Addition von Drehimpulsen - Revision history

*>SchuBot: Interpunktion, replaced: ! → ! (4), ( → (

2010-09-12T22:34:35Z

Interpunktion, replaced: ! → ! (4), ( → (

← Older revision		Revision as of 00:34, 13 September 2010
Line 23:		Line 23:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Drehimpuls Vertauschungsrelationen !		Drehimpuls Vertauschungsrelationen!

	:<math>\left[ {{{\hat{J}}}^{2}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]=\left[ {{{\hat{L}}}^{2}}+{{{\hat{\bar{S}}}}^{2}}+2\hat{\bar{L}}\cdot \hat{\bar{S}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]=2{{\hat{\bar{S}}}_{j}}\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]=2i\hbar \left( {{{\hat{S}}}_{2}}{{{\hat{L}}}_{1}}-{{{\hat{S}}}_{1}}{{{\hat{L}}}_{2}} \right)\ne 0</math>		:<math>\left[ {{{\hat{J}}}^{2}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]=\left[ {{{\hat{L}}}^{2}}+{{{\hat{\bar{S}}}}^{2}}+2\hat{\bar{L}}\cdot \hat{\bar{S}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]=2{{\hat{\bar{S}}}_{j}}\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]=2i\hbar \left( {{{\hat{S}}}_{2}}{{{\hat{L}}}_{1}}-{{{\hat{S}}}_{1}}{{{\hat{L}}}_{2}} \right)\ne 0</math>
Line 36:		Line 36:

	'''Ziel: Suche gemeinsame Eigenzustände zu '''<math>{{\hat{J}}^{2}}</math>		'''Ziel: Suche gemeinsame Eigenzustände zu '''<math>{{\hat{J}}^{2}}</math>
			,
			<math>{{\hat{J}}_{3}}</math>
			,
			<math>{{\hat{L}}^{2}},{{\hat{\bar{S}}}^{2}}</math>
			.

	~~,<math>{{\hat{J}}_{3}}</math>~~

	~~,<math>{{\hat{L}}^{2}},{{\hat{\bar{S}}}^{2}}</math>~~

	.

	Dies muss möglich sein, da		Dies muss möglich sein, da
Line 85:		Line 85:
	\end{smallmatrix}}{{}}\left\| lms{{m}_{s}} \right\rangle \left\langle lms{{m}_{s}} \| j{{m}_{j}}ls \right\rangle </math>		\end{smallmatrix}}{{}}\left\| lms{{m}_{s}} \right\rangle \left\langle lms{{m}_{s}} \| j{{m}_{j}}ls \right\rangle </math>

	Zu beachten ist: Es wird ausschließlich über die Komponenten der alten Basis summiert, die sich von der neuen Basis unterscheiden ( das heißt: Nur dieser Teil der Basis wird transformiert) !		Zu beachten ist: Es wird ausschließlich über die Komponenten der alten Basis summiert, die sich von der neuen Basis unterscheiden (das heißt: Nur dieser Teil der Basis wird transformiert)!

	Dabei heißen die Entwicklungskoeffizienten der neuen Basis bezüglich der alten Basisvektoren, also die Koordinaten der neuen Basis in der alten Basis		Dabei heißen die Entwicklungskoeffizienten der neuen Basis bezüglich der alten Basisvektoren, also die Koordinaten der neuen Basis in der alten Basis

	{{FB\|Clebsch-Gordan-Koeffizienten}} !		{{FB\|Clebsch-Gordan-Koeffizienten}}!

	:<math>\left\langle lms{{m}_{s}} \| j{{m}_{j}}ls \right\rangle </math>		:<math>\left\langle lms{{m}_{s}} \| j{{m}_{j}}ls \right\rangle </math>
Line 96:		Line 96:

	{\| class="wikitable" border="1"		{\| class="wikitable" border="1"
	\|-		\|-!
	!<math>s=\frac{1}{2}</math> !!<math>{{m}_{s}}=\frac{1}{2}</math>!!<math>{{m}_{s}}=-\frac{1}{2}</math>		<math>s=\frac{1}{2}</math>!!<math>{{m}_{s}}=\frac{1}{2}</math>!!<math>{{m}_{s}}=-\frac{1}{2}</math>
	\|-		\|-
	\|<math>j=l+\frac{1}{2}</math>\|\|<math>{{\left( \frac{l+{{m}_{j}}+\frac{1}{2}}{2l+1} \right)}^{\frac{1}{2}}}</math>\|\|<math>{{\left( \frac{l-{{m}_{j}}+\frac{1}{2}}{2l+1} \right)}^{\frac{1}{2}}}</math>		\|<math>j=l+\frac{1}{2}</math>\|\|<math>{{\left( \frac{l+{{m}_{j}}+\frac{1}{2}}{2l+1} \right)}^{\frac{1}{2}}}</math>\|\|<math>{{\left( \frac{l-{{m}_{j}}+\frac{1}{2}}{2l+1} \right)}^{\frac{1}{2}}}</math>

