Editing Wahrscheinlichkeitsbegriff

<noinclude>{{Scripthinweis|Thermodynamik|1|1}}</noinclude>

;Ereignis: Messergebnis von Observablen (event) oder fester Mikrozustand (der realisiert wird).

Ereignisse bilden einen {{FB|Abelschen Verband}} (Ereignisalgebra)

Merke: Ereignisalgebra = Abelscher verband <math>A\acute{\ }</math>

mit Mengentheoretischen Verknüpfungen

:<math>\cup ,\cap </math>

Vereinigung (oder) und Durchschnitt (und)

Für A,B,C <math>\in A\acute{\ }</math> gilt:

:<math>\begin{align}

& A\cup B=B\cup A \\

& A\cap B=B\cap A \\

\end{align}</math>

(Kommutativitätsgesetz)

:<math>\begin{align}

& A\cap \left( B\cap C \right)=\left( A\cap B \right)\cap C \\

& A\cup \left( B\cup C \right)=\left( A\cup B \right)\cup C \\

\end{align}</math>

Assoziativität

:<math>\begin{align}

& A\cap \left( A\cup B \right)=A \\

& A\cup \left( A\cap B \right)=A \\

\end{align}</math>

(Verschmelzungsgesetz)

:<math>\begin{align}

& A\cap \left( B\cup C \right)=\left( A\cap B \right)\cup \left( A\cap C \right) \\

& A\cup \left( B\cap C \right)=\left( A\cup B \right)\cap \left( A\cup C \right) \\

\end{align}</math>

Distributivgesetz

:<math>\begin{align}

& \exists S\Rightarrow A\cap S=A \\

& \exists 0\Rightarrow A\cup 0=A \\

\end{align}</math>

Existenz der Eins (sicheres Ereignis) und Existenz des Nullelements: "leeres Ereignis"

:<math>\forall A\in A\acute{\ }\exists B\Rightarrow A\cap B=0,A\cup B=S</math>

Existenz des Komplements

:<math>B=\neg A=\bar{A}</math>

====Induzierte Halbordnung====

:<math>A\subseteq B</math> A impliziert B, falls <math>A\cap B=A</math>

Also: menge A liegt in B

A und B sind disjunkt, falls <math>A\cap B=0</math>

'''Vollständig disjunkte Ereignismenge (sample set)'''

:<math>\begin{align}

& \left\{ {{A}_{1}},{{A}_{2}},...,{{A}_{n}} \right\}mit \\

& {{A}_{i}}\cap {{A}_{j}}={{A}_{i}}{{\delta }_{ij}} \\

& \bigcup\limits_{i=1}^{n}{{}}{{A}_{i}}=S \\

\end{align}</math>

Beispiel:

Ereignismenge

:<math>\left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}</math>

Bemerkung: Diese Menge M ist keine Algebra, da

:<math>\begin{align}

& A\cup B\notin M \\

& \bar{A}\notin M \\

\end{align}</math>

====Wahrscheinlichkeit====

Empirische Definition

:<math>P(A)=\begin{matrix}

\lim   \\

N\to \infty   \\

\end{matrix}\frac{N\left( A \right)}{N}</math>

mit

:<math>\frac{N\left( A \right)}{N}</math>

relative Häufigkeit des Ereignisses A

N(A) ist die Zahl der Experimente mit dem Ergebnis A

N ist die Zahl der Experimente insgesamt

====axiomatische Definition (Kolmogoroff)====

Sei A<math>\in A\acute{\ }</math>

(Boolscher Verband)

Sei

:<math>S\in A\acute{\ }</math>

das sichere Ereignis.

Dann erfüllt die '''Wahrscheinlichkeit '''P(A)

die Axiome:

:<math>\begin{align}

& P(A)\ge 0 \\

& P(S)=1 \\

\end{align}</math>

Für disjunkte Ereignisse:

:<math>A\cap B=0\Rightarrow P(A\cup B)=P(A)+P(B)</math>

Folgerung

:<math>\begin{align}

& P(A)+P(\bar{A})=P(A\cup \bar{A})=1 \\

& \Rightarrow P\left( A \right)\le 1 \\

\end{align}</math>

====Zerlegung in disjunkte Ereignisse====

für beliebige A1, A2:

:<math>\begin{align}

& {{A}_{1}}\cup {{A}_{2}}={{A}_{1}}+{{{\bar{A}}}_{1}}\cap {{A}_{2}}={{A}_{1}}+{{A}_{2}}-{{A}_{1}}\cap {{A}_{2}} \\

& {{{\bar{A}}}_{1}}\cap {{A}_{2}}={{A}_{2}}-{{A}_{1}}\cap {{A}_{2}} \\

& {{A}_{2}}={{A}_{1}}\cap {{A}_{2}}+{{{\bar{A}}}_{1}}\cap {{A}_{2}} \\

\end{align}</math>

Also folgt für Wahrscheinlichkeiten:

:<math>\begin{align}

& P\left( {{A}_{1}}\cup {{A}_{2}} \right)=P({{A}_{1}})+P({{{\bar{A}}}_{1}}\cap {{A}_{2}})=P({{A}_{1}})+P({{A}_{2}})-P({{A}_{1}}\cap {{A}_{2}}) \\

& P({{A}_{2}})=P({{A}_{1}}\cap {{A}_{2}})+P({{{\bar{A}}}_{1}}\cap {{A}_{2}}) \\

\end{align}</math>

Also:

:<math>\begin{align}

& P\left( {{A}_{1}}\cup {{A}_{2}} \right)+P({{A}_{1}}\cap {{A}_{2}})=P({{A}_{1}})+P({{A}_{2}}) \\

& P({{A}_{1}}\cap {{A}_{2}})\ge 0 \\

& \Rightarrow P\left( {{A}_{1}}\cup {{A}_{2}} \right)\le P({{A}_{1}})+P({{A}_{2}}) \\

\end{align}</math>

Speziell

:<math>P({{A}_{1}})\le P({{A}_{2}})</math>,

 falls <math>{{A}_{1}}\subseteq {{A}_{2}}</math>

====bedingte Wahrscheinlichkeit====

Die Bedingte Wahrscheinlichkeit (A unter der Bedingung, dass B), ergibt sich gemäß

Also A unter der Bedingung, dass B eingetreten ist!

:<math>P\left( A/B \right)=\frac{P\left( A\cap B \right)}{P(B)}</math>

Falls A von B unabhängig ist, so gilt:

:<math>\begin{align}

& P\left( A\cap B \right)=P(A)P(B) \\

& P\left( A/B \right)=\frac{P\left( A\cap B \right)}{P(B)}=P(A) \\

\end{align}</math>

Nebenbemerkung, ebenso gilt:

:<math>P\left( B/A \right)=\frac{P\left( A\cap B \right)}{P(A)}=P(B)</math>

====Zufallsvariablen====

Eine Zufallsvariable ist gegeben durch

# eine Menge M von vollständig disjunkten Ereignissen (sample set) <math>{{X}_{i}}</math>
# 
# eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P({{X}_{i}})</math>
#  über M

es gilt die Normierung

:<math>\sum\limits_{i}{{}}P({{X}_{i}})=1</math>

Definiert man sich dies für eine kontinuierliche Menge, also <math>x\in R</math>,



so gilt:

:<math>P(x\acute{\ }\le x\le x\acute{\ }+dx\acute{\ })=\rho \left( x\acute{\ } \right)dx\acute{\ }</math>

definiert eine '''Wahrscheinlichkeitsdichte oder auch Wahrscheinlichkeitsverteilung '''<math>\rho \left( x \right)</math>.



Übergang zu diskreten Ereignissen:

:<math>\rho \left( x \right)=\sum\limits_{i=1}^{n}{{}}\delta \left( x-{{x}^{(i)}} \right){{P}_{i}}</math>

mit Normierung

:<math>\int_{a}^{b}{{}}\rho \left( x \right)dx=1</math>

====Physikalische Interpretation====

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung kann man sich realisiert denken durch ein '''Ensemble ''' von vielen äquivalenten Systemen, also durch eine Dichteverteilung <math>\rho \left( x \right)dx</math>

der Mitglieder des Ensembles mit Werten zwischen x und x+dx

'''Verallgemeinerung auf d Zufallsvariablen'''

:<math>\begin{align}

& x=\left( {{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{d}} \right)\in {{R}^{d}} \\

& {{d}^{d}}x=d{{x}_{1}}d{{x}_{2}}...d{{x}_{d}} \\

\end{align}</math>

Die Normierung geschieht dann in einem d- Dimensionalen Raum.

:<math>\int_{{}}^{{}}{{}}\rho \left( x \right){{d}^{d}}x=1</math>

'''Mittelwert (Erwartungswert) '''einer Zufallsvariablen x:

:<math>\left\langle x \right\rangle =\int_{{}}^{{}}{{}}\rho \left( x \right)x{{d}^{d}}x</math>

für eine beliebige Funktion f(x):

:<math>\left\langle f \right\rangle =\int_{{}}^{{}}{{}}\rho \left( x \right)f(x){{d}^{d}}x</math>

'''Nebenbemerkung'''

Der Mittelwert ist ein lineares Funktional <math>{{f}_{\rho }}:[\to R</math>

:

:<math>[\in f\to \left\langle f \right\rangle </math>

Linearität:

:<math>\left\langle {{c}_{1}}{{f}_{1}}+{{c}_{2}}{{f}_{2}} \right\rangle ={{c}_{1}}\left\langle {{f}_{1}} \right\rangle +{{c}_{2}}\left\langle {{f}_{2}} \right\rangle </math>

'''Unkorrelierte Zufallsvariable:'''

x1 und x2 heißen unkorreliert, falls

:<math>\rho \left( {{x}_{1}},{{x}_{2}} \right)={{\rho }_{1}}\left( {{x}_{1}} \right){{\rho }_{2}}\left( {{x}_{2}} \right)</math>

Dann gilt:

:<math>\left\langle {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right\rangle =\left\langle {{x}_{1}} \right\rangle \left\langle {{x}_{2}} \right\rangle </math>

Beweis:

Merke: In Bezug auf die Wahrscheinlichkeitsverteilungen ist unkorreliert gleichbedeutend mit separabel _> die Phasen werden addiert!

Sind die Zustände verschränkt, so können die Phasen nicht addiert werden.

Die Einführung einer Symplektik ist nötig!  (siehe unten).

====Zusammenhang zwischen Wahrscheinlichkeitsverteilung und Mittelwerten====

Wir verstehen als n.tes Moment einer Wahrscheinlichkeitsverteilung:

:<math>{{M}_{n}}:=\left\langle {{x}^{n}} \right\rangle </math>

Momentenerzeugende:

:<math>\begin{align}

& Z(a)=\left\langle {{e}^{ax}} \right\rangle =\left\langle \sum\limits_{0}^{{}}{{}}\frac{{{\left( ax \right)}^{n}}}{n!} \right\rangle =\sum\limits_{0}^{{}}{{}}\frac{{{\left( a \right)}^{n}}}{n!}{{M}_{n}} \\

& {{M}_{n}}={{\left. \frac{{{\partial }^{n}}}{\partial {{a}^{n}}}Z(a) \right|}_{a=0}}={{M}_{n}} \\
\end{align}</math>

Durch die Angabe aller nicht verschwindender Momente ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung vollständig festgelegt!

====Verallgemeinerung auf d Zufallsvariablen:====
:<math>{{M}_{n1,n2,...nd}}:=\left\langle {{x}_{1}}^{n1}{{x}_{2}}^{n2}....{{x}_{d}}^{nd} \right\rangle </math>
ein Moment der Ordnung
:<math>n:=n1+n2+...+nd</math>

Momentenerzeugende:
:<math>\begin{align}
& Z(a)=\left\langle {{e}^{ax}} \right\rangle =\left\langle \sum\limits_{n1,n2...nd=0}^{{}}{{}}\frac{\left( {{\left( {{a}_{1}}x1 \right)}^{n1}}{{\left( {{a}_{2}}x2 \right)}^{n2}}...{{\left( {{a}_{d}}xd \right)}^{nd}} \right)}{n1!n2!...nd!} \right\rangle =\sum\limits_{n1,n2...nd=0}^{{}}{{}}\frac{\left( {{\left( {{a}_{1}} \right)}^{n1}}{{\left( {{a}_{2}} \right)}^{n2}}...{{\left( {{a}_{d}} \right)}^{nd}} \right)}{n1!n2!...nd!}{{M}_{n1..nd}} \\
& a=\left( {{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{d}} \right) \\
\end{align}</math>

'''Kumulante'''

:<math>{{C}_{n1,n2,...nd}}:={{\left\langle {{x}_{1}}^{n1}{{x}_{2}}^{n2}....{{x}_{d}}^{nd} \right\rangle }_{C}}</math>

ist definiert durch die Kumulantenerzeugende:
:<math>\Gamma \left( a \right)=\ln \left\langle {{e}^{ax}} \right\rangle </math>

:<math>\begin{align}
& {{\left. \frac{{{\partial }^{n1}}....{{\partial }^{nd}}}{\partial {{a}_{1}}^{n1}....{{a}_{d}}^{nd}}\Gamma \left( a \right) \right|}_{a=0}}={{C}_{n1,n2,...nd}} \\
& \Rightarrow \Gamma \left( a \right)=\ln \left\langle {{e}^{ax}} \right\rangle =\sum\limits_{n1...nd}^{{}}{{}}\frac{{{a}_{1}}^{n1}...{{a}_{d}}^{nd}}{n1!...nd!}{{C}_{n1,n2,...nd}} \\
\end{align}</math>

'''Eigenschaft'''

Kumulanten sind ADDITIV  für unkorrelierte Zufallsvariablen
(Dies gilt nicht für die Momente!!)

'''Beweis: seien x1, x2 unkorreliert:'''
:<math>\begin{align}
& Z(a)=\left\langle {{e}^{ax}} \right\rangle =\int_{{}}^{{}}{d{{x}_{1}}d{{x}_{2}}\rho \left( {{x}_{1}} \right)}\rho \left( {{x}_{2}} \right){{e}^{{{a}_{1}}{{x}_{1}}}}{{e}^{{{a}_{2}}{{x}_{2}}}}=\left\langle {{e}^{{{a}_{1}}{{x}_{1}}}} \right\rangle \left\langle {{e}^{{{a}_{2}}{{x}_{2}}}} \right\rangle  \\
& \Rightarrow \Gamma \left( a \right)=\ln Z(a)=\ln \left\langle {{e}^{{{a}_{1}}{{x}_{1}}}} \right\rangle +\ln \left\langle {{e}^{{{a}_{2}}{{x}_{2}}}} \right\rangle =\Gamma \left( {{a}_{1}} \right)+\Gamma \left( {{a}_{2}} \right) \\
& {{\left. \frac{{{\partial }^{n}}}{\partial {{a}^{n}}}\Gamma \left( a \right) \right|}_{a=0}}\Rightarrow {{\left\langle {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{n}} \right\rangle }_{C}}={{\left\langle {{x}^{n}} \right\rangle }_{C}}={{\left\langle {{x}_{1}}^{n} \right\rangle }_{C}}+{{\left\langle {{x}_{2}}^{n} \right\rangle }_{C}} \\
\end{align}</math>

'''Fluktuation:'''
:<math>\Delta x:=x-\left\langle x \right\rangle </math>

mit
:<math>\left\langle \Delta x \right\rangle =0</math>

Bildung der Varianz:
:<math>\left\langle {{\left( \Delta x \right)}^{2}} \right\rangle =\left\langle {{\left( x-\left\langle x \right\rangle  \right)}^{2}} \right\rangle =\left\langle {{x}^{2}} \right\rangle -2\left\langle x \right\rangle \left\langle x \right\rangle +{{\left\langle x \right\rangle }^{2}}=\left\langle {{x}^{2}} \right\rangle -{{\left\langle x \right\rangle }^{2}}</math>

Als Maß für die Breite einer Verteilung

'''Korrelationsmatrix:'''
:<math>\left\langle \Delta {{x}_{k}}\Delta {{x}_{l}} \right\rangle =\left\langle {{x}_{k}}{{x}_{l}} \right\rangle -\left\langle {{x}_{k}} \right\rangle \left\langle {{x}_{l}} \right\rangle </math>

Nichtdiagonalelemente verschwinden für unkorrelierte Zufallsvariablen.
Denn dann: separieren die Momente der WSK- Verteilung! Siehe oben
* Korrelationsmatrix beschreibt die qm- Korrelationen über ihre Außerdiagonalelemente

====Zusammenhang zwischen Kumulanten und Momenten:====
:<math>\begin{align}
& {{\left\langle x \right\rangle }_{C}}=\left\langle x \right\rangle  \\
& {{\left\langle {{x}^{2}} \right\rangle }_{C}}=\left\langle {{\left( \Delta x \right)}^{2}} \right\rangle =\left\langle {{x}^{2}} \right\rangle -{{\left\langle x \right\rangle }^{2}} \\
& {{\left\langle {{x}^{3}} \right\rangle }_{C}}=\left\langle {{\left( \Delta x \right)}^{3}} \right\rangle  \\
& {{\left\langle {{x}^{4}} \right\rangle }_{C}}=\left\langle {{\left( \Delta x \right)}^{4}} \right\rangle -3{{\left\langle {{\left( \Delta x \right)}^{2}} \right\rangle }^{2}} \\
\end{align}</math>

====Gaußverteilung / Normalverteilung====

:<math>\begin{align}
& \rho (x)=A\exp \left( -\frac{{{\left( x-\left\langle x \right\rangle  \right)}^{2}}}{2{{\sigma }^{2}}} \right) \\
& {{\sigma }^{2}}:=\left\langle {{\left( \Delta x \right)}^{2}} \right\rangle ={{\left\langle {{x}^{2}} \right\rangle }_{C}} \\
\end{align}</math>

Mit Sigma als Standardabweichung

Normierung:

:<math>\begin{align}
& \int_{-\infty }^{\infty }{{}}dx\rho (x)=A\sigma \sqrt{2}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}du\exp \left( -{{u}^{2}} \right)=!=1 \\
& u:=\frac{x}{\sigma \sqrt{2}} \\
\end{align}</math>

Wegen:

:<math>\begin{align}
& \int_{-\infty }^{\infty }{{}}du\exp \left( -{{u}^{2}} \right)=\sqrt{\pi } \\
& \Rightarrow A=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }} \\
\end{align}</math>

Nebenbemerkung, die Gaußverteilung <math>\rho (x)</math>
ist bestimmt durch <math>{{\left\langle x \right\rangle }_{C}},{{\left\langle {{x}^{2}} \right\rangle }_{C}}</math>.
 Alle höheren Kumulanten verschwinden!