Aufgaben der statistischen Physik - Revision history

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2010-09-12T22:47:48Z

Interpunktion, replaced: , → , (3), ( → ( (3)

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	'''Alternative''':		'''Alternative''':

	Angabe von '''Wahrscheinlichkeiten''' <math>\left\{ {{w}_{i}} \right\}</math> , mit denen ein Zustand <math>\left( {{\Psi }_{i}} \right)</math> angenommen wird, anstatt die Zeitentwicklung aller Einzelheiten zu verfolgen.		Angabe von '''Wahrscheinlichkeiten''' <math>\left\{ {{w}_{i}} \right\}</math>, mit denen ein Zustand <math>\left( {{\Psi }_{i}} \right)</math> angenommen wird, anstatt die Zeitentwicklung aller Einzelheiten zu verfolgen.
	Mit <math>\left\{ {{w}_{i}} \right\}</math> können dann makroskopische Größen berechnet werden, wie Druck, Temperatur etc...		Mit <math>\left\{ {{w}_{i}} \right\}</math> können dann makroskopische Größen berechnet werden, wie Druck, Temperatur etc...

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	;{{FB\|Reiner Zustand\|statistische Physik}}: Zustand entwickelt sich ohne den statistischen Einfluss der Umgebung (näherungsweise). Die Anfangsbedingung ist dabei exakt vorgegeben.		;{{FB\|Reiner Zustand\|statistische Physik}}: Zustand entwickelt sich ohne den statistischen Einfluss der Umgebung (näherungsweise). Die Anfangsbedingung ist dabei exakt vorgegeben.
	;{{FB\|Gemischter Zustand\|statistische Physik}}: (statistische Physik) Der Zustand entwickelt sich unter dem Einfluss der Umgebung. Unter Umständen kann die Wahrscheinlichkeit <math>\left\{ {{w}_{i}} \right\}</math>zur Beschreibung genutzt werden.		;{{FB\|Gemischter Zustand\|statistische Physik}}: (statistische Physik) Der Zustand entwickelt sich unter dem Einfluss der Umgebung. Unter Umständen kann die Wahrscheinlichkeit <math>\left\{ {{w}_{i}} \right\}</math>zur Beschreibung genutzt werden.
	:<math>{{w}_{i}}</math> wird dabei von der Umgebung vorgegeben ( z.B. Temperatur).		:<math>{{w}_{i}}</math> wird dabei von der Umgebung vorgegeben (z.B. Temperatur).
	Auch die Anfangsbedingungen sind nur mit der Wahrscheinlichkeit <math>\left\{ {{w}_{i}}\acute{\ } \right\}</math> bekannt.		Auch die Anfangsbedingungen sind nur mit der Wahrscheinlichkeit <math>\left\{ {{w}_{i}}\acute{\ } \right\}</math> bekannt.

Line 92:		Line 92:

	N: Zahl der Versuche		N: Zahl der Versuche
	:<math>{{N}_{i}}</math>: Zahl , wie oft das Ereignis aufgetreten ist.		:<math>{{N}_{i}}</math>: Zahl, wie oft das Ereignis aufgetreten ist.

	;{{FB\|Statistisches Ensemble}}: Ist die Menge von N gleichartigen Systemen, von denen jeweils <math>{{N}_{i}}</math> im Zustand i sind. Die Prozedur der Mittelung ist das sogenannte {{FB\|Ensemblemittel}}.		;{{FB\|Statistisches Ensemble}}: Ist die Menge von N gleichartigen Systemen, von denen jeweils <math>{{N}_{i}}</math> im Zustand i sind. Die Prozedur der Mittelung ist das sogenannte {{FB\|Ensemblemittel}}.
Line 104:		Line 104:
	{{Beispiel\|Beispiel: Gas		{{Beispiel\|Beispiel: Gas

	Wechselwirkung des VTS , Geschwindigkeitsverteilung eines Teilchens:		Wechselwirkung des VTS, Geschwindigkeitsverteilung eines Teilchens:

	Wahrscheinlichkeit <math>{{w}_{i}}</math>, mit der das Teilchen die Energie <math>{{\varepsilon }_{i}}</math> hat.		Wahrscheinlichkeit <math>{{w}_{i}}</math>, mit der das Teilchen die Energie <math>{{\varepsilon }_{i}}</math> hat.
Line 127:		Line 127:

	====Makrozustand====		====Makrozustand====
	( = thermodynamischer Zustand)		(= thermodynamischer Zustand)
	Beschreibung durch typische makroskopische Observablen ( Messgrößen):		Beschreibung durch typische makroskopische Observablen (Messgrößen):

	# {{FB\|Arbeitskoordinaten}} (äußere Parameter):		# {{FB\|Arbeitskoordinaten}} (äußere Parameter):

>SchuBot: / Makrozustand */Pfeile einfügen, replaced: -> → →

2010-09-12T20:10:28Z

Makrozustand: Pfeile einfügen, replaced: -> → →

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Line 140:		Line 140:
	#* Magnetisierung		#* Magnetisierung

	'''Thermodynamik '''~~->Informationsreduzierung~~ der Kenntnis des Mikrozustandes auf Makrozustand durch zeitliche Mittelung bzw. Ensemble- Mittelung!		'''Thermodynamik '''→Informationsreduzierung der Kenntnis des Mikrozustandes auf Makrozustand durch zeitliche Mittelung bzw. Ensemble- Mittelung!

*>SchuBot: Mathematik einrücken

2010-09-12T16:07:42Z

Mathematik einrücken

*>SchuBot at 15:11, 11 September 2010

2010-09-11T15:11:41Z

← Older revision		Revision as of 17:11, 11 September 2010
Line 120:		Line 120:
	** klassisch: Radiusvektor und Impulsvektor als Phasenraumtrajektorie für i=1...N		** klassisch: Radiusvektor und Impulsvektor als Phasenraumtrajektorie für i=1...N
	** quantenmechanisch: <math>\begin{align}		** quantenmechanisch: <math>\begin{align}
	& \left\langle {{s}_{1}},...,{{s}_{N}} ~~\right\|\left~~\| \alpha ,t \right\rangle \\		& \left\langle {{s}_{1}},...,{{s}_{N}} \| \alpha ,t \right\rangle \\
	& {{s}_{i}}=\pm \frac{1}{2} \\		& {{s}_{i}}=\pm \frac{1}{2} \\
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

Schubotz: clean up

2010-09-11T12:02:41Z

clean up

← Older revision		Revision as of 14:02, 11 September 2010
Line 4:		Line 4:
	* in der realen Welt: Vielkörperprobleme mit Wechselwirkung. Makroskopische Systeme		* in der realen Welt: Vielkörperprobleme mit Wechselwirkung. Makroskopische Systeme
	** ''Gase'': <math>{{10}^{23}}</math> Teilchen pro Liter		** ''Gase'': <math>{{10}^{23}}</math> Teilchen pro Liter

	** ''Festkörper'': <math>{{10}^{26}}</math> Teilchen pro Kilogramm		** ''Festkörper'': <math>{{10}^{26}}</math> Teilchen pro Kilogramm

Line 16:		Line 15:

	Angabe von '''Wahrscheinlichkeiten''' <math>\left\{ {{w}_{i}} \right\}</math> , mit denen ein Zustand <math>\left( {{\Psi }_{i}} \right)</math> angenommen wird, anstatt die Zeitentwicklung aller Einzelheiten zu verfolgen.		Angabe von '''Wahrscheinlichkeiten''' <math>\left\{ {{w}_{i}} \right\}</math> , mit denen ein Zustand <math>\left( {{\Psi }_{i}} \right)</math> angenommen wird, anstatt die Zeitentwicklung aller Einzelheiten zu verfolgen.

