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| Betrachten wir ein Teilchen im kräftefreien Fall, so gilt, dass die Bewegung auf Geodäten stattfindet. Dies sind die kürzesten Verbindungen zwischen zwei Punkten, bei Kugeln beispielsweise die Großkreise. Gemäß der allgemeinen Relativitätstheorie verzerren Masseansammlungen den Raum derartig (die Metrik des Raumes), dass alle Teilchenbahnen Geodäten werden. Unabhängig davon, ob Kräfte vorliegen oder nicht.}} | | Betrachten wir ein Teilchen im kräftefreien Fall, so gilt, dass die Bewegung auf Geodäten stattfindet. Dies sind die kürzesten Verbindungen zwischen zwei Punkten, bei Kugeln beispielsweise die Großkreise. Gemäß der allgemeinen Relativitätstheorie verzerren Masseansammlungen den Raum derartig (die Metrik des Raumes), dass alle Teilchenbahnen Geodäten werden. Unabhängig davon, ob Kräfte vorliegen oder nicht.}} |
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| ==Allgemeine Aufgabe der Variationsrechnung==
| | Never seen a beettr post! ICOCBW |
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| Sei I : C² - > R ein Funktional
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| Beispiel:
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| :<math>q(t)\to I[q]:=\int\limits_{t1}^{t2}{dt}F(q(t),\dot{q}(t),t)</math>
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| Die Funktion q(t) sollte zweimal stetig differenzierbar und reell sein. (Bahnkurve mit existierender Geschwindigkeit und Beschleunigung).
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| Die Aufgabe lautet nun:
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| Suche ein q(t) derart, dass
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| :<math>\delta I[q]=0</math>
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| Das Funktional sollte also in q(t) extremal werden. Sprich, Maximum, Minimum oder Sattelpunkt aufweisen.
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| ====Die Variierten Bahnen====
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| Eine Variierte Bahn ist dann eine Bahn, die zu jeder Zeit t mit t1<t<t2 (eigentlich kleiner gleich) dem Punkt q(t) auf der reellen Bahn einen variierten Bezugspunkt q´(t) auf der variierten Bahn zuordnet.
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| Dabei gilt:
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| 1.
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| :<math>q\acute{\ }(t)\in {{C}^{2}}</math> Die variierten Punkte stammen auch aus '''quadratintegrabelen komplexen Funktionen'''
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| 2.
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| :<math>\delta q(t):=q\acute{\ }(t)-q(t)</math> differenzielle Variation. Die Zeit wird nicht variiert.
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| 3.
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| :<math>\delta t=0</math>
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| 4.
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| :<math>\begin{align}
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| & q\acute{\ }({{t}_{1}})=q({{t}_{1}}) \\
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| & q\acute{\ }({{t}_{2}})=q({{t}_{2}}) \\
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| \end{align}</math> Anfangs- und Endpunkt sind fest
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| 5.
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| :<math>\delta q({{t}_{1}})=\delta q({{t}_{2}})=0</math>
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| Da die Variation der Integrationsgrenzen verschwindet kann Integration und Variation vertauscht werden:
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| :<math>0=\delta \int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dtF(q,\dot{q},t)}=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\delta F(q,\dot{q},t)=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\left[ \frac{\partial F}{\partial q}\delta q+\frac{\partial F}{\partial \dot{q}}\delta \dot{q} \right]}}</math>
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| Die letzte Identität gilt, da die Variation nicht auf die Zeit bezogen werden muss (Zeit wird nicht variiert).
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| Für die variierte Geschwindigkeit gilt:
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| :<math>\delta \dot{q}(t):=\dot{q}\acute{\ }(t)-\dot{q}(t)=\frac{d}{dt}(q\acute{\ }(t)-q(t))=\frac{d}{dt}\delta q</math>
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| Also folgt mit Hilfe partieller Integration
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| :<math>\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\left[ \frac{\partial F}{\partial q}\delta q+\frac{\partial F}{\partial \dot{q}}\delta \dot{q} \right]}=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\left[ \frac{\partial F}{\partial q}\delta q+\frac{\partial F}{\partial \dot{q}}\frac{d}{dt}\delta q \right]}=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\left[ \frac{\partial F}{\partial q}\delta q-\frac{d}{dt}\frac{\partial F}{\partial \dot{q}}\delta q \right]}+\frac{\partial F}{\partial \dot{q}}\delta q{{\left. {} \right|}_{{{t}_{1}}}}^{{{t}_{2}}}</math>
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| Da jedoch die Variation an den Grenzen t1 und t2 verschwindet gilt:
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| :<math>\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\left[ \frac{\partial F}{\partial q}-\frac{d}{dt}\frac{\partial F}{\partial \dot{q}} \right]\delta q}=0</math>
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| Da q jedoch völlig frei variierbar ist:
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| {{Def|<math>\frac{\partial F}{\partial q}-\frac{d}{dt}\frac{\partial F}{\partial \dot{q}}=0</math>
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| Dies ist die verallgemeinerte Euler-Lagrange- Gleichung der Variationsrechnung|Euler-Lagrange-Gleichung]]
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| Diese Differenzialgleichung ist äquivalent zum Integralprinzip
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| :<math>\delta I[q]=0</math>
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| Neben der Einführung einer bijektiven Abbildung zwischen Bahnpunkten bund variierten Punkten ergibt sich auch die leichte Möglichkeit der Ableitung durch Einführung eines Variationsparameters:
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| :<math>\alpha </math>
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| :
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| :<math>q(t,\alpha )=q(t)+\alpha \eta (t)</math>
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| Die konkurrierende Funktion wird durch den Parameter
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| :<math>\alpha </math>
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| bei festem
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| :<math>\eta (t)</math>
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| parametrisiert.
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| Weitere Möglichkeiten sind zu finden unter „direkte Methoden der Variationsrechnung"
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| ==Exkurs zur Variationsrechnung== | | ==Exkurs zur Variationsrechnung== |
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| :<math>\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{d}{dt}\frac{\partial F}{\partial \dot{x}}=0</math> | | :<math>\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{d}{dt}\frac{\partial F}{\partial \dot{x}}=0</math> |
| ==Siehe auch==
| | Wow, your post makes mine look fbeele. More power to you! |
| [[Euler-Lagrange-Gleichungen]]
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