Editing Variationsverfahren

<noinclude>{{Scripthinweis|Quantenmechanik|5|7}}</noinclude>

Diese Näherungsmethode von W. Ritz ist nützlich, falls der Hamiltonoperator NICHT in einen ungestörten Anteil und eine KLEINE Störung zerlegbar ist, was den Abbruch der Störungsreihe rechtfertigt.

Die zeitunabhängige Schrödingergleichung:

:<math>\hat{H}\left| {{\Psi }_{k}} \right\rangle ={{E}_{k}}\left| {{\Psi }_{k}} \right\rangle </math>

:<math>\left\langle  {{\Psi }_{n}}  |  {{\Psi }_{k}} \right\rangle ={{\delta }_{nk}}</math>

bilden ein vollständiges Orthonormalsystem

Dies sind die nötigen Vortaussetzungen zur Durchführung des Variationsprinzips:

Weiter seien die Energie- Eigenwert der Größe nach geordnet:

:<math>{{E}_{0}}\le {{E}_{1}}\le {{E}_{2}}\le {{E}_{3}}.....</math>

Dann gilt für einen beliebigen Zustand <math>\left| \Psi  \right\rangle </math>
,
 im Allgemeinen kein Eigenzustand:

:<math>\begin{align}

& \left\langle  \Psi  \right|\hat{H}\left| \Psi  \right\rangle =\sum\limits_{n}^{{}}{{}}\left\langle  \Psi  \right|\hat{H}\left| {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{n}}  |  \Psi  \right\rangle =\sum\limits_{n}^{{}}{{}}{{E}_{n}}\left\langle  \Psi   |  {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{n}}  |  \Psi  \right\rangle  \\

& {{E}_{n}}\ge {{E}_{0}} \\

& \Rightarrow \sum\limits_{n}^{{}}{{}}{{E}_{n}}\left\langle  \Psi   |  {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{n}}  |  \Psi  \right\rangle \ge {{E}_{0}}\sum\limits_{n}^{{}}{{}}\left\langle  \Psi   |  {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{n}}  |  \Psi  \right\rangle ={{E}_{0}}\left\langle  \Psi   |  \Psi  \right\rangle  \\

\end{align}</math>

Wodurch uns die Ungleichung geben ist:

:<math>\frac{\sum\limits_{n}^{{}}{{}}{{E}_{n}}\left\langle  \Psi   |  {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{n}}  |  \Psi  \right\rangle }{\left\langle  \Psi   |  \Psi  \right\rangle }\ge {{E}_{0}}</math>

Also:

:<math>\frac{\left\langle  \Psi  \right|\hat{H}\left| \Psi  \right\rangle }{\left\langle  \Psi   |  \Psi  \right\rangle }\ge {{E}_{0}}</math>

als Extremal- Prinzip

====Näherung für den Grundzustand:====
Mache einen geeigneten Ansatz für eine Testfunktion <math>\left| \Psi  \right\rangle </math>

mit verschiedenen Parametern, also <math>\Psi (\bar{r},\alpha ,\beta ,...)</math>
.


Dabei sollten Symmetrien und Asymptotik beachtet werden.

Variiere dann die Parameter, bis <math>\frac{\left\langle  \Psi  \right|\hat{H}\left| \Psi  \right\rangle }{\left\langle  \Psi   |  \Psi  \right\rangle }={{E}_{{}}}</math>

minimal wird:

:<math>\begin{align}

& \frac{\partial }{\partial \alpha }E=\frac{\partial }{\partial \beta }E=...=!=0 \\

& \Rightarrow {{\alpha }_{0}},{{\beta }_{0}},... \\

\end{align}</math>

Damit ist eine Näherung für die Grundzustandsenergie <math>{{E}_{0}}\approx E({{\alpha }_{0}},{{\beta }_{0}},....)</math>
.