	Mit <math>\left\{ {{w}_{i}} \right\}</math> können dann makroskopische Größen berechnet werden, wie Druck, Temperatur etc...		Mit <math>\left\{ {{w}_{i}} \right\}</math> können dann makroskopische Größen berechnet werden, wie Druck, Temperatur etc...

Line 51:		Line 49:

	{{Def\|'''Gleichgewichtsstatistik''':		{{Def\|'''Gleichgewichtsstatistik''':

	Wenn man ein VTS sich selbst überläßt, so streben alle makroskopisch messbaren Größen gegen zeitlich konstante Werte. Dies ist der Gleichgewichtszustand. Die makroskopischen Größen heißen Zustandsgrößen.\|Gleichgewichtsstatistik}}		Wenn man ein VTS sich selbst überläßt, so streben alle makroskopisch messbaren Größen gegen zeitlich konstante Werte. Dies ist der Gleichgewichtszustand. Die makroskopischen Größen heißen Zustandsgrößen.\|Gleichgewichtsstatistik}}

	{{Def\|'''Thermodynamik'''		{{Def\|'''Thermodynamik''':makroskopische Beschreibung der Gleichgewichtseigenschaften mit den Hauptsätzen der Thermodynamik (TD). Die Hauptsätze der Thermodynamik werden aus der statistischen Physik abgeleitet.\|Thermodynamik}}
	makroskopische Beschreibung der Gleichgewichtseigenschaften mit den Hauptsätzen der Thermodynamik (TD). Die Hauptsätze der Thermodynamik werden aus der statistischen Physik abgeleitet.\|Thermodynamik}}

	{{Def\|'''Nichtgleichgewichtsstatistik''': ein offenes System kann durch zeitabhängige Felder aus dem Gleichgewichtszustand gebracht werden. Wird das System dann sich selbst überlassen, so erfolgt die Relaxation zurück in den Gleichgewichtszustand.\| Nichtgleichgewichtsstatistik}}		{{Def\|'''Nichtgleichgewichtsstatistik''': ein offenes System kann durch zeitabhängige Felder aus dem Gleichgewichtszustand gebracht werden. Wird das System dann sich selbst überlassen, so erfolgt die Relaxation zurück in den Gleichgewichtszustand.\| Nichtgleichgewichtsstatistik}}
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	;{{FB\|Reiner Zustand\|statistische Physik}}: Zustand entwickelt sich ohne den statistischen Einfluss der Umgebung (näherungsweise). Die Anfangsbedingung ist dabei exakt vorgegeben.		;{{FB\|Reiner Zustand\|statistische Physik}}: Zustand entwickelt sich ohne den statistischen Einfluss der Umgebung (näherungsweise). Die Anfangsbedingung ist dabei exakt vorgegeben.
	;{FB\|Gemischter Zustand\|statistische Physik}}: (statistische Physik) Der Zustand entwickelt sich unter dem Einfluss der Umgebung. Unter Umständen kann die Wahrscheinlichkeit <math>\left\{ {{w}_{i}} \right\}</math>zur Beschreibung genutzt werden.		;{{FB\|Gemischter Zustand\|statistische Physik}}: (statistische Physik) Der Zustand entwickelt sich unter dem Einfluss der Umgebung. Unter Umständen kann die Wahrscheinlichkeit <math>\left\{ {{w}_{i}} \right\}</math>zur Beschreibung genutzt werden.
	:<math>{{w}_{i}}</math> wird dabei von der Umgebung vorgegeben ( z.B. Temperatur).		:<math>{{w}_{i}}</math> wird dabei von der Umgebung vorgegeben ( z.B. Temperatur).
	Auch die Anfangsbedingungen sind nur mit der Wahrscheinlichkeit <math>\left\{ {{w}_{i}}\acute{\ } \right\}</math> bekannt.		Auch die Anfangsbedingungen sind nur mit der Wahrscheinlichkeit <math>\left\{ {{w}_{i}}\acute{\ } \right\}</math> bekannt.
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	<math>\left\langle {{\Psi }_{i}} \right\|{{\bar{F}}_{i}}\left\| {{\Psi }_{i}} \right\rangle </math>		<math>\left\langle {{\Psi }_{i}} \right\|{{\bar{F}}_{i}}\left\| {{\Psi }_{i}} \right\rangle </math>

