Editing Verallgemeinerte kanonische Verteilung
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| Latest revision | Your text | ||
| Line 3: | Line 3: | ||
== Motivation == | == Motivation == | ||
Makroskopische thermodynamische Zustände sind gegeben durch die Mittelwerte | Makroskopische thermodynamische Zustände sind gegeben durch die Mittelwerte | ||
<math>\left\langle M(x) \right\rangle </math> | |||
von Mikroobservablen M(x), interpretiert als Zufallsvariable. | von Mikroobservablen M(x), interpretiert als Zufallsvariable. | ||
Rückschlüsse von | Rückschlüsse von | ||
<math>\left\langle M(x) \right\rangle </math> | |||
auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung | auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung | ||
<math>\rho (x)?</math> | |||
== Methode == | == Methode == | ||
Vorurteilsfreie Schätzung (Jaynes, 1957): | Vorurteilsfreie Schätzung ( Jaynes , 1957): | ||
unbiased guess; Prinzip des maximalen Nichtwissens: | |||
* Verallgemeinerung des Laplacschen Prinzips vom unzureichenden Grund. | * Verallgemeinerung des Laplacschen Prinzips vom unzureichenden Grund. | ||
* ( Minimum der Shannon- Information | |||
* '''Jetzt: '''Zusätzlich zur Normierung der | <math>I\left( \rho (x) \right)</math> | ||
= Maximum des Nichtwissens | |||
<math>S\left( \rho (x) \right)</math> | |||
liefert Gleichverteilung | |||
* '''Jetzt: '''Zusätzlich zur Normierung der Pi sind die Mittelwerte von m Zufallsvariablen: | |||
<math>\begin{align} | |||
& {{M}_{i}}^{n} \\ | & {{M}_{i}}^{n} \\ | ||
& n=1,2,...,m \\ | & n=1,2,...,m \\ | ||
| Line 31: | Line 37: | ||
<u>'''Annahme:'''</u> | <u>'''Annahme:'''</u> | ||
Jedes Elementarereignis <math>{{A}_{i}}</math> hat gleiche '''a-priori'''- Wahrscheinlichkeit, das heißt OHNE zusätzliche Kenntnisse <math>\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math> gilt Gleichverteilung über den <math>{{A}_{i}}</math>. | Jedes Elementarereignis | ||
<math>{{A}_{i}}</math> | |||
hat gleiche '''a-priori'''- Wahrscheinlichkeit , das heißt OHNE zusätzliche Kenntnisse | |||
<math>\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math> | |||
gilt Gleichverteilung über den | |||
<math>{{A}_{i}}</math> | |||
. | |||
== Informationstheoretisches Prinzip== | == Informationstheoretisches Prinzip== | ||
(nach (Jaynes 1922-1998)) | (nach (Jaynes 1922-1998)) | ||
Suche die Wahrscheinlichkeitsverteilung, die unter der Erfüllung aller bekannten Angaben als Nebenbedingung die '''minimale Information''' enthält: | Suche die Wahrscheinlichkeitsverteilung , die unter der Erfüllung aller bekannten Angaben als Nebenbedingung die '''minimale Information''' enthält: | ||
Also: <math>I(P)=\sum\limits_{i=1}^{N}{{}}{{P}_{i}}\ln {{P}_{i}}=!=Minimum</math> | Also: <math>I(P)=\sum\limits_{i=1}^{N}{{}}{{P}_{i}}\ln {{P}_{i}}=!=Minimum</math> | ||
| Line 50: | Line 64: | ||
Es gilt: von den N Variationen <math>\delta {{P}_{i}}</math> sind nur N-m-1 unabhängig voneinander! | Es gilt: von den N Variationen <math>\delta {{P}_{i}}</math> sind nur N-m-1 unabhängig voneinander ! | ||
:<math>\sum\limits_{i}^{{}}{{}}\delta {{P}_{i}}=0</math> | :<math>\sum\limits_{i}^{{}}{{}}\delta {{P}_{i}}=0</math> | ||
| Line 61: | Line 75: | ||
Lagrange- Multiplikator <math>{{\lambda }_{n}}</math> | Lagrange- Multiplikator <math>{{\lambda }_{n}}</math> | ||
<u>Anleitung</u>: Wähle <math>\Psi ,{{\lambda }_{n}}</math> so, dass die Koeffizienten von <math>\left( m+1 \right)\delta {{P}_{i}}</math>´s verschwinden, die übrigen N-(m+1) sind dann frei variierbar! | <u>Anleitung</u>: Wähle <math>\Psi ,{{\lambda }_{n}}</math> so, dass die Koeffizienten von <math>\left( m+1 \right)\delta {{P}_{i}}</math>´s verschwinden, die übrigen N-(m+1) sind dann frei variierbar ! | ||
