Editing Vorurteilsfreie Schätzung des statistischen Operators zu einem festen Zeitpunkt

<noinclude>{{ScriptKnorr|Thermodynamik|2|3}}</noinclude>
Motivation: <math>\rho_{nm}</math> (<math>t_0</math> < Eintreffen des Feldes <math>h_\alpha(t)</math>) bestimmen, hier formulieren wir das so allgemein, dass später Theorie auch für eine Abfolge von <math>t_0</math>'s, also <math>\rho_{nm}(t</math>) bei eingeschaltetem Feld gilt.
==Unschärfemaß des statistischen Operators==
Problem <math>\left\{ {{G}_{\nu }} \right\}</math> sei Satz von Observablen (z.B N,E eines Gases)
* andere Infos sollen nicht gemessen werden wenn wir <math>\rho(t_0)</math> festlegen, so muss das so geschehn, dass nicht '''mehr''' Info als <math>\left\{ {{G}_{\nu }} \right\}</math> festgelegt wird.
*nur sicherzustellen, dass wir nicht mehr Info fordern als zustetht bilden wir Unschärfemaß <math>\eta(\rho)</math> und <math>\eta</math> soll angeben wie weit wir von reinem Zustand entfernt sind
*später wird y maximiert (Nichtwissen maximieren) unter der Nebenbedigung
(<math>\left\{ \left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle  \right\}</math> bekannt, bzw im Experiment festgelegt) um <math>\rho</math> zu finden
*→ Vorurteilsfreie Wahl zeichnet keine andere Observable aus!

===Definition des Unschäfremaßes===

:<math>\eta \left( \rho  \right)=-k\operatorname{Tr}\left( \rho \ln \rho  \right)</math>
(Funktional von <math>\rho</math> (analog: informationstheoretisches Maß von C. Channon 1946)

Ist das sinnvoll?
# <math>\eta \left( \rho  \right)</math> sollte positiv sein, um Maß für Unschärfe zu ergeben
# <math>\eta \left( \rho  \right)</math> solte 0 sein für einen reinen Zustand
# <math>\eta \left( \rho  \right)</math> sollte <math>\infty</math> sein für einen komplett unbestimmten Zustand

''ist zu zeigen:'''

; 1) <math>\eta \left( {\hat{\rho }} \right)\ge 0</math> : <math>\hat{\rho }\left| {{r}_{m}} \right\rangle ={{r}_{m}}\left| {{r}_{m}} \right\rangle </math> als Eigenwertgleichung für <math>\rho</math> <math>\begin{align}
  & \eta \left( \rho  \right)=-k\operatorname{Tr}(\rho \ln \rho )=-k\sum\limits_{m}^{{}}{\left\langle  {{r}_{m}} \right|\rho \ln \rho \left| {{r}_{m}} \right\rangle }=-k\sum\limits_{m}^{{}}{{{r}_{m}}\ln {{r}_{m}}} \\
 & 1\ge {{r}_{m}}\ge 0 \\
 & \Rightarrow \ln {{r}_{m}}\le 0 \\
 & \Rightarrow \eta \left( \rho  \right)\ge 0 \\
\end{align}</math>
; 2) reiner Zustand → <math>\eta \left( \rho  \right)=0</math>: mit
:<math>{{\rho }_{0}}=\left| {{\Psi }_{i0}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{i0}} \right|</math>
:<math>\left| {{\Psi }_{i0}} \right\rangle </math> ist der reine Zustand
Eigenwertproblem
:<math>\left| {{\Psi }_{i0}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{i0}}  |  r \right\rangle =r\left| r \right\rangle </math>
erfüllt für
:<math>\left| {{\Psi }_{i0}} \right\rangle =\left| r \right\rangle ,r=1</math>
:<math>\eta \left( {{\rho }_{0}} \right)=-k\sum\limits_{m}^{{}}{{{r}_{m}}\ln {{r}_{m}}}=-k1\ln 1=0</math>

;3) völlige Unbestimmtheit: betrachte Hibertraum der Diemension d (am Ende soll <math>d\to \infty</math> wie z.B in richtigem Kasten)

:<math>{{w}_{i}}=\frac{1}{d}</math>
die Wahrscheinlichkeit der Realisierungen muss gleich sein (analogie Würfel)

:<math>\rho =\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{i}} \right|=\frac{1}{d}1</math>

:<math>\begin{align}
  & \eta \left( {{\rho }_{d}} \right)=-k\sum\limits_{i=1}^{d}{\left\langle  i \right|}\frac{1}{d}\ln \frac{1}{d}\left| i \right\rangle  \\
 & =k\sum\limits_{i=1}^{d}{\frac{1}{d}\ln \frac{1}{d}}=k\ln \frac{1}{d} 
\end{align}</math>
für <math>d\to \infty</math> folgt <math>\eta(\rho)=\infty</math>

alle Grenywerte sind sinnvoll, damit
:<math>\eta \left( \rho  \right)</math>
ein sinnvolles Unschärfemaß
:<math>\forall \rho </math>
ist.

Jetzt können wir
:<math>\eta \left( \rho  \right)</math> nehmen um
:<math>\rho </math>
zu bestimmen.

==Der generalisierte statistische Operator==
Wollen nun aus

:<math>\eta \left( \rho  \right)\to \rho </math>

sinnvoll finden natürlich ‘‘‘nicht‘‘‘ eindeutig, aber Wissen

:<math>\left\{ {{G}_{\nu }} \right\}</math>

(Satz von Observablen / Beobachtungsebene) hilft:

→ wir maximieren <math>\eta \left( \rho  \right)</math>also unser Nichtwissen unter den Bediungen des „Wissens“ von <math>{{G}_{\nu }}</math>“vorurteilsfrei“.

 

Nebenbedingung:
:<math>\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle =\operatorname{Tr}\left( \rho {{G}_{\nu }} \right)</math>
z.B E, N

:<math>\operatorname{Tr}\left( \rho  \right)=1</math>

Ergebnis bevor es bewiesen wird:

{{Def|Der statistische Operator R der alle Forderungen:
:<math>\eta \left( \rho  \right)=\text{maximal}\text{,}\quad \text{Tr}\left( {{G}_{\nu }}\rho  \right)=\text{Tr}\left( {{G}_{\nu }}R \right),\quad \operatorname{Tr}\left( R \right)=1</math>
erfüllt heißt {{FB|generalisierter kanonischer statistischer Operator}} (GKSO)

:<math>{{R}_{\left( {{G}_{\nu }} \right)}}=\frac{1}{{{Z}_{\left( {{G}_{\nu }} \right)}}}{{e}^{-\sum\limits_{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}{{G}_{\nu }}}}}</math>
|generalisierter kanonischer statistischer Operator}}
{{Def|

:<math>{{Z}_{\left( {{G}_{\nu }} \right)}}\equiv Z=\operatorname{Tr}\left( {{e}^{-\sum\limits_{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}{{G}_{\nu }}}}} \right)</math> Normierungsfaktor und wird Zustandssumme genannt|Zustandssumme}}

es tauchen Lagrangefaktoren <math>\lambda_\nu</math> auf die die Umgebung (z.B. Temperatur) charakterisiern <math>\lambda_\nu</math> noch unbestimmt: Beispiel
:<math>G_1=H, R~e^{\frac{H}{kT}}, \lambda_1=\frac{1}{kT}</math>

Bedeutung der Zustandssumme
:<math>\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle =-\frac{1}{z}\frac{\partial Z}{\partial {{\lambda }_{\nu }}}</math>
bestimmen die Messgrößen  (<math>G_\nu</math>)
aus
:<math>\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle =\operatorname{Tr}\left( {{G}_{\nu }}\frac{{{e}^{-\sum\limits_{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}{{G}_{\nu }}}}}}{Z} \right)</math>


:<math>\rho=R</math> liegt damit für festen Zeitpunkt vor und damit können bei Einschalten von <math>h_\alpha(t)</math> die Dichtematrixgleichungen gelöst werden.

===Beweis für GKSO===
(in 3 Schritten)
<u>a) Unschärfemaß für R ableiten:</u>


:<math>R=\frac{1}{Z}{{e}^{-\sum\limits_{\nu }^{{}}{{}}{{\lambda }_{\nu }}{{G}_{\nu }}}},\quad \ln R=-\sum\limits_{\nu }^{{}}{{}}{{\lambda }_{\nu }}{{G}_{\nu }}-\ln Z</math>


:<math>\begin{align}
  & \eta \left( R \right)=-k\operatorname{Tr}\left( R\ln R \right)=-k\operatorname{Tr}\left( -R\sum\limits_{\nu }^{{}}{{}}{{\lambda }_{\nu }}{{G}_{\nu }}-R\ln Z \right) \\
 & =-k\sum\limits_{\nu }^{{}}{{}}{{\lambda }_{\nu }}\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle +k\ln Z \\
\end{align}</math>


'''Idee''' des Beweises: wir nehmen einen beliebigen statistischen Operator <math>\rho</math> und zeigen <math>\eta(R)\ge\eta(\rho)</math>

<u>b)</u>

:<math>\operatorname{Tr}\left( \rho \ln R \right)\underbrace{=}_{\text{ansehen}}-\sum\limits_{\nu }^{{}}{{}}{{\lambda }_{\nu }}\underbrace{\operatorname{Tr}\left( \rho {{G}_{\nu }} \right)}_{\operatorname{Tr}\left( R{{G}_{\nu }} \right)}-\ln Z\equiv \operatorname{Tr}\left( R\rho R \right)</math>

<u>c)</u>

 <math>tr\left( \rho \ln \rho  \right)-tr\left( R\ln R \right)\ge 0</math>


:<math>tr\left( \rho \ln \rho  \right)-tr\left( R\ln R \right)</math> spiegels später wieder was größer ist

nach b)
:<math>=tr\left( \rho \ln \rho  \right)-tr\left( \rho \ln R \right)</math>
mit
:<math>\begin{align}
  & \rho \left| {{r}_{m}} \right\rangle ={{r}_{m}}\left| {{r}_{m}} \right\rangle  \\
 & R\left| {{w}_{n}} \right\rangle ={{w}_{n}}\left| {{w}_{n}} \right\rangle  \\
\end{align}</math>

folgt

:<math>=\sum\limits_{m}^{{}}{\underbrace{\left\langle  {{r}_{m}} | {{r}_{m}} \right\rangle }_{1}}{{r}_{m}}\ln {{r}_{m}}-\sum\limits_{m}^{{}}{{}}{{r}_{m}}\left\langle  {{r}_{m}} \right|\ln R\left| {{r}_{m}} \right\rangle </math>

:<math>\sum\limits_{n}^{{}}{{}}\left| {{w}_{n}} \right\rangle \left\langle  {{w}_{n}} \right|=1</math>


:<math>\begin{align}
  & =\sum\limits_{m,n}^{{}}{\left[ \left\langle  {{r}_{m}} | {{w}_{n}} \right\rangle \left\langle  {{w}_{n}} | {{r}_{m}} \right\rangle {{r}_{m}}\ln {{r}_{m}}-{{r}_{m}}\left\langle  {{r}_{m}} \right|\ln R\left| {{w}_{n}} \right\rangle \left\langle  {{w}_{n}} | {{r}_{m}} \right\rangle  \right]} \\
 & =\sum\limits_{m,n}^{{}}{\left[ {{\left| \left\langle  {{r}_{m}} | {{w}_{n}} \right\rangle  \right|}^{2}}{{r}_{m}}\left( \ln {{r}_{m}}-\ln {{R}_{n}} \right) \right]} \\
 & =\sum\limits_{m,n}^{{}}{\left[ {{\left| \left\langle  {{r}_{m}} | {{w}_{n}} \right\rangle  \right|}^{2}}{{r}_{m}}\left( -\ln \frac{{{R}_{n}}}{{{r}_{m}}} \right) \right]} \\
\end{align}</math>

mit <math>\ln \left( x \right)\le x-1</math> folgt


:<math>\begin{align}
  & \sum\limits_{m,n}^{{}}{\left[ {{\left| \left\langle  {{r}_{m}} | {{w}_{n}} \right\rangle  \right|}^{2}}{{r}_{m}}\left( -\ln \frac{{{R}_{n}}}{{{r}_{m}}} \right) \right]}\ge \sum\limits_{m,n}^{{}}{\left[ {{\left| \left\langle  {{r}_{m}} | {{w}_{n}} \right\rangle  \right|}^{2}}{{r}_{m}}\left( 1-\frac{{{R}_{n}}}{{{r}_{m}}} \right) \right]} \\
 & =\sum\limits_{m,n}^{{}}{\left[ {{\left| \left\langle  {{r}_{m}} | {{w}_{n}} \right\rangle  \right|}^{2}}\left( {{r}_{m}}-{{R}_{n}} \right) \right]}=\sum\limits_{m}^{{}}{{{r}_{m}}}=\sum\limits_{n}^{{}}{{{R}_{n}}} \\
\end{align}</math>




:<math>\begin{align}
  & \to \operatorname{Tr}\left( \rho \ln \rho  \right)\ge \operatorname{Tr}\left( R\ln R \right)\quad |-k \\
 & \eta \left( \rho  \right)\le \eta \left( R \right) \\
\end{align}</math>


R hat offensichtlich das maximale unschärfemaß f die vorgegebenen Nebenbedingungen

==Entropie als maximales Unschärfemaß einer Beobachtung==
maximales Unschärfemaß für eine Beobachtungsebene

:<math>\left\{ {{G}_{\nu }} \right\}</math>
ist
:<math>\eta \left( R \right)=-k\operatorname{Tr}\left( R\ln R \right)</math>


:<math>{{R}_{\left\{ {{G}_{\nu }} \right\}}}\equiv R=\frac{1}{Z}{{e}^{-\sum\limits_{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}{{G}_{\nu }}}}}</math>


Die Entropie S zu einer Beobachtungsebene <math>\left\{ {{G}_{\nu }} \right\}</math> wird mit
:<math>S=\eta \left( R \right)</math> definiert.

Entropie als Maß für Unordnung / Nichtwissen
(Gleiverteilung hatte größtes
:<math>\eta \left( R \right)</math>).


Ziel der {{FB|Entropiedefinition}} ist die Verbindung zwischen mikroskopischer Welt
:<math>\left( Z=\sum\limits_{Zust\ddot{a}nde}{\ldots } \right)</math> und makroskopischer Welt (Druck, Temperatur etc);
also Zustandsgleichungen aus Z berechnen.

:<math>\begin{align}
  & S=-k\operatorname{Tr}\left( \frac{1}{Z}{{e}^{-\sum\limits_{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}{{G}_{\nu }}}}}\ln \left( \frac{1}{Z}{{e}^{-\sum\limits_{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}{{G}_{\nu }}}}} \right) \right) \\
 & =-k\operatorname{Tr}\left( \frac{1}{Z}{{e}^{-\sum\limits_{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}{{G}_{\nu }}}}}\left( -\ln Z-\sum\limits_{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}{{G}_{\nu }}} \right) \right) \\
 & =\underbrace{k\sum\limits_{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle }}_{f\left( {{\lambda }_{\nu }},\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle  \right)}+\underbrace{k\ln Z}_{g\left( {{\lambda }_{\nu }},{{G}_{\nu }}\left( {{h}_{\alpha }} \right) \right)} \\
 & S=S\left( \left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle ,{{h}_{\alpha }} \right) 
\end{align}</math>

z.B.
:<math>S=S\left( \left\langle H \right\rangle ,\left\langle N \right\rangle ,V \right)</math>

 

===Gibbs-Fundamentalrelation===
dient zur Bestimmung von Zustandsgleichungen und lautet:

:<math>dS=k\sum\limits_{\nu }^{{}}{{{\lambda }_{\nu }}}\left( d\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle -\sum\limits_{\alpha }{{}}\left\langle {{\partial }_{{{h}_{\alpha }}}}{{G}_{\nu }} \right\rangle d{{h}_{\alpha }} \right)</math>
Entropieänderung ist verbunden mit der Änderung von
:<math>\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle ,{{h}_{\alpha }}</math>[[Vorurteilsfreie Schätzung des statistischen Operators zu einem festen Zeitpunkt#Beweis der Gibbsgleichung|Beweis gleich]]


====Bmerkung zur Gibbsgleichung====
*<math>S=S\left( \left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle ,{{h}_{\alpha }} \right)</math> legt die Variblen fest
*legt verallgemeinter Kräfte fest: <math>{{M}_{\nu ,\alpha }}=-\left\langle {{\partial }_{{{h}_{\alpha }}}}{{G}_{\nu }} \right\rangle </math>
**(z.B. <math>p=-\left\langle {{\partial }_{\nu }}H \right\rangle </math>)
**physikalische Interpretation <math>{{G}_{\nu }}=H,{{h}_{\alpha }}=\nu </math> bei E-Messung
*Kraft.Länge/(Fäche.Länge)
*Vorzeichen um <math>\Delta V < 0, p>0</math> zu haben
* E im Kasten ~ <math>L^-2</math> BILD <math>\Delta E>0 \to L</math> kleiner
*Bestimmung der Langrangemultiplikatorenb (physikalischer Inhalt) um von Zustandsgleichungen über Gibbsgleichung
Vergleich von
:<math>\begin{align}
  & dS=k\sum\limits_{\nu }^{{}}{{{\lambda }_{\nu }}}\left( d\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle -\sum\limits_{\alpha }{{}}{{M}_{\nu ,\alpha }}d{{h}_{\alpha }} \right) \\
 & dS=\sum\limits_{\nu }^{{}}{\frac{{{\partial }_{S}}}{\partial \left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle }}\left( d\left\langle {{{\bar{G}}}_{\nu }} \right\rangle -\sum\limits_{\alpha }{\frac{\partial S}{\partial {{h}_{\alpha }}}}d{{h}_{\alpha }} \right) 
\end{align}</math>
ergibt