	Für eine feste Observable ( Anfangswert- und Umgebungsunabhängig):		Für eine feste Observable (Anfangswert- und Umgebungsunabhängig):

	<math>\left\langle \left\langle {\bar{F}} \right\rangle \right\rangle =\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left\langle {{\Psi }_{i}} \right\|\bar{F}\left\| {{\Psi }_{i}} \right\rangle }</math>		<math>\left\langle \left\langle {\bar{F}} \right\rangle \right\rangle =\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left\langle {{\Psi }_{i}} \right\|\bar{F}\left\| {{\Psi }_{i}} \right\rangle }</math>
Line 102:		Line 98:
	===Arten der Mittelung===		===Arten der Mittelung===

	;{{FB\|Zeitmittel}: Das betrachtete System wird N mal über einen festen Zeitraum untersucht		;{{FB\|Zeitmittel}}: Das betrachtete System wird N mal über einen festen Zeitraum untersucht

	;Ensemblemittel: N Systeme werden zu einem festen Zeitpunkt untersucht.		;Ensemblemittel: N Systeme werden zu einem festen Zeitpunkt untersucht.
Line 113:		Line 109:

	;Zeitmittel: Man würde in einem Gas N mal hintereinander ein Teilchen beobachten		;Zeitmittel: Man würde in einem Gas N mal hintereinander ein Teilchen beobachten
	;Ensemblemittel: N Gase nebeneinander zu einem festen Zeitpunkt untersuchen.		;Ensemblemittel: N Gase nebeneinander zu einem festen Zeitpunkt untersuchen. }}

	Systeme, in denen das Zeitmittel (experimentell) durch das Ensemblemittel ersetzt werden können, heißen {{FB\|ergodische Systeme}} (Ergodenhypothese).		Systeme, in denen das Zeitmittel (experimentell) durch das Ensemblemittel ersetzt werden können, heißen {{FB\|ergodische Systeme}} (Ergodenhypothese).
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	====Makrozustand( = thermodynamischer Zustand)~~====~~		====Makrozustand====
			( = thermodynamischer Zustand)
	Beschreibung durch typische makroskopische Observablen ( Messgrößen):		Beschreibung durch typische makroskopische Observablen ( Messgrößen):

Schubotz at 11:27, 11 September 2010

2010-09-11T11:27:50Z

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Schubotz at 21:12, 31 August 2010

2010-08-31T21:12:06Z

← Older revision		Revision as of 23:12, 31 August 2010
Line 1:		Line 1:
	<noinclude>{{Scripthinweis\|Thermodynamik\|1\|0}}</noinclude>		<noinclude>{{Scripthinweis\|Thermodynamik\|0\|1}}</noinclude>

	* bisher: klassisch und qm nur ein oder zwei Teilchen betrachtet. Diese Körper waren zudem isoliert von der Umgebung		* bisher: klassisch und qm nur ein oder zwei Teilchen betrachtet. Diese Körper waren zudem isoliert von der Umgebung

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2010-08-31T20:19:39Z

Die Seite wurde neu angelegt: „<noinclude>{{Scripthinweis|Thermodynamik|1|0}}</noinclude> * bisher: klassisch und qm nur ein oder zwei Teilchen betrachtet. Diese Körper waren zudem isoliert v…“

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<noinclude>{{Scripthinweis|Thermodynamik|1|0}}</noinclude>

* bisher: klassisch und qm nur ein oder zwei Teilchen betrachtet. Diese Körper waren zudem isoliert von der Umgebung
* in der realen Welt: Vielkörperprobleme mit Wechselwirkung. Makroskopische Systeme

Gase: <math>{{10}^{23}}</math>

Teilchen pro Liter , festkörper <math>{{10}^{26}}</math>

Teilchen pro Kilogramm

Ziel: Beschreibung von Makroskopischen Systemen

Beschreibung von Systemen, die auch mit der Umgebung wechselwirken können.

