Editing Wellenausbreitung in Materie

<noinclude>{{Scripthinweis|Elektrodynamik|5|6}}</noinclude>

Annahme: homogene, isotrope, lineare Medien mit skalaren Materialparametern
:<math>\varepsilon ,\mu ,\sigma </math>
:

:<math>\begin{align}
& \bar{D}=\varepsilon {{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\quad \varepsilon >1 \\
& \bar{B}={{\mu }_{0}}\mu \bar{H}\quad i.a.\mu \tilde{\ }1 \\
& \bar{j}=\sigma \bar{E} \\
\end{align}</math>

(ohmsches Gesetz)

<u>'''Wellen in leitenden Medien ohne Dispersion:'''</u>

<u>'''Das heißt:'''</u>
:<math>\varepsilon ,\mu ,\sigma </math>
nicht frequenzabhängig!

Sei

:<math>\begin{align}
& \rho =0 \\
& \nabla \times \bar{E}+\dot{\bar{B}}=0 \\
& \nabla \times \bar{B}-{{\mu }_{0}}\mu \varepsilon {{\varepsilon }_{0}}\dot{\bar{E}}={{\mu }_{0}}\mu \bar{j}={{\mu }_{0}}\mu \sigma \bar{E} \\
& \nabla \cdot \bar{E}=0 \\
& \nabla \cdot \bar{B}=0 \\
& \Rightarrow \nabla \times \left( \nabla \times \bar{E} \right)=\nabla \left( \nabla \cdot \bar{E} \right)-\Delta \bar{E}=-\Delta \bar{E}=-\nabla \times \dot{\bar{B}}=-{{\mu }_{0}}\mu \sigma \dot{\bar{E}}-{{\mu }_{0}}\mu \varepsilon {{\varepsilon }_{0}}\ddot{\bar{E}} \\
&  \\
& \Delta \bar{E}={{\mu }_{0}}\mu \sigma \dot{\bar{E}}+{{\mu }_{0}}\mu \varepsilon {{\varepsilon }_{0}}\ddot{\bar{E}} \\
\end{align}</math>

Somit erhalten wir die Gleichung einer gedämpften Welle

:<math>\begin{align}
& \Delta \bar{E}-\frac{1}{{{c}_{m}}^{2}}\left( \frac{\sigma }{\varepsilon {{\varepsilon }_{0}}}\dot{\bar{E}}+\ddot{\bar{E}} \right)=0 \\
& {{c}_{m}}:=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon {{\varepsilon }_{0}}\mu {{\mu }_{0}}}}=c\frac{1}{\sqrt{\varepsilon \mu }} \\
\end{align}</math>

Für den eindimensionalen Fall: sogenannte Telegraphengleichung. Beschreibt die Drahtwellenausbreitung!

<u>'''Spezielle Lösung dieses Problems:'''</u>

<u>homogene, ebene Welle:</u>

:<math>\begin{align}
& \bar{E}(\bar{r},t)={{{\bar{E}}}_{0}}{{e}^{i\left( \bar{k}\bar{r}-\omega t \right)}} \\
& \Rightarrow {{k}^{2}}=\varepsilon \mu \frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}}\left( 1+i\frac{1}{\omega \tau } \right) \\
\end{align}</math>

Dispersionsrelation für den Fall der frequenzunabhängigen Parameter
Durch die Dämpfung
:<math>\sigma </math>
ist der Wellenvektor ein komplexer Parameter.

:<math>k\in C</math>

Setze:

:<math>k=\frac{\omega }{c}\tilde{n}=\frac{\omega }{c}\left( n+i\gamma  \right)</math>

mit c: Vakuumlichtgeschwindigkeit

:<math>\tilde{n}=\left( n+i\gamma  \right)</math>
komplexer Brechungsindex!
Somit:

:<math>{{k}^{2}}=\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}}{{\tilde{n}}^{2}}=\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}}\left( {{n}^{2}}-{{\gamma }^{2}}+2in\gamma  \right)=\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}}\varepsilon \mu \left( 1+i\frac{1}{\omega \tau } \right)</math>

Damit können Real- und Imaginärteil durch Vergleich herangezogen werden, um Gamma und n zu bestimmen:

:<math>\begin{align}
& {{n}^{2}}-{{\gamma }^{2}}=\varepsilon \mu  \\
& n\gamma =\frac{\varepsilon \mu }{2\omega \tau } \\
\end{align}</math>

