsentwicklung

← Older revision		Revision as of 15:12, 10 September 2010
Line 98:		Line 98:
	Für <math>\vartheta \to 0</math> divergiert <math>\frac{d\sigma }{d\Omega }</math> wegen der unendlichen Reichweite von V(r). Auch <math>\sigma </math> divergiert in diesem Fall.		Für <math>\vartheta \to 0</math> divergiert <math>\frac{d\sigma }{d\Omega }</math> wegen der unendlichen Reichweite von V(r). Auch <math>\sigma </math> divergiert in diesem Fall.
	====Systematische Störungsentwicklung====		====Systematische Störungsentwicklung====
	Man kann eine Bornsche Reihe Bilden. Dies ist die Iteration der {{FB\|Lippmann-Schwinger-Gleichung}}:		Man kann eine {{FB\|Bornsche Reihe}} Bilden. Dies ist die Iteration der {{FB\|Lippmann-Schwinger-Gleichung}}:
	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& \left\| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle =\left\| \Phi \right\rangle +\hat{R}\left\| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle \\		& \left\| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle =\left\| \Phi \right\rangle +\hat{R}\left\| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle \\
Line 108:		Line 108:
	& \left\| {{\Psi }^{(1)}} \right\rangle =\left\| \Phi \right\rangle +\hat{R}\left\| \Phi \right\rangle =\left( 1+\hat{R} \right)\left\| \Phi \right\rangle \\		& \left\| {{\Psi }^{(1)}} \right\rangle =\left\| \Phi \right\rangle +\hat{R}\left\| \Phi \right\rangle =\left( 1+\hat{R} \right)\left\| \Phi \right\rangle \\
	& \hat{R}:={{{\hat{G}}}_{+}}{{{\hat{H}}}^{1}} \\		& \hat{R}:={{{\hat{G}}}_{+}}{{{\hat{H}}}^{1}} \\
	\end{align}</math>		\end{align}</math> (Erste Bornsche Näherung)
	Erste Bornsche Näherung		:<math>\left\| {{\Psi }^{(2)}} \right\rangle =\left\| \Phi \right\rangle +\hat{R}\left\| {{\Psi }^{(1)}} \right\rangle =\left( 1+\hat{R}+\hat{R}\hat{R} \right)\left\| \Phi \right\rangle </math> (Zweite Bornsche Näherung)
	:<math>\left\| {{\Psi }^{(2)}} \right\rangle =\left\| \Phi \right\rangle +\hat{R}\left\| {{\Psi }^{(1)}} \right\rangle =\left( 1+\hat{R}+\hat{R}\hat{R} \right)\left\| \Phi \right\rangle </math>
	Zweite Bornsche Näherung
	... usw.... ...		... usw.... ...
	:<math>\left\| \Psi \right\rangle =\left( 1+\hat{R}+{{{\hat{R}}}^{2}}+{{{\hat{R}}}^{3}}+...... \right)\left\| \Phi \right\rangle </math>		:<math>\left\| \Psi \right\rangle =\left( 1+\hat{R}+{{{\hat{R}}}^{2}}+{{{\hat{R}}}^{3}}+...... \right)\left\| \Phi \right\rangle </math> (Bornsche Reihe)
	Bornsche Reihe
	Die Bornsche Reihe konvergiert für kleine V.		Die Bornsche Reihe konvergiert für kleine V.

Schubotz at 13:10, 10 September 2010

2010-09-10T13:10:16Z

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Schubotz at 22:37, 7 September 2010

2010-09-07T22:37:23Z

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Line 1:		Line 1:
	{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|6\|3}}		<noinclude>{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|6\|3}}</noinclude>

	Die Bornsche Näherung ist eine störungstheoretische Näherung für große Einfallsenergien		Die Bornsche Näherung ist eine störungstheoretische Näherung für große Einfallsenergien

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2010-08-24T23:35:42Z

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{{Scripthinweis|Quantenmechanik|6|3}}

Die Bornsche Näherung ist eine störungstheoretische Näherung für große Einfallsenergien

<math>\frac{{{\hbar }^{2}}{{{\bar{k}}}^{2}}}{2m}>>V(\bar{r})</math>

In diesem Fall kann <math>{{H}^{(1)}}(\bar{r})</math>

als kleine Störung betrachtet werden

Für die erste Ordnung Störungsrechnung der Lippmann- Schwinger - Gleichung setzt man an:

<math>\left| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle =\left| \Phi \right\rangle +{{G}_{+}}{{\hat{H}}^{(1)}}\left| \Phi \right\rangle </math>

Das heißt, man nimmt an, dass das Streupotenzial auf die freie einlaufende Lösung wirkt !