Somit: | Somit: | ||
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:<math>\Rightarrow {{P}_{i}}=\exp \left( \Psi -{{\lambda }_{n}}{{M}_{i}}^{n} \right)</math> Die {{FBverallgemeinerte kanonische Verteilung}} | |||
Die Lagrange- Multiplikatoren <math>\Psi ,{{\lambda }_{n}}</math> sind dann durch die m+1 Nebenbedingungen eindeutig bestimmt! | Die Lagrange- Multiplikatoren <math>\Psi ,{{\lambda }_{n}}</math> sind dann durch die m+1 Nebenbedingungen eindeutig bestimmt ! | ||
===Kontinuierliche Ereignismenge=== | ===Kontinuierliche Ereignismenge=== | ||
<math>I(\rho )=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{d}}x\rho (x)\ln \rho (x)}=!=Minimum</math> | |||
| Line 84: | Line 98: | ||
<math>\begin{align} | |||
& \int_{{}}^{{}}{{{d}^{d}}x\rho (x)}=1 \\ | & \int_{{}}^{{}}{{{d}^{d}}x\rho (x)}=1 \\ | ||
& \int_{{}}^{{}}{{{d}^{d}}x\rho (x)}{{M}^{n}}(x)=\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \\ | & \int_{{}}^{{}}{{{d}^{d}}x\rho (x)}{{M}^{n}}(x)=\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \\ | ||
| Line 92: | Line 106: | ||
Durchführung einer Funktionalvariation: | Durchführung einer Funktionalvariation: | ||
<math>\delta \rho (x)</math> | |||
: | |||
<math>\begin{align} | |||
& \delta I(\rho )=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{d}}x\left( \ln \rho (x)+1 \right)\delta \rho (x)}=0 \\ | & \delta I(\rho )=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{d}}x\left( \ln \rho (x)+1 \right)\delta \rho (x)}=0 \\ | ||
& \Rightarrow \int_{{}}^{{}}{{{d}^{d}}x\delta \rho (x)}=0 \\ | & \Rightarrow \int_{{}}^{{}}{{{d}^{d}}x\delta \rho (x)}=0 \\ | ||
| Line 106: | Line 120: | ||
'''Vergleiche: A. Katz, Principles of Statistial Mechanics''' | '''Vergleiche: A. Katz, Principles of Statistial Mechanics''' | ||
{{AnMS|Siehe auch {{Quelle|ST7|5.4.13|Kap 5.4.3 S46}}}} | |||
{{AnMS|Siehe auch {{Quelle| | |||
==Eigenschaften der verallgemeinerten kanonischen Verteilung== | ==Eigenschaften der verallgemeinerten kanonischen Verteilung== | ||
| Line 117: | Line 130: | ||
{{FB|Legendre- Transformation}}: | {{FB|Legendre- Transformation}}: | ||
Sei <math>\Psi (t)</math> eine Bahn! | Sei <math>\Psi (t)</math> eine Bahn ! | ||
Dann ist <math>M:=\frac{d\Psi (t)}{dt}</math> die Geschwindigkeit. | Dann ist <math>M:=\frac{d\Psi (t)}{dt}</math> die Geschwindigkeit. | ||
| Line 126: | Line 139: | ||
<math>\begin{align} | |||
& \frac{dI}{dM}=\frac{d\Psi (t)}{dt}\frac{dtM}{dM}-M\frac{dt}{dM}-t \\ | & \frac{dI}{dM}=\frac{d\Psi (t)}{dt}\frac{dtM}{dM}-M\frac{dt}{dM}-t \\ | ||
& M:=\frac{d\Psi (t)}{dt} \\ | & M:=\frac{d\Psi (t)}{dt} \\ | ||
| Line 134: | Line 147: | ||
hieraus folgt | hieraus folgt | ||
<math>M(t)</math> | |||
eingesetzt in | eingesetzt in | ||
<math>I(M)=\Psi (t)-M(t)t\Rightarrow \Psi (t)</math> | |||
durch Eisnetzen gewinnt man | durch Eisnetzen gewinnt man | ||
<math>\Psi (t)</math> | |||
| Line 148: | Line 161: | ||
<math>I(M)=\Psi (t)-M(t)t</math> | |||
heißt legendre- Transformierte von | heißt legendre- Transformierte von | ||
<math>\Psi (t)</math> | |||
. | |||
=== Anwendung auf die verallgemeinerte kanonische Verteilung: === | === Anwendung auf die verallgemeinerte kanonische Verteilung: === | ||
<math>\Rightarrow {{P}_{i}}=\exp \left( \Psi -{{\lambda }_{n}}{{M}_{i}}^{n} \right)</math> | |||
Normierung: | Normierung: | ||
<math>\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{P}_{i}}=1\Rightarrow {{e}^{-\Psi }}=\exp \left( -{{\lambda }_{n}}{{M}_{i}}^{n} \right)\equiv Z</math> | |||
| Line 169: | Line 182: | ||
<math>\Psi =\Psi \left( {{\lambda }_{1}},...,{{\lambda }_{m}} \right)</math> | |||
und | |||
<math>{{P}_{i}}</math> | |||
sind durch | |||
<math>\left( {{\lambda }_{1}},...,{{\lambda }_{m}} \right)</math> | |||
vollständig parametrisiert. | |||
'''Nebenbemerkung''' | '''Nebenbemerkung''' | ||
Die Verteilung <math>{{P}_{i}}</math> bzw. <math>\rho \left( x \right)</math> wirkt auf dem Raum der Zufallsvariablen <math>{{M}_{i}}^{n}</math> (diskret) bzw. <math>x\in {{R}^{d}}</math>(kontinuierlich). | Die Verteilung | ||
<math>{{P}_{i}}</math> | |||
bzw. | |||
<math>\rho \left( x \right)</math> | |||
wirkt auf dem Raum der Zufallsvariablen | |||
<math>{{M}_{i}}^{n}</math> | |||
(diskret) bzw. | |||
<math>x\in {{R}^{d}}</math> | |||
(kontinuierlich). | |||
<math>\left( {{\lambda }_{1}},...,{{\lambda }_{m}} \right)</math> | |||
sind Parameter. | |||
<math>\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math> | |||
sind Erwartungswerte | |||
<math>\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \in R</math> | |||
'''Beispiel:''' | |||
<math>x=\left( {{q}_{1}},...,{{q}_{3N}},{{p}_{1}}....,{{p}_{3N}} \right)\in \Gamma </math> | |||
( Phasenraumelement) | |||
mit | |||
<math>\Gamma </math> | |||
als Phasenraum der kanonisch konjugierten Variablen | |||
<math>M\left( x \right)=\sum\limits_{i=1}^{3N}{{}}\left( \frac{{{p}_{i}}^{2}}{2m}+V\left( {{q}_{i}} \right) \right)</math> | |||
mikrokanonisch Verteilungsfunktion | |||
<math>\left\langle M\left( x \right) \right\rangle =\left\langle \sum\limits_{i=1}^{3N}{{}}\left( \frac{{{p}_{i}}^{2}}{2m}+V\left( {{q}_{i}} \right) \right) \right\rangle </math> | |||
als mittlere Energie | |||
'''Shannon- Information:''' | '''Shannon- Information:''' | ||
<math>\begin{align} | |||
& I(P)=\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{P}_{i}}\ln {{P}_{i}}=\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{P}_{i}}\left( \Psi -{{\lambda }_{n}}{{M}_{i}}^{n} \right)=\Psi -{{\lambda }_{n}}\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{P}_{i}}{{M}_{i}}^{n} \\ | & I(P)=\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{P}_{i}}\ln {{P}_{i}}=\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{P}_{i}}\left( \Psi -{{\lambda }_{n}}{{M}_{i}}^{n} \right)=\Psi -{{\lambda }_{n}}\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{P}_{i}}{{M}_{i}}^{n} \\ | ||
& I=\Psi \left( {{\lambda }_{1}},...{{\lambda }_{m}} \right)-{{\lambda }_{n}}\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \\ | & I=\Psi \left( {{\lambda }_{1}},...{{\lambda }_{m}} \right)-{{\lambda }_{n}}\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \\ | ||
| Line 200: | Line 238: | ||
Aus <math>\begin{align} | Aus | ||
<math>\begin{align} | |||
& \Psi \left( {{\lambda }_{1}},...{{\lambda }_{m}} \right)=-\ln \sum\limits_{i}^{{}}{{}}\exp \left( -{{\lambda }_{n}}{{M}_{i}}^{n} \right) \\ | & \Psi \left( {{\lambda }_{1}},...{{\lambda }_{m}} \right)=-\ln \sum\limits_{i}^{{}}{{}}\exp \left( -{{\lambda }_{n}}{{M}_{i}}^{n} \right) \\ | ||
& \Rightarrow \frac{\partial }{\partial {{\lambda }_{n}}}\Psi =-\frac{\sum\limits_{i}^{{}}{{}}\left( -{{M}_{i}}^{n} \right)\exp \left( -{{\lambda }_{n}}{{M}_{i}}^{n} \right)}{\sum\limits_{i}^{{}}{{}}\exp \left( -{{\lambda }_{n}}{{M}_{i}}^{n} \right)} \\ | & \Rightarrow \frac{\partial }{\partial {{\lambda }_{n}}}\Psi =-\frac{\sum\limits_{i}^{{}}{{}}\left( -{{M}_{i}}^{n} \right)\exp \left( -{{\lambda }_{n}}{{M}_{i}}^{n} \right)}{\sum\limits_{i}^{{}}{{}}\exp \left( -{{\lambda }_{n}}{{M}_{i}}^{n} \right)} \\ | ||
| Line 211: | Line 252: | ||
Damit können wir die Legendre- Transformation (verallgemeinert auf mehrere Variablen) identifizieren: | Damit können wir die Legendre- Transformation ( verallgemeinert auf mehrere Variablen) identifizieren: | ||
<math>\Psi (t)\to \Psi \left( {{\lambda }_{1}},...{{\lambda }_{m}} \right)</math> | |||
'''Variable | |||
<math>{{\lambda }_{n}}</math> | |||
''' | |||
<math>M\to \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle =\frac{\partial \Psi }{\partial {{\lambda }_{n}}}</math> | |||
neue Variable | |||
<math>\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math> | |||
<math>I\left( M \right)\to I=\Psi -{{\lambda }_{n}}\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math> | |||
Legendre- Transformierte von | |||
<math>\Psi </math> | |||
! | |||
Es folgt: | Es folgt: | ||
<math>\frac{\partial I}{\partial \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle }=-{{\lambda }_{n}}</math> | |||
| Line 232: | Line 281: | ||
<math>\begin{align} | |||
& \frac{\partial I}{\partial \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle }=\frac{\partial \Psi }{\partial {{\lambda }_{m}}}\frac{\partial {{\lambda }_{m}}}{\partial \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle }-\frac{\partial {{\lambda }_{m}}}{\partial \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle }\left\langle {{M}^{m}} \right\rangle -{{\lambda }_{n}} \\ | & \frac{\partial I}{\partial \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle }=\frac{\partial \Psi }{\partial {{\lambda }_{m}}}\frac{\partial {{\lambda }_{m}}}{\partial \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle }-\frac{\partial {{\lambda }_{m}}}{\partial \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle }\left\langle {{M}^{m}} \right\rangle -{{\lambda }_{n}} \\ | ||
& \frac{\partial \Psi }{\partial {{\lambda }_{m}}}=\left\langle {{M}^{m}} \right\rangle \\ | & \frac{\partial \Psi }{\partial {{\lambda }_{m}}}=\left\langle {{M}^{m}} \right\rangle \\ | ||
| Line 241: | Line 290: | ||
Zusammengefasst: | Zusammengefasst: | ||
Dies ist in der Thermodynamik die | <math>dI=-{{\lambda }_{n}}d\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math> | ||
Dies ist in der Thermodynamik die Gibbsche Fundamentalgleichung !! | |||
Betachte Variation: | Betachte Variation: | ||
<math>\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \to \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle +\delta \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math> | |||
| Line 255: | Line 305: | ||
<math>\begin{align} | |||
& {{\lambda }_{n}}\to {{\lambda }_{n}}+\delta {{\lambda }_{n}} \\ | & {{\lambda }_{n}}\to {{\lambda }_{n}}+\delta {{\lambda }_{n}} \\ | ||
& \Psi \to \Psi +\delta \Psi \\ | & \Psi \to \Psi +\delta \Psi \\ | ||
| Line 265: | Line 315: | ||
<math>\begin{align} | |||
& K\left( P+\delta P,P \right)=\sum\limits_{i}^{{}}{{}}\left( {{P}_{i}}+\delta {{P}_{i}} \right)\ln \left( {{P}_{i}}+\delta {{P}_{i}} \right)-\sum\limits_{i}^{{}}{{}}\left( {{P}_{i}}+\delta {{P}_{i}} \right)\ln {{P}_{i}} \\ | & K\left( P+\delta P,P \right)=\sum\limits_{i}^{{}}{{}}\left( {{P}_{i}}+\delta {{P}_{i}} \right)\ln \left( {{P}_{i}}+\delta {{P}_{i}} \right)-\sum\limits_{i}^{{}}{{}}\left( {{P}_{i}}+\delta {{P}_{i}} \right)\ln {{P}_{i}} \\ | ||
& \sum\limits_{i}^{{}}{{}}\left( {{P}_{i}}+\delta {{P}_{i}} \right)\ln \left( {{P}_{i}}+\delta {{P}_{i}} \right)=I\left( P+\delta P \right) \\ | & \sum\limits_{i}^{{}}{{}}\left( {{P}_{i}}+\delta {{P}_{i}} \right)\ln \left( {{P}_{i}}+\delta {{P}_{i}} \right)=I\left( P+\delta P \right) \\ | ||
| Line 276: | Line 326: | ||
Wir können die variierten Funktionen für kleine Variationen | Wir können die variierten Funktionen für kleine Variationen | ||
<math>\delta {{\lambda }_{n}}</math> | |||
entwickeln: | entwickeln: | ||
<math>\begin{align} | |||
& \delta \Psi =\frac{\partial \Psi }{\partial {{\lambda }_{n}}}\delta {{\lambda }_{n}}+\frac{1}{2}\frac{{{\partial }^{2}}\Psi }{\partial {{\lambda }_{n}}\partial {{\lambda }_{m}}}\delta {{\lambda }_{n}}\delta {{\lambda }_{m}}+.... \\ | & \delta \Psi =\frac{\partial \Psi }{\partial {{\lambda }_{n}}}\delta {{\lambda }_{n}}+\frac{1}{2}\frac{{{\partial }^{2}}\Psi }{\partial {{\lambda }_{n}}\partial {{\lambda }_{m}}}\delta {{\lambda }_{n}}\delta {{\lambda }_{m}}+.... \\ | ||
& \delta \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle =\frac{\partial \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle }{\partial {{\lambda }_{n}}}\delta {{\lambda }_{n}}+\frac{1}{2}\frac{{{\partial }^{2}}\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle }{\partial {{\lambda }_{n}}\partial {{\lambda }_{m}}}\delta {{\lambda }_{n}}\delta {{\lambda }_{m}}+.... \\ | & \delta \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle =\frac{\partial \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle }{\partial {{\lambda }_{n}}}\delta {{\lambda }_{n}}+\frac{1}{2}\frac{{{\partial }^{2}}\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle }{\partial {{\lambda }_{n}}\partial {{\lambda }_{m}}}\delta {{\lambda }_{n}}\delta {{\lambda }_{m}}+.... \\ | ||
| Line 296: | Line 346: | ||
<math>\begin{align} | |||
& \Rightarrow K\left( P+\delta P,P \right)=-\frac{1}{2}\frac{\partial \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle }{\partial {{\lambda }_{m}}}\delta {{\lambda }_{n}}\delta {{\lambda }_{m}}\ge 0 \\ | & \Rightarrow K\left( P+\delta P,P \right)=-\frac{1}{2}\frac{\partial \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle }{\partial {{\lambda }_{m}}}\delta {{\lambda }_{n}}\delta {{\lambda }_{m}}\ge 0 \\ | ||
& \Rightarrow \frac{\partial \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle }{\partial {{\lambda }_{m}}}\le 0 \\ | & \Rightarrow \frac{\partial \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle }{\partial {{\lambda }_{m}}}\le 0 \\ | ||
| Line 302: | Line 352: | ||
negativ semidefinit, für alle <math>\delta {{\lambda }_{m}}</math> | negativ semidefinit, für alle | ||
<math>\delta {{\lambda }_{m}}</math> | |||
Definiere Suszeptibilitätsmatrix: | |||
<math>{{\eta }^{mn}}:=\frac{\partial \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle }{\partial {{\lambda }_{n}}}=\frac{{{\partial }^{2}}\Psi }{\partial {{\lambda }_{n}}\partial {{\lambda }_{m}}}</math> | |||
Diese Matrix beschreibt die Änderung von | |||
<math>\left\langle {{M}^{m}} \right\rangle </math> | |||
bei Variation von | |||
<math>{{\lambda }_{n}}</math> | |||
: | |||
<math>\delta \left\langle {\bar{M}} \right\rangle =\bar{\bar{\eta }}\delta \bar{\lambda }</math> | |||
| Line 320: | Line 377: | ||
<math>{{\tilde{\eta }}_{\sigma \lambda }}:=\frac{\partial {{\lambda }_{\sigma }}}{\partial \left\langle {{M}^{\lambda }} \right\rangle }=-\frac{{{\partial }^{2}}I}{\partial \left\langle {{M}^{\lambda }} \right\rangle \partial \left\langle {{M}^{\sigma }} \right\rangle }</math> | |||
| Line 326: | Line 383: | ||
<math>\begin{align} | |||
& \delta \bar{\lambda }=\tilde{\bar{\bar{\eta }}}\delta \left\langle {\bar{M}} \right\rangle \\ | & \delta \bar{\lambda }=\tilde{\bar{\bar{\eta }}}\delta \left\langle {\bar{M}} \right\rangle \\ | ||
& \tilde{\bar{\bar{\eta }}}={{{\bar{\bar{\eta }}}}^{-1}} \\ | & \tilde{\bar{\bar{\eta }}}={{{\bar{\bar{\eta }}}}^{-1}} \\ | ||
| Line 335: | Line 392: | ||
<math>\begin{align} | |||
& \frac{\partial }{\partial {{\lambda }_{n}}}\left( \frac{\partial \Psi }{\partial {{\lambda }_{m}}} \right)=\frac{\partial }{\partial {{\lambda }_{m}}}\left( \frac{\partial \Psi }{\partial {{\lambda }_{n}}} \right) \\ | & \frac{\partial }{\partial {{\lambda }_{n}}}\left( \frac{\partial \Psi }{\partial {{\lambda }_{m}}} \right)=\frac{\partial }{\partial {{\lambda }_{m}}}\left( \frac{\partial \Psi }{\partial {{\lambda }_{n}}} \right) \\ | ||
& \left( \frac{\partial \Psi }{\partial {{\lambda }_{m}}} \right)=\left\langle {{M}^{m}} \right\rangle \Rightarrow \frac{\partial }{\partial {{\lambda }_{n}}}\left( \frac{\partial \Psi }{\partial {{\lambda }_{m}}} \right)={{\eta }^{mn}} \\ | & \left( \frac{\partial \Psi }{\partial {{\lambda }_{m}}} \right)=\left\langle {{M}^{m}} \right\rangle \Rightarrow \frac{\partial }{\partial {{\lambda }_{n}}}\left( \frac{\partial \Psi }{\partial {{\lambda }_{m}}} \right)={{\eta }^{mn}} \\ | ||
| Line 343: | Line 400: | ||
Somit: | Somit: | ||
<math>{{\eta }^{nm}}</math> | |||
ist symmetrisch | |||
:<math>{{\eta }^{mn}}\delta {{\lambda }_{m}}\delta {{\lambda }_{n}}=\delta \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \delta {{\lambda }_{n}}={{\tilde{\eta }}_{nm}}\delta \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \delta \left\langle {{M}^{m}} \right\rangle \le 0</math> | Aus | ||
<math>K\left( P+\delta P,P \right)\ge 0</math> | |||
folgt: | |||
<math>{{\eta }^{mn}}\delta {{\lambda }_{m}}\delta {{\lambda }_{n}}=\delta \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \delta {{\lambda }_{n}}={{\tilde{\eta }}_{nm}}\delta \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \delta \left\langle {{M}^{m}} \right\rangle \le 0</math> | |||
| Line 354: | Line 420: | ||
<math>\begin{align} | |||
& \Rightarrow {{\eta }^{nn}}\le 0 \\ | & \Rightarrow {{\eta }^{nn}}\le 0 \\ | ||
& {{{\tilde{\eta }}}_{nn}}\le 0 \\ | & {{{\tilde{\eta }}}_{nn}}\le 0 \\ | ||
| Line 362: | Line 428: | ||
'''Nebenbemerkung:''' | '''Nebenbemerkung:''' | ||
Also sind <math>I\left( \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \right)</math> und <math>-\Psi \left( {{\lambda }_{n}} \right)</math> konvex! | Also sind | ||
<math>I\left( \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \right)</math> | |||
und | |||
<math>-\Psi \left( {{\lambda }_{n}} \right)</math> | |||
konvex ! | |||
== Zusammenhang mit der Korrelationsmatrix == | == Zusammenhang mit der Korrelationsmatrix == | ||
<math>{{Q}^{mn}}:=\left\langle \Delta {{M}^{m}}\Delta {{M}^{n}} \right\rangle </math> | |||
ist Korrelationsmatrix ( siehe oben) | |||
<math>={{\left\langle {{M}^{m}}{{M}^{n}} \right\rangle }_{c}}</math> | |||
2. Kumulante | |||
<math>={{\left. \frac{{{\partial }^{2}}\Gamma \left( \alpha \right)}{\partial {{\alpha }_{m}}\partial {{\alpha }_{n}}} \right|}_{\alpha =0}}</math> | |||
mit Kumulantenerzeugender | |||
<math>\begin{align} | |||
& \Gamma \left( \alpha \right)=\ln \left\langle \exp \left( {{\alpha }_{n}}{{M}^{n}} \right) \right\rangle =\ln \sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{P}_{i}}\exp \left( {{\alpha }_{n}}{{M}_{i}}^{n} \right)=\ln \sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{e}^{\Psi -\left( {{\lambda }_{n}}-{{\alpha }_{n}} \right){{M}_{i}}^{n}}} \\ | & \Gamma \left( \alpha \right)=\ln \left\langle \exp \left( {{\alpha }_{n}}{{M}^{n}} \right) \right\rangle =\ln \sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{P}_{i}}\exp \left( {{\alpha }_{n}}{{M}_{i}}^{n} \right)=\ln \sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{e}^{\Psi -\left( {{\lambda }_{n}}-{{\alpha }_{n}} \right){{M}_{i}}^{n}}} \\ | ||
& =\ln \left[ {{e}^{\Psi }}\cdot \sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{e}^{-\left( {{\lambda }_{n}}-{{\alpha }_{n}} \right){{M}_{i}}^{n}}} \right]=\Psi \left( \lambda \right)+\ln \left[ \sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{e}^{-\left( {{\lambda }_{n}}-{{\alpha }_{n}} \right){{M}_{i}}^{n}}} \right] \\ | & =\ln \left[ {{e}^{\Psi }}\cdot \sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{e}^{-\left( {{\lambda }_{n}}-{{\alpha }_{n}} \right){{M}_{i}}^{n}}} \right]=\Psi \left( \lambda \right)+\ln \left[ \sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{e}^{-\left( {{\lambda }_{n}}-{{\alpha }_{n}} \right){{M}_{i}}^{n}}} \right] \\ | ||
| Line 383: | Line 465: | ||
Suszeptibilität! | Suszeptibilität ! | ||
Also: Die Korrelationsmatrix ist das Negative der Suszeptibilität!! | Also: Die Korrelationsmatrix ist das Negative der Suszeptibilität !! | ||
Also: | Also: | ||
<math>{{Q}^{mn}}:=\left\langle \Delta {{M}^{m}}\Delta {{M}^{n}} \right\rangle =-\frac{\partial \left\langle {{M}^{m}} \right\rangle }{\partial {{\lambda }_{n}}}=-\frac{\partial \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle }{\partial {{\lambda }_{m}}}</math> | |||
Fluktuations/ Dissipations- Theorem: | Fluktuations/ Dissipations- Theorem: | ||
Fluktuationen: Zufällige Schwankungen um den Mittelwert | |||
Dissipation: Systematische Änderung der Mittelwerte ! | |||
== Korrektur einer Verteilung durch Zusatzinformationen == | == Korrektur einer Verteilung durch Zusatzinformationen == | ||
Sei <math>{{P}^{0}}</math> die Verteilung, die <math>I\left( P \right)</math> unter Kenntnis der | Sei | ||
<math>{{P}^{0}}</math> | |||
die Verteilung, die | |||
<math>I\left( P \right)</math> | |||
unter Kenntnis der Nebenbedingungen | |||
<math>\begin{align} | |||
& \sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{P}_{i}}^{0}=1 \\ | & \sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{P}_{i}}^{0}=1 \\ | ||
& \sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{P}_{i}}^{0}{{M}_{i}}^{m}=\left\langle {{M}^{m}} \right\rangle \\ | & \sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{P}_{i}}^{0}{{M}_{i}}^{m}=\left\langle {{M}^{m}} \right\rangle \\ | ||
& m=1,...,m \\ | & m=1,...,m \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
minimalisiert ( Vorsicht: Index und Laufende sind ungünstigerweise gleich bezeichnet !) | |||
'''Jetzt:''' | '''Jetzt:''' | ||
Zusatzinformationen (zusätzliche Mittelwerte beobachtet): | Zusatzinformationen ( zusätzliche Mittelwerte beobachtet): | ||
<math>\begin{align} | |||
& \sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{P}_{i}}{{V}_{i}}^{\sigma }=\left\langle {{V}_{i}}^{\sigma } \right\rangle \\ | & \sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{P}_{i}}{{V}_{i}}^{\sigma }=\left\langle {{V}_{i}}^{\sigma } \right\rangle \\ | ||
& \sigma =1,...,s \\ | & \sigma =1,...,s \\ | ||
& \sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{P}_{i}}=1 \\ | & \sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{P}_{i}}=1 \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
== Prinzip der vorurteilsfreien Schätzung == | == Prinzip der vorurteilsfreien Schätzung == | ||
| Line 425: | Line 518: | ||
<math>K\left( P,{{P}^{0}} \right)=\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{P}_{i}}\ln \frac{{{P}_{i}}}{{{P}_{i}}^{0}}</math> | |||
unter dieser Nebenbedingung!! | unter dieser Nebenbedingung !! | ||
Also: | Also: | ||
<math>\sum\limits_{i}^{{}}{{}}\left( \ln {{P}_{i}}-\ln {{P}_{i}}^{0}+1+\xi +{{\xi }_{\sigma }}{{V}_{i}}^{\sigma } \right)\delta {{P}_{i}}=0</math> | |||
mit neuen Lagrange- Multiplikatoren | mit neuen Lagrange- Multiplikatoren | ||
<math>\xi ,{{\xi }_{\sigma }}</math> | |||
<math>\begin{align} | |||
& \Rightarrow 1+\xi =-\Xi \\ | & \Rightarrow 1+\xi =-\Xi \\ | ||
& \sum\limits_{i}^{{}}{{}}\left( \ln {{P}_{i}}-\ln {{P}_{i}}^{0}-\Xi +{{\xi }_{\sigma }}{{V}_{i}}^{\sigma } \right)\delta {{P}_{i}}=0 \\ | & \sum\limits_{i}^{{}}{{}}\left( \ln {{P}_{i}}-\ln {{P}_{i}}^{0}-\Xi +{{\xi }_{\sigma }}{{V}_{i}}^{\sigma } \right)\delta {{P}_{i}}=0 \\ | ||
| Line 451: | Line 544: | ||
<math>{{P}_{i}}^{0}=\exp \left( \Psi -{{\lambda }_{n}}{{M}_{i}}^{n} \right)</math> | |||
folgt: | folgt: | ||
<math>\begin{align} | |||
& K\left( P,{{P}^{0}} \right)=\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{P}_{i}}\ln {{P}_{i}}-{{P}_{i}}\ln {{P}_{i}}^{0}+{{P}_{i}}^{0}\ln {{P}_{i}}^{0}-{{P}_{i}}^{0}\ln {{P}_{i}}^{0} \\ | & K\left( P,{{P}^{0}} \right)=\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{P}_{i}}\ln {{P}_{i}}-{{P}_{i}}\ln {{P}_{i}}^{0}+{{P}_{i}}^{0}\ln {{P}_{i}}^{0}-{{P}_{i}}^{0}\ln {{P}_{i}}^{0} \\ | ||
& \sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{P}_{i}}\ln {{P}_{i}}=I(P) \\ | & \sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{P}_{i}}\ln {{P}_{i}}=I(P) \\ | ||
| Line 468: | Line 561: | ||
Da nun die Mittelwerte | Da nun die Mittelwerte | ||
<math>\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle ,{{\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle }_{0}}</math> | |||
nicht durch die Zusatzinfo geändert werden muss gelten: | nicht durch die Zusatzinfo geändert werden muss gelten: | ||
<math>\begin{align} | |||
& K\left( P,{{P}^{0}} \right)=I(P)-I({{P}^{0}})+{{\lambda }_{n}}\left( \sum\limits_{i}^{{}}{{}}\left( {{P}_{i}}{{M}_{i}}^{n} \right)-\sum\limits_{i}^{{}}{{}}\left( {{P}_{i}}^{0}{{M}_{i}}^{n} \right) \right) \\ | & K\left( P,{{P}^{0}} \right)=I(P)-I({{P}^{0}})+{{\lambda }_{n}}\left( \sum\limits_{i}^{{}}{{}}\left( {{P}_{i}}{{M}_{i}}^{n} \right)-\sum\limits_{i}^{{}}{{}}\left( {{P}_{i}}^{0}{{M}_{i}}^{n} \right) \right) \\ | ||
& =I(P)-I({{P}^{0}})+{{\lambda }_{n}}\left( \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle -{{\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle }_{0}} \right) \\ | & =I(P)-I({{P}^{0}})+{{\lambda }_{n}}\left( \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle -{{\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle }_{0}} \right) \\ | ||
| Line 481: | Line 574: | ||
da diese Mittelwerte nicht durch die Zusatzinfo geändert werden! | da diese Mittelwerte nicht durch die Zusatzinfo geändert werden ! | ||
<math>\begin{align} | |||
& \Rightarrow K\left( P,{{P}^{0}} \right)=I(P)-I({{P}^{0}})+{{\lambda }_{n}}\left( \sum\limits_{i}^{{}}{{}}\left( {{P}_{i}}{{M}_{i}}^{n} \right)-\sum\limits_{i}^{{}}{{}}\left( {{P}_{i}}^{0}{{M}_{i}}^{n} \right) \right) \\ | & \Rightarrow K\left( P,{{P}^{0}} \right)=I(P)-I({{P}^{0}})+{{\lambda }_{n}}\left( \sum\limits_{i}^{{}}{{}}\left( {{P}_{i}}{{M}_{i}}^{n} \right)-\sum\limits_{i}^{{}}{{}}\left( {{P}_{i}}^{0}{{M}_{i}}^{n} \right) \right) \\ | ||
& =I(P)-I({{P}^{0}})+{{\lambda }_{n}}\left( \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle -{{\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle }_{0}} \right)=I(P)-I({{P}^{0}}) \\ | & =I(P)-I({{P}^{0}})+{{\lambda }_{n}}\left( \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle -{{\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle }_{0}} \right)=I(P)-I({{P}^{0}}) \\ | ||
| Line 490: | Line 583: | ||
Das heißt: Der Informationsgewinn entspricht gerade der Änderung der Shannon- Info! | Das heißt: Der Informationsgewinn entspricht gerade der Änderung der Shannon- Info ! | ||
==Siehe auch== | ==Siehe auch== | ||
<references /> | < references /> | ||