Editing Wirkungs- und Winkelvariable
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Ist das Frequenzverhältnis irrational, so wirkt der Torus nur als Phasenraumattraktor. Die Bahn füllt den gesamten Torus dicht aus! | Ist das Frequenzverhältnis irrational, so wirkt der Torus nur als Phasenraumattraktor. Die Bahn füllt den gesamten Torus dicht aus! | ||
====Satz über integrable Systeme==== | |||
Einautonomes System (Hamiltonsch) habe f unabhängige Integrale der Bewegung | |||
:<math>{{g}_{k}}(\bar{q},\bar{p})</math> | |||
k=1,...,f | |||
mit | |||
:<math>{{g}_{1}}(\bar{q},\bar{p})=H(\bar{q},\bar{p})</math> | |||
Energie und | |||
:<math>\left\{ {{g}_{i}},{{g}_{j}} \right\}=0\quad \forall i,j</math> | |||
Dann gilt: | |||
# die durch | |||
:<math>{{g}_{k}}(\bar{q},\bar{p})={{\alpha }_{k}}=const</math> | |||
gegebene Hyperfläche des Phasenraums (falls kompakt und beschränkt und abgeschlossen) läßt sich diffeomorph auf einen f-dimensionalen Torus | |||
:<math>{{T}^{f}}</math> | |||
abbilden. | |||
# die Allgemeine Bewegung auf | |||
:<math>{{T}^{f}}</math> | |||
ist quasiperiodisch: | |||
:<math>\frac{d{{\theta }_{i}}}{dt}={{\omega }_{i}}</math>, | |||
:<math>{{\theta }_{i}}</math> | |||
ist zugehörige Winkelvariable, i=1,...,f | |||
# das System ist INTEGRABEL, das heißt, die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen lassen sich vollständig und global integrieren. | |||
<u>'''Beispiele: '''</u>2- Körper- Problem mit Zentralkraft, gekoppelte harmonische Oszillatoren | |||
'''Gegenbeispiel: '''3- Körperproblem mit Zentralkraft (f=9, nur 6 unabhängige Integrale der Bewegung: | |||
:<math>E,{{\bar{P}}_{gesamt}},{{l}^{2}},{{l}_{3}}</math> | |||
Nebenbemerkung: | |||
Wegen | |||
:<math>\left\{ {{l}_{3}},{{l}_{1}} \right\}={{l}_{3}}</math> | |||
und zyklisch erfüllen die 3 Drehimpulskomponenten nicht alle die Bedingung | |||
:<math>\left\{ {{g}_{i}},{{g}_{j}} \right\}=0</math> | |||
obgleich gilt: | |||
:<math>\left\{ {{l}_{i}},H \right\}=0</math>. | |||
Wirkunsgvariable: | |||
:<math>{{I}_{k}}({{\alpha }_{1}},...,{{\alpha }_{f}}):=\oint\limits_{{{\Gamma }_{k}}}{{{p}_{k}}d{{q}_{k}}\quad (k=1,..,f)}</math> | |||
Für ein separables System gilt: | |||
:<math>\begin{align} | |||
& W=\sum\limits_{j=1}^{f}{{{W}_{j}}({{q}_{j}},\bar{\alpha })} \\ | |||
& {{p}_{k}}=\frac{d{{W}_{k}}}{d{{q}_{k}}} \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Die Umkehrung liefert die Energie: | |||
:<math>E\equiv {{\alpha }_{1}}={{\alpha }_{1}}({{I}_{1}},...,{{I}_{f}})</math> | |||
Die Hamiltongleichungen lauten: | |||
:<math>\begin{align} | |||
& \dot{\theta }=\frac{\partial E({{I}_{1}},...,{{I}_{f}})}{\partial {{I}_{k}}}={{\nu }_{k}}({{I}_{1}},...,{{I}_{f}}) \\ | |||
& \Rightarrow {{\theta }_{k}}={{\nu }_{k}}t+{{\beta }_{k}} \\ | |||
& {{\nu }_{k}}=\frac{1}{{{\tau }_{k}}} \\ | |||
\end{align}</math> | |||
<u>'''Fazit:'''</u> | |||
Mit der Wirkungs- und Winkelvariablen können die Frequenzen | |||
:<math>{{\nu }_{k}}</math> | |||
periodischer Bewegungen bestimmt werden, ohne die vollständige Lösung angeben zu müssen. |