Die Parameter in der Testfunktion setzen dann gleichzeitig eine Näherung für den Grundzustands- Eigenzustand

:<math>{{\Psi }_{0}}\approx \Psi (\bar{r},{{\alpha }_{0}},{{\beta }_{0}},...)</math>

<u>'''Bemerkung'''</u>

Die Näherung von <math>{{E}_{0}}\approx E({{\alpha }_{0}},{{\beta }_{0}},....)</math>

ist besser als die Näherung <math>{{\Psi }_{0}}\approx \Psi (\bar{r},{{\alpha }_{0}},{{\beta }_{0}},...)</math>

in folgendem Sinn:

:<math>\Psi (\bar{r},{{\alpha }_{0}},{{\beta }_{0}},...)={{\Psi }_{0}}+\lambda \phi </math>

Wobei die genäherte Funktion <math>\Psi (\bar{r},{{\alpha }_{0}},{{\beta }_{0}},...)</math>

die exakte, also <math>{{\Psi }_{0}}</math>

um den Term <math>\lambda \phi </math>

verfehle:

Mit

:<math>\left\langle  \phi   |  {{\Psi }_{0}} \right\rangle =0</math>

Für kleine <math>\left| \lambda  \right|</math>

gilt, da E bei <math>{{E}_{0}}</math>

ein Minimum hat:

:<math>E({{\alpha }_{0}},{{\beta }_{0}},....)={{E}_{0}}+{{\lambda }^{2}}A+...</math>

Der Fehler geht also nur quadratisch ein. Die Energie ist besser genähert.

====Näherung für angeregte Zustände:====
:<math>{{E}_{0}}\approx E({{\alpha }_{0}},{{\beta }_{0}},....)</math>

und <math>{{\Psi }_{0}}\approx \Psi (\bar{r},{{\alpha }_{0}},{{\beta }_{0}},...)</math>

sind also näherungsweise bekannt.

Nun wähle man eine Testfunktion <math>\Psi (\bar{r},\alpha ,\beta ,...)</math>

mit <math>\left\langle  \Psi (\bar{r},\alpha ,\beta ,...)  |  {{\Psi }_{0}} \right\rangle =0</math>
.
 Dies muss natürlich für beliebige Belegung der Parameter gelten!

Also: Man wähle einen neuen, beliebigen Zustand, der nur orthogonal zum bestehenden sein muss! (und zwar für beliebige Parameterbelegungen!)

Nun kann man die Parameter erneut variieren, bis <math>\frac{\left\langle  \Psi  \right|\hat{H}\left| \Psi  \right\rangle }{\left\langle  \Psi   |  \Psi  \right\rangle }={{E}_{{}}}</math>

minimal wird.

Dann hat man eine Näherung <math>{{E}_{1}}\approx {{E}_{{}}}</math>

und <math>{{\Psi }_{1}}\approx \Psi (\bar{r},{{\alpha }_{1}},{{\beta }_{1}},...)</math>

'''Beweis:'''

:<math>\begin{align}

& \left\langle  \Psi  \right|\hat{H}\left| \Psi  \right\rangle =\sum\limits_{n}^{{}}{{}}\left\langle  \Psi  \right|\hat{H}\left| {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{n}}  |  \Psi  \right\rangle =\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{}}{{E}_{n}}\left\langle  \Psi   |  {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{n}}  |  \Psi  \right\rangle  \\

& \left\langle  \Psi   |  {{\Psi }_{n}} \right\rangle =0,f\ddot{u}r\quad n=0 \\

& \Rightarrow \left\langle  \Psi  \right|\hat{H}\left| \Psi  \right\rangle =\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{}}{{E}_{n}}\left\langle  \Psi   |  {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{n}}  |  \Psi  \right\rangle  \\

& \Rightarrow {{E}_{n}}\ge {{E}_{1}} \\

& \Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty }{{}}{{E}_{n}}\left\langle  \Psi   |  {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{n}}  |  \Psi  \right\rangle \ge {{E}_{1}}\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{}}\left\langle  \Psi   |  {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{n}}  |  \Psi  \right\rangle  \\

& \Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty }{{}}{{E}_{n}}\left\langle  \Psi   |  {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{n}}  |  \Psi  \right\rangle \ge {{E}_{1}}\left\langle  \Psi   |  \Psi  \right\rangle \Rightarrow {{E}_{1}}\le \frac{\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{}}{{E}_{n}}\left\langle  \Psi   |  {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{n}}  |  \Psi  \right\rangle }{\left\langle  \Psi   |  \Psi  \right\rangle } \\

& \Rightarrow {{E}_{1}}\le \frac{\left\langle  \Psi  \right|\hat{H}\left| \Psi  \right\rangle }{\left\langle  \Psi   |  \Psi  \right\rangle } \\

\end{align}</math>

====Weitere Näherungsmethoden====
beispielsweise WKB- Näherung (, Wentzel, Kramer, Brillouin (1926)

sogenannte "quasiklassische Näherung":

Gut, falls die De- Broglie Wellenlänge viel kleiner ist als die Länge, auf der sich das Potenzial wesentlich ändert.

Fließbach, S. 155 ff.