Die Zahl der Freiheitsgrade ist zu groß für eine exakte Beschreibung

Alternative:

Angabe von Wahrscheinlichkeiten <math>\left\{ {{w}_{i}} \right\}</math>

, mit denen ein Zustand <math>\left( {{\Psi }_{i}} \right)</math>

angenommen wird, anstatt die Zeitentwicklung aller Einzelheiten zu verfolgen.

Mit <math>\left\{ {{w}_{i}} \right\}</math>

können dann makroskopische Größen berechnet werden, wie Druck, Temperatur etc...

STATISTIK

Ableitung von makroskopischen Saystemgrößen wie Druck, für Vielteilchensysteme (VTS) aus der mikroskopischen Mechanik oder Quantentheorie

Die Behandlung der VTS erfolgt dann statistisch, also auf der Grundlage von Wahrscheinlichkeiten, mit denen verschiedene Zustände eines Systems durchlaufen werden.

'''Beispiel:'''

Gas

Exakte Lösung wäre: <math>{{\bar{r}}_{i}}(t),{{\bar{p}}_{i}}(t)</math>

. Man müsste die Bahnkurve jedes Teilchens kennen

( mikroskopische Information).

Im Rahmen der Statistik werden makroskopische Infos gesucht, wie der Druck auf eine Wand ! Im Experiment wird dann der Druck auf eine Wand im Zeitmittel gemessen. Es liegen aber durchaus Fluktuationen vor ( hinsichtlich der Zahl der auftreffenden Teilchen).

Zeitmittel der Observable <math>\bar{F}</math>

:<math>{{\left\langle {\bar{F}} \right\rangle }_{t}}</math>

Theoretischer Ansatz:

<math>{{\left\langle {\bar{F}} \right\rangle }_{t}}=\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}{{{\bar{F}}}_{i}}}</math>

Mit dem sogenannten Ensemblemittel <math>\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}{{{\bar{F}}}_{i}}}</math>

.

Dabei kennzeichnet <math>{{w}_{i}}</math>

die Wahrscheinlichkeit einer Momentaufnahme ( Also die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Zählrate)

<math>\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}{{{\bar{F}}}_{i}}}</math>

bildet dann die Summe aller möglichen Momentaufnahmen mit ihrem jeweiligen statistischen Gewicht.

Der Zustand, die Größe der jeweiligen Momentaufnahme i ist <math>{{\bar{F}}_{i}}</math>

Es sind 2 Gebiete wichtig:

Gleichgewichtsstatistik:

Wenn man ein VTS sich selbst überläßt, so streben alle makroskopisch messbaren Größen gegen zeitlich konstante Werte. Dies ist der Gleichgewichtszustand. Die makroskopischen Größen heißen Zustandsgrößen.

Nichtgleichgewichtsstatistik!

Thermodynamik: makroskopische Beschreibung der Gleichgewichtseigenschaften mit den Hauptsätzen der Thermodynamik (TD). Die Hauptsätze der Thermodynamik werden aus der statistischen Physik abgeleitet.

Nichtgleichgewichtsstatistik: ein offenes System kann durch zeitabhängige Felder aus dem Gleichgewichtszustand gebracht werden. Wird das System dann sich selbst überlassen, so erfolgt die Relaxation zurück in den Gleichgewichtszustand.

====Wichtige Begriffe:====

Reiner Zustand:

Zustand entwickelt sich ohne den statistischen Einfluss der Umgebung ( näherungsweise). Die Anfangsbedingung ist dabei exakt vorgegeben.

