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Zeitunabhängige Störungsrechnung ohne Entartung
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<noinclude>{{Scripthinweis|Quantenmechanik|5|3}}</noinclude> (Schrödinger) Betrachte zeitunabhängige Schrödingergleichung: :<math>\hat{H}\left| \Psi \right\rangle =E\left| \Psi \right\rangle </math> muss berechnet werden, wobei :<math>\hat{H}={{\hat{H}}_{0}}+{{\hat{H}}^{1}}</math> durch den ungestörten Hamilton- Operator mit einer kleinen Störung repräsentiert wird. Die Störung lasse sich als Potenzialstörung darstellen, die mittels des von Null verschiedenen jedoch kleinen Parameters <math>\varepsilon </math> linear entwickelt werden kann: :<math>{{\hat{H}}_{1}}=\varepsilon \hat{V}</math> (dabei soll die Störung zeitunabhängig sein!) Das ungestörte Problem schreibt sich: :<math>{{\hat{H}}_{0}}\left| n \right\rangle ={{E}_{n}}^{(0)}\left| n \right\rangle </math> Für kleine <math>\varepsilon </math> sollten sich Eigenwerte und Eigenzustände von <math>\hat{H}</math> entwickeln lassen: :<math>\begin{align} & {{E}_{k}}={{E}_{k}}^{(0)}+\varepsilon {{E}_{k}}^{(1)}+{{\varepsilon }^{2}}{{E}_{k}}^{(2)}+... \\ & \left| {{\Psi }_{k}} \right\rangle =\left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle +\varepsilon \left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +{{\varepsilon }^{2}}\left| {{\Psi }_{k}}^{(2)} \right\rangle +... \\ \end{align}</math> Merke: Die Eigenzustände und die Energieeigenwerte sollten sich entwickeln lassen! Also: :<math>\left( {{{\hat{H}}}_{0}}+\varepsilon \hat{V} \right)\left( \left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle +\varepsilon \left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +{{\varepsilon }^{2}}\left| {{\Psi }_{k}}^{(2)} \right\rangle +.. \right)=\left( {{E}_{k}}^{(0)}+\varepsilon {{E}_{k}}^{(1)}+{{\varepsilon }^{2}}{{E}_{k}}^{(2)}+.. \right)\left( \left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle +\varepsilon \left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +.. \right)</math> Die Koeffizienten lassen sich dann in der Ordnung <math>{{\varepsilon }^{f}}</math> vergleichen: '''f=0''' :<math>{{\hat{H}}_{0}}\left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle ={{E}_{k}}^{(0)}\left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle </math> ungestörtes Problem '''f=1''' :<math>\left( {{{\hat{H}}}_{0}}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left( \left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle \right)=\left( {{E}_{k}}^{(1)}-\hat{V} \right)\left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle </math> 1. Näherung '''f=2''' :<math>\left( {{{\hat{H}}}_{0}}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left| {{\Psi }_{k}}^{(2)} \right\rangle =\left( {{E}_{k}}^{(1)}-\hat{V} \right)\left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +{{E}_{k}}^{(2)}\left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle </math> '''... → Rekursionsformeln''' '''Die Bestimmung der Energieeigenwerte und Eigenzustände kann erfolgen....''' Aus '''f=0: '''<math>\left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle =\left| k \right\rangle </math> Aus '''f=1: Störungsrechnung erster Ordnung möglich:''' Wir entwickeln nach der ungestörten Basis <math>\left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =\sum\limits_{n}{{}}\left| n \right\rangle \left\langle n | {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle </math> und setzen dies in <math>\left( {{{\hat{H}}}_{0}}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left( \left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle \right)=\left( {{E}_{k}}^{(1)}-\hat{V} \right)\left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle </math> ein: :<math>\begin{align} & \sum\limits_{n}{{}}\left( {{{\hat{H}}}_{0}}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left| n \right\rangle \left\langle n | {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =\left( {{E}_{k}}^{(1)}-\hat{V} \right)\left| k \right\rangle \\ & \left( {{{\hat{H}}}_{0}}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left| n \right\rangle =\left( {{E}_{n}}^{(0)}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left| n \right\rangle \\ \end{align}</math> Skalarprodukt mit <math>\left\langle l \right|\to \left\langle l | n \right\rangle ={{\delta }_{\ln }}</math> "projiziert" wieder die Korrektur des l- ten Zustand (seines Eigenwertes und seines zugehörigen Zustandes) heraus: :<math>\left( {{E}_{l}}^{(0)}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left\langle l | {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =\left( {{E}_{k}}^{(1)}-\hat{V} \right){{\delta }_{lk}}-\left\langle l \right|\hat{V}\left| k \right\rangle </math> Somit haben wir für l=k die erste Korrektur zum Energieeigenwert gefunden: :<math>{{E}_{k}}^{(1)}=\left\langle k \right|\hat{V}\left| k \right\rangle </math> und für <math>l\ne k</math> ergibt sich die 1. Korrektur zum Eigenvektor: :<math>\left\langle l | {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =\frac{\left\langle l \right|\hat{V}\left| k \right\rangle }{{{E}_{k}}^{(0)}-{{E}_{l}}^{(0)}}</math> :<math>\left\langle k | {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle </math> wird durch Normierung festgelegt: :<math>\begin{align} & 1=!=\left\langle {{\Psi }_{k}} | {{\Psi }_{k}} \right\rangle =\left\langle {{\Psi }_{k}}^{(0)} | {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle +\varepsilon \left( \left\langle {{\Psi }_{k}}^{(0)} | {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +\left\langle {{\Psi }_{k}}^{(1)} | {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle \right)+{{\varepsilon }^{2}}(.... \\ & \left\langle {{\Psi }_{k}}^{(0)} | {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle =1 \\ \end{align}</math> Da die Summe rechts aber für beliebige Epsilon Null werden muss folgt: :<math>\begin{align} & \left( \left\langle {{\Psi }_{k}}^{(0)} | {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +\left\langle {{\Psi }_{k}}^{(1)} | {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle \right)=0 \\ & (....=0 \\ \end{align}</math> usw.. für jede Klammer nach einer bestimmten, festen Ordnung von <math>\varepsilon </math> : Also für die erste Ordnung: :<math>\begin{align} & \left\langle {{\Psi }_{k}}^{(0)} | {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =-\left\langle {{\Psi }_{k}}^{(1)} | {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle \\ & \left\langle k | {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =-\left\langle {{\Psi }_{k}}^{(1)} | k \right\rangle \equiv -\left\langle k \right|{{\left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle }^{*}} \\ \end{align}</math> Fazit: :<math>\left\langle k | {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =i\gamma </math> mit <math>\gamma \in R</math> Wegen :<math>{{e}^{i\varepsilon \gamma }}\approx 1+i\varepsilon \gamma +O({{\varepsilon }^{2}})</math> ändert der Term <math>\tilde{\ }\gamma </math> die Phase von <math>\left| {{\Psi }_{k}} \right\rangle </math> relativ zu <math>\left| k \right\rangle </math> in der Entwicklung <math>\left| {{\Psi }_{k}} \right\rangle =\left| k \right\rangle \left( 1+i\varepsilon \gamma \right)+\varepsilon \sum\limits_{n\ne k}{{}}\left| n \right\rangle \left\langle n | {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +O({{\varepsilon }^{2}})</math> . Die Festlegung erfolgt durch die Forderung : :<math>\begin{align} & \left\langle k | {{\Psi }_{k}} \right\rangle =1 \\ & \Rightarrow \gamma =0 \\ \end{align}</math> Im entartungsfreien Fall (keine Entartung) folgt dann: :<math>\left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =\sum\limits_{n\ne k}{{}}\left| n \right\rangle \frac{\left\langle n \right|\hat{V}\left| k \right\rangle }{{{E}_{k}}^{(0)}-{{E}_{n}}^{(0)}}</math> Voraussetzung: <math>{{E}_{k}}^{(0)}\ne {{E}_{n}}^{(0)}</math> (keine Entartung)
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