Editing Zeitabhängige Störungsrechnung

<noinclude>{{Scripthinweis|Quantenmechanik|5|1}}</noinclude>

'''(Dirac)'''

Es soll die '''zeitliche Entwicklung''' eines Zustandes <math>{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}}</math> aus der Schrödingergleichung

:<math>\hat{H}{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}}</math>

berechnet werden, wobei

:<math>\hat H = \hat H _0 + \hat H_1(t)</math> 

durch den ungestörten Hamilton- Operator mit einer kleinen Störung repräsentiert wird.

Die Störung lasse sich als Potenzialstörung darstellen, die mittels des von Null verschiedenen jedoch kleinen Parameters    <math>\varepsilon </math> linear entwickelt werden kann:

:<math>{{\hat{H}}_{1}}(t)=\varepsilon \hat{V}</math>
(dabei kann die Störung natürlich explizit zeitabhängig sein!)

Die ''Eigenzustände'' und ''Eigenwerte'' von H<sub>0</sub> seien bekannt:

:<math>{{\hat{H}}_{0}}\left| n \right\rangle ={{E}_{n}}\left| n \right\rangle </math> (ungestörtes Problem)

Dabei gilt natürlich weiterhin die ''Orthonormierung'' und ''Vollständigkeit'' des Basissystems:

:<math>\begin{align}

& \left\langle  n\acute{\ }  |  n \right\rangle ={{\delta }_{n\acute{\ }n}} \\

& \sum\limits_{n}{{}}\left| n \right\rangle \left\langle  n \right|=1 \\

\end{align}</math>

<u>Annahme</u>: diskretes Spektrum

Die Entwicklung von <math>{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}}</math> nach den Eigenzuständen des ungestörten Systems liefert:

:<math>\begin{align}

& \sum\limits_{n}{{}}\left| n \right\rangle \left\langle  n \right|{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}}=\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left| n \right\rangle  \\

& \left\langle  n \right|{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}}:={{c}_{n}}(t) \\

\end{align}</math>

Die Anfangsbedingung sei ein noch ungestörter Zustand <math>\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>:

:<math>{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t=0}}=\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>

Damit:

:<math>\left\langle  n  |  {{n}_{0}} \right\rangle :={{c}_{n}}(0)={{\delta }_{n{{n}_{0}}}}</math>

Die Zeitentwicklung unter dem Einfluss der Störung lautet (Einsetzen  von

:<math>\begin{align}

& \sum\limits_{n}{{}}\left| n \right\rangle \left\langle  n \right|{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}}=\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left| n \right\rangle  \\

& \left\langle  n \right|{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}}:={{c}_{n}}(t) \\

\end{align}</math>

in die Schrödingergleichung:

:<math>\begin{align}

& \hat{H}{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}} \\

& \Rightarrow \sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\hat{H}\left| n \right\rangle =i\hbar \sum\limits_{n}{{}}\frac{d}{dt}{{c}_{n}}(t)\left| n \right\rangle =\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left( {{{\hat{H}}}_{0}}+{{{\hat{H}}}^{1}}(t) \right)\left| n \right\rangle =\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left( {{E}_{n}}+{{{\hat{H}}}^{1}}(t) \right)\left| n \right\rangle  \\

\end{align}</math>

Charakteristisch für diese entwickelten Probleme ist das Auftreten der Summe, wie hier zu sehen. Diese kann man beseitigen, indem von links mit einem zweiten Zustand "herausprojiziert" wird):

:<math>\begin{align}

& i\hbar \sum\limits_{n}{{}}\frac{d}{dt}{{c}_{n}}(t)\left\langle  m  |  n \right\rangle =\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left\langle  m \right|\left( {{{\hat{H}}}_{0}}+{{{\hat{H}}}^{1}}(t) \right)\left| n \right\rangle =\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left\langle  m \right|\left( {{E}_{n}}+{{{\hat{H}}}^{1}}(t) \right)\left| n \right\rangle  \\

& =\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left( \left\langle  m \right|{{E}_{n}}\left| n \right\rangle +\left\langle  m \right|{{{\hat{H}}}^{1}}(t)\left| n \right\rangle  \right)=\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t){{E}_{n}}{{\delta }_{mn}}+\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left\langle  m \right|{{{\hat{H}}}^{1}}(t)\left| n \right\rangle  \\

& \Rightarrow i\hbar \sum\limits_{n}{{}}\frac{d}{dt}{{c}_{n}}(t)\left\langle  m  |  n \right\rangle ={{c}_{m}}(t){{E}_{m}}+\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left\langle  m \right|{{{\hat{H}}}^{1}}(t)\left| n \right\rangle =i\hbar \frac{d}{dt}{{c}_{m}}(t) \\

\end{align}</math>

Hilfreich ist die Definition eines <math>{{c}_{n}}(t):={{e}^{-\left( i\frac{{{E}_{n}}t}{\hbar } \right)}}{{g}_{n}}(t)</math> mit Hilfe der Eigenwerte des Zeitentwicklungsoperators für die ungestörten Zustände:

:<math>{{e}^{-\left( i\frac{{{E}_{n}}t}{\hbar } \right)}}</math>

Man schreibt also eine Zeitentwicklung für die Entwicklungskoeffizienten auf!

Somit kann die Differenzialgleichung für die Entwicklungskoeffizienten umgeschrieben werden:

:<math>i\hbar \frac{d}{dt}{{c}_{m}}(t)={{c}_{m}}(t){{E}_{m}}+\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left\langle  m \right|{{\hat{H}}^{1}}(t)\left| n \right\rangle </math>

mit <math>i\hbar \frac{d}{dt}{{c}_{m}}(t)={{c}_{m}}(t){{E}_{m}}+{{e}^{-\left( i\frac{{{E}_{m}}t}{\hbar } \right)}}i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}(t)</math>

Setzt man dies ein, so folgt:

:<math>\begin{align}

& {{c}_{m}}(t){{E}_{m}}+{{e}^{-\left( i\frac{{{E}_{m}}t}{\hbar } \right)}}i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}(t)={{c}_{m}}(t){{E}_{m}}+\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left\langle  m \right|{{{\hat{H}}}^{1}}(t)\left| n \right\rangle  \\

& \Rightarrow i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}(t)={{e}^{\left( i\frac{{{E}_{m}}t}{\hbar } \right)}}\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left\langle  m \right|{{{\hat{H}}}^{1}}(t)\left| n \right\rangle  \\

\end{align}</math>

und wegen <math>{{c}_{n}}(t):={{e}^{-\left( i\frac{{{E}_{n}}t}{\hbar } \right)}}{{g}_{n}}(t)</math> also:

:<math>i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}(t)=\sum\limits_{n}{{}}{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{m}}-{{E}_{n}} \right)t}{\hbar } \right)}}\left\langle  m \right|{{\hat{H}}^{1}}(t)\left| n \right\rangle {{g}_{n}}(t)</math>

Die eigentliche Störungsrechnung kommt erst jetzt:

Wir machen eine Sörungsentwicklung für kleines <math>\varepsilon </math>:

:<math>{{\hat{H}}_{1}}(t)=\varepsilon \hat{V}</math>

(dabei kann die Störung natürlich explizit zeitabhängig sein!)

Man motiviert dass bei kleinen Potenzialstörungen höhere Ordnungen von <math>\left\langle  m \right|{{\hat{H}}^{1}}(t)\left| n \right\rangle </math>

polynomial in <math>\varepsilon </math>

fallen, was für die Entwicklungskoeffizienten bedeutet:

:<math>{{g}_{n}}(t)={{g}_{n}}^{(0)}(t)+\varepsilon {{g}_{n}}^{(1)}(t)+{{\varepsilon }^{2}}{{g}_{n}}^{(2)}(t)+...</math>

Merke: Der entscheidende Schritt der zeitabhängigen Störungsrechnung ist hier: die Taylorentwicklung der Entwicklungskoeffizienten, in denen der Zustand entwickelt wurde.

Dabei gilt:

:<math>\begin{align}

& \sum\limits_{n}{{}}\left| n \right\rangle \left\langle  n \right|{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}}=\sum\limits_{n}{{}}{{c}_{n}}(t)\left| n \right\rangle  \\

& \left\langle  n \right|{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}}:={{c}_{n}}(t) \\

\end{align}</math>

:<math>{{c}_{n}}(t):={{e}^{-\left( i\frac{{{E}_{n}}t}{\hbar } \right)}}{{g}_{n}}(t)</math>

Da aber die Differenzialgleichung für unsere <math>{{g}_{m}}(t)</math>

:<math>i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}(t)=\sum\limits_{n}{{}}{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{m}}-{{E}_{n}} \right)t}{\hbar } \right)}}\left\langle  m \right|{{\hat{H}}^{1}}(t)\left| n \right\rangle {{g}_{n}}(t)</math>

ebenso beidseitig entwickelt werden kann:

:<math>\begin{align}

& i\hbar \frac{d}{dt}\left( {{g}_{m}}^{(0)}(t)+\varepsilon {{g}_{m}}^{(1)}(t)+{{\varepsilon }^{2}}{{g}_{m}}^{(2)}(t)+... \right) \\

& =\sum\limits_{n}{{}}{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{m}}-{{E}_{n}} \right)t}{\hbar } \right)}}\left\langle  m \right|{{{\hat{H}}}^{1}}(t)\left| n \right\rangle \left( {{g}_{n}}^{(0)}(t)+\varepsilon {{g}_{n}}^{(1)}(t)+{{\varepsilon }^{2}}{{g}_{n}}^{(2)}(t)+... \right) \\

\end{align}</math>

und dies für beliebige <math>\varepsilon </math>

gilt, kann an der Gleichung ein Koeffizientenvergleich in der Ordnung <math>{{\varepsilon }^{k}}</math>

durchgeführt werden und es folgt: <math>k=0</math>:

:<math>\begin{align}

& i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}^{(0)}(t)=0 \\

& \Rightarrow {{g}_{m}}^{(0)}(t)=const=!={{\delta }_{m{{n}_{0}}}} \\

\end{align}</math>

Exakte Lösung für <math>\varepsilon =0</math>

:

:<math>{{c}_{m}}^{(0)}(t)={{e}^{-i\frac{{{E}_{m}}}{\hbar }t}}{{\delta }_{m{{n}_{0}}}}</math>

'''Für k=1'''

:<math>i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}^{(1)}(t)=\sum\limits_{n}{{}}{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{m}}-{{E}_{n}} \right)t}{\hbar } \right)}}\left\langle  m \right|\hat{V}\left| n \right\rangle {{g}_{n}}^{(0)}</math>

Dabei wurde <math>{{\varepsilon }^{k}}={{\varepsilon }^{1}}</math>

bereits beidseitig gekürzt.

Beim Vergleich der Ordnungen von <math>\varepsilon </math>

muss man aufpassen.

Links ist die Ordnung des Entwicklungskoeffizienten gleich der Ordnung von <math>\varepsilon </math>
.
 Rechts dagegen hat man eine Ordnung von <math>\varepsilon </math>
,
 die noch um eines größer ist als die Ordnung des Entwicklungskoeffizienten, da ja noch <math>{{\hat{H}}_{1}}(t)=\varepsilon \hat{V}</math>
.
 Also hat man formal in erster Ordnung von <math>\varepsilon </math>

:

:<math>i\hbar \frac{d}{dt}\varepsilon {{g}_{m}}^{(1)}(t)=\sum\limits_{n}{{}}{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{m}}-{{E}_{n}} \right)t}{\hbar } \right)}}\left\langle  m \right|\varepsilon \hat{V}\left| n \right\rangle {{g}_{n}}^{(0)}\Rightarrow i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}^{(1)}(t)=\sum\limits_{n}{{}}{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{m}}-{{E}_{n}} \right)t}{\hbar } \right)}}\left\langle  m \right|\hat{V}\left| n \right\rangle {{g}_{n}}^{(0)}</math>

Wir wissen: <math>{{g}_{m}}^{(0)}(t)=const=!={{\delta }_{m{{n}_{0}}}}</math>

Somit:

:<math>i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}^{(1)}(t)=\sum\limits_{n}{{}}{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{m}}-{{E}_{n}} \right)t}{\hbar } \right)}}\left\langle  m \right|\hat{V}\left| n \right\rangle {{g}_{n}}^{(0)}</math>

also:

:<math>i\hbar \frac{d}{dt}{{g}_{m}}^{(1)}(t)={{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{m}}-{{E}_{n0}} \right)t}{\hbar } \right)}}\left\langle  m \right|\hat{V}\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>

und mit der Anfangsbedingung <math>{{g}_{n}}^{(1)}(0)=0</math>

kann formal integriert werden:

:<math>{{g}_{m}}^{(1)}(t)=\frac{1}{i\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{m}}-{{E}_{n0}} \right)\tau }{\hbar } \right)}}\left\langle  m \right|\hat{V}\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>

'''Übergangswahrscheinlichkeit'''

Per Definition die Wahrscheinlichkeit, zur Zeit t den Zustand <math>\left| n \right\rangle </math>

zu finden, wenn zu t=0 der Zustand <math>\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>

vorliegt.

:<math>{{\left| \left\langle  n \right|{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}={{\left| \sum\limits_{n\acute{\ }}{{}}{{c}_{n\acute{\ }}}(t)\left\langle  n  |  n\acute{\ } \right\rangle  \right|}^{2}}={{\left| {{c}_{n}}(t) \right|}^{2}}={{\left| {{g}_{n}}(t) \right|}^{2}}</math>

'''Als Näherung ''' wird nur die niedrigste, nichtverschwindende Ordnung betrachtet:

:<math>{{g}_{n}}(t)={{g}_{n}}^{(o)}={{\delta }_{n{{n}_{0}}}}=1</math>
für n=n0
und
:<math>{{g}_{n}}(t)=\varepsilon {{g}_{n}}^{(1)}</math>
für <math>n\ne {{n}_{0}}</math>
:

== Zeitunabhängige Störung:  ==
:<math>\hat{V}=const.</math>
:
:<math>\begin{align}
& {{g}_{n}}^{(1)}(t)=-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}} \right)\tau }{\hbar } \right)}}\left\langle  n \right|\hat{V}\left| {{n}_{0}} \right\rangle =-\left\langle  n \right|\hat{V}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \frac{{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}} \right)t}{\hbar } \right)}}-1}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}} \\
& {{\left| {{g}_{n}}^{(1)}(t) \right|}^{2}}={{\left| \left\langle  n \right|\hat{V}\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \right|}^{2}}\left\{ \frac{{{e}^{\left( -i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}} \right)t}{\hbar } \right)}}-1}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}} \right\}\left\{ \frac{{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}} \right)t}{\hbar } \right)}}-1}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}} \right\}:={{\left| \left\langle  n \right|\hat{V}\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \right|}^{2}}\left\{ \frac{\left( {{e}^{\left( -i\Omega t \right)}}-1 \right)\left( {{e}^{\left( i\Omega t \right)}}-1 \right)}{{{\Omega }^{2}}{{\hbar }^{2}}} \right\} \\
& \Omega :=\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}} \right)}{\hbar } \\
& \Rightarrow {{\left| {{g}_{n}}^{(1)}(t) \right|}^{2}}={{\left| \left\langle  n \right|\hat{V}\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \right|}^{2}}\frac{2\left( 1-\cos \Omega t \right)}{{{\Omega }^{2}}{{\hbar }^{2}}}={{\left| \left\langle  n \right|\hat{V}\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \right|}^{2}}\frac{4{{\sin }^{2}}\frac{\Omega }{2}t}{{{\Omega }^{2}}{{\hbar }^{2}}} \\
& \frac{4{{\sin }^{2}}\frac{\Omega }{2}t}{{{\Omega }^{2}}{{\hbar }^{2}}}:={{D}_{t}}\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}} \right) \\
& \Rightarrow {{\left| {{g}_{n}}^{(1)}(t) \right|}^{2}}={{\left| \left\langle  n \right|\hat{V}\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \right|}^{2}}{{D}_{t}}\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}} \right) \\
\end{align}</math>

Die Größe<math>\Omega :=\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}} \right)}{\hbar }</math>
heißt Übergangsfrequenz. Und bezieht sich auf den Übergang von <math>\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>
auf <math>\left| n \right\rangle </math>
:

[[Datei:Sign squared.png]]
Für die Darstellung der Übergangswahrscheinlichkeit um die optimale Energie gilt (grafisch):

:<math>\begin{align}
& {{D}_{t}}(0)={{\left( \frac{t}{\hbar } \right)}^{2}} \\
& \begin{matrix}
\lim   \\
t\to \infty   \\
\end{matrix}\left( {{D}_{t}}(0) \right)=\infty  \\
& \int_{-\infty }^{\infty }{{{D}_{t}}(E)}=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}dE\frac{4{{\sin }^{2}}\left( \frac{Et}{2\hbar } \right)}{{{E}^{2}}}=\frac{2t}{\hbar }\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\xi \frac{{{\sin }^{2}}\xi }{{{\xi }^{2}}} \\
& \int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\xi \frac{{{\sin }^{2}}\xi }{{{\xi }^{2}}}=\pi  \\
& \Rightarrow \int_{-\infty }^{\infty }{{{D}_{t}}(E)}=\frac{2\pi }{\hbar }t \\
\end{align}</math>

Also:
:<math>\begin{align}
& {{D}_{t}}(E)=:\frac{2\pi }{\hbar }t{{\delta }_{t}}(E) \\
& \begin{matrix}
\lim   \\
t\to \infty   \\
\end{matrix}{{D}_{t}}(E)=\frac{2\pi }{\hbar }t\delta (E) \\
\end{align}</math>

Grafisch
[[Datei:Sign squared.gif]]

:<math>\Rightarrow {{\left| \left\langle  n \right|{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}={{\left| {{g}_{n}}(t) \right|}^{2}}=\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle  n \right|{{{\hat{H}}}^{1}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \right|}^{2}}\cdot t\cdot {{\delta }_{t}}({{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}})</math>

Für <math>t\to \infty </math>
Energieerhaltung: <math>{{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}}=0</math>

Für <math>t<\infty </math>
hat <math>{{D}_{t}}(E)=:\frac{2\pi }{\hbar }t{{\delta }_{t}}(E)</math>
die Breite <math>\Delta E\cong \frac{4\pi \hbar }{t}</math>

Damit folgt die Energie- Zeit Unschärferelation:
:<math>\Delta Et\cong 4\pi \hbar </math>

'''Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit (von '''<math>\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>
auf <math>\left| n \right\rangle </math>)
:
:<math>{{W}_{nn0}}=\frac{d}{dt}{{\left| \left\langle  n \right|{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}=\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle  n \right|{{{\hat{H}}}^{1}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \right|}^{2}}{{\delta }_{t}}({{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}})</math>

Mit dem Übergangsmatrixelement
:<math>\left\langle  n \right|{{\hat{H}}^{1}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>

und einer quadratischen Sinc- Funktion, <math>{{\delta }_{t}}({{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}})</math>
(siehe obige Definitionen)  die die Übergangswahrscheinlichkeit auf absorbierte Quanten mit einer Energie <math>{{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}}</math>
beschränkt, so lange deren Abweichung von <math>{{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}}</math>
noch der Unschärfe genügt (Die Wahrscheinliochkeit sinkt dann entlang einer Sinc²- Funktion um <math>{{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}}</math>
ab, für  Quantenenergien, die von <math>{{E}_{n}}-{{E}_{{{n}_{0}}}}</math>
verschieden sind. Diese "Distribution" wird für unendlich lange Lebensdauern zur Delta- Funktion!

Dies ist Fermis Goldene Regel, abgeleitet aus der Störungstheorie 1. Ordnung.
Dabei gilt:

:<math>\begin{align}
& {{\delta }_{t}}\to \delta  \\
& f\ddot{u}r\quad t\to \infty  \\
\end{align}</math>

==Harmonische zeitabhängige Störung==

:<math>{{\hat{H}}^{1}}(t)=\hat{F}{{e}^{-i\omega t}}+{{\hat{F}}^{+}}{{e}^{i\omega t}}</math>
hermitesch!

Es folgt:

:<math>\begin{align}
& {{g}_{n}}(t)=-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega  \right)\tau }{\hbar } \right)}}\left\langle  n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle -\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega  \right)\tau }{\hbar } \right)}}\left\langle  n \right|{{{\hat{F}}}^{+}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \\
& \Rightarrow {{g}_{n}}(t)=-\left\langle  n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \left\{ \frac{{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega  \right)t}{\hbar } \right)-1}}}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega } \right\}-\left\langle  n \right|{{{\hat{F}}}^{+}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \left\{ \frac{{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega  \right)t}{\hbar } \right)-1}}}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega } \right\} \\
\end{align}</math>

Somit folgt für die Übergangswahrscheinlichkeit von <math>\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>
auf <math>\left| n \right\rangle </math>
:

:<math>\begin{align}
& {{\left| {{\left\langle  n | \Psi  \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}={{\left| {{g}_{n}} \right|}^{2}}=\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle  n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \right|}^{2}}t\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega ) \\
& +\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle  n \right|{{{\hat{F}}}^{+}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \right|}^{2}}t\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega )+\left\langle  n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle *\left\langle  n \right|{{{\hat{F}}}^{+}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \left\{ \frac{{{e}^{\left( -i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega  \right)t}{\hbar } \right)}}-1}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega } \right\}\left\{ \frac{{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega  \right)t}{\hbar } \right)}}-1}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega } \right\} \\
& +\left\langle  n \right|{{{\hat{F}}}^{+}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle *\left\langle  n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \left\{ \frac{{{e}^{\left( -i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega  \right)t}{\hbar } \right)}}-1}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega } \right\}\left\{ \frac{{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega  \right)t}{\hbar } \right)}}-1}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega } \right\} \\
& {{\Omega }^{\pm }}:=\Omega \pm \omega =\frac{\left( {{E}_{n}}-{{E}_{n0}}\pm \hbar \omega  \right)}{\hbar } \\
& \Rightarrow {{\left| {{\left\langle  n | \Psi  \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}={{\left| {{g}_{n}} \right|}^{2}}=\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle  n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \right|}^{2}}t\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega ) \\
& +\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle  n \right|{{{\hat{F}}}^{+}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \right|}^{2}}t\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega )+\left\langle  n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle *\left\langle  n \right|{{{\hat{F}}}^{+}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \left\{ \frac{\left( {{e}^{\left( -i{{\Omega }^{-}}t \right)}}-1 \right)\left( {{e}^{\left( i{{\Omega }^{+}}t \right)}}-1 \right)}{{{\hbar }^{2}}{{\Omega }^{+}}{{\Omega }^{-}}} \right\} \\
& +\left\langle  n \right|{{{\hat{F}}}^{+}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle *\left\langle  n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \left\{ \frac{\left( {{e}^{\left( -i{{\Omega }^{+}}t \right)}}-1 \right)\left( {{e}^{\left( i{{\Omega }^{-}}t \right)}}-1 \right)}{{{\hbar }^{2}}{{\Omega }^{+}}{{\Omega }^{-}}} \right\} \\
& \left\langle  n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle *\left\langle  n \right|{{{\hat{F}}}^{+}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle :=A{{e}^{-i\gamma }} \\
& \left\langle  n \right|{{{\hat{F}}}^{+}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle *\left\langle  n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle :=A{{e}^{i\gamma }} \\
\end{align}</math>

:<math>\begin{align}
& \Rightarrow {{\left| {{\left\langle  n | \Psi  \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}={{\left| {{g}_{n}} \right|}^{2}}=\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle  n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \right|}^{2}}t\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega ) \\
& +\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle  n \right|{{{\hat{F}}}^{+}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \right|}^{2}}t\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega )+A{{e}^{-i\gamma }}\left\{ \frac{\left( {{e}^{\left( -i{{\Omega }^{-}}t \right)}}-1 \right)\left( {{e}^{\left( i{{\Omega }^{+}}t \right)}}-1 \right)}{{{\hbar }^{2}}{{\Omega }^{+}}{{\Omega }^{-}}} \right\} \\
& +A{{e}^{i\gamma }}\left\{ \frac{\left( {{e}^{\left( -i{{\Omega }^{+}}t \right)}}-1 \right)\left( {{e}^{\left( i{{\Omega }^{-}}t \right)}}-1 \right)}{{{\hbar }^{2}}{{\Omega }^{+}}{{\Omega }^{-}}} \right\} \\
\end{align}</math>