Gemischter Zustand: ( statistische Physik):

Der Zustand entwickelt sich unter dem Einfluss der Umgebung. Unter Umständen kann die Wahrscheinlichkeit

<math>\left\{ {{w}_{i}} \right\}</math>

zur Beschreibung genutzt werden.

<math>{{w}_{i}}</math>

wird dabei von der Umgebung vorgegeben ( z.B. Temperatur).

Auch die Anfangsbedingungen sind nur mit der Wahrscheinlichkeit <math>\left\{ {{w}_{i}}\acute{\ } \right\}</math>

bekannt.

====Erwartungswerte/ Mittelwerte:====

Zeitlicher Mittelwert eines Erwartungswertes:

<math>{{\left\langle \left\langle {\bar{F}} \right\rangle \right\rangle }_{t}}=\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left\langle {{\Psi }_{i}} \right|{{{\bar{F}}}_{i}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle }</math>

Mit der statistischen Mittelung über Umgebung und Anfangsbedingungen:

<math>\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}...}</math>

Und der quantenmechanischen Bildung des Erwartungswertes

<math>\left\langle {{\Psi }_{i}} \right|{{\bar{F}}_{i}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle </math>

Für eine feste Observable ( Anfangswert- und Umgebungsunabhängig):

<math>\left\langle \left\langle {\bar{F}} \right\rangle \right\rangle =\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left\langle {{\Psi }_{i}} \right|\bar{F}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle }</math>

Alle <math>{{w}_{i}}</math>

sollten nach Möglichkeit zeitunabhängig sein.
Sie sind durch die Umgebung oder die Anfangsbedingungen vorgegeben.

====Definition der Wahrscheinlichkeit:====

Die Wahrscheinlichkeit <math>{{w}_{i}}</math>

eines Ereignisses im Zustand i :

<math>\begin{matrix}

\lim \\

N\to \infty \\

\end{matrix}{{w}_{i}}=\frac{{{N}_{i}}}{N}</math>

N: Zahl der Versuche, <math>{{N}_{i}}</math>

: Zahl , wie oft das Ereignis aufgetreten ist.

Statistisches Ensemble

Ist die Menge von N gleichartigen Systemen, von denen jeweils <math>{{N}_{i}}</math>

im Zustand i sind . Die Prozedur der Mittelung ist das sogenannte Ensemblemittel

Arten der Mittelung

Zeitmittel: Das betrachtete System wird N mal über einen festen Zeitraum untersucht

Ensemblemittel: N Systeme werden zu einem festen Zeitpunkt untersucht.

Beispiel: Gas

Wechselwirkung des VTS , Geschwindigkeitsverteilung eines Teilchens:

Wahrscheinlichkeit <math>{{w}_{i}}</math>

, mit der das Teilchen die Energie <math>{{\varepsilon }_{i}}</math>

hat.

Zeitmittel: Man würde in einem Gas N mal hintereinander ein Teilchen beobachten

Ensemblemittel: N Gase nebeneinander zu einem festen Zeitpunkt untersuchen.

Systeme, in denen das Zeitmittel (experimentell) durch das Ensemblemittel ersetzt werden können, heißen ERGODISCHE Systeme (Ergodenhypothese).

Im Allgemeinen erfüllen wechselwirkende VTS die Ergodenhypothese

====Mikrozustand:====
* vollständige klassische oder quantentheoretische Angabe des Zustandes zu einer bestimmten Zeit t ( aller Freiheitsgrade = Mikroobservable)
* Beispiele: klassisch: Radiusvektor und Impulsvektor als Phasenraumtrajektorie für i=1...N
* quantenmechanisch:
* <math>\begin{align}
* & \left\langle {{s}_{1}},...,{{s}_{N}} \right|\left| \alpha ,t \right\rangle \\
* & {{s}_{i}}=\pm \frac{1}{2} \\
* \end{align}</math>
*
* Spin- Eigenzustand: Anzahl der möglichen Mikrozustände in diesem Fall bei N Teilchen:
* <math>{{2}^{N}}</math>
*

