Editing Zeitunabhängige Störungsrechnung bei Entartung

<noinclude>{{Scripthinweis|Quantenmechanik|5|4}}</noinclude>

Betrachte zeitunabhängige Schrödingergleichung:

:<math>\hat{H}\left| \Psi  \right\rangle =E\left| \Psi  \right\rangle </math>

soll berechnet werden, wobei

:<math>\hat{H}={{\hat{H}}_{0}}+{{\hat{H}}^{1}}</math>

durch den ungestörten Hamilton- Operator mit einer kleinen Störung repräsentiert wird.

Die Störung lasse sich als Potenzialstörung darstellen, die mittels des von Null verschiedenen jedoch kleinen Parameters    <math>\varepsilon </math>

linear entwickelt werden kann:

:<math>{{\hat{H}}_{1}}=\varepsilon \hat{V}</math>

(dabei soll die Störung zeitunabhängig sein!)

Wenn wir nun annehmen, dass zur Energie <math>{{E}_{n}}^{(0)}</math>

mehrere (orthonormal) entartete Zustände gehören, so müssen wir das Problem anpassen:

Das ungestörte Problem schreibt sich dann:

:<math>{{\hat{H}}_{0}}\left| n,\alpha  \right\rangle ={{E}_{n}}^{(0)}\left| n,\alpha  \right\rangle \quad \alpha =1,...,s</math>

Damit bezeichnet <math>\alpha =1,...,s</math>

die Nummerierung der entarteten Zustände beim Entartungsgrad s. Bei diesem Beispiel wäre der N. Eigenzustand s- fach entartet!

Durch <math>{{\hat{H}}_{1}}=\varepsilon \hat{V}</math>

wird die Entartung jedoch im Allgemeinen aufgehoben:

:<math>\hat{H}\left| {{\Psi }_{k}} \right\rangle ={{E}_{k}}\left| {{\Psi }_{k}} \right\rangle </math>

Die Störungsreihe/ Störungsentwicklung

:<math>\left| {{\Psi }_{k}} \right\rangle =\left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle +\varepsilon \left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +{{\varepsilon }^{2}}\left| {{\Psi }_{k}}^{(2)} \right\rangle +...</math>

ist unter diesen Bedingungen nur für ein bestimmtes, geeignetes

:<math>\left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}{{c}_{\alpha }}\left| k,\alpha  \right\rangle </math>

möglich:

Wähle nun <math>\left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle </math>

im ungestörten Eigenraum so, dass für <math>\begin{matrix}

\lim   \\

\varepsilon \to 0  \\

\end{matrix}\left| {{\Psi }_{k}} \right\rangle =\left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle </math>

(eindeutig bestimmt).

Das Einsetzen in die Entwicklung der Ordnung <math>{{\varepsilon }^{f}}</math>

liefert:

'''f=1'''

:<math>\left( {{{\hat{H}}}_{0}}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left( \left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle  \right)=\left( {{E}_{k}}^{(1)}-\hat{V} \right)\sum\limits_{\alpha }{{{c}_{\alpha }}}\left| k,\alpha  \right\rangle </math>

1. Näherung

Das Skalarprodukt mit <math>\left\langle  k,\beta  \right|\to \left\langle  k,\beta   |  k,\alpha  \right\rangle ={{\delta }_{\alpha \beta }}</math>

"projiziert" wieder die Korrektur des jeweils entarteten Terms der Nummer <math>\beta </math>

heraus:

:<math>\begin{align}

& \left\langle  k,\beta  \right|\left( {{{\hat{H}}}^{(0)}}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }{{{c}_{\alpha }}\left( \left\langle  k,\beta   |  k,\alpha  \right\rangle {{E}_{k}}^{(1)}-\left\langle  k,\beta  \right|\hat{V}\left| k,\alpha  \right\rangle  \right)} \\

& \left\langle  k,\beta  \right|\left( {{{\hat{H}}}^{(0)}}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =0 \\

& \left\langle  k,\beta   |  k,\alpha  \right\rangle ={{\delta }_{\beta \alpha }} \\

& \left\langle  k,\beta  \right|\hat{V}\left| k,\alpha  \right\rangle :={{{\hat{V}}}_{\beta \alpha }} \\

\end{align}</math>

Somit folgt:

:<math>0=\sum\limits_{\alpha }{\left( {{{\hat{V}}}_{\beta \alpha }}-{{E}_{k}}^{(1)}{{\delta }_{\beta \alpha }} \right){{c}_{\alpha }}}</math>

Dies ist aber gerade eine Eigenwertgleichung für die sogenannte Störmatrix<math>{{\hat{V}}_{\beta \alpha }}</math>

:

:<math>\begin{align}

& 0=\sum\limits_{\alpha }{\left( {{{\hat{V}}}_{\beta \alpha }}-{{E}_{k}}^{(1)}{{\delta }_{\beta \alpha }} \right){{c}_{\alpha }}}=\left( \hat{V}-{{E}_{k}}^{(1)}1 \right)\bar{c} \\

& \bar{c}\in {{C}^{s}} \\

& \hat{V}\in {{C}^{s}}\times {{C}^{s}} \\

\end{align}</math>

Die Gleichung heißt auch "Säkulargleichung" zur Berechnung von Eigenwerten und bildet ein homogenes, lineares Gleichungssystem.