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T14:35:36Z

Einrückungen Mathematik

← Older revision		Revision as of 16:35, 12 September 2010
Line 3:		Line 3:
	Der Gesamtdrehimpuls kann folgendermaßen dargestellt werden:		Der Gesamtdrehimpuls kann folgendermaßen dargestellt werden:

	<math>\hat{\bar{J}}=\hat{\bar{L}}+\hat{\bar{S}}</math>		:<math>\hat{\bar{J}}=\hat{\bar{L}}+\hat{\bar{S}}</math>

	Die Vertauschungsrelationen:		Die Vertauschungsrelationen:

	<math>\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{S}}}_{k}} \right]=0</math>		:<math>\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{S}}}_{k}} \right]=0</math>

	Beide Operatoren wirken in verschiedenen Räumen. Wäre der Operator nicht Null, so wären die zugehörigen Eigenzustände nicht separabel.		Beide Operatoren wirken in verschiedenen Räumen. Wäre der Operator nicht Null, so wären die zugehörigen Eigenzustände nicht separabel.

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

	& \Rightarrow \left[ {{{\hat{J}}}_{j}},{{{\hat{J}}}_{k}} \right]=\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{L}}}_{k}} \right]+\left[ {{{\hat{S}}}_{j}},{{{\hat{S}}}_{k}} \right] \\		& \Rightarrow \left[ {{{\hat{J}}}_{j}},{{{\hat{J}}}_{k}} \right]=\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{L}}}_{k}} \right]+\left[ {{{\hat{S}}}_{j}},{{{\hat{S}}}_{k}} \right] \\
Line 25:		Line 25:
	Drehimpuls Vertauschungsrelationen !		Drehimpuls Vertauschungsrelationen !

	<math>\left[ {{{\hat{J}}}^{2}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]=\left[ {{{\hat{L}}}^{2}}+{{{\hat{\bar{S}}}}^{2}}+2\hat{\bar{L}}\cdot \hat{\bar{S}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]=2{{\hat{\bar{S}}}_{j}}\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]=2i\hbar \left( {{{\hat{S}}}_{2}}{{{\hat{L}}}_{1}}-{{{\hat{S}}}_{1}}{{{\hat{L}}}_{2}} \right)\ne 0</math>		:<math>\left[ {{{\hat{J}}}^{2}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]=\left[ {{{\hat{L}}}^{2}}+{{{\hat{\bar{S}}}}^{2}}+2\hat{\bar{L}}\cdot \hat{\bar{S}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]=2{{\hat{\bar{S}}}_{j}}\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]=2i\hbar \left( {{{\hat{S}}}_{2}}{{{\hat{L}}}_{1}}-{{{\hat{S}}}_{1}}{{{\hat{L}}}_{2}} \right)\ne 0</math>

	Ebenso:		Ebenso:

	<math>\left[ {{{\hat{J}}}^{2}},{{{\hat{S}}}_{3}} \right]\ne 0</math>		:<math>\left[ {{{\hat{J}}}^{2}},{{{\hat{S}}}_{3}} \right]\ne 0</math>

	Also:		Also:
Line 45:		Line 45:
	Dies muss möglich sein, da		Dies muss möglich sein, da

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

	& \left[ {{{\hat{J}}}^{2}},{{{\hat{L}}}^{2}} \right]=\left[ {{{\hat{L}}}^{2}}+{{{\hat{\bar{S}}}}^{2}}+2\hat{\bar{L}}\cdot \hat{\bar{S}},{{{\hat{L}}}^{2}} \right]=0 \\		& \left[ {{{\hat{J}}}^{2}},{{{\hat{L}}}^{2}} \right]=\left[ {{{\hat{L}}}^{2}}+{{{\hat{\bar{S}}}}^{2}}+2\hat{\bar{L}}\cdot \hat{\bar{S}},{{{\hat{L}}}^{2}} \right]=0 \\
Line 59:		Line 59:
	Die Eigenwertgleichungen lauten:		Die Eigenwertgleichungen lauten:

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

	& {{{\hat{J}}}^{2}}\left\| j{{m}_{j}}ls \right\rangle ={{\hbar }^{2}}(j(j+1))\left\| j{{m}_{j}}ls \right\rangle \\		& {{{\hat{J}}}^{2}}\left\| j{{m}_{j}}ls \right\rangle ={{\hbar }^{2}}(j(j+1))\left\| j{{m}_{j}}ls \right\rangle \\
Line 77:		Line 77:
	entwickelt werden:		entwickelt werden:

	<math>\left\| j{{m}_{j}}ls \right\rangle =\sum\limits_{\begin{smallmatrix}		:<math>\left\| j{{m}_{j}}ls \right\rangle =\sum\limits_{\begin{smallmatrix}

	m \\		m \\
Line 91:		Line 91:
	{{FB\|Clebsch-Gordan-Koeffizienten}} !		{{FB\|Clebsch-Gordan-Koeffizienten}} !

	<math>\left\langle lms{{m}_{s}} \| j{{m}_{j}}ls \right\rangle </math>		:<math>\left\langle lms{{m}_{s}} \| j{{m}_{j}}ls \right\rangle </math>

	Dabei gilt:		Dabei gilt:
Line 106:		Line 106:
	Wobei:		Wobei:

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

	& j=l\pm \frac{1}{2} \\		& j=l\pm \frac{1}{2} \\

*>SchuBot at 15:11, 11 September 2010

2010-09-11T15:11:07Z

← Older revision		Revision as of 17:11, 11 September 2010
Line 83:		Line 83:
	{{m}_{S}}={{m}_{j}}-m		{{m}_{S}}={{m}_{j}}-m

	\end{smallmatrix}}{{}}\left\| lms{{m}_{s}} \right\rangle \left\langle lms{{m}_{s}} ~~\right\|\left~~\| j{{m}_{j}}ls \right\rangle </math>		\end{smallmatrix}}{{}}\left\| lms{{m}_{s}} \right\rangle \left\langle lms{{m}_{s}} \| j{{m}_{j}}ls \right\rangle </math>

	Zu beachten ist: Es wird ausschließlich über die Komponenten der alten Basis summiert, die sich von der neuen Basis unterscheiden ( das heißt: Nur dieser Teil der Basis wird transformiert) !		Zu beachten ist: Es wird ausschließlich über die Komponenten der alten Basis summiert, die sich von der neuen Basis unterscheiden ( das heißt: Nur dieser Teil der Basis wird transformiert) !
Line 91:		Line 91:
	{{FB\|Clebsch-Gordan-Koeffizienten}} !		{{FB\|Clebsch-Gordan-Koeffizienten}} !

	<math>\left\langle lms{{m}_{s}} ~~\right\|\left~~\| j{{m}_{j}}ls \right\rangle </math>		<math>\left\langle lms{{m}_{s}} \| j{{m}_{j}}ls \right\rangle </math>

	Dabei gilt:		Dabei gilt:

Schubotz at 15:44, 10 September 2010

2010-09-10T15:44:20Z

← Older revision		Revision as of 17:44, 10 September 2010
Line 33:		Line 33:
	Also:		Also:

	Die <math>2(2l+1)</math>		Die <math>2(2l+1)</math> Produktzustände <math>\left\| lm{{m}_{S}} \right\rangle =\left\| lm \right\rangle \left\| {{m}_{s}} \right\rangle </math> sind Eigenzustände zu <math>{{\hat{L}}^{2}},{{\hat{L}}_{3}},{{\hat{\bar{S}}}^{2}},{{\hat{S}}_{3}}</math> aber nicht zu <math>{{\hat{J}}^{2}}</math>, da <math>\left[ {{{\hat{J}}}^{2}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]\ne 0</math> bzw. <math>\left[ {{{\hat{J}}}^{2}},{{{\hat{S}}}_{3}} \right]\ne 0</math>

	Produktzustände <math>\left\| lm{{m}_{S}} \right\rangle =\left\| lm \right\rangle \left\| {{m}_{s}} \right\rangle </math>

	sind Eigenzustände zu <math>{{\hat{L}}^{2}},{{\hat{L}}_{3}},{{\hat{\bar{S}}}^{2}},{{\hat{S}}_{3}}</math>

	aber nicht zu <math>{{\hat{J}}^{2}}</math>

	, da

	<math>\left[ {{{\hat{J}}}^{2}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]\ne 0</math>

	bzw. <math>\left[ {{{\hat{J}}}^{2}},{{{\hat{S}}}_{3}} \right]\ne 0</math>

	'''Ziel: Suche gemeinsame Eigenzustände zu '''<math>{{\hat{J}}^{2}}</math>		'''Ziel: Suche gemeinsame Eigenzustände zu '''<math>{{\hat{J}}^{2}}</math>
Line 101:		Line 89:
	Dabei heißen die Entwicklungskoeffizienten der neuen Basis bezüglich der alten Basisvektoren, also die Koordinaten der neuen Basis in der alten Basis		Dabei heißen die Entwicklungskoeffizienten der neuen Basis bezüglich der alten Basisvektoren, also die Koordinaten der neuen Basis in der alten Basis

	Clebsch- Gordan- Koeffizienten !		{{FB\|Clebsch-Gordan-Koeffizienten}} !

	<math>\left\langle lms{{m}_{s}} \right\|\left\| j{{m}_{j}}ls \right\rangle </math>		<math>\left\langle lms{{m}_{s}} \right\|\left\| j{{m}_{j}}ls \right\rangle </math>
Line 107:		Line 95:
	Dabei gilt:		Dabei gilt:

	<math>s=\frac{1}{2}</math>		{\| class="wikitable" border="1"
	<math>{{m}_{s}}=\frac{1}{2}</math>		\|-
	<math>{{m}_{s}}=-\frac{1}{2}</math>		!<math>s=\frac{1}{2}</math> !!<math>{{m}_{s}}=\frac{1}{2}</math>!!<math>{{m}_{s}}=-\frac{1}{2}</math>
			\|-
	<math>j=l+\frac{1}{2}</math>		\|<math>j=l+\frac{1}{2}</math>\|\|<math>{{\left( \frac{l+{{m}_{j}}+\frac{1}{2}}{2l+1} \right)}^{\frac{1}{2}}}</math>\|\|<math>{{\left( \frac{l-{{m}_{j}}+\frac{1}{2}}{2l+1} \right)}^{\frac{1}{2}}}</math>
	<math>{{\left( \frac{l+{{m}_{j}}+\frac{1}{2}}{2l+1} \right)}^{\frac{1}{2}}}</math>		\|-
	<math>{{\left( \frac{l-{{m}_{j}}+\frac{1}{2}}{2l+1} \right)}^{\frac{1}{2}}}</math>		\|<math>j=l-\frac{1}{2}</math>\|\|<math>-{{\left( \frac{l-{{m}_{j}}+\frac{1}{2}}{2l+1} \right)}^{\frac{1}{2}}}</math>\|\|<math>{{\left( \frac{l+{{m}_{j}}+\frac{1}{2}}{2l+1} \right)}^{\frac{1}{2}}}</math>
			\|}
	<math>j=l-\frac{1}{2}</math>
	<math>-{{\left( \frac{l-{{m}_{j}}+\frac{1}{2}}{2l+1} \right)}^{\frac{1}{2}}}</math>
	<math>{{\left( \frac{l+{{m}_{j}}+\frac{1}{2}}{2l+1} \right)}^{\frac{1}{2}}}</math>

	Wobei:		Wobei:

Schubotz at 14:35, 9 September 2010

2010-09-09T14:35:18Z

← Older revision		Revision as of 16:35, 9 September 2010
Line 1:		Line 1:
	{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|4\|4}}		<noinclude>{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|4\|4}}</noinclude>

	Der Gesamtdrehimpuls kann folgendermaßen dargestellt werden:		Der Gesamtdrehimpuls kann folgendermaßen dargestellt werden:

Schubotz at 17:22, 24 August 2010

2010-08-24T17:22:31Z

@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Scripthinweis|Quantenmechanik|4|4}}
 Der Gesamtdrehimpuls kann folgendermaßen dargestellt werden:
@@ Line 51: / Line 49: @@
 '''Ziel: Suche gemeinsame Eigenzustände zu '''<math>{{\hat{J}}^{2}}</math>
-, , .
+,<math>{{\hat{J}}_{3}}</math>
 Dies muss möglich sein, da
 Die Eigenwertgleichungen lauten:
-Durch Einschub eines Vollständigen Satzes orthonormierter Eigenfunktionen, durch Einschub eines Projektors auf diesen vollständigen atz, also durch Einschub einer "1" kann der neue Eigenzustand  bezüglich des alten Zustandes  entwickelt werden:
+<math>\begin{align}
 Zu beachten ist: Es wird ausschließlich über die Komponenten der alten Basis summiert, die sich von der neuen Basis unterscheiden ( das heißt: Nur dieser Teil der Basis wird transformiert) !
@@ Line 64: / Line 102: @@
 Clebsch- Gordan- Koeffizienten !
 Dabei gilt:
+<math>s=\frac{1}{2}</math>
+	<math>{{m}_{s}}=\frac{1}{2}</math>
+	<math>{{m}_{s}}=-\frac{1}{2}</math>
+<math>j=l+\frac{1}{2}</math>
+	<math>{{\left( \frac{l+{{m}_{j}}+\frac{1}{2}}{2l+1} \right)}^{\frac{1}{2}}}</math>
+	<math>{{\left( \frac{l-{{m}_{j}}+\frac{1}{2}}{2l+1} \right)}^{\frac{1}{2}}}</math>
+<math>j=l-\frac{1}{2}</math>
 Wobei:

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Quantenmechanik|4|4}} ''( Vergl. Schwabl)'' Der Gesamtdrehimpuls kann folgendermaßen dargestellt werden: $\h…“$

2010-08-24T17:14:23Z

Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Quantenmechanik|4|4}} <font color="#4F81BD">''( Vergl. Schwabl)''</font> Der Gesamtdrehimpuls kann folgendermaßen dargestellt werden: <math>\h…“

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{{Scripthinweis|Quantenmechanik|4|4}}

<font color="#4F81BD">''( Vergl. Schwabl)''</font>

Der Gesamtdrehimpuls kann folgendermaßen dargestellt werden:

<math>\hat{\bar{J}}=\hat{\bar{L}}+\hat{\bar{S}}</math>

Die Vertauschungsrelationen:

<math>\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{S}}}_{k}} \right]=0</math>

Beide Operatoren wirken in verschiedenen Räumen. Wäre der Operator nicht Null, so wären die zugehörigen Eigenzustände nicht separabel.

<math>\begin{align}

& \Rightarrow \left[ {{{\hat{J}}}_{j}},{{{\hat{J}}}_{k}} \right]=\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{L}}}_{k}} \right]+\left[ {{{\hat{S}}}_{j}},{{{\hat{S}}}_{k}} \right] \\

& \left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{L}}}_{k}} \right]=i\hbar {{\varepsilon }_{jkl}}{{{\hat{L}}}_{l}} \\

& \left[ {{{\hat{S}}}_{j}},{{{\hat{S}}}_{k}} \right]=i\hbar {{\varepsilon }_{jkl}}{{{\hat{S}}}_{l}} \\

& \Rightarrow \left[ {{{\hat{J}}}_{j}},{{{\hat{J}}}_{k}} \right]=i\hbar {{\varepsilon }_{jkl}}{{{\hat{J}}}_{l}} \\

\end{align}</math>

Drehimpuls Vertauschungsrelationen !

<math>\left[ {{{\hat{J}}}^{2}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]=\left[ {{{\hat{L}}}^{2}}+{{{\hat{\bar{S}}}}^{2}}+2\hat{\bar{L}}\cdot \hat{\bar{S}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]=2{{\hat{\bar{S}}}_{j}}\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]=2i\hbar \left( {{{\hat{S}}}_{2}}{{{\hat{L}}}_{1}}-{{{\hat{S}}}_{1}}{{{\hat{L}}}_{2}} \right)\ne 0</math>

Ebenso:

<math>\left[ {{{\hat{J}}}^{2}},{{{\hat{S}}}_{3}} \right]\ne 0</math>

Also:

Die <math>2(2l+1)</math>

Produktzustände <math>\left| lm{{m}_{S}} \right\rangle =\left| lm \right\rangle \left| {{m}_{s}} \right\rangle </math>

sind Eigenzustände zu <math>{{\hat{L}}^{2}},{{\hat{L}}_{3}},{{\hat{\bar{S}}}^{2}},{{\hat{S}}_{3}}</math>

aber nicht zu <math>{{\hat{J}}^{2}}</math>

, da

<math>\left[ {{{\hat{J}}}^{2}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]\ne 0</math>

bzw. <math>\left[ {{{\hat{J}}}^{2}},{{{\hat{S}}}_{3}} \right]\ne 0</math>

'''Ziel: Suche gemeinsame Eigenzustände zu '''<math>{{\hat{J}}^{2}}</math>

, , .

Dies muss möglich sein, da

Die Eigenwertgleichungen lauten:

Durch Einschub eines Vollständigen Satzes orthonormierter Eigenfunktionen, durch Einschub eines Projektors auf diesen vollständigen atz, also durch Einschub einer "1" kann der neue Eigenzustand bezüglich des alten Zustandes entwickelt werden:

Zu beachten ist: Es wird ausschließlich über die Komponenten der alten Basis summiert, die sich von der neuen Basis unterscheiden ( das heißt: Nur dieser Teil der Basis wird transformiert) !

Dabei heißen die Entwicklungskoeffizienten der neuen Basis bezüglich der alten Basisvektoren, also die Koordinaten der neuen Basis in der alten Basis

Clebsch- Gordan- Koeffizienten !

Dabei gilt:

Wobei: