Editing Weitere Eigenschaften der Dirac-Gleichung

<noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=1|Abschnitt=6|Prof=Prof. Dr. T. Brandes|Thema=Quantenmechanik|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude>

Wir starten von

{{NumBlk|:|<math>i{{\partial }_{t}}\Psi =\left( \underline{a}.\underline{\hat{p}}+\beta m \right)\Psi </math>|(1.45)|RawN=.}}

# Kontinuitätsgleichung mit <math>{{\Psi }^{+}}</math>(1.45) und (1.45)+<math>\Psi </math>

:<math>\begin{align}

& \mathfrak{i} {{\Psi }^{+}}\dot{\Psi }\quad ={{\Psi }^{+}}\left( \underline{\alpha }.\hat{\underline{p}}+\beta m \right)\Psi  \\

& -\mathfrak{i} {{{\dot{\Psi }}}^{+}}\Psi \quad ={{\left( \underline{p}\Psi  \right)}^{+}}\underline{\alpha }\Psi +m{{\Psi }^{+}}\beta \Psi  \\

& ------------------------ \\

& \mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\underbrace{\left( {{\Psi }^{+}}\Psi  \right)}_{:=\rho }\quad ={{\Psi }^{+}}\underline{\alpha }\left( \underline{p}\Psi  \right)-{{\left( \underline{p}\Psi  \right)}^{+}}\underline{\alpha }\Psi  \\

& \quad =-\mathfrak{i} \sum\limits_{k}{{{\Psi }^{+}}{{\alpha }_{k}}\left( {{\partial }_{k}}\Psi  \right)-{{\left( {{\partial }_{k}}\Psi  \right)}^{+}}{{\alpha }_{k}}\Psi } \\

& \quad =-\mathfrak{i} \sum\limits_{k}{{{\partial }_{k}}\underbrace{\left( {{\Psi }^{+}}{{\alpha }_{k}}\Psi  \right)}_{:={{j}_{k}}}} \\

\end{align}</math>

:mit der {{FB|Wahrscheinlichkeitsdichte}} ρ und der {{FB|Wahrscheinlichkeitsstromdichte}} j<sub>k.</sub>

{{NumBlk|:|	

<math>\begin{align}

& \rho :={{\Psi }^{+}}\Psi =\sum\limits_{k=1}^{4}{\Psi _{k}^{*}{{\Psi }_{k}}} \\

& \underline{j}={{\Psi }^{+}}\underline{\alpha }\Psi  \\

\end{align}</math>

:	|(1.46)|RawN=.}}

{{NumBlk|:|(Kontinuitätsgleichung)	

<math>\Rightarrow {{\partial }_{t}}\rho +\underline{\nabla }\underline{j}=0</math>

:	|(1.47)|RawN=.}}

:Die Wahrscheinlichkeitsdichte setzt sich aus den 4 Komponenten des Spinors <math>\Psi </math> zusammen.

#<li value="2"> Lorentz-Invarianz</li>
Umdefinieren der Matrizen <math>{{\underline{\underline{\alpha }}}_{k}},\underline{\underline{\beta }}</math>als

{{NumBlk|:|	

<math>{{\gamma }^{0}}:=\beta =\left( \begin{matrix}

{\underline{\underline{1}}} & {\underline{\underline{0}}}  \\

{\underline{\underline{0}}} & -\underline{\underline{1}}  \\

\end{matrix} \right)\quad ;\quad {{\gamma }^{k}}=\beta {{\alpha }_{k}}=\left( \begin{matrix}

0 & {{\sigma }_{k}}  \\

-{{\sigma }_{k}} & 0  \\

\end{matrix} \right)</math>	|(1.48)|RawN=.}}

{{NumBlk|:|	

<math>\begin{align}

& {{\left( {{\gamma }^{0}} \right)}^{+}}={{\gamma }^{0}},{{\left( {{\gamma }^{0}} \right)}^{2}}=1 \\

& {{\left( {{\gamma }^{k}} \right)}^{+}}=-{{\gamma }^{k}},{{\left( {{\gamma }^{k}} \right)}^{2}}=-1\quad k\in \left\{ 1,2,3 \right\} \\

& {{\gamma }^{\mu }}{{\gamma }^{\nu }}+{{\gamma }^{\nu }}{{\gamma }^{\mu }}=2{{g}^{\mu }}^{\nu },\quad {{g}^{\mu }}^{\nu }=diag\left( 1,-1,-1,-1 \right) \\

\end{align}</math>

:	|(1.49)|RawN=.}}

(z.B. <math>{{\gamma }^{k}}{{\gamma }^{j}}+{{\gamma }^{j}}{{\gamma }^{k}}=\beta {{\alpha }_{k}}\beta {{\alpha }_{j}}+\beta {{\alpha }_{j}}\beta {{\alpha }_{k}}\underbrace{=}_{1.32}-{{\alpha }_{k}}{{\beta }^{2}}{{\alpha }_{j}}-{{\alpha }_{j}}{{\beta }^{2}}{{\alpha }_{k}}=-2{{\delta }_{jk}}</math>)


== Relativistische Notation ==

kontravarianter Vierervektor{{FB|Vierervektor}} mit Index oben

{{NumBlk|:|	

<math>{{x}^{\mu }}\leftrightarrow \left( {{x}^{0}},{{x}^{1}},{{x}^{2}},{{x}^{3}} \right):=\left( ct,x,y,z \right)=\left( ct,\underline{x} \right)</math>

:	|(1.50)|RawN=.}}

kovarianter Vierervektor mit Index unten <font size = "1">''(kow steht below)''</font>

{{NumBlk|:|	

<math>{{x}_{\mu }}=\left( {{x}_{0}},{{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}} \right):=\left( ct,-x,-y,-z \right)=\left( ct,-\underline{x} \right)</math>

:	|(1.51)|RawN=.}}

* Das relativistische Skalarprodukt
{{NumBlk|:|	

<math>{{x}_{\mu }}{{x}^{\mu }}=\sum\limits_{\mu =0}^{4}{{{x}_{\mu }}{{x}^{\mu }}={{c}^{2}}{{t}^{2}}-{{{\underline{x}}}^{2}}}</math>

:	|(1.52)|RawN=.}}

bleibt invariant unter Lorentz-Transformation.

* Metrischer Tensor
* <math>{{g}_{\mu }}_{\nu }={{g}^{\mu }}^{\nu }=diag\left( 1,-1,-1,-1 \right)</math>
* in der SRT der selbe überall
* Hoch und Runterziehen<math>{{x}_{\mu }}={{g}_{\mu }}_{\nu }{{x}^{\nu }}\quad {{x}^{\mu }}={{g}^{\mu }}^{\nu }{{x}_{\nu }}</math>
* Lorentz-Transformation wie in (1.11) (Bewegung in x-Richtung)
* 
<math>\begin{align}

& ct'=\gamma ct-\gamma \beta x \\

& x'=-\beta \gamma ct+\gamma x \\

\end{align}</math>

{{NumBlk|:|allgemein	<math>x{{'}_{\mu }}={{L}^{\mu }}_{\nu }{{x}^{\nu }}</math>

	|(1.53)|RawN=.}}

hier mit <math>{{L}^{\mu }}_{\nu }=\left( \begin{matrix}

\gamma  & -\beta \gamma  & 0 & 0  \\

-\beta \gamma  & \gamma  & 0 & 0  \\

0 & 0 & 1 & 0  \\

0 & 0 & 0 & 1  \\

\end{matrix} \right)</math>.

* Invarianz von <math>{{x}_{\mu }}{{x}^{\mu }}</math>unter Lorentz-Transformationen:
{{NumBlk|:|	<math>x{{'}_{\mu }}x{{'}^{\mu }}={{g}_{\mu }}_{\nu }x{{'}^{\nu }}x{{'}^{\mu }}={{g}_{\mu }}_{\nu }{{L}^{\nu }}_{\alpha }{{x}^{\alpha }}{{L}^{\mu }}_{\beta }{{x}^{\beta }}={{g}_{\alpha }}_{\beta }{{x}^{\alpha }}{{x}^{\beta }}={{x}_{\beta }}{{x}^{\beta }}</math>

	|(1.54)|RawN=.}}

Für Vierervektoren<math>{{a}^{\mu }}</math>, die sich wie der Koordinatenvektor <math>{{x}^{\mu }}</math> bei Lorentz-Transformation transformieren(1.53), ist <math>{{a}_{\mu }}{{a}^{\mu }}</math>Lorentz-invariant.

Gradient{{FB|Vierergradient}} (etc)

{{NumBlk|:|	

<math>\begin{align}

& {{\partial }^{\nu }}=\frac{\partial }{\partial {{x}_{\nu }}}\quad \text{kontravarianter Vierergradient} \\

& {{\partial }_{\nu }}=\frac{\partial }{\partial {{x}^{\nu }}}\quad \text{kovarianter Vierergradient} \\

\end{align}</math>

:	|(1.55)|RawN=.}}

Die Dirac-Gleichung folgt aus

<math>\begin{align}

& \left( \mathfrak{i} {{\partial }_{t}}-\underline{\alpha }\frac{1}{\mathfrak{i} }\underline{\nabla }-\beta m \right)\Psi =0\quad |\centerdot \beta  \\

& \left( \mathfrak{i} {{\gamma }^{0}}\underbrace{{{\partial }_{t}}}_{{{\partial }_{0}}}+\frac{1}{\mathfrak{i} }\sum\limits_{k=1}^{3}{{{\gamma }^{k}}\underbrace{{{\partial }_{{{x}^{k}}}}}_{{{\partial }_{k}}}} \right)\Psi =0 \\

\end{align}</math>

{{NumBlk|:|{{FB|Dirac-Gleichung}}	

<math>\left( \mathfrak{i} {{\gamma }^{\mu }}{{\partial }_{\mu }}-m \right)\Psi =0</math>

:	|(1.56)|RawN=.|Border=1}}

* Relativistische Invarianz: Gleiche Form der Dirac-Gleichun in zwei System S,S‘ (die sich gleichförmig gegeneinander bewegen) aber nicht Invarianz der Dgl. gegenüber Lorentz-Transformationen
Es muss also gelten

{{NumBlk|:|	

<math>\left( \mathfrak{i} {{\gamma }^{\nu }}{{\partial }_{\nu }}-m \right)\Psi =0\ \left( \text{in S} \right)\quad \left( \mathfrak{i} \gamma {{'}^{\nu }}\partial {{'}_{\nu }}-m' \right)\Psi '=0\ \left( \text{in S }\!\!'\!\!\text{ } \right)</math>

:	|(1.57)|RawN=.}}

(Hier ohne Vektorpotential, mit Vektorpotential A analog, vgl. Rollnik II)


== ''Lorentz''-Transformation ==

Koordinaten	<math>x{{'}^{\mu }}={{L}^{\mu }}_{\nu }{{x}^{\nu }}</math>

Ableitung	

<math>\partial {{'}_{\mu }}=\frac{\partial }{\partial x{{'}^{\mu }}}=\frac{\partial x{{'}^{\nu }}}{\partial {{x}^{\mu }}}\frac{\partial }{\partial {{x}^{\nu }}}={{\left( {{L}^{-1}} \right)}^{\nu }}_{\mu }{{\partial }_{\nu }}</math>

Wellenfunktion (4er Spinor)	<math>\Psi '\left( x' \right)=\underbrace{S}_{\in {{M}^{4x4}}}\Psi \left( x \right)</math>

Ruhemasse ist dieselbe	<math>m'=m</math>

Selbe Ableitung der Dirac-Gleichung	

<math>\gamma {{'}^{\nu }}={{\gamma }^{\nu }}</math>


Also muss gelten 

<math>\left( \mathfrak{i} \gamma {{'}^{\nu }}\partial {{'}_{\nu }}-m' \right)\Psi '=0\Rightarrow \left( \mathfrak{i} {{\gamma }^{\nu }}{{\left( {{L}^{-1}} \right)}^{\mu }}_{\nu }{{\partial }_{\mu }}-m \right)S\Psi =0</math>


Multiplikation von S<sup>-1</sup> von links

Vergleich mit (1.57)	<math>{{\left( {{L}^{-1}} \right)}^{\mu }}_{\nu }{{S}^{-1}}{{\gamma }^{\nu }}S={{\gamma }^{\mu }}</math>

{{NumBlk|:|	

<math>\Rightarrow {{S}^{-1}}{{\gamma }^{\alpha }}S={{L}^{\alpha }}_{\mu }{{\gamma }^{\mu }}</math>

:	|(1.58)|RawN=.}}

Wenn (1.58) erfüllt ist, folgt relativistische Invarianz.