Die Bezeichnung folgt in Anlehnung an die früheren Anwendungen: Berechnung der astronomischen säkularen Störungen.

Nichttriviale Lösungen existieren genau dann, wenn die Determinante <math>\det \left( \hat{V}-{{E}_{k}}^{(1)}1 \right)</math>
,
 die sogenannte Säkulardeterminante, verschwindet, also <math>\det \left( \hat{V}-{{E}_{k}}^{(1)}1 \right)=0</math>

also:

:<math>\left| \begin{matrix}

{{{\hat{V}}}_{11}}-{{E}_{k}}^{(1)} & {{{\hat{V}}}_{12}} & ... & {{{\hat{V}}}_{1s}}  \\

{{{\hat{V}}}_{21}} & {{{\hat{V}}}_{22}}-{{E}_{k}}^{(1)} & ... & ...  \\
.
.. & ... & ... & ...  \\

{{{\hat{V}}}_{s1}} & ... & ... & {{{\hat{V}}}_{ss}}-{{E}_{k}}^{(1)}  \\

\end{matrix} \right|=0</math>

Für den Fall  <math>\hat{V}</math>

hermitesch folgt <math>{{\hat{V}}_{\beta \alpha }}={{\hat{V}}_{\alpha \beta }}*</math>

Dann existieren reelle Eigenwerte <math>{{E}_{k}}^{(1)}</math>

und die Eigenvektoren zu <math>{{E}_{k}}^{(1)}\ne {{E}_{l}}^{(1)}</math>

sind orthogonal!

'''Bemerkung: ''' Die Entartung muss NICHT vollständig aufgehoben werden!

=====Beispiel:  2 entartete Zustände=====

Säkulardeterminante

:<math>\begin{align}

& \left| \begin{matrix}

{{{\hat{V}}}_{11}}-{{E}_{k}}^{(1)} & {{{\hat{V}}}_{12}}  \\

{{{\hat{V}}}_{21}} & {{{\hat{V}}}_{22}}-{{E}_{k}}^{(1)}  \\

\end{matrix} \right|=0 \\

& {{\left( {{E}_{k}}^{(1)} \right)}^{2}}-\left( {{{\hat{V}}}_{11}}+{{{\hat{V}}}_{22}} \right){{E}_{k}}^{(1)}+\left( {{{\hat{V}}}_{11}}{{{\hat{V}}}_{22}}-{{{\hat{V}}}_{12}}{{{\hat{V}}}_{21}} \right)=0 \\

& {{{\hat{V}}}_{12}}{{{\hat{V}}}_{21}}={{\left| {{{\hat{V}}}_{12}} \right|}^{2}} \\
& \Rightarrow {{E}_{k}}^{(1)}=\frac{1}{2}\left[ \left( {{{\hat{V}}}_{11}}+{{{\hat{V}}}_{22}} \right)\pm \sqrt{{{\left( {{{\hat{V}}}_{11}}-{{{\hat{V}}}_{22}} \right)}^{2}}+4{{\left| {{{\hat{V}}}_{12}} \right|}^{2}}} \right] \\
\end{align}</math>

Dies als Korrekturterm. Somit folgt für ein Energieniveau der Energie E:
:<math>E={{E}^{(0)}}+\varepsilon {{E}_{k}}^{(1)}={{E}^{(0)}}+\frac{\varepsilon }{2}\left[ \left( {{{\hat{V}}}_{11}}+{{{\hat{V}}}_{22}} \right)\pm \sqrt{{{\left( {{{\hat{V}}}_{11}}-{{{\hat{V}}}_{22}} \right)}^{2}}+4{{\left| {{{\hat{V}}}_{12}} \right|}^{2}}} \right]</math>

Dabei gibt <math>\sqrt{{{\left( {{{\hat{V}}}_{11}}-{{{\hat{V}}}_{22}} \right)}^{2}}+4{{\left| {{{\hat{V}}}_{12}} \right|}^{2}}}</math>
die Energieaufspaltung an.
E ist, wie angegeben die gesamte Energie in 1. Störungstheoretischer Ordnung. Die Aufspaltung erfolgt linear in <math>\varepsilon </math>,
 also linear zur Störung: