Editing Verallgemeinerte kanonische Verteilung

<noinclude>{{Scripthinweis|Thermodynamik|1|3}}</noinclude>

== Motivation ==
Makroskopische thermodynamische Zustände sind gegeben durch die Mittelwerte 
<math>\left\langle M(x) \right\rangle </math>
von Mikroobservablen M(x), interpretiert als Zufallsvariable.

Rückschlüsse von 
<math>\left\langle M(x) \right\rangle </math>
auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung 
<math>\rho (x)?</math>


== Methode ==
Vorurteilsfreie Schätzung ( Jaynes , 1957):
(unbiased guess; Prinzip des maximalen Nichtwissens)

* Verallgemeinerung des Laplacschen Prinzips vom unzureichenden Grund.
** ( Minimum der Shannon- Information <math>I\left( \rho (x) \right)</math>= Maximum des Nichtwissens <math>S\left( \rho (x) \right)</math> liefert Gleichverteilung)
* '''Jetzt: '''Zusätzlich zur Normierung der P<sub>i</sub> sind die Mittelwerte von m Zufallsvariablen:

:<math>\begin{align}
  & {{M}_{i}}^{n} \\ 
 & n=1,2,...,m \\ 
 & \Rightarrow \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle =\sum\limits_{i=1}^{N}{{}}{{P}_{i}}{{M}_{i}}^{n} \\ 
 & n=1,...,m \\ 
 & m<<N \\ 
\end{align}</math>


<u>'''Annahme:'''</u>

Jedes Elementarereignis <math>{{A}_{i}}</math> hat gleiche '''a-priori'''- Wahrscheinlichkeit , das heißt OHNE zusätzliche Kenntnisse <math>\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math> gilt Gleichverteilung über den <math>{{A}_{i}}</math>.

== Informationstheoretisches Prinzip==
(nach (Jaynes 1922-1998))

Suche die Wahrscheinlichkeitsverteilung , die unter der Erfüllung aller bekannten Angaben als Nebenbedingung die '''minimale Information''' enthält:

Also: <math>I(P)=\sum\limits_{i=1}^{N}{{}}{{P}_{i}}\ln {{P}_{i}}=!=Minimum</math>

Nebenbed.:
:<math>\begin{align}
  & \sum\limits_{i=1}^{N}{{}}{{P}_{i}}=1 \\ 
 & \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle =\sum\limits_{i=1}^{N}{{}}{{P}_{i}}{{M}_{i}}^{n} \\ 
 & n=1,...,m \\ 
\end{align}</math>

<u>Variation</u>: <math>\delta I=\sum\limits_{i=1}^{N}{{}}\left( \ln {{P}_{i}}+1 \right)\delta {{P}_{i}}</math>


Es gilt: von den  N Variationen  <math>\delta {{P}_{i}}</math>  sind nur N-m-1  unabhängig voneinander !

:<math>\sum\limits_{i}^{{}}{{}}\delta {{P}_{i}}=0</math>

Lagrange- Multiplikator <math>\lambda =-\left( \Psi +1 \right)</math>

:<math>\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{M}_{i}}^{n}\delta {{P}_{i}}=0</math>


Lagrange- Multiplikator <math>{{\lambda }_{n}}</math>

<u>Anleitung</u>: Wähle <math>\Psi ,{{\lambda }_{n}}</math> so, dass die Koeffizienten von <math>\left( m+1 \right)\delta {{P}_{i}}</math>´s verschwinden, die übrigen N-(m+1) sind dann frei variierbar !

Somit:

:<math>\Rightarrow \delta I=\sum\limits_{i=1}^{N}{{}}\left( \ln {{P}_{i}}-\Psi +{{\lambda }_{n}}{{M}_{i}}^{n} \right)\delta {{P}_{i}}=!=0</math>


Vorsicht: Auch Summe über <math>\nu</math> (Einsteinsche Summenkonvention!)


{{Def|:<math>\Rightarrow {{P}_{i}}=\exp \left( \Psi -{{\lambda }_{n}}{{M}_{i}}^{n} \right)</math> '''verallgemeinerte kanonische Verteilung'''|verallgemeinerte kanonische Verteilung}}

Die Lagrange- Multiplikatoren <math>\Psi ,{{\lambda }_{n}}</math>  sind dann durch die m+1 Nebenbedingungen eindeutig bestimmt !

===Kontinuierliche Ereignismenge===


:<math>I(\rho )=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{d}}x\rho (x)\ln \rho (x)}=!=Minimum</math>


unter der Nebenbedingung


:<math>\begin{align}
  & \int_{{}}^{{}}{{{d}^{d}}x\rho (x)}=1 \\ 
 & \int_{{}}^{{}}{{{d}^{d}}x\rho (x)}{{M}^{n}}(x)=\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle  \\ 
 & n=1,...,m \\ 
\end{align}</math>


Durchführung einer Funktionalvariation: 
:<math>\delta \rho (x)</math>



:<math>\begin{align}
  & \delta I(\rho )=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{d}}x\left( \ln \rho (x)+1 \right)\delta \rho (x)}=0 \\ 
 & \Rightarrow \int_{{}}^{{}}{{{d}^{d}}x\delta \rho (x)}=0 \\ 
 & \int_{{}}^{{}}{{{d}^{d}}x{{M}^{n}}(x)\delta \rho (x)}=0 \\ 
 & \Rightarrow \int_{{}}^{{}}{{{d}^{d}}x\left( \ln \rho -\Psi +{{\lambda }_{n}}{{M}^{n}} \right)\delta \rho (x)}=0 \\ 
 & \Rightarrow \rho (x)=\exp (\Psi -{{\lambda }_{n}}{{M}^{n}}) \\ 
\end{align}</math>


'''Vergleiche: A. Katz, Principles of Statistial Mechanics'''

{{AnMS|Siehe auch {{Quelle|St7B|5.4.13|Kap 5.4.3 S46}}}}

==Eigenschaften der verallgemeinerten kanonischen Verteilung==

hier: noch rein informationstheoretisch,

später: wichtige Anwendungen in der Thermodynamik

{{FB|Legendre- Transformation}}:

Sei <math>\Psi (t)</math> eine Bahn !

Dann ist <math>M:=\frac{d\Psi (t)}{dt}</math> die Geschwindigkeit.

Aus <math>\Psi (M)</math> kann die Bahn <math>\Psi (t)</math>  noch nicht rekonstruiert werden, jedoch aus
:<math>I(M)=\Psi (t)-M(t)t</math>
mit t=t(M):


<math>\begin{align}
  & \frac{dI}{dM}=\frac{d\Psi (t)}{dt}\frac{dtM}{dM}-M\frac{dt}{dM}-t \\ 
 & M:=\frac{d\Psi (t)}{dt} \\ 
 & \Rightarrow \frac{dI}{dM}=-t \\ 
\end{align}</math>


hieraus folgt 
<math>M(t)</math>


eingesetzt in 
<math>I(M)=\Psi (t)-M(t)t\Rightarrow \Psi (t)</math>


durch Eisnetzen gewinnt man 
<math>\Psi (t)</math>


Jedenfalls:


<math>I(M)=\Psi (t)-M(t)t</math>


heißt legendre- Transformierte von 
<math>\Psi (t)</math>
.

=== Anwendung auf die verallgemeinerte kanonische Verteilung: ===

<math>\Rightarrow {{P}_{i}}=\exp \left( \Psi -{{\lambda }_{n}}{{M}_{i}}^{n} \right)</math>


Normierung:

{{Gln|
<math>\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{P}_{i}}=1\Rightarrow {{e}^{-\Psi }}=\sum_i \exp \left( -{{\lambda }_{n}}{{M}_{i}}^{n} \right)\equiv Z</math>}}


Also gilt:


<math>\Psi =\Psi \left( {{\lambda }_{1}},...,{{\lambda }_{m}} \right)</math> und  <math>{{P}_{i}}</math> sind durch <math>\left( {{\lambda }_{1}},...,{{\lambda }_{m}} \right)</math> vollständig parametrisiert.

'''Nebenbemerkung'''

Die Verteilung <math>{{P}_{i}}</math> bzw. <math>\rho \left( x \right)</math> wirkt auf dem Raum der Zufallsvariablen <math>{{M}_{i}}^{n}</math> (diskret) bzw. <math>x\in {{R}^{d}}</math>(kontinuierlich).
:<math>\left( {{\lambda }_{1}},...,{{\lambda }_{m}} \right)</math> sind Parameter.


:<math>\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math> sind Erwartungswerte <math>\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \in R</math>


{{Beispiel|'''Beispiel:'''
<math>x=\left( {{q}_{1}},...,{{q}_{3N}},{{p}_{1}}....,{{p}_{3N}} \right)\in \Gamma </math>  ( Phasenraumelement)

mit <math>\Gamma </math> als Phasenraum der kanonisch konjugierten Variablen


<math>M\left( x \right)=\sum\limits_{i=1}^{3N}{{}}\left( \frac{{{p}_{i}}^{2}}{2m}+V\left( {{q}_{i}} \right) \right)</math> mikrokanonisch Verteilungsfunktion


<math>\left\langle M\left( x \right) \right\rangle =\left\langle \sum\limits_{i=1}^{3N}{{}}\left( \frac{{{p}_{i}}^{2}}{2m}+V\left( {{q}_{i}} \right) \right) \right\rangle </math> als mittlere Energie
}}
'''Shannon- Information:'''


<math>\begin{align}
  & I(P)=\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{P}_{i}}\ln {{P}_{i}}=\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{P}_{i}}\left( \Psi -{{\lambda }_{n}}{{M}_{i}}^{n} \right)=\Psi -{{\lambda }_{n}}\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{P}_{i}}{{M}_{i}}^{n} \\ 
 & I=\Psi \left( {{\lambda }_{1}},...{{\lambda }_{m}} \right)-{{\lambda }_{n}}\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle  \\ 
\end{align}</math>


Aus <math>\begin{align}
  & \Psi \left( {{\lambda }_{1}},...{{\lambda }_{m}} \right)=-\ln \sum\limits_{i}^{{}}{{}}\exp \left( -{{\lambda }_{n}}{{M}_{i}}^{n} \right) \\ 
 & \Rightarrow \frac{\partial }{\partial {{\lambda }_{n}}}\Psi =-\frac{\sum\limits_{i}^{{}}{{}}\left( -{{M}_{i}}^{n} \right)\exp \left( -{{\lambda }_{n}}{{M}_{i}}^{n} \right)}{\sum\limits_{i}^{{}}{{}}\exp \left( -{{\lambda }_{n}}{{M}_{i}}^{n} \right)} \\  
 & \sum\limits_{i}^{{}}{{}}\exp \left( -{{\lambda }_{n}}{{M}_{i}}^{n} \right)={{e}^{-\Psi }} \\ 
 & \Rightarrow \frac{\partial }{\partial {{\lambda }_{n}}}\Psi =\sum\limits_{i}^{{}}{{}}\left( {{M}_{i}}^{n} \right)\exp \left( \Psi -{{\lambda }_{n}}{{M}_{i}}^{n} \right) \\ 
 & \exp \left( \Psi -{{\lambda }_{n}}{{M}_{i}}^{n} \right)={{P}_{i}} \\ 
 & \Rightarrow \frac{\partial }{\partial {{\lambda }_{n}}}\Psi =\sum\limits_{i}^{{}}{{}}\left( {{M}_{i}}^{n} \right){{P}_{i}} \\ 
 & \Rightarrow \frac{\partial }{\partial {{\lambda }_{n}}}\Psi =\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle  \\ 
\end{align}</math>


Damit können wir die Legendre- Transformation ( verallgemeinert auf mehrere Variablen) identifizieren:


<math>\Psi (t)\to \Psi \left( {{\lambda }_{1}},...{{\lambda }_{m}} \right)</math>  '''Variable''' <math>{{\lambda }_{n}}</math>


<math>M\to \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle =\frac{\partial \Psi }{\partial {{\lambda }_{n}}}</math>  neue Variable  <math>\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math>



<math>I\left( M \right)\to I=\Psi -{{\lambda }_{n}}\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math>  Legendre- Transformierte von <math>\Psi </math> !

Es folgt:


<math>\frac{\partial I}{\partial \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle }=-{{\lambda }_{n}}</math>


wegen:


<math>\begin{align}
  & \frac{\partial I}{\partial \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle }=\frac{\partial \Psi }{\partial {{\lambda }_{m}}}\frac{\partial {{\lambda }_{m}}}{\partial \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle }-\frac{\partial {{\lambda }_{m}}}{\partial \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle }\left\langle {{M}^{m}} \right\rangle -{{\lambda }_{n}} \\ 
 & \frac{\partial \Psi }{\partial {{\lambda }_{m}}}=\left\langle {{M}^{m}} \right\rangle  \\ 
 & \Rightarrow \frac{\partial I}{\partial \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle }=-{{\lambda }_{n}} \\ 
\end{align}</math>


Zusammengefasst:

{{Gln|
<math>dI=-{{\lambda }_{n}}d\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math>

Dies ist in der Thermodynamik die '''Gibbsche Fundamentalgleichung'''!|Gibbsche Fundamentalgleichung}}

Betachte Variation:


<math>\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \to \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle +\delta \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math>


dann:


<math>\begin{align}
  & {{\lambda }_{n}}\to {{\lambda }_{n}}+\delta {{\lambda }_{n}} \\ 
 & \Psi \to \Psi +\delta \Psi  \\ 
 & {{P}_{i}}\to {{P}_{i}}+\delta {{P}_{i}} \\ 
\end{align}</math>


'''Informationsgewinn:'''


<math>\begin{align}
  & K\left( P+\delta P,P \right)=\sum\limits_{i}^{{}}{{}}\left( {{P}_{i}}+\delta {{P}_{i}} \right)\ln \left( {{P}_{i}}+\delta {{P}_{i}} \right)-\sum\limits_{i}^{{}}{{}}\left( {{P}_{i}}+\delta {{P}_{i}} \right)\ln {{P}_{i}} \\ 
 & \sum\limits_{i}^{{}}{{}}\left( {{P}_{i}}+\delta {{P}_{i}} \right)\ln \left( {{P}_{i}}+\delta {{P}_{i}} \right)=I\left( P+\delta P \right) \\ 
 & \Rightarrow K\left( P+\delta P,P \right)=\left( \Psi +\delta \Psi  \right)-\left( {{\lambda }_{n}}+\delta {{\lambda }_{n}} \right)\left( \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle +\delta \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle  \right)-\sum\limits_{i}^{{}}{{}}\left( {{P}_{i}}+\delta {{P}_{i}} \right)\left( \Psi -{{\lambda }_{n}}{{M}^{n}}_{i} \right) \\ 
 & \sum\limits_{i}^{{}}{{}}\left( {{P}_{i}}+\delta {{P}_{i}} \right)\left( \Psi -{{\lambda }_{n}}{{M}^{n}}_{i} \right)=\Psi -{{\lambda }_{n}}\sum\limits_{i}^{{}}{{}}\left( {{P}_{i}}+\delta {{P}_{i}} \right){{M}^{n}}_{i}=\Psi -{{\lambda }_{n}}\left( \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle +\delta \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle  \right) \\ 
 & \Rightarrow K\left( P+\delta P,P \right)=\left( \Psi +\delta \Psi  \right)-\left( {{\lambda }_{n}}+\delta {{\lambda }_{n}} \right)\left( \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle +\delta \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle  \right)-\Psi +{{\lambda }_{n}}\left( \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle +\delta \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle  \right) \\ 
 & =\delta \Psi -\delta {{\lambda }_{n}}\left( \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle +\delta \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle  \right) \\ 
\end{align}</math>


Wir können die variierten Funktionen für kleine Variationen 
<math>\delta {{\lambda }_{n}}</math>
entwickeln:


<math>\begin{align}
  & \delta \Psi =\frac{\partial \Psi }{\partial {{\lambda }_{n}}}\delta {{\lambda }_{n}}+\frac{1}{2}\frac{{{\partial }^{2}}\Psi }{\partial {{\lambda }_{n}}\partial {{\lambda }_{m}}}\delta {{\lambda }_{n}}\delta {{\lambda }_{m}}+.... \\ 
 & \delta \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle =\frac{\partial \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle }{\partial {{\lambda }_{n}}}\delta {{\lambda }_{n}}+\frac{1}{2}\frac{{{\partial }^{2}}\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle }{\partial {{\lambda }_{n}}\partial {{\lambda }_{m}}}\delta {{\lambda }_{n}}\delta {{\lambda }_{m}}+.... \\ 
 & \Rightarrow K\left( P+\delta P,P \right)=\delta \Psi -\delta {{\lambda }_{n}}\left( \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle +\delta \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle  \right)=\left( \frac{\partial \Psi }{\partial {{\lambda }_{n}}}\delta {{\lambda }_{n}}-\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle  \right)\delta {{\lambda }_{n}}+\left( \frac{1}{2}\frac{\partial }{\partial {{\lambda }_{m}}}\frac{\partial \Psi }{\partial {{\lambda }_{n}}}-\frac{\partial \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle }{\partial {{\lambda }_{m}}} \right)\delta {{\lambda }_{n}}\delta {{\lambda }_{m}} \\ 
 & \frac{\partial \Psi }{\partial {{\lambda }_{n}}}=\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \Rightarrow \left( \frac{1}{2}\frac{\partial }{\partial {{\lambda }_{m}}}\frac{\partial \Psi }{\partial {{\lambda }_{n}}}-\frac{\partial \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle }{\partial {{\lambda }_{m}}} \right)=-\frac{1}{2}\frac{\partial \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle }{\partial {{\lambda }_{m}}} \\ 
 & \left( \frac{\partial \Psi }{\partial {{\lambda }_{n}}}\delta {{\lambda }_{n}}-\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle  \right)=0 \\ 
 & \Rightarrow K\left( P+\delta P,P \right)=-\frac{1}{2}\frac{\partial \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle }{\partial {{\lambda }_{m}}}\delta {{\lambda }_{n}}\delta {{\lambda }_{m}} \\ 
 & K\left( P+\delta P,P \right)\ge 0 \\ 
\end{align}</math>


Vergleiche oben

also folgt:


<math>\begin{align}
  & \Rightarrow K\left( P+\delta P,P \right)=-\frac{1}{2}\frac{\partial \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle }{\partial {{\lambda }_{m}}}\delta {{\lambda }_{n}}\delta {{\lambda }_{m}}\ge 0 \\ 
 & \Rightarrow \frac{\partial \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle }{\partial {{\lambda }_{m}}}\le 0 \\ 
\end{align}</math>


negativ semidefinit, für alle <math>\delta {{\lambda }_{m}}</math>


Definiere {{FB|Suszeptibilitätsmatrix}}:


<math>{{\eta }^{mn}}:=\frac{\partial \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle }{\partial {{\lambda }_{n}}}=\frac{{{\partial }^{2}}\Psi }{\partial {{\lambda }_{n}}\partial {{\lambda }_{m}}}</math>


Diese Matrix beschreibt die Änderung von <math>\left\langle {{M}^{m}} \right\rangle </math> bei Variation von <math>{{\lambda }_{n}}</math>:


:<math>\delta \left\langle {\bar{M}} \right\rangle =\bar{\bar{\eta }}\delta \bar{\lambda }</math>


bzw.:


<math>{{\tilde{\eta }}_{\sigma \lambda }}:=\frac{\partial {{\lambda }_{\sigma }}}{\partial \left\langle {{M}^{\lambda }} \right\rangle }=-\frac{{{\partial }^{2}}I}{\partial \left\langle {{M}^{\lambda }} \right\rangle \partial \left\langle {{M}^{\sigma }} \right\rangle }</math>


In Matrixschreibweise:


<math>\begin{align}
  & \delta \bar{\lambda }=\tilde{\bar{\bar{\eta }}}\delta \left\langle {\bar{M}} \right\rangle  \\ 
 & \tilde{\bar{\bar{\eta }}}={{{\bar{\bar{\eta }}}}^{-1}} \\ 
\end{align}</math>


Wegen


<math>\begin{align}
  & \frac{\partial }{\partial {{\lambda }_{n}}}\left( \frac{\partial \Psi }{\partial {{\lambda }_{m}}} \right)=\frac{\partial }{\partial {{\lambda }_{m}}}\left( \frac{\partial \Psi }{\partial {{\lambda }_{n}}} \right) \\ 
 & \left( \frac{\partial \Psi }{\partial {{\lambda }_{m}}} \right)=\left\langle {{M}^{m}} \right\rangle \Rightarrow \frac{\partial }{\partial {{\lambda }_{n}}}\left( \frac{\partial \Psi }{\partial {{\lambda }_{m}}} \right)={{\eta }^{mn}} \\ 
 & \left( \frac{\partial \Psi }{\partial {{\lambda }_{n}}} \right)=\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \Rightarrow \frac{\partial }{\partial {{\lambda }_{m}}}\left( \frac{\partial \Psi }{\partial {{\lambda }_{n}}} \right)={{\eta }^{nm}} \\ 
\end{align}</math>


Somit:
<math>{{\eta }^{nm}}</math>  ist symmetrisch

Aus<math>K\left( P+\delta P,P \right)\ge 0</math> folgt:


:<math>{{\eta }^{mn}}\delta {{\lambda }_{m}}\delta {{\lambda }_{n}}=\delta \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \delta {{\lambda }_{n}}={{\tilde{\eta }}_{nm}}\delta \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \delta \left\langle {{M}^{m}} \right\rangle \le 0</math>


Also:  negativ- semidefinite quadratisceh Form:


<math>\begin{align}
  & \Rightarrow {{\eta }^{nn}}\le 0 \\ 
 & {{{\tilde{\eta }}}_{nn}}\le 0 \\ 
\end{align}</math>


'''Nebenbemerkung:'''

Also sind <math>I\left( \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle  \right)</math> und <math>-\Psi \left( {{\lambda }_{n}} \right)</math> konvex !

== Zusammenhang mit der Korrelationsmatrix ==

<math>{{Q}^{mn}}:=\left\langle \Delta {{M}^{m}}\Delta {{M}^{n}} \right\rangle </math>  ist Korrelationsmatrix ( siehe oben)

<math>={{\left\langle {{M}^{m}}{{M}^{n}} \right\rangle }_{c}}</math>  2. Kumulante


<math>={{\left. \frac{{{\partial }^{2}}\Gamma \left( \alpha  \right)}{\partial {{\alpha }_{m}}\partial {{\alpha }_{n}}} \right|}_{\alpha =0}}</math>  mit Kumulantenerzeugender


<math>\begin{align}
  & \Gamma \left( \alpha  \right)=\ln \left\langle \exp \left( {{\alpha }_{n}}{{M}^{n}} \right) \right\rangle =\ln \sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{P}_{i}}\exp \left( {{\alpha }_{n}}{{M}_{i}}^{n} \right)=\ln \sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{e}^{\Psi -\left( {{\lambda }_{n}}-{{\alpha }_{n}} \right){{M}_{i}}^{n}}} \\ 
 & =\ln \left[ {{e}^{\Psi }}\cdot \sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{e}^{-\left( {{\lambda }_{n}}-{{\alpha }_{n}} \right){{M}_{i}}^{n}}} \right]=\Psi \left( \lambda  \right)+\ln \left[ \sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{e}^{-\left( {{\lambda }_{n}}-{{\alpha }_{n}} \right){{M}_{i}}^{n}}} \right] \\ 
 & \ln \left[ \sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{e}^{-\left( {{\lambda }_{n}}-{{\alpha }_{n}} \right){{M}_{i}}^{n}}} \right]=-\Psi \left( \lambda -\alpha  \right) \\ 
 & \Rightarrow \Gamma \left( \alpha  \right)=\Psi \left( \lambda  \right)-\Psi \left( \lambda -\alpha  \right) \\ 
 & \Rightarrow {{Q}^{mn}}=-{{\left. \frac{{{\partial }^{2}}\Psi \left( \lambda -\alpha  \right)}{\partial {{\alpha }_{m}}\partial {{\alpha }_{n}}} \right|}_{\alpha =0}}=-\frac{{{\partial }^{2}}\Psi \left( \lambda  \right)}{\partial {{\lambda }_{m}}\partial {{\lambda }_{n}}}=-{{\eta }^{mn}} \\ 
\end{align}</math>


Suszeptibilität !

Also: Die Korrelationsmatrix ist das Negative der Suszeptibilität !!

Also:
{{Gln|

<math>{{Q}^{mn}}:=\left\langle \Delta {{M}^{m}}\Delta {{M}^{n}} \right\rangle =-\frac{\partial \left\langle {{M}^{m}} \right\rangle }{\partial {{\lambda }_{n}}}=-\frac{\partial \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle }{\partial {{\lambda }_{m}}}</math> |Fluktuations-Dissipations-Theorem}}


Fluktuations/ Dissipations- Theorem:

;{{FB|Fluktuationen}}: Zufällige Schwankungen um den Mittelwert

;{{FB|Dissipation}}: Systematische Änderung der Mittelwerte !

== Korrektur einer Verteilung durch Zusatzinformationen ==

Sei <math>{{P}^{0}}</math> die Verteilung, die <math>I\left( P \right)</math> unter Kenntnis der '''Nebenbedingungen'''

:<math>\begin{align}
  & \sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{P}_{i}}^{0}=1 \\ 
 & \sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{P}_{i}}^{0}{{M}_{i}}^{m}=\left\langle {{M}^{m}} \right\rangle  \\ 
 & m=1,...,m \\ 
\end{align}</math>
: minimalisiert ( Vorsicht: Index und Laufende sind ungünstigerweise gleich bezeichnet !)

'''Jetzt:'''

Zusatzinformationen ( zusätzliche Mittelwerte beobachtet):

:<math>\begin{align}
  & \sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{P}_{i}}{{V}_{i}}^{\sigma }=\left\langle {{V}_{i}}^{\sigma } \right\rangle  \\ 
 & \sigma =1,...,s \\ 
 & \sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{P}_{i}}=1 \\ 
\end{align}</math>

== Prinzip der vorurteilsfreien Schätzung ==

Suche Minimum des Informationsgewinns


<math>K\left( P,{{P}^{0}} \right)=\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{P}_{i}}\ln \frac{{{P}_{i}}}{{{P}_{i}}^{0}}</math>


unter dieser Nebenbedingung !!

Also:


<math>\sum\limits_{i}^{{}}{{}}\left( \ln {{P}_{i}}-\ln {{P}_{i}}^{0}+1+\xi +{{\xi }_{\sigma }}{{V}_{i}}^{\sigma } \right)\delta {{P}_{i}}=0</math>


mit neuen Lagrange- Multiplikatoren 
<math>\xi ,{{\xi }_{\sigma }}</math>



<math>\begin{align}
  & \Rightarrow 1+\xi =-\Xi  \\ 
 & \sum\limits_{i}^{{}}{{}}\left( \ln {{P}_{i}}-\ln {{P}_{i}}^{0}-\Xi +{{\xi }_{\sigma }}{{V}_{i}}^{\sigma } \right)\delta {{P}_{i}}=0 \\ 
 & \Rightarrow {{P}_{i}}={{P}_{i}}^{0}\exp \left( \Xi -{{\xi }_{\sigma }}{{V}_{i}}^{\sigma } \right) \\ 
\end{align}</math>


Mit


<math>{{P}_{i}}^{0}=\exp \left( \Psi -{{\lambda }_{n}}{{M}_{i}}^{n} \right)</math>
  folgt:


<math>\begin{align}
  & K\left( P,{{P}^{0}} \right)=\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{P}_{i}}\ln {{P}_{i}}-{{P}_{i}}\ln {{P}_{i}}^{0}+{{P}_{i}}^{0}\ln {{P}_{i}}^{0}-{{P}_{i}}^{0}\ln {{P}_{i}}^{0} \\ 
 & \sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{P}_{i}}\ln {{P}_{i}}=I(P) \\ 
 & \sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{P}_{i}}^{0}\ln {{P}_{i}}^{0}=I({{P}^{0}}) \\ 
 & -{{P}_{i}}\ln {{P}_{i}}^{0}+{{P}_{i}}^{0}\ln {{P}_{i}}^{0}=-\sum\limits_{i}^{{}}{{}}\left( {{P}_{i}}-{{P}_{i}}^{0} \right)\ln {{P}_{i}}^{0} \\ 
 & \ln {{P}_{i}}^{0}=\Psi -{{\lambda }_{n}}{{M}_{i}}^{n} \\ 
 & -\sum\limits_{i}^{{}}{{}}\left( {{P}_{i}}-{{P}_{i}}^{0} \right)\left( \Psi -{{\lambda }_{n}}{{M}_{i}}^{n} \right)={{\lambda }_{n}}\left( \sum\limits_{i}^{{}}{{}}\left( {{P}_{i}}{{M}_{i}}^{n} \right)-\sum\limits_{i}^{{}}{{}}\left( {{P}_{i}}^{0}{{M}_{i}}^{n} \right) \right) \\ 
 & \sum\limits_{i}^{{}}{{}}\left( {{P}_{i}}{{M}_{i}}^{n} \right)=\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle  \\ 
 & \sum\limits_{i}^{{}}{{}}\left( {{P}_{i}}^{0}{{M}_{i}}^{n} \right)={{\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle }_{0}} \\ 
\end{align}</math>


Da nun die Mittelwerte 
<math>\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle ,{{\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle }_{0}}</math>
nicht durch die Zusatzinfo geändert werden muss gelten:


<math>\begin{align}
  & K\left( P,{{P}^{0}} \right)=I(P)-I({{P}^{0}})+{{\lambda }_{n}}\left( \sum\limits_{i}^{{}}{{}}\left( {{P}_{i}}{{M}_{i}}^{n} \right)-\sum\limits_{i}^{{}}{{}}\left( {{P}_{i}}^{0}{{M}_{i}}^{n} \right) \right) \\
 & =I(P)-I({{P}^{0}})+{{\lambda }_{n}}\left( \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle -{{\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle }_{0}} \right) \\ 
 & keine\ddot{A}nderung \\ 
 & \Rightarrow {{\lambda }_{n}}\left( \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle -{{\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle }_{0}} \right)=0 \\ 
 & \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle ={{\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle }_{0}} \\ 
\end{align}</math>


da diese Mittelwerte nicht durch die Zusatzinfo geändert werden !


<math>\begin{align}
  & \Rightarrow K\left( P,{{P}^{0}} \right)=I(P)-I({{P}^{0}})+{{\lambda }_{n}}\left( \sum\limits_{i}^{{}}{{}}\left( {{P}_{i}}{{M}_{i}}^{n} \right)-\sum\limits_{i}^{{}}{{}}\left( {{P}_{i}}^{0}{{M}_{i}}^{n} \right) \right) \\ 
 & =I(P)-I({{P}^{0}})+{{\lambda }_{n}}\left( \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle -{{\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle }_{0}} \right)=I(P)-I({{P}^{0}}) \\ 
\end{align}</math>


Das heißt: Der Informationsgewinn entspricht gerade der Änderung der Shannon- Info !

==Siehe auch==

<references />