<u>'''Man nennt den Schritt'''</u>

<math>\left| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle =\left| \Phi \right\rangle +{{G}_{+}}{{\hat{H}}^{(1)}}\left| \Phi \right\rangle </math>

auch ERSTE BORNSCHE NÄHERUNG

In Ortsdarstellung schreibt sichs dann:

<math>\begin{align}

& {{\Psi }^{(+)}}(\bar{r})={{\Psi }_{e}}(\bar{r})+\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}{{G}_{+}}(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })V(\bar{r}\acute{\ }){{\Psi }_{e}}(\bar{r}\acute{\ }) \\

& {{\Psi }_{e}}(\bar{r})={{e}^{i\bar{k}\bar{r}}} \\

\end{align}</math>

Es folgt für die Streuamplitude in erster Bornscher Näherung

<math>\begin{align}

& f({{{\bar{e}}}_{r}})=-\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\frac{1}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}V(\bar{r}\acute{\ }){{e}^{i\bar{K}\bar{r}\acute{\ }}} \\

& \bar{K}:=\bar{k}-\bar{k}{{{\bar{e}}}_{r}} \\

\end{align}</math>

Das heißt, in erster Bornscher Näherung ist die Streuamplitude proportional zur Fouriertransformierten des Potenzials <math>V(\bar{r})</math>

Das Problem kann für Kugelsymmetrische Potenzial wieder gut durch den Übergang in Kueglkoordinaten gelöst werden: V=V( r)

Dann kann wieder <math>{{\bar{e}}_{r}}</math>

durch <math>\vartheta ,\phi </math>

parametrisiert werden !

<math>K=\left| \bar{k}-\bar{k}{{{\bar{e}}}_{r}} \right|=\sqrt{{{k}^{2}}+{{k}^{2}}-2{{k}^{2}}\cos \vartheta }=2k\sin {}^{\vartheta }\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;</math>

Die Integration <math>\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}V(\bar{r}\acute{\ }){{e}^{i\bar{K}\bar{r}\acute{\ }}}</math>

erfolgt in Kugelkoordinaten um die <math>\bar{K}</math>

- Achse:

<math>\bar{K}\bar{r}\acute{\ }=Kr\acute{\ }\cos \vartheta </math>

Aus Symmetriegründen hängt <math>f({{\bar{e}}_{r}})</math>

nicht von <math>\phi </math>

ab:

<math>\begin{align}

& f(\vartheta )=-\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\frac{1}{4\pi }\int_{0}^{\infty }{r{{\acute{\ }}^{2}}dr\acute{\ }}V(\bar{r}\acute{\ })\int_{-1}^{1}{d(\cos \vartheta \acute{\ })}{{e}^{iKr\acute{\ }\cos \vartheta \acute{\ }}}\int_{0}^{2\pi }{d\phi \acute{\ }} \\

& \int_{-1}^{1}{d(\cos \vartheta \acute{\ })}{{e}^{iKr\acute{\ }\cos \vartheta \acute{\ }}}=\frac{1}{iKr\acute{\ }}\left( {{e}^{iKr\acute{\ }}}-{{e}^{-iKr\acute{\ }}} \right)=\frac{2\sin Kr\acute{\ }}{Kr\acute{\ }} \\

\end{align}</math>

Somit:

<math>\begin{align}

& f(\vartheta )=-\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\int_{0}^{\infty }{r{{\acute{\ }}^{2}}dr\acute{\ }}V(\bar{r}\acute{\ })\frac{\sin Kr\acute{\ }}{Kr\acute{\ }}=-\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\frac{1}{K}\int_{0}^{\infty }{r\acute{\ }dr\acute{\ }}V(\bar{r}\acute{\ })\sin Kr\acute{\ } \\

& K=2k\sin \frac{\vartheta }{2} \\

\end{align}</math>

Somit können die Wirkungsquerschnitte angegeben werden:

<math>\begin{align}

& \frac{d\sigma }{d\Omega }={{\left| f(\vartheta ) \right|}^{2}} \\
& ->\sigma =\int_{{}}^{{}}{d\Omega }{{\left| \frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\frac{1}{K}\int_{0}^{\infty }{r\acute{\ }dr\acute{\ }}V(\bar{r}\acute{\ })\sin Kr\acute{\ } \right|}^{2}} \\
& =\int_{-1}^{1}{d\left( \cos \vartheta \right)\int_{0}^{2\pi }{d\phi }}{{\left| \frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\frac{1}{K}\int_{0}^{\infty }{r\acute{\ }dr\acute{\ }}V(\bar{r}\acute{\ })\sin Kr\acute{\ } \right|}^{2}} \\
\end{align}</math>