Weiter gilt

:<math>A{{e}^{-i\gamma }}\left\{ \frac{\left( {{e}^{\left( -i{{\Omega }^{-}}t \right)}}-1 \right)\left( {{e}^{\left( i{{\Omega }^{+}}t \right)}}-1 \right)}{{{\hbar }^{2}}{{\Omega }^{+}}{{\Omega }^{-}}} \right\}+A{{e}^{i\gamma }}\left\{ \frac{\left( {{e}^{\left( -i{{\Omega }^{+}}t \right)}}-1 \right)\left( {{e}^{\left( i{{\Omega }^{-}}t \right)}}-1 \right)}{{{\hbar }^{2}}{{\Omega }^{+}}{{\Omega }^{-}}} \right\}=\frac{4A}{{{\hbar }^{2}}{{\Omega }^{+}}{{\Omega }^{-}}}\cos \left( \omega t-\gamma  \right)\left[ \cos \left( \omega t \right)-\cos \left( \Omega t \right) \right]</math>
Für <math>\omega \ne 0,\Omega \ne 0</math>
sind diese Terme jedoch rein oszillierend. Für <math>t\to \infty </math>
sind diese jedoch vernachlässigbar gegen Terme <math>\tilde{\ }t\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}\pm \hbar \omega )=t\delta (\hbar {{\Omega }^{\pm }})</math>

Somit folgt für <math>t\to \infty </math>
:
:<math>{{\left| {{\left\langle  n | \Psi  \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}={{\left| {{g}_{n}} \right|}^{2}}=\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle  n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \right|}^{2}}t\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega )+\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle  n \right|{{{\hat{F}}}^{+}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \right|}^{2}}t\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega )</math>

Für Zeit gegen unendlich kann man dann leicht die Übergangswahrscheinlichkeit zwischen <math>\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>
und <math>\left| n \right\rangle </math>
pro Zeiteinheit, durch Ableitung nach der Zeit erhalten:

:<math>{{W}_{nn0}}=\frac{d}{dt}{{\left| {{\left\langle  n | \Psi  \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}=\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle  n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \right|}^{2}}\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega )+\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle  {{n}_{0}} \right|\hat{F}\left| n \right\rangle  \right|}^{2}}\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega )</math>

Die Terme lassen sich identifizieren:

:<math>\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle  n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \right|}^{2}}\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega )</math>
steht für die Absorption eines Quants der Energie <math>\hbar \omega </math>
bei gleichzeitiger Anregung des Übergangs von <math>\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>
auf<math>\left| n \right\rangle </math>,
 was einem Energiesprung von <math>{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}</math>
entspricht.
Das Quant wird also von Niveau <math>\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>
auf <math>\left| n \right\rangle </math>
gehievt

:<math>\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle  {{n}_{0}} \right|{{{\hat{F}}}^{+}}\left| n \right\rangle  \right|}^{2}}\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega )</math>
steht für die Emission eines Quants der Energie <math>\hbar \omega </math>
bei gleichzeitiger Anregung des Übergangs von <math>\left| n \right\rangle </math>
auf<math>\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>,
 was einer Energieabgabe von <math>{{E}_{n0}}-{{E}_{n}}</math>
entspricht.
Das Quant fällt dabei vom diesmal höheren Niveau <math>\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>
auf das Niveau <math>\left| n \right\rangle </math>
herunter.

==Zusammenhang mit dem Wechselwirkungsbild==

Für t=0 stimmen Schrödinger- und Wechselwirkungsbild überein (Siehe oben, S. 63)

Im Wechselwirkungsbild gilt:

:<math>{{\hat{H}}_{W}}^{1}(t)={{e}^{\left( \frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}_{0}}t \right)}}{{\hat{H}}_{S}}^{1}{{e}^{\left( -\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}_{0}}t \right)}}</math>

Im Wechselwirkungsbild wird die Zeitentwicklung der Operatoren mit <math>{{\hat{H}}_{0}}</math>
gewonnen, während die Zustände mit<math>{{\hat{H}}_{W}}^{1}(t)</math>
evolutionieren:

:<math>i\hbar \frac{d}{dt}{{\left| \Psi  \right\rangle }_{W}}={{\hat{H}}_{W}}^{1}(t){{\left| \Psi  \right\rangle }_{W}}</math>

Die formale Integration führt auf eine Integralgleichung:

:<math>\begin{align}
& {{\left| \Psi  \right\rangle }_{W}}(t)={{\left| \Psi  \right\rangle }_{W}}(t=0)-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{{}}d\tau \left( {{{\hat{H}}}_{W}}^{1}(\tau ){{\left| \Psi  \right\rangle }_{W}}(\tau ) \right) \\
& {{\left| \Psi  \right\rangle }_{W}}(t=0)=\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \\
\end{align}</math>

Für kleine <math>{{\hat{H}}_{W}}^{1}</math>
liefert eine Iteration:

:<math>\begin{align}
& {{\left| \Psi  \right\rangle }_{W}}(t)={{\left| \Psi  \right\rangle }_{W}}(t=0)-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{{}}d\tau \left( {{{\hat{H}}}_{W}}^{1}(\tau ){{\left| \Psi  \right\rangle }_{W}}(\tau ) \right)\approx \left( 1-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{{\hat{H}}}_{W}}^{1}(\tau ) \right)\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \\
& {{\left| \Psi  \right\rangle }_{W}}(t)\approx \left( 1-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{{\hat{H}}}_{W}}^{1}(\tau ) \right)\left| {{n}_{0}} \right\rangle =\left( 1-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}\tau }}{{{\hat{H}}}_{S}}^{1}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}\tau }} \right)\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \\
\end{align}</math>

Mit
:<math>{{\left| \Psi  \right\rangle }_{S}}(t)={{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{\left| \Psi  \right\rangle }_{W}}(t)\approx {{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}\left( 1-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}\tau }}{{{\hat{H}}}_{S}}^{1}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}\tau }} \right)\left| {{n}_{0}} \right\rangle </math>

und
:<math>{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}\left( 1-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}\tau }}{{{\hat{H}}}_{S}}^{1}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}\tau }} \right):=U(t,0)</math>
Zeitentwicklungsoperator im Schrödingerbild

<u>'''Übergangsamplitude '''</u> im Schrödinger- Bild:

:<math>\begin{align}
& {{c}_{n}}(t)=\left\langle  n  |  \Psi  \right\rangle =\left\langle  n \right|U(t,0)\left| {{n}_{0}} \right\rangle =\left\langle  n \right|{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}\left( 1-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}\tau }}{{{\hat{H}}}_{S}}^{1}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}\tau }} \right)\left| {{n}_{0}} \right\rangle  \\
& \Rightarrow {{c}_{n}}(t)={{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{E}_{n}}t}}\left( {{\delta }_{n{{n}_{0}}}}-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\frac{i}{\hbar }{{E}_{n}}\tau }}\left\langle  n \right|{{{\hat{H}}}_{S}}^{1}\left| {{n}_{0}} \right\rangle {{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{E}_{n0}}\tau }} \right) \\
& {{\delta }_{n{{n}_{0}}}}={{g}_{n}}^{(0)} \\
& -\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\frac{i}{\hbar }{{E}_{n}}\tau }}\left\langle  n \right|{{{\hat{H}}}_{S}}^{1}\left| {{n}_{0}} \right\rangle {{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{E}_{n0}}\tau }}=\varepsilon {{g}_{n}}^{(1)} \\
& {{c}_{n}}(t)={{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{E}_{n}}t}}\left( {{\delta }_{n{{n}_{0}}}}-\frac{i}{\hbar }\int_{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\frac{i}{\hbar }{{E}_{n}}\tau }}\left\langle  n \right|{{{\hat{H}}}_{S}}^{1}\left| {{n}_{0}} \right\rangle {{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{E}_{n0}}\tau }} \right)={{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{E}_{n}}t}}{{g}_{n}}(t) \\
\end{align}</math>

In Übereinstimmung mit unserem Ergebnis von Seite 113!