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Zustände mit Bahn- und Spinvariablen
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<noinclude>{{Scripthinweis|Quantenmechanik|4|3}}</noinclude> Sei nun <math>\left| nlm{{m}_{s}} \right\rangle </math> ein Zustand, der Bahn- und Spinfreiheitsgrade beschreibt: : <math>\begin{align} & \left| nlm{{m}_{s}} \right\rangle =\left| nlm \right\rangle \left| {{m}_{s}} \right\rangle \in {{H}_{B}}\times {{H}_{S}} \\ & \left| nlm \right\rangle \in {{H}_{B}} \\ & \left| {{m}_{s}} \right\rangle \in {{H}_{S}} \\ \end{align}</math> Der Bahnzustand ist Element des Bahn- Hilbertraumes und der Spinzustand Element des Spin- Hilbertraumes. Der Gesamtzustand erfordert einen Raum, der sich als '''direktes Produkt''' der beiden Hilberträume zeigt. Allgemein gilt für separable oder Produktzustände <math>\left| {{n}_{1}}{{n}_{2}} \right\rangle =\left| {{n}_{1}} \right\rangle \left| {{n}_{2}} \right\rangle </math> (äquivalente Sprechweise): : <math>\left\langle {{m}_{1}}{{m}_{2}} | {{n}_{1}}{{n}_{2}} \right\rangle =\left\langle {{m}_{1}}{{m}_{2}} | {{n}_{1}} \right\rangle \left\langle {{m}_{1}}{{m}_{2}} | {{n}_{2}} \right\rangle =\left\langle {{m}_{1}} | {{n}_{1}} \right\rangle \left\langle {{m}_{2}} | {{n}_{2}} \right\rangle </math> Ein beliebiger Zustand kann nach Spin- Basis Zuständen <math>\left| \uparrow \right\rangle ,\left| \downarrow \right\rangle </math> zerlegt werden: : <math>{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}={{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}}\left| \uparrow \right\rangle +{{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}}\left| \downarrow \right\rangle </math> mit : <math>{{\left| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}}=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\left| {\bar{r}} \right\rangle \left\langle {\bar{r}} \right|{{\left| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}}</math> In der Ortsraum- Basis mit dem Bahn- Zustand <math>\alpha =1,2</math> In der Matrix- Darstellung des Spinraumes ergibt dies: : <math>{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=\left( \begin{matrix} {{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}} \\ {{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}} \\ \end{matrix} \right)=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\left| {\bar{r}} \right\rangle \left( \begin{matrix} \left\langle {\bar{r}} \right|{{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}} \\ \left\langle {\bar{r}} \right|{{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}} \\ \end{matrix} \right)</math> Mit : <math>\left( \begin{matrix} {{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}} \\ {{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}} \\ \end{matrix} \right)</math> entsprechend 2 Spinkomponenten, also entsprechend <math>\left| \uparrow \right\rangle ,\left| \downarrow \right\rangle </math> Die Vollständigkeit der Zustände <math>\left| \bar{r}\uparrow \right\rangle =\left| {\bar{r}} \right\rangle \left| \uparrow \right\rangle ,\left| \bar{r}\downarrow \right\rangle =\left| {\bar{r}} \right\rangle \left| \downarrow \right\rangle </math> folgt aus: : <math>\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\left\{ \left| \bar{r}\uparrow \right\rangle \left\langle \bar{r}\uparrow \right|+\left| \bar{r}\downarrow \right\rangle \left\langle \bar{r}\downarrow \right| \right\}}=1\quad \in {{H}_{B}}\times {{H}_{S}}</math> Weiter: : <math>\begin{align} & \left\langle \bar{r}\uparrow \right|{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=\left\langle {\bar{r}} \right|{{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}} \\ & \left\langle \bar{r}\downarrow \right|{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=\left\langle {\bar{r}} \right|{{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}} \\ \end{align}</math> Also die Komponenten von <math>{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}</math>am Ort <math>\bar{r}</math>, einmal die Komponente mit Spin <math>\uparrow </math> und einmal die Komponente mit Spin <math>\downarrow </math>. Dabei gilt: : <math>\begin{align} & {{\left| \left\langle \bar{r}\uparrow \right|{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}={{\left| \left\langle {\bar{r}} \right|{{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}} \\ & {{\left| \left\langle \bar{r}\downarrow \right|{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}={{\left| \left\langle {\bar{r}} \right|{{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}} \\ \end{align}</math> entspricht der Wahrscheinlichkeit, das Elektron zur Zeit t bei <math>\bar{r}</math> mit Spin <math>\uparrow </math> bzw. Spin <math>\downarrow </math> zu finden. == Schrödingergleichung im Spin- Bahn- Raum == Hamilton- Operator für Bahn: :<math>{{\hat{H}}_{B}}=\frac{1}{2{{m}_{0}}}{{\left( \bar{p}-e\bar{A} \right)}^{2}}+V(r)</math> Elektron mit Ladung e{{H}_{B}}</math> Hamilton- Operator für Spin: :<math>\begin{align} & {{{\hat{H}}}_{S}}=-\hbar {{\omega }_{l}}{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \\ & {{\omega }_{l}}=\frac{\left| e \right|B}{2{{m}_{0}}} \\ \end{align}</math> :<math>{{\hat{H}}_{S}}</math> wirkt dabei nur im Hilbertraum <math>{{H}_{S}}</math> Ohne Berücksichtigung von <math>{{\hat{H}}_{S}}</math> : :<math>\begin{align} & {{{\hat{H}}}_{B}}{{\left| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}} \\ & \alpha =1,2 \\ \end{align}</math> Also haben wir je nach Spinzustand schon 2 Schrödingergleichungen in <math>{{H}_{B}}</math> : Es gilt (äquivalente Darstellung): :<math>\begin{align} & {{{\hat{H}}}_{B}}{{\left| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}}\Leftrightarrow \left( {{{\hat{H}}}_{B}}\times 1 \right){{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}} \\ & \alpha =1,2 \\ \end{align}</math> Dabei :<math>1</math> = Einsoperator im Spinraum → Spin bleibt unberücksichtigt. Einheitsmatrix für beliebigen Vorgang im Spinraum: <math>1=\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)</math> MIT Berücksichtigung von <math>{{\hat{H}}_{S}}</math> : :<math>\left( {{{\hat{H}}}_{B}}\times 1+{{{\hat{H}}}_{S}} \right){{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}</math> In Matrix- Darstellung: :<math>\begin{align} & \left( \begin{matrix} {{{\hat{H}}}_{\acute{\ }B}}+\hbar {{\omega }_{l}} & 0 \\ 0 & {{{\hat{H}}}_{\acute{\ }B}}-\hbar {{\omega }_{l}} \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} {{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}} \\ {{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}} \\ \end{matrix} \right)=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\left( \begin{matrix} {{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}} \\ {{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}} \\ \end{matrix} \right) \\ & \Leftrightarrow \left( {{{\hat{H}}}_{\acute{\ }B}}+\hbar {{\omega }_{l}} \right){{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}} \\ & \left( {{{\hat{H}}}_{\acute{\ }B}}-\hbar {{\omega }_{l}} \right){{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}} \\ \end{align}</math> == Pauli Gleichung == '''Anwendung: '''- einfacher Zeeman- Effekt mit Spin. 1 Elektron im kugelsymmetrischen Potenzial (Kern (H)oder Atomrumpf(Na)) und homogenen Magnetfeld <math>\bar{B}=B{{\bar{e}}_{3}}</math> : <math>\hat{H}={{\hat{H}}_{B}}\times 1+{{H}_{S}}=\left[\frac{1}{2{{m}_{0}}}{{\left( \bar{p}-e\bar{A} \right)}^{2}}+V(r) \right]\times 1-\frac{\left| e \right|\hbar