Editing Zeitunabhängige Störungsrechnung ohne Entartung
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| Latest revision | Your text | ||
| Line 4: | Line 4: | ||
Betrachte zeitunabhängige Schrödingergleichung: | Betrachte zeitunabhängige Schrödingergleichung: | ||
<math>\hat{H}\left| \Psi \right\rangle =E\left| \Psi \right\rangle </math> | |||
muss berechnet werden, wobei | muss berechnet werden, wobei | ||
<math>\hat{H}={{\hat{H}}_{0}}+{{\hat{H}}^{1}}</math> | |||
durch den ungestörten Hamilton- Operator mit einer kleinen Störung repräsentiert wird. | durch den ungestörten Hamilton- Operator mit einer kleinen Störung repräsentiert wird. | ||
| Line 16: | Line 16: | ||
linear entwickelt werden kann: | linear entwickelt werden kann: | ||
<math>{{\hat{H}}_{1}}=\varepsilon \hat{V}</math> | |||
(dabei soll die Störung zeitunabhängig sein!) | (dabei soll die Störung zeitunabhängig sein!) | ||
| Line 22: | Line 22: | ||
Das ungestörte Problem schreibt sich: | Das ungestörte Problem schreibt sich: | ||
<math>{{\hat{H}}_{0}}\left| n \right\rangle ={{E}_{n}}^{(0)}\left| n \right\rangle </math> | |||
Für kleine <math>\varepsilon </math> | Für kleine <math>\varepsilon </math> | ||
| Line 30: | Line 30: | ||
entwickeln lassen: | entwickeln lassen: | ||
<math>\begin{align} | |||
& {{E}_{k}}={{E}_{k}}^{(0)}+\varepsilon {{E}_{k}}^{(1)}+{{\varepsilon }^{2}}{{E}_{k}}^{(2)}+... \\ | & {{E}_{k}}={{E}_{k}}^{(0)}+\varepsilon {{E}_{k}}^{(1)}+{{\varepsilon }^{2}}{{E}_{k}}^{(2)}+... \\ | ||
| Line 42: | Line 42: | ||
Also: | Also: | ||
<math>\left( {{{\hat{H}}}_{0}}+\varepsilon \hat{V} \right)\left( \left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle +\varepsilon \left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +{{\varepsilon }^{2}}\left| {{\Psi }_{k}}^{(2)} \right\rangle +.. \right)=\left( {{E}_{k}}^{(0)}+\varepsilon {{E}_{k}}^{(1)}+{{\varepsilon }^{2}}{{E}_{k}}^{(2)}+.. \right)\left( \left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle +\varepsilon \left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +.. \right)</math> | |||
Die Koeffizienten lassen sich dann in der Ordnung <math>{{\varepsilon }^{f}}</math> | Die Koeffizienten lassen sich dann in der Ordnung <math>{{\varepsilon }^{f}}</math> | ||
| Line 50: | Line 50: | ||
'''f=0''' | '''f=0''' | ||
<math>{{\hat{H}}_{0}}\left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle ={{E}_{k}}^{(0)}\left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle </math> | |||
ungestörtes Problem | ungestörtes Problem | ||
| Line 56: | Line 56: | ||
'''f=1''' | '''f=1''' | ||
<math>\left( {{{\hat{H}}}_{0}}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left( \left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle \right)=\left( {{E}_{k}}^{(1)}-\hat{V} \right)\left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle </math> | |||
1. Näherung | 1. Näherung | ||
| Line 62: | Line 62: | ||
'''f=2''' | '''f=2''' | ||
<math>\left( {{{\hat{H}}}_{0}}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left| {{\Psi }_{k}}^{(2)} \right\rangle =\left( {{E}_{k}}^{(1)}-\hat{V} \right)\left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +{{E}_{k}}^{(2)}\left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle </math> | |||
'''... → Rekursionsformeln''' | '''... → Rekursionsformeln''' | ||
| Line 78: | Line 78: | ||
ein: | ein: | ||
<math>\begin{align} | |||
& \sum\limits_{n}{{}}\left( {{{\hat{H}}}_{0}}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left| n \right\rangle \left\langle n | {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =\left( {{E}_{k}}^{(1)}-\hat{V} \right)\left| k \right\rangle \\ | & \sum\limits_{n}{{}}\left( {{{\hat{H}}}_{0}}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left| n \right\rangle \left\langle n | {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =\left( {{E}_{k}}^{(1)}-\hat{V} \right)\left| k \right\rangle \\ | ||
| Line 90: | Line 90: | ||
"projiziert" wieder die Korrektur des l- ten Zustand (seines Eigenwertes und seines zugehörigen Zustandes) heraus: | "projiziert" wieder die Korrektur des l- ten Zustand (seines Eigenwertes und seines zugehörigen Zustandes) heraus: | ||
<math>\left( {{E}_{l}}^{(0)}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left\langle l | {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =\left( {{E}_{k}}^{(1)}-\hat{V} \right){{\delta }_{lk}}-\left\langle l \right|\hat{V}\left| k \right\rangle </math> | |||
Somit haben wir für l=k | Somit haben wir für l=k | ||
| Line 96: | Line 96: | ||
die erste Korrektur zum Energieeigenwert gefunden: | die erste Korrektur zum Energieeigenwert gefunden: | ||
<math>{{E}_{k}}^{(1)}=\left\langle k \right|\hat{V}\left| k \right\rangle </math> | |||
und für <math>l\ne k</math> | und für <math>l\ne k</math> | ||
| Line 102: | Line 102: | ||
ergibt sich die 1. Korrektur zum Eigenvektor: | ergibt sich die 1. Korrektur zum Eigenvektor: | ||
<math>\left\langle l | {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =\frac{\left\langle l \right|\hat{V}\left| k \right\rangle }{{{E}_{k}}^{(0)}-{{E}_{l}}^{(0)}}</math> | |||
<math>\left\langle k | {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle </math> | |||
wird durch Normierung festgelegt: | wird durch Normierung festgelegt: | ||
<math>\begin{align} | |||
& 1=!=\left\langle {{\Psi }_{k}} | {{\Psi }_{k}} \right\rangle =\left\langle {{\Psi }_{k}}^{(0)} | {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle +\varepsilon \left( \left\langle {{\Psi }_{k}}^{(0)} | {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +\left\langle {{\Psi }_{k}}^{(1)} | {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle \right)+{{\varepsilon }^{2}}(.... \\ | & 1=!=\left\langle {{\Psi }_{k}} | {{\Psi }_{k}} \right\rangle =\left\langle {{\Psi }_{k}}^{(0)} | {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle +\varepsilon \left( \left\langle {{\Psi }_{k}}^{(0)} | {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +\left\langle {{\Psi }_{k}}^{(1)} | {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle \right)+{{\varepsilon }^{2}}(.... \\ | ||
| Line 118: | Line 118: | ||
Da die Summe rechts aber für beliebige Epsilon Null werden muss folgt: | Da die Summe rechts aber für beliebige Epsilon Null werden muss folgt: | ||
<math>\begin{align} | |||
& \left( \left\langle {{\Psi }_{k}}^{(0)} | {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +\left\langle {{\Psi }_{k}}^{(1)} | {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle \right)=0 \\ | & \left( \left\langle {{\Psi }_{k}}^{(0)} | {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +\left\langle {{\Psi }_{k}}^{(1)} | {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle \right)=0 \\ | ||
| Line 132: | Line 132: | ||
Also für die erste Ordnung: | Also für die erste Ordnung: | ||
<math>\begin{align} | |||
& \left\langle {{\Psi }_{k}}^{(0)} | {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =-\left\langle {{\Psi }_{k}}^{(1)} | {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle \\ | & \left\langle {{\Psi }_{k}}^{(0)} | {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =-\left\langle {{\Psi }_{k}}^{(1)} | {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle \\ | ||
| Line 142: | Line 142: | ||
Fazit: | Fazit: | ||
<math>\left\langle k | {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =i\gamma </math> | |||
mit <math>\gamma \in R</math> | mit <math>\gamma \in R</math> | ||
| Line 148: | Line 148: | ||
Wegen | Wegen | ||
<math>{{e}^{i\varepsilon \gamma }}\approx 1+i\varepsilon \gamma +O({{\varepsilon }^{2}})</math> | |||
ändert der Term <math>\tilde{\ }\gamma </math> | ändert der Term <math>\tilde{\ }\gamma </math> | ||
| Line 162: | Line 162: | ||
Die Festlegung erfolgt durch die Forderung : | Die Festlegung erfolgt durch die Forderung : | ||
<math>\begin{align} | |||
& \left\langle k | {{\Psi }_{k}} \right\rangle =1 \\ | & \left\langle k | {{\Psi }_{k}} \right\rangle =1 \\ | ||
| Line 172: | Line 172: | ||
Im entartungsfreien Fall (keine Entartung) folgt dann: | Im entartungsfreien Fall (keine Entartung) folgt dann: | ||
<math>\left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =\sum\limits_{n\ne k}{{}}\left| n \right\rangle \frac{\left\langle n \right|\hat{V}\left| k \right\rangle }{{{E}_{k}}^{(0)}-{{E}_{n}}^{(0)}}</math> | |||
Voraussetzung: <math>{{E}_{k}}^{(0)}\ne {{E}_{n}}^{(0)}</math> | Voraussetzung: <math>{{E}_{k}}^{(0)}\ne {{E}_{n}}^{(0)}</math> | ||
(keine Entartung) | (keine Entartung) | ||