; {{FB|Lagrangefaktoren}} : <math>k{{\lambda }_{\nu }}=\frac{\partial S}{\partial \left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle }</math>
; {{FB|Zustandsgleichung}} : <math>\sum\limits_{\nu }^{{}}{k{{\lambda }_{\nu }}{{M}_{\nu ,\alpha }}}=\frac{\partial S}{\partial {{h}_{\alpha }}}</math>


  Gibbsgleichung legt die Zustandsgleichungen fest und ist damit genauso fundamental wie die Maxwellgleichung der Elektrodynamik
 z.B: <math>p=p\left( N,V,E \right)</math>

====Beweis der Gibbsgleichung====

:<math>\begin{align}
  & S=k\sum\limits_{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle }+k\ln Z \\
 & dS=k\sum\limits_{\nu }{\left( d{{\lambda }_{\nu }}\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle +{{\lambda }_{\nu }}d\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle  \right)}+k\frac{dZ}{Z} \\
 & =k\sum\limits_{\nu }{\left( d{{\lambda }_{\nu }}\left( -\frac{\partial Z}{\partial {{\lambda }_{\nu }}}\frac{1}{z} \right)+{{\lambda }_{\nu }}d\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle  \right)}+k\frac{dZ}{Z} 
\end{align}</math>


mit Z arbeiten:
:<math>Z=\operatorname{Tr}\left( {{\operatorname{e}}^{-\sum\limits_{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}{{G}_{\nu }}}}} \right)=Z\left( {{\lambda }_{\nu }},{{h}_{\alpha }} \right)</math>


:<math>{{G}_{\nu }}={{G}_{0}}\left( {{h}_{\alpha }} \right)</math>

Das vollständige Differential von Z ist:


:<math>dZ=\sum\limits_{\nu }{\frac{\partial Z}{\partial {{\lambda }_{\nu }}}d{{\lambda }_{\nu }}+}\sum\limits_{\alpha }{\frac{\partial Z}{\partial {{h}_{\alpha }}}d{{h}_{\alpha }}}</math>


eingesetzt in  dS:

:<math>\begin{align}
  & S=k\sum\limits_{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle }+k\ln Z \\
 & dS=k\sum\limits_{\nu }{\left( d{{\lambda }_{\nu }}\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle +{{\lambda }_{\nu }}d\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle  \right)}+k\frac{dZ}{Z} \\
 & =k\underbrace{\sum\limits_{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}d\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle }}_{\begin{smallmatrix}
 \text{Teil der} \\
 \text{Gibbsgleichung}
\end{smallmatrix}}+k\sum\limits_{\alpha }{\frac{1}{Z}\frac{\partial Z}{\partial {{h}_{\alpha }}}d{{h}_{\alpha }}} \\
 & k\sum\limits_{\alpha }{\frac{1}{Z}\frac{\partial Z}{\partial {{h}_{\alpha }}}d{{h}_{\alpha }}}=k\sum\limits_{\alpha }{\frac{1}{Z}\operatorname{Tr}\left( \frac{\partial }{\partial {{h}_{\alpha }}}{{\operatorname{e}}^{-\sum\limits_{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}{{G}_{\nu }}}}} \right)d{{h}_{\alpha }}} 
\end{align}</math>


Der Zweite Teil wird zu

:<math>\begin{align}
  & k\sum\limits_{\alpha }{\frac{1}{Z}\frac{\partial Z}{\partial {{h}_{\alpha }}}d{{h}_{\alpha }}}=k\sum\limits_{\alpha }{\frac{1}{Z}\operatorname{Tr}\left( \frac{\partial }{\partial {{h}_{\alpha }}}{{\operatorname{e}}^{-\sum\limits_{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}{{G}_{\nu }}}}} \right)d{{h}_{\alpha }}} \\
 & =k\sum\limits_{\alpha }{\operatorname{Tr}\left( -\sum\limits_{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}}\frac{\partial {{G}_{\nu }}}{\partial {{h}_{\alpha }}}R \right)d{{h}_{\alpha }}} \\
 & =-k\sum\limits_{\alpha ,\nu }{{{\lambda }_{\nu }}\left\langle \frac{\partial {{G}_{\nu }}}{\partial {{h}_{\alpha }}} \right\rangle d{{h}_{\alpha }}} 
\end{align}</math>

→ergibt die Gibbsrelation



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