B}{2{{m}_{0}}}{{\hat{\bar{\sigma }}}_{3}}</math> Dabei wird durch <math>{{\hat{H}}_{B}}\times 1</math> der Bahndrehimpuls Hamiltonian durch den Spinraum erweitert. : <math>\begin{align} & \hat{H}={{{\hat{H}}}_{B}}\times 1+{{H}_{S}}=\left[\frac{1}{2{{m}_{0}}}{{\left( \bar{p}-e\bar{A} \right)}^{2}}+V(r) \right]\times 1-\frac{\left| e \right|\hbar B}{2{{m}_{0}}}{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \\ & \hat{H}\cong \left[\frac{{{{\bar{p}}}^{2}}}{2{{m}_{0}}}+V(r) \right]\times 1-\frac{\left| e \right|B}{2{{m}_{0}}}\left( {{{\hat{L}}}_{3}}\times 1+\hbar {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right) \\ & \frac{{{{\bar{p}}}^{2}}}{2{{m}_{0}}}+V(r)={{H}_{0}} \\ & {{H}_{0}}\left| nlm \right\rangle ={{E}_{nl}}\left| nlm \right\rangle \\ \end{align}</math> Wie man sieht bekommt man durch den Korrekturterm <math>\frac{\left| e \right|B}{2{{m}_{0}}}\left( {{{\hat{L}}}_{3}}\times 1+\hbar {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right)</math> eine Korrektur an die Energie. '''Für B=0 → Eigenzustände mit Spin''' :<math>\left( {{H}_{0}}\times 1 \right)\left| nlm{{m}_{s}} \right\rangle ={{E}_{nl}}\left| nlm{{m}_{s}} \right\rangle </math> Insgesamt <math>2\left( 2l+1 \right)</math> fach entartet. Beim H- Atom: zusätzliche l- Entartung :<math>B\ne 0</math> :<math>\begin{align} & \hat{H}\left| nlm{{m}_{s}} \right\rangle ={{H}_{0}}\left| nlm \right\rangle \left| {{m}_{s}} \right\rangle -\frac{\left| e \right|B}{2{{m}_{0}}}\left\{ \left( {{{\hat{L}}}_{3}}\left| nlm \right\rangle \right)\left| {{m}_{s}} \right\rangle +\hbar \left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}}\left| {{m}_{s}} \right\rangle \right)\left| nlm \right\rangle \right\} \\ & {{{\hat{L}}}_{3}}\left| nlm \right\rangle =\hbar m\left| nlm \right\rangle \\ & {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}}\left| {{m}_{s}} \right\rangle =2{{m}_{S}}\left| {{m}_{s}} \right\rangle \\ & {{H}_{0}}\left| nlm \right\rangle \left| {{m}_{s}} \right\rangle -\frac{\left| e \right|B}{2{{m}_{0}}}\left\{ \left( {{{\hat{L}}}_{3}}\left| nlm \right\rangle \right)\left| {{m}_{s}} \right\rangle +\hbar \left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}}\left| {{m}_{s}} \right\rangle \right)\left| nlm \right\rangle \right\}=\left[{{E}_{nl}}-\frac{\left| e \right|\hbar B}{2{{m}_{0}}}\left( m+2{{m}_{s}} \right) \right]\left| nlm{{m}_{s}} \right\rangle \\ \end{align}</math> Das bedeutet: teilweise Aufhebung der <math>2(2l+1)</math>- fachen Entartung (sogenannter {{FB|Anomaler Zeemann-Effekt}}!) {{Gln| <math>E={{E}_{nl}}-{{\mu }_{B}}B\left( m+2{{m}_{s}} \right)</math>}} Dies gilt für '''paramagnetische''' Atome mit magnetischem Moment <math>{{\mu }_{3}}={{\mu }_{B}}\left( m+2{{m}_{s}} \right)</math>. Dabei entspricht <math>2</math> vor ms dem gyromagnetischen Verhältnis, kommt also wegen dem Landé- Faktor g=2, auch wenn dieser leicht von 2 verschieden ist! (Siehe oben). Für dieses Beispiel wird die Energieverschiebung linear zu B am besten in Einheiten von <math>{{\mu }_{B}}</math> angegeben. s und p - Orbital lassen sich folgendermaßen in einem sogenannten Termschema skizzieren (für den anomalen Zeemann- Effekt): Das heißt: die m- Entartung, die ohne Spin vollständig aufgehoben wurde, ist jetzt nur noch teilweise aufgehoben! Da die Aufhebung der Spin- Entartung die Energiezustände wieder so "weiterrückt", dass vorher getrennte wieder zusammenfallen! {| |+Tabelle: Landé- Faktoren !Teilchen!! s!! g!! Q |- |'''Elektron''' ||'''1/2''' ||'''2'''|| '''-e''' |- |'''Proton'''|| '''1/2'''|| '''5,59'''|| '''e''' |- |'''Neutron'''|| '''1/2'''|| '''-3,83'''|| '''0''' |- |'''Neutrino'''|| '''1/2'''|| '''0'''|| '''0''' |- ||'''Photon'''|| '''1'''|| '''0'''|| '''0''' |}
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