* Bestimmung von
* <math>n,\gamma </math>
* :

o.B.d.A.:

:<math>\bar{k}||{{\bar{x}}_{3}}</math>
:

Ausschreiben der Welle:

:<math>\begin{align}
& \bar{E}(\bar{r},t)={{{\bar{E}}}_{0}}{{e}^{i\left( \bar{k}\bar{r}-\omega t \right)}} \\
&  \bar{E}({{{\bar{x}}}_{3}},t)={{{\bar{E}}}_{0}}{{e}^{-\frac{{{x}_{3}}}{\lambda }}}{{e}^{-i\omega \left( t-\frac{n}{c}{{x}_{3}} \right)}} \\
\end{align}</math>

Also eine gedämpfte Welle mit der Phasengeschwindigkeit
:<math>\frac{c}{n}</math>
und dem Extinktionskoeffizienten

:<math>\lambda =\frac{c}{\omega \gamma }</math>

'''Lineare Polarisation:'''

:<math>{{\bar{E}}_{0}}||{{\bar{x}}_{1}}\Rightarrow {{\bar{B}}_{0}}||{{\bar{x}}_{2}}</math>

:<math>\begin{align}
& {{\left( \nabla \times \bar{E} \right)}_{2}}=\frac{\partial {{E}_{1}}}{\partial {{x}_{3}}}=-{{{\dot{B}}}_{2}} \\
& \Leftrightarrow i\frac{\omega }{c}\left( n+i\gamma  \right){{E}_{1}}=i\omega {{B}_{2}} \\
& \Leftrightarrow {{B}_{2}}=\frac{\left( n+i\gamma  \right)}{c}{{E}_{1}}=\frac{\sqrt{{{n}^{2}}+{{\gamma }^{2}}}}{c}{{e}^{i\phi }}{{E}_{1}} \\
\end{align}</math>

Somit existiert eine Phasenverschiebung
:<math>\phi </math>
zwischen E und B

<u>'''Der Isolator'''</u>

:<math>\begin{align}
& \sigma =0 \\
& \tau \to \infty  \\
\end{align}</math>

Folgen:

:<math>\gamma =0</math>
keine Dämpfung

:<math>\phi </math>
=0  keine Phasenverschiebung zwischen E und B
* kommt erst durch die Dämpfung!
* i m Isolator schwingen E und B in Phase!

reeller Brechungsindex:

:<math>n=\sqrt{\varepsilon \mu }\approx \sqrt{\varepsilon }>1</math>

* Phasengeschwindigkeit :
* <math>\frac{c}{n}<c</math>
*

Nebenbemerkung:
Nur OHNE DISPERSION  ist
:<math>\varepsilon </math>
reell

<u>'''Metalle'''</u>


:<math>\tau =\frac{{{\varepsilon }_{0}}\varepsilon }{\sigma }<<\frac{1}{\omega }</math>
für alle Frequenzen bis UV
Somit:

:<math>\begin{align}
& {{k}^{2}}=\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}}\left( {{n}^{2}}-{{\gamma }^{2}}+2in\gamma  \right)\approx \frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}}\varepsilon \mu \frac{i}{\omega \tau } \\
& \Rightarrow {{n}^{2}}-{{\gamma }^{2}}\approx 0 \\
& n\gamma \approx {{n}^{2}}\approx {{\gamma }^{2}}\approx \frac{\varepsilon \mu }{2\omega \tau }\Rightarrow n=\gamma =\sqrt{\frac{\varepsilon \mu }{2\omega \tau }} \\
& \tan \phi =\frac{\gamma }{n}\approx 1\Rightarrow \phi \approx \frac{\pi }{4} \\
\end{align}</math>

Extinktionskoeffizient

:<math>d<<\frac{c}{\omega \gamma }\tilde{\ }cm</math>
für 100 Hz
(hochfrequente Wellen dringen nicht in Metall ein, Grund: Verschiebungsstrom << Leitungsstrom)

<u>'''Dielektrische Dispersion'''</u>

Annahme:
:<math>\mu =1</math>

Betrachte nun zeitliche Dispersion, also

:<math>\begin{align}
& \hat{\chi }\left( \omega  \right): \\
& \hat{\bar{P}}\left( \omega  \right)={{\varepsilon }_{0}}\hat{\chi }\left( \omega  \right)\hat{\bar{E}}\left( \omega  \right) \\
\end{align}</math>

mit:

:<math>\hat{\chi }\left( \omega  \right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}dt\chi \left( t \right){{e}^{i\omega t}}</math>

dynamische elektrische Suszeptibilität

'''Fourier- Trafo:'''

:<math>\begin{align}
& \bar{P}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega \hat{\bar{P}}\left( \bar{r},\omega  \right){{e}^{-i\omega t}} \\
& \hat{\bar{E}}\left( \bar{r},\omega  \right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}dt\bar{E}\left( \bar{r},t \right){{e}^{+i\omega t}} \\
& \Rightarrow \bar{P}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega {{\varepsilon }_{0}}\hat{\chi }\left( \omega  \right)\int_{-\infty }^{\infty }{{}}dt\acute{\ }\bar{E}\left( \bar{r},t\acute{\ } \right){{e}^{+i\omega \left( t\acute{\ }-t \right)}} \\
\end{align}</math>

Betrachte:

:<math>\begin{align}
& \frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega {{\varepsilon }_{0}}\hat{\chi }\left( \omega  \right)\int_{-\infty }^{\infty }{{}}dt\acute{\ }{{e}^{+i\omega \left( t\acute{\ }-t \right)}}:=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{\sqrt{2\pi }}\chi \left( t-t\acute{\ } \right) \\
& \Rightarrow \bar{P}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega {{\varepsilon }_{0}}\hat{\chi }\left( \omega  \right)\int_{-\infty }^{\infty }{{}}dt\acute{\ }\bar{E}\left( \bar{r},t\acute{\ } \right){{e}^{+i\omega \left( t\acute{\ }-t \right)}}=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{\sqrt{2\pi }}\int_{-\infty }^{t}{{}}dt\acute{\ }\chi \left( t-t\acute{\ } \right)\bar{E}\left( \bar{r},t\acute{\ } \right) \\
\end{align}</math>

Nachwirkungseffekt: Faltungsintegral → Berücksichtigung des Nachwirkungseffekts über Faltungsintegral.

'''Nebenbemerkung: Kausalität verlangt:'''

:<math>\begin{align}
& \chi \left( t-t\acute{\ } \right)=0 \\
& f\ddot{u}r \\
& t\acute{\ }>t \\
\end{align}</math>

Aus mikroskopischen Modellen folgt i.A. ein komplexes
:<math>\hat{\chi }\left( \omega  \right)\in C</math>

* Komplexe dielektrische Funktion:

:<math>\begin{align}
& \varepsilon \left( \omega  \right)=1+\hat{\chi }\left( \omega  \right)=\varepsilon \acute{\ }\left( \omega  \right)+i\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }\left( \omega  \right) \\
& \varepsilon \acute{\ },\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }\in R \\
\end{align}</math>

Aus:

:<math>\begin{align}
& \varepsilon \left( \omega  \right)=1+\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{0}^{\infty }{{}}dt\chi \left( t \right){{e}^{i\omega t}} \\
& \Rightarrow \varepsilon *(\omega )=\varepsilon (-\omega ) \\
& \varepsilon \acute{\ }(\omega )=\varepsilon \acute{\ }(-\omega ) \\
& \varepsilon \acute{\ }\acute{\ }(\omega )=-\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }(-\omega ) \\
\end{align}</math>

Monochromatische ebene Welle:

:<math>\begin{align}
& \bar{E}(\bar{r},t)={{{\bar{E}}}_{0}}{{e}^{i\left( \bar{k}\bar{r}-\omega t \right)}} \\
& \Rightarrow {{k}^{2}}=\varepsilon \left( \omega  \right)\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}}\left( 1+i\frac{1}{\omega \tau } \right) \\
\end{align}</math>

'''Isolator (dispersives Dielektrikum)'''

:<math>\begin{align}
& \bar{E}(\bar{r},t)={{{\bar{E}}}_{0}}{{e}^{i\left( \bar{k}\bar{r}-\omega t \right)}} \\
& \Rightarrow {{k}^{2}}=\varepsilon \left( \omega  \right)\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}} \\
\end{align}</math>

:<math>\begin{align}
& \tilde{n}\left( \omega  \right)=n\left( \omega  \right)+i\gamma \left( \omega  \right) \\
& \tilde{n}{{\left( \omega  \right)}^{2}}=\varepsilon \left( \omega  \right)\equiv \varepsilon \acute{\ }+i\varepsilon \acute{\ }\acute{\ } \\
& \varepsilon \acute{\ }\left( \omega  \right)={{n}^{2}}-{{\gamma }^{2}} \\
& \varepsilon \acute{\ }\acute{\ }\left( \omega  \right)=2n\gamma  \\
& \Rightarrow \left. \begin{matrix}
\gamma   \\
n  \\
\end{matrix} \right\}=\frac{1}{\sqrt{2}}{{\left( \sqrt{\varepsilon {{\acute{\ }}^{2}}+\varepsilon \acute{\ }{{\acute{\ }}^{2}}}\mp \varepsilon \acute{\ } \right)}^{\frac{1}{2}}} \\
\end{align}</math>

Dabei

:<math>\left. \begin{matrix}
\gamma   \\
n  \\
\end{matrix} \right\}=\frac{1}{\sqrt{2}}{{\left( \sqrt{\varepsilon {{\acute{\ }}^{2}}+\varepsilon \acute{\ }{{\acute{\ }}^{2}}}\mp \varepsilon \acute{\ } \right)}^{\frac{1}{2}}}</math>

Als Absorptionskoeffizient
:<math>\gamma </math>
(reeller Brechungsindex n)

'''Absorption'''

:<math>\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }=0\Rightarrow \gamma =0,n=\sqrt{\varepsilon \acute{\ }}</math>

Absorptionskoeffizient Null, reeller Brechungsindex: Wurzel epsilon
Also: für
:<math>\varepsilon \acute{\ }>0</math>
→ ungedämpfte Welle

:<math>\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }>0\Rightarrow \gamma >0</math>

* in jedem Fall gedämpfte Welle (Energiedissipation).

Der Frequenzbereich mit

:<math>\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }<<\varepsilon \acute{\ }</math>
heißt Transparenzgebiet der Substanz (besonders wenig Absorption).

'''Dispersion'''

:<math>\operatorname{Re}k=k\acute{\ }=\frac{\omega }{c}n(\omega )</math>
nichtlineare Dispersion (nur in erster Näherung ist n(w) linear!)

* Definition der Gruppengeschwindigkeit:

:<math>\begin{align}
& {{v}_{g}}:=\frac{d\omega }{dk\acute{\ }}=\frac{1}{\frac{dk\acute{\ }}{d\omega }}=\frac{c}{\frac{d\left( \omega n \right)}{d\omega }} \\
& {{v}_{g}}=\frac{c}{n+\omega \frac{dn}{d\omega }}\ne \frac{c}{n\left( \omega  \right)}={{v}_{ph.}} \\
\end{align}</math>

<u>'''Typische Frequenzabhängigkeit: (sogenanntes Resonanzverhalten):'''</u>


<u>'''Normale Dispersion'''</u>

:<math>\frac{dn}{d\omega }>0</math>

Stets im Transparenzgebiet, also wenn
:<math>\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }\tilde{\ }0</math>

:<math>{{v}_{g}}<{{v}_{ph.}}</math>

'''Anormale Dispersion'''

:<math>\frac{dn}{d\omega }<0</math>
bei Absorption!

<u>'''Beziehung zwischen'''</u>
:<math>\varepsilon \acute{\ }\left( \omega  \right)</math> und <math>\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }\left( \omega  \right)</math>

<u>'''Kramers- Kronig- Relation'''</u>

* Allgemein gültiger Zusammenhang zwischen  Dispersion
* <math>n\left( \omega  \right)</math>
* und Absorption
* <math>\gamma \left( \omega  \right)</math>
*.
* erlaubt z.B. dann die Berechnung von Dispersionsrelationen aus dem Absorptionsspektrum und auch umgekehrt
* Folgt alleine aus dem Kausalitätsprinzip!

<u>'''Beweis (Funktionenthorie)'''</u>

Für kausale Funktion gilt:

:<math>\begin{align}
& \chi \left( t \right)=\Theta \left( t \right)\chi \left( t \right) \\
& \Theta \left( t \right)=\left\{ \begin{matrix}
\begin{align}
& 0t<0 \\
& 1t\ge 0 \\
\end{align}  \\
{}  \\
\end{matrix} \right. \\
\end{align}</math>
Heavyside

'''Fourier- Trafo:'''

:<math>\hat{\chi }\left( \omega  \right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{{}}^{{}}{{}}d\omega \acute{\ }\Theta \left( \omega -\omega \acute{\ } \right)\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right)</math>

:<math>\begin{align}
& \hat{\Theta }\left( \omega  \right):=\begin{matrix}
\lim   \\
\sigma ->0+  \\
\end{matrix}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{0}^{\infty }{dt{{e}^{i\omega t-\sigma t}}}=\begin{matrix}
\lim   \\
\sigma ->0+  \\
\end{matrix}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\frac{1}{i\omega -\sigma } \\
&  \\
\end{align}</math>

Mit dem konvergenzerzeugenden Faktor
:<math>\sigma </math>
:
Also:

:<math>\hat{\chi }\left( \omega  \right)=\frac{1}{2\pi i}\begin{matrix}
\lim   \\
\sigma ->0+  \\
\end{matrix}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega -i\sigma }\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right)</math>

'''Der Integrand hat einen Pol für'''

:<math>\omega \acute{\ }=\omega +i\sigma </math>

Also:

'''Äquivalenter Integrationsweg:'''

'''Zerlegung:'''

:<math>\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega }\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right)=\begin{matrix}
\lim   \\
\varepsilon ->{{0}^{+}}  \\
\end{matrix}\left[ \int_{-\infty }^{\omega -\varepsilon }{+\int_{\omega +\varepsilon }^{\infty }{{}}} \right]d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega }\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right)+\int\limits_{Kreisbogen}{{}}d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega }\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right)</math>

Man sagt:

:<math>\begin{matrix}
\lim   \\
\varepsilon ->{{0}^{+}}  \\
\end{matrix}\left[ \int_{-\infty }^{\omega -\varepsilon }{+\int_{\omega +\varepsilon }^{\infty }{{}}} \right]d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega }\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right)=P\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega }\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right)</math>

= Hauptwertintegral (principal Value), entsteht nur direkt an der Polstelle!

:<math>\int\limits_{Kreisbogen}{{}}d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega }\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right)</math>

Integral längs des Halbkreis mit Radius
:<math>\varepsilon </math>
um den Pol!

:<math>\begin{align}
& \int\limits_{Kreisbogen}{{}}ds\frac{f(s)}{s}=f(0)\int\limits_{Kreisbogen}{{}}\frac{ds}{s} \\
& s=\varepsilon {{e}^{i\phi }}\Rightarrow ds=isd\phi  \\
& f(0)\int\limits_{Kreisbogen}{{}}\frac{ds}{s}=f(0)i\int\limits_{0}^{\pi }{{}}d\phi =i\pi f(0) \\
\end{align}</math>

sogenanntes " Halbes Residuum!"

Also:

:<math>\begin{align}
& \hat{\chi }\left( \omega  \right)=\frac{1}{2\pi i}\begin{matrix}
\lim   \\
\sigma ->0+  \\
\end{matrix}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega -i\sigma }\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right) \\
& =\frac{1}{2\pi i}P\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega }\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right)+\frac{1}{2}\hat{\chi }\left( \omega  \right) \\
& \Rightarrow \hat{\chi }\left( \omega  \right)=\frac{1}{\pi i}P\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega }\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right) \\
\end{align}</math>

Nun: Zerlegung in Re und Im mit

:<math>\begin{align}
& \operatorname{Re}\hat{\chi }\left( \omega  \right)=\varepsilon \acute{\ }\left( \omega  \right)-1 \\
& \operatorname{Im}\hat{\chi }\left( \omega  \right)=\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }\left( \omega  \right) \\
\end{align}</math>

Also:

:<math>\begin{align}
& \operatorname{Re}\hat{\chi }\left( \omega  \right)=\varepsilon \acute{\ }\left( \omega  \right)-1=\frac{1}{\pi }P\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega }\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }\left( \omega \acute{\ } \right) \\
& \operatorname{Im}\hat{\chi }\left( \omega  \right)=\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }\left( \omega  \right)=-\frac{1}{\pi }P\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega }\left( \varepsilon \acute{\ }\left( \omega \acute{\ } \right)-1 \right) \\
\end{align}</math>

Dies ist die Kramers- Kronig- Relation. Sie verknüpft  Real- und Imaginärteil des komplexen Brechungsindex miteinander!

Titchmask- Theorem:

:<math>\hat{\chi }\left( z \right)</math>
sollte regulär sein auf der oberen komplexen z- Halbebene
Somit:

:<math>\hat{\chi }\left( z \right)\to 0</math>
für
:<math>\operatorname{Im}z\to \infty </math>