* Konstriktion der Matrix S: Für kleine <math>\beta :=\frac{v}{c}\ll 1</math>
{{NumBlk|:|	<math>S\left( \beta  \right)=\underline{\underline{1}}+\frac{\beta }{2}{{\gamma }^{1}}{{\gamma }^{0}}+O\left( {{\beta }^{2}} \right)=\left( \begin{matrix}

1 & 0 & 0 & 0  \\

0 & 1 & 0 & 0  \\

0 & 0 & 1 & 0  \\

0 & 0 & 0 & 1  \\

\end{matrix} \right)+\frac{\beta }{2}\left( \begin{matrix}

0 & 0 & 0 & 1  \\

0 & 0 & 1 & 0  \\

0 & 1 & 0 & 0  \\

1 & 0 & 0 & 0  \\

\end{matrix} \right)+O\left( {{\beta }^{2}} \right)</math>

:	|(1.59)|RawN=.}}

Für beliebige ß durch Exponenten (wichtiger Trick, steckt natürlich tiefere Mathematik dahinter: Liegruppen, Lie-Algebra…)

{{NumBlk|:|	
<math>\left( {{\gamma }^{\mu }}{{k}_{\mu }}-m \right)\underbrace{\left( {{\gamma }^{\nu }}{{k}_{\nu }}+m \right)\left( \begin{align}

& 0 \\

& 0 \\

& {{u}_{1}} \\

& {{u}_{2}} \\

\end{align} \right)}_{{{{\tilde{\phi }}}_{-}}}=0</math>

<math>\begin{align}

& -{{{\tilde{\phi }}}_{-}}=-\left( E+m \right)\left( \begin{align}

& {{u}_{1}} \\

& {{u}_{2}} \\

& 0 \\

& 0 \\

\end{align} \right)-{{k}_{x}}\left( \begin{matrix}

0 & {{\sigma }_{x}}  \\

-{{\sigma }_{x}} & 0  \\

\end{matrix} \right)\left( \begin{align}

& {{u}_{1}} \\

& {{u}_{2}} \\

& 0 \\

& 0 \\

\end{align} \right)-{{k}_{y}}... \\

& =-\left( \begin{align}

& \underline{k}.\underline{\sigma }\left( \begin{align}

& {{u}_{1}} \\

& {{u}_{2}} \\

\end{align} \right) \\

& \left( E+m \right)\left( \begin{align}

& {{u}_{1}} \\

& {{u}_{2}} \\

\end{align} \right) \\

\end{align} \right)

\end{align}</math>

	|(1.60)|RawN=.}}

Berechnung <font color="#33FF99">'''''(AUFGABE)''''' </font>ergibt

{{NumBlk|:|	<math>S\left( \beta  \right)=\cosh \frac{\beta }{2}+\sinh \left( \frac{\beta }{2} \right){{\underline{\underline{\gamma }}}^{1}}{{\underline{\underline{\gamma }}}^{0}}</math>

	|(1.61)|RawN=.}}

* Kontinuitätsgleichung, Viererstromdichte (1.37)
{{NumBlk|:|(Viererstromdichte{{FB|Viererstromdichte}})	

<math>{{j}^{\mu }}={{\Psi }^{+}}{{\gamma }^{0}}{{\gamma }^{\mu }}\Psi </math>

:	|(1.62)|RawN=.}}

{{NumBlk|:|(Kontinuitätsgleichung{{FB|Kontinuitätsgleichung}})	

<math>{{\partial }_{\mu }}{{j}^{\mu }}=0</math>

:	|(1.63)|RawN=.}}

Lorentz-Invarianz von <math>{{\partial }_{\mu }}{{j}^{\mu }}</math>:  zeige <math>\partial {{'}_{\mu }}j{{'}^{\mu }}=0</math> wobei

{{NumBlk|:|	

<math>\partial {{'}_{\mu }}=\frac{\partial }{\partial x{{'}^{\mu }}}=\frac{\partial x{{'}^{\nu }}}{\partial {{x}^{\mu }}}\frac{\partial }{\partial {{x}^{\nu }}}={{\left( {{L}^{-1}} \right)}^{\nu }}_{\mu }{{\partial }_{\nu }}</math>

:	|(1.64)|RawN=.}}

{{NumBlk|:|Außerdem <font color="#3399FF">'''''(AUFGABE)
</font>'''''''''''(Vierstrom transformiert sich wie kontravarianter Vektor)<math>j{{'}^{\mu }}={{L}^{\mu }}_{\nu }{{j}^{\nu }}</math>

:	|(1.65)|RawN=.}}

<math>\partial {{'}_{\mu }}j{{'}^{\mu }}=\underbrace{{{\left( {{L}^{-1}} \right)}^{\nu }}_{\mu }{{\partial }_{\nu }}{{L}^{\mu }}_{\alpha }}_{{{\delta }^{\nu }}_{\alpha }}{{j}^{\alpha }}={{\partial }_{\nu }}{{j}^{\nu }}=0</math>

&#8594; 
Lorentz-Invarianz von

<math>{{\partial }_{\mu }}{{j}^{\mu }}</math>