Editing Zeitunabhängige Störungsrechnung ohne Entartung

<noinclude>{{Scripthinweis|Quantenmechanik|5|3}}</noinclude>
 ( Schrödinger)

Betrachte zeitunabhängige Schrödingergleichung:

:<math>\hat{H}\left| \Psi  \right\rangle =E\left| \Psi  \right\rangle </math>

muss berechnet werden, wobei

:<math>\hat{H}={{\hat{H}}_{0}}+{{\hat{H}}^{1}}</math>

durch den ungestörten Hamilton- Operator mit einer kleinen Störung repräsentiert wird.

Die Störung lasse sich als Potenzialstörung darstellen, die mittels des von Null verschiedenen jedoch kleinen Parameters    <math>\varepsilon </math>

linear entwickelt werden kann:

:<math>{{\hat{H}}_{1}}=\varepsilon \hat{V}</math>

( dabei soll die Störung zeitunabhängig sein !)

Das ungestörte Problem schreibt sich:

:<math>{{\hat{H}}_{0}}\left| n \right\rangle ={{E}_{n}}^{(0)}\left| n \right\rangle </math>

Für kleine <math>\varepsilon </math>

sollten sich Eigenwerte und Eigenzustände von <math>\hat{H}</math>

entwickeln lassen:

:<math>\begin{align}

& {{E}_{k}}={{E}_{k}}^{(0)}+\varepsilon {{E}_{k}}^{(1)}+{{\varepsilon }^{2}}{{E}_{k}}^{(2)}+... \\

& \left| {{\Psi }_{k}} \right\rangle =\left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle +\varepsilon \left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +{{\varepsilon }^{2}}\left| {{\Psi }_{k}}^{(2)} \right\rangle +... \\

\end{align}</math>

Merke: Die Eigenzustände und die Energieeigenwerte sollten sich entwickeln lassen !

Also:

:<math>\left( {{{\hat{H}}}_{0}}+\varepsilon \hat{V} \right)\left( \left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle +\varepsilon \left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +{{\varepsilon }^{2}}\left| {{\Psi }_{k}}^{(2)} \right\rangle +.. \right)=\left( {{E}_{k}}^{(0)}+\varepsilon {{E}_{k}}^{(1)}+{{\varepsilon }^{2}}{{E}_{k}}^{(2)}+.. \right)\left( \left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle +\varepsilon \left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +.. \right)</math>

Die Koeffizienten lassen sich dann in der Ordnung <math>{{\varepsilon }^{f}}</math>

vergleichen:

'''f=0'''

:<math>{{\hat{H}}_{0}}\left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle ={{E}_{k}}^{(0)}\left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle </math>

ungestörtes Problem

'''f=1'''

:<math>\left( {{{\hat{H}}}_{0}}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left( \left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle  \right)=\left( {{E}_{k}}^{(1)}-\hat{V} \right)\left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle </math>

1. Näherung

'''f=2'''

:<math>\left( {{{\hat{H}}}_{0}}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left| {{\Psi }_{k}}^{(2)} \right\rangle =\left( {{E}_{k}}^{(1)}-\hat{V} \right)\left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +{{E}_{k}}^{(2)}\left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle </math>

'''... → Rekursionsformeln'''

'''Die Bestimmung der Energieeigenwerte und Eigenzustände kann erfolgen....'''

Aus '''f=0: '''<math>\left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle =\left| k \right\rangle </math>

Aus '''f=1: Störungsrechnung erster Ordnung möglich:'''

Wir entwickeln nach der ungestörten Basis <math>\left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =\sum\limits_{n}{{}}\left| n \right\rangle \left\langle  n  |  {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle </math>

und setzen dies in <math>\left( {{{\hat{H}}}_{0}}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left( \left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle  \right)=\left( {{E}_{k}}^{(1)}-\hat{V} \right)\left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle </math>

ein:

:<math>\begin{align}

& \sum\limits_{n}{{}}\left( {{{\hat{H}}}_{0}}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left| n \right\rangle \left\langle  n  |  {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =\left( {{E}_{k}}^{(1)}-\hat{V} \right)\left| k \right\rangle  \\

& \left( {{{\hat{H}}}_{0}}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left| n \right\rangle =\left( {{E}_{n}}^{(0)}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left| n \right\rangle  \\

\end{align}</math>

Skalarprodukt mit <math>\left\langle  l \right|\to \left\langle  l  |  n \right\rangle ={{\delta }_{\ln }}</math>

"projiziert" wieder die Korrektur des l- ten Zustand ( seines Eigenwertes und seines zugehörigen Zustandes ) heraus:

:<math>\left( {{E}_{l}}^{(0)}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left\langle  l  |  {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =\left( {{E}_{k}}^{(1)}-\hat{V} \right){{\delta }_{lk}}-\left\langle  l \right|\hat{V}\left| k \right\rangle </math>

Somit haben wir für l=k

die erste Korrektur zum Energieeigenwert gefunden:

:<math>{{E}_{k}}^{(1)}=\left\langle  k \right|\hat{V}\left| k \right\rangle </math>

und für <math>l\ne k</math>

ergibt sich die 1. Korrektur zum Eigenvektor:

:<math>\left\langle  l  |  {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =\frac{\left\langle  l \right|\hat{V}\left| k \right\rangle }{{{E}_{k}}^{(0)}-{{E}_{l}}^{(0)}}</math>

:<math>\left\langle  k  |  {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle </math>

wird durch Normierung festgelegt:

:<math>\begin{align}

& 1=!=\left\langle  {{\Psi }_{k}}  |  {{\Psi }_{k}} \right\rangle =\left\langle  {{\Psi }_{k}}^{(0)}  |  {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle +\varepsilon \left( \left\langle  {{\Psi }_{k}}^{(0)}  |  {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +\left\langle  {{\Psi }_{k}}^{(1)}  |  {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle  \right)+{{\varepsilon }^{2}}(.... \\

& \left\langle  {{\Psi }_{k}}^{(0)}  |  {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle =1 \\

\end{align}</math>

Da die Summe rechts aber für beliebige Epsilon Null werden muss folgt:

:<math>\begin{align}

& \left( \left\langle  {{\Psi }_{k}}^{(0)}  |  {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +\left\langle  {{\Psi }_{k}}^{(1)}  |  {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle  \right)=0 \\

& (....=0 \\

\end{align}</math>

usw.. für jede Klammer nach einer bestimmten, festen Ordnung von <math>\varepsilon </math>

:

Also für die erste  Ordnung:

:<math>\begin{align}

& \left\langle  {{\Psi }_{k}}^{(0)}  |  {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =-\left\langle  {{\Psi }_{k}}^{(1)}  |  {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle  \\

& \left\langle  k  |  {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =-\left\langle  {{\Psi }_{k}}^{(1)}  |  k \right\rangle \equiv -\left\langle  k \right|{{\left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle }^{*}} \\

\end{align}</math>

Fazit:

:<math>\left\langle  k  |  {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =i\gamma </math>

mit <math>\gamma \in R</math>

Wegen

:<math>{{e}^{i\varepsilon \gamma }}\approx 1+i\varepsilon \gamma +O({{\varepsilon }^{2}})</math>

ändert der Term <math>\tilde{\ }\gamma </math>

die Phase von <math>\left| {{\Psi }_{k}} \right\rangle </math>

relativ zu <math>\left| k \right\rangle </math>

in der Entwicklung <math>\left| {{\Psi }_{k}} \right\rangle =\left| k \right\rangle \left( 1+i\varepsilon \gamma  \right)+\varepsilon \sum\limits_{n\ne k}{{}}\left| n \right\rangle \left\langle  n  |  {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +O({{\varepsilon }^{2}})</math>

.

Die Festlegung erfolgt durch die Forderung :

:<math>\begin{align}

& \left\langle  k  |  {{\Psi }_{k}} \right\rangle =1 \\

& \Rightarrow \gamma =0 \\

\end{align}</math>

Im entartungsfreien Fall (keine Entartung) folgt dann:

:<math>\left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =\sum\limits_{n\ne k}{{}}\left| n \right\rangle \frac{\left\langle  n \right|\hat{V}\left| k \right\rangle }{{{E}_{k}}^{(0)}-{{E}_{n}}^{(0)}}</math>

Voraussetzung: <math>{{E}_{k}}^{(0)}\ne {{E}_{n}}^{(0)}</math>

(keine Entartung)