Anwendungsbeispiel ist die Rutherford- Streuung.
Dies ist die Streuung eines Z1- fach geladenen Teilchens an einem Z2- fach geladenen. Das Potenzial schreibt sich also gemäß
<math>V(r)=-\frac{{{Z}_{1}}{{Z}_{2}}{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}r}</math>

Mit diesem Potenzial bekommt man allerdings Konvergenz- Schwierigkeiten.
Einzige Lösung ist das
YUKAWA- Potenzial
<math>V(r)=\begin{matrix}
\lim \\
\kappa \to 0 \\
\end{matrix}\frac{a}{r}{{e}^{-\kappa r}}</math>

Als <math>\frac{d\sigma }{d\Omega }={{\left( \frac{{{Z}_{1}}{{Z}_{2}}{{e}^{2}}}{8\pi {{\varepsilon }_{0}}m{{v}^{2}}} \right)}^{2}}\frac{1}{{{\sin }^{4}}\left( \frac{\vartheta }{2} \right)}</math>

ergibt sich dann die entsprechende Formel aus der klassischen Mechanik.
Rutherford hatte hier Glück, dass sich durch die klassische Rechnung in diesem Potenzial zwei Fehler gegen die Quantenmechanik gegenseitig annulieren. Somit erhält man die quantenmechanisch korrekte Lösung schon aus der ERSTEN BPORNSCHEN NÄHERUNG !!
Nebenbemerkung:
Für <math>\vartheta \to 0</math>
divergiert <math>\frac{d\sigma }{d\Omega }</math>
wegen der unendlichen Reichweite von V( r)
Auch <math>\sigma </math>
divergiert in diesem Fall.
====Systematische Störungsentwicklung====
Man kann eine Bornsche Reihe Bilden. Dies ist die Iteration der Lippmann - Schwinger Gleichung:
<math>\begin{align}
& \left| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle =\left| \Phi \right\rangle +\hat{R}\left| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle \\
& \hat{R}:={{{\hat{G}}}_{+}}{{{\hat{H}}}^{1}} \\
\end{align}</math>

Es ergibt sich:
<math>\begin{align}
& \left| {{\Psi }^{(1)}} \right\rangle =\left| \Phi \right\rangle +\hat{R}\left| \Phi \right\rangle =\left( 1+\hat{R} \right)\left| \Phi \right\rangle \\
& \hat{R}:={{{\hat{G}}}_{+}}{{{\hat{H}}}^{1}} \\
\end{align}</math>
Erste Bornsche Näherung
<math>\left| {{\Psi }^{(2)}} \right\rangle =\left| \Phi \right\rangle +\hat{R}\left| {{\Psi }^{(1)}} \right\rangle =\left( 1+\hat{R}+\hat{R}\hat{R} \right)\left| \Phi \right\rangle </math>
Zweite Bornsche Näherung
... usw.... ...
<math>\left| \Psi \right\rangle =\left( 1+\hat{R}+{{{\hat{R}}}^{2}}+{{{\hat{R}}}^{3}}+...... \right)\left| \Phi \right\rangle </math>
Bornsche Reihe
Die Bornsche Reihe konvergiert für kleine V

← Older revision		Revision as of 00:35, 13 September 2010
Line 1:		Line 1:
	<noinclude>{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|6\|3}}</noinclude>		<noinclude>{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|6\|3}}</noinclude>

	Die Bornsche Näherung ist eine störungstheoretische Näherung für große Einfallsenergien		Die '''Bornsche Näherung''' ist eine störungstheoretische Näherung für große Einfallsenergien

	:<math>\frac{{{\hbar }^{2}}{{{\bar{k}}}^{2}}}{2m}>>V(\bar{r})</math>		:<math>\frac{{{\hbar }^{2}}{{{\bar{k}}}^{2}}}{2m}>>V(\bar{r})</math>
Line 11:		Line 11:
	:<math>\left\| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle =\left\| \Phi \right\rangle +{{G}_{+}}{{\hat{H}}^{(1)}}\left\| \Phi \right\rangle </math>		:<math>\left\| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle =\left\| \Phi \right\rangle +{{G}_{+}}{{\hat{H}}^{(1)}}\left\| \Phi \right\rangle </math>

	Das heißt, man nimmt an, dass das Streupotenzial auf die freie einlaufende Lösung wirkt !		Das heißt, man nimmt an, dass das Streupotenzial auf die freie einlaufende Lösung wirkt!

	{{Def\|Man nennt den Schritt		{{Def\|Man nennt den Schritt
Line 41:		Line 41:
	Das Problem kann für Kugelsymmetrische Potenzial wieder gut durch den Übergang in Kueglkoordinaten gelöst werden: :V=V(r)		Das Problem kann für Kugelsymmetrische Potenzial wieder gut durch den Übergang in Kueglkoordinaten gelöst werden: :V=V(r)

	Dann kann wieder <math>{{\bar{e}}_{r}}</math> durch <math>\vartheta ,\phi </math> parametrisiert werden !		Dann kann wieder <math>{{\bar{e}}_{r}}</math> durch <math>\vartheta ,\phi </math> parametrisiert werden!

	:<math>K=\left\| \bar{k}-\bar{k}{{{\bar{e}}}_{r}} \right\|=\sqrt{{{k}^{2}}+{{k}^{2}}-2{{k}^{2}}\cos \vartheta }=2k\sin {}^{\vartheta }\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;</math>		:<math>K=\left\| \bar{k}-\bar{k}{{{\bar{e}}}_{r}} \right\|=\sqrt{{{k}^{2}}+{{k}^{2}}-2{{k}^{2}}\cos \vartheta }=2k\sin {}^{\vartheta }\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;</math>
Line 91:		Line 91:

	Als <math>\frac{d\sigma }{d\Omega }={{\left( \frac{{{Z}_{1}}{{Z}_{2}}{{e}^{2}}}{8\pi {{\varepsilon }_{0}}m{{v}^{2}}} \right)}^{2}}\frac{1}{{{\sin }^{4}}\left( \frac{\vartheta }{2} \right)}</math> ergibt sich dann die entsprechende Formel aus der klassischen Mechanik.		Als <math>\frac{d\sigma }{d\Omega }={{\left( \frac{{{Z}_{1}}{{Z}_{2}}{{e}^{2}}}{8\pi {{\varepsilon }_{0}}m{{v}^{2}}} \right)}^{2}}\frac{1}{{{\sin }^{4}}\left( \frac{\vartheta }{2} \right)}</math> ergibt sich dann die entsprechende Formel aus der klassischen Mechanik.
	Rutherford hatte hier Glück, dass sich durch die klassische Rechnung in diesem Potenzial zwei Fehler gegen die Quantenmechanik gegenseitig annulieren. Somit erhält man die quantenmechanisch korrekte Lösung schon aus der Ersten Bpornschen Näherung !!		Rutherford hatte hier Glück, dass sich durch die klassische Rechnung in diesem Potenzial zwei Fehler gegen die Quantenmechanik gegenseitig annulieren. Somit erhält man die quantenmechanisch korrekte Lösung schon aus der Ersten Bpornschen Näherung!!


Line 109:		Line 109:
	& \hat{R}:={{{\hat{G}}}_{+}}{{{\hat{H}}}^{1}} \\		& \hat{R}:={{{\hat{G}}}_{+}}{{{\hat{H}}}^{1}} \\
	\end{align}</math> (Erste Bornsche Näherung)		\end{align}</math> (Erste Bornsche Näherung)
	:<math>\left\| {{\Psi }^{(2)}} \right\rangle =\left\| \Phi \right\rangle +\hat{R}\left\| {{\Psi }^{(1)}} \right\rangle =\left( 1+\hat{R}+\hat{R}\hat{R} \right)\left\| \Phi \right\rangle </math> (Zweite Bornsche Näherung)		:<math>\left\| {{\Psi }^{(2)}} \right\rangle =\left\| \Phi \right\rangle +\hat{R}\left\| {{\Psi }^{(1)}} \right\rangle =\left( 1+\hat{R}+\hat{R}\hat{R} \right)\left\| \Phi \right\rangle </math> (Zweite Bornsche Näherung).
	... usw.... ...		.. usw.......
	:<math>\left\| \Psi \right\rangle =\left( 1+\hat{R}+{{{\hat{R}}}^{2}}+{{{\hat{R}}}^{3}}+...... \right)\left\| \Phi \right\rangle </math> (Bornsche Reihe)		:<math>\left\| \Psi \right\rangle =\left( 1+\hat{R}+{{{\hat{R}}}^{2}}+{{{\hat{R}}}^{3}}+...... \right)\left\| \Phi \right\rangle </math> (Bornsche Reihe)

	Die Bornsche Reihe konvergiert für kleine V.		Die Bornsche Reihe konvergiert für kleine V.