====Makrozustand( = thermodynamischer Zustand)====

Beschreibung durch typische makroskopische Observablen ( Messgrößen):

# Arbeitskoordinaten ( äußere Parameter): Volumen, elektrische und magnetische Felder
# Innere Systemkoordinaten ( als makroskopische Mittelwerte von Mikroobservablen): Energie, Impuls, elektrische Polarisation, Magnetisierung

'''Thermodynamik -> ''' Informationsreduzierung der Kenntnis des Mikrozustandes auf Makrozustand durch zeitliche Mittelung bzw. Ensemble- Mittelung!

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Line 42:		Line 42:
	Dabei kennzeichnet <math>{{w}_{i}}</math> die '''Wahrscheinlichkeit''' einer Momentaufnahme (Also die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Zählrate)		Dabei kennzeichnet <math>{{w}_{i}}</math> die '''Wahrscheinlichkeit''' einer Momentaufnahme (Also die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Zählrate)

	<math>\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}{{{\bar{F}}}_{i}}}</math> bildet dann die Summe aller möglichen Momentaufnahmen mit ihrem jeweiligen statistischen Gewicht.		:<math>\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}{{{\bar{F}}}_{i}}}</math> bildet dann die Summe aller möglichen Momentaufnahmen mit ihrem jeweiligen statistischen Gewicht.

	Der Zustand, die Größe der jeweiligen Momentaufnahme i ist <math>{{\bar{F}}_{i}}</math>.		Der Zustand, die Größe der jeweiligen Momentaufnahme i ist <math>{{\bar{F}}_{i}}</math>.
Line 70:		Line 70:
	Und der quantenmechanischen Bildung des Erwartungswertes		Und der quantenmechanischen Bildung des Erwartungswertes

	<math>\left\langle {{\Psi }_{i}} \right\|{{\bar{F}}_{i}}\left\| {{\Psi }_{i}} \right\rangle </math>		:<math>\left\langle {{\Psi }_{i}} \right\|{{\bar{F}}_{i}}\left\| {{\Psi }_{i}} \right\rangle </math>

	Für eine feste Observable (Anfangswert- und Umgebungsunabhängig):		Für eine feste Observable (Anfangswert- und Umgebungsunabhängig):

	<math>\left\langle \left\langle {\bar{F}} \right\rangle \right\rangle =\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left\langle {{\Psi }_{i}} \right\|\bar{F}\left\| {{\Psi }_{i}} \right\rangle }</math>		:<math>\left\langle \left\langle {\bar{F}} \right\rangle \right\rangle =\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left\langle {{\Psi }_{i}} \right\|\bar{F}\left\| {{\Psi }_{i}} \right\rangle }</math>

	Alle <math>{{w}_{i}}</math> sollten nach Möglichkeit zeitunabhängig sein.		Alle <math>{{w}_{i}}</math> sollten nach Möglichkeit zeitunabhängig sein.
Line 92:		Line 92:

	N: Zahl der Versuche		N: Zahl der Versuche
	<math>{{N}_{i}}</math>: Zahl , wie oft das Ereignis aufgetreten ist.		:<math>{{N}_{i}}</math>: Zahl , wie oft das Ereignis aufgetreten ist.

	;{{FB\|Statistisches Ensemble}}: Ist die Menge von N gleichartigen Systemen, von denen jeweils <math>{{N}_{i}}</math> im Zustand i sind. Die Prozedur der Mittelung ist das sogenannte {{FB\|Ensemblemittel}}.		;{{FB\|Statistisches Ensemble}}: Ist die Menge von N gleichartigen Systemen, von denen jeweils <math>{{N}_{i}}</math> im Zustand i sind. Die Prozedur der Mittelung ist das sogenannte {{FB\|Ensemblemittel}}.