Editing Ununterscheidbarkeit quantenmechanischer Teilchen

<noinclude>{{Scripthinweis|Thermodynamik|5|1}}</noinclude>

Betrachte N ununterscheidbare / identische Teilchen:

N- Teilchenzustand:

:<math>\left| {{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{i}},...,{{a}_{N}} \right\rangle </math>

dabei ist <math>a_i</math> der Satz der 1- Teilchen - Quantenzahlen.

Die Teilchennummer ist lediglich ein Platzhalter für die Stellung im Ket:

Führe ein:
{{Def|'''Permutationsoperator''':
:<math>{{\hat{P}}_{ij}}\Psi \left( {{{\bar{x}}}_{1}},{{{\bar{x}}}_{2}},...,{{{\bar{x}}}_{i}},...,{{{\bar{x}}}_{j}},.... \right):=\Psi \left( {{{\bar{x}}}_{1}},{{{\bar{x}}}_{2}},...,{{{\bar{x}}}_{j}},...,{{{\bar{x}}}_{i}},.... \right)</math>|Permutationsoperator}}

Ununterscheidbarkeit verlangt:

:<math>\begin{align}

& {{{\hat{P}}}_{ij}}\Psi \left( {{{\bar{x}}}_{1}},{{{\bar{x}}}_{2}},...,{{{\bar{x}}}_{i}},...,{{{\bar{x}}}_{j}},.... \right):=\Psi \left( {{{\bar{x}}}_{1}},{{{\bar{x}}}_{2}},...,{{{\bar{x}}}_{j}},...,{{{\bar{x}}}_{i}},.... \right)={{e}^{i\nu }}\Psi \left( {{{\bar{x}}}_{1}},{{{\bar{x}}}_{2}},...,{{{\bar{x}}}_{i}},...,{{{\bar{x}}}_{j}},.... \right) \\

& {{{\hat{P}}}_{ij}}^{2}=\bar{\bar{1}} \\

\end{align}</math>

Wegen der Ununterscheidbarkeit müssen alle Observablen mit <math>{{\hat{P}}_{ij}}</math> vertauschen, insbesondere

:<math>\left[ \hat{H},{{{\hat{P}}}_{ij}} \right]=0\Rightarrow {{\hat{P}}_{ij}}</math> ist {{FB|Erhaltungsgröße}}!

Es gilt:

:<math>{{\hat{P}}_{ij}}^{2}=\bar{\bar{1}}</math>

Somit folgt:

:<math>\begin{align}

& \Rightarrow {{{\hat{P}}}_{ij}}\Psi ={{\lambda }_{ij}}\Psi  \\

& {{\lambda }_{ij}}^{2}=1 \\

\end{align}</math>

Wichtig:

:<math>{{\left| \Psi \left( {{{\bar{x}}}_{1}},{{{\bar{x}}}_{2}} \right) \right|}^{2}}={{\left| \Psi \left( {{{\bar{x}}}_{2}},{{{\bar{x}}}_{1}} \right) \right|}^{2}}</math>

Ansonsten wären die Teilchen unterscheidbar !
Also:
:<math>\begin{align}
& {{\left| {{{\hat{P}}}_{ij}}\Psi \left( {{{\bar{x}}}_{1}},{{{\bar{x}}}_{2}} \right) \right|}^{2}}={{\left| \Psi \left( {{{\bar{x}}}_{2}},{{{\bar{x}}}_{1}} \right) \right|}^{2}}={{\left| \Psi \left( {{{\bar{x}}}_{1}},{{{\bar{x}}}_{2}} \right) \right|}^{2}}\Rightarrow {{\left| {{\lambda }_{ij}} \right|}^{2}}=1 \\
& \Rightarrow {{\lambda }_{ij}}=\pm 1 \\
\end{align}</math>

Charakteristikum des Zustandes, bzw. der '''Teilchensorte !'''
{{Beispiel|Betrachte speziell: 2- Teilchen- System:
Sei
:<math>\left| a,b \right\rangle ={{\left| a \right\rangle }_{1}}{{\left| b \right\rangle }_{2}}\in H\times H</math>

Dann ist
:<math>{{\left| a,b \right\rangle }_{s}}=\frac{1}{2}\left( 1+{{{\hat{P}}}_{12}} \right)\left| a,b \right\rangle </math>

ein Eigenzustand von <math>{{\hat{P}}_{12}}</math> zum Eigenwert '''+1''', der '''symmetrische Zustand''' !

denn:

:<math>{{\hat{P}}_{12}}{{\left| a,b \right\rangle }_{s}}={{\hat{P}}_{12}}\frac{1}{2}\left( 1+{{{\hat{P}}}_{12}} \right)\left| a,b \right\rangle =\frac{1}{2}\left( {{{\hat{P}}}_{12}}+{{{\hat{P}}}_{12}}^{2} \right)\left| a,b \right\rangle =\frac{1}{2}\left( {{{\hat{P}}}_{12}}+1 \right)\left| a,b \right\rangle ={{\left| a,b \right\rangle }_{s}}</math>

und

:<math>{{\left| a,b \right\rangle }_{a}}=\frac{1}{2}\left( 1-{{{\hat{P}}}_{12}} \right)\left| a,b \right\rangle </math>

ist der '''antisymmetrische''' Zustand  von <math>{{\hat{P}}_{12}}</math>z zum Eigenwert '''-1''', denn:
:<math>{{\hat{P}}_{12}}{{\left| a,b \right\rangle }_{a}}=\frac{1}{2}\left( {{{\hat{P}}}_{12}}-1 \right)\left| a,b \right\rangle =-{{\left| a,b \right\rangle }_{a}}</math>
}}
==N- Teilchensystem==

Alle <math>{{\hat{P}}_{\left( ij \right)}}</math> kommutieren mit dem Hamiltonoperator H, im Allgemeinen jedoch '''nicht''' untereinander! Daher wären an sich komplizierte Symmetrieeigenschaften denkbar. Aber: In der Natur sind <u>scheinbar nur die Zustände realisiert</u>, die bei Vertauschung '''beliebiger ''' ununterscheidbarer Teilchen '''symmetrisch''' (<math>{{\lambda }_{ij}}=+1</math>)oder '''antisymmetrisch''' <math>{{\lambda }_{ij}}=-1</math> sind !

Reduktion des Hilbertraumes <math>H\times H\times ...\times H</math>( N- mal) auf einen {{FB|symmetrischen Hilbertraumteilraum}} (also <math>{{H}_{N}}^{+}</math>) und einen {{FB|antisymmetrischen Himbertteilraum}} (also <math>{{H}_{N}}^{-}</math>) erlaubter Zustände !

{{Def|'''Bosonen ''' ( Teilchen mit symmetrischem Zustand), sind alle Teilchen mit ganzzahligem Spin:  s=0,1,2,....,|Bosonen}}

: wie Photonen, Phononen oder <math>^{4}{{H}_{e}}</math> →{{FB|Bose-Einstein-Statistik}}

{{Def|'''Fermionen ''' = Teilchen mit antisymmetrischem Zustand  sind alle Teilchen mit '''halbzahligem Spin: '''s= 1/2, 3/2, etc...,|Fermionen}}

:wie Elektronen, Proton, Neutron, <math>^{3}{{H}_{e}}</math> →{{FB|Fermi-Dirac-Statistik}}

Erfahrungstatsache! Beweis folgt erst aus der relativistischen Quantenfeldtheorie !

{{FB|Bosonen- Hilbertraum}}:
:<math>{{H}_{N}}^{+}=\hat{S}{{H}_{N}}=\frac{1}{N!}\sum\limits_{\rho =1}^{N!}{{}}{{\hat{P}}_{\left( \rho  \right)}}{{H}_{N}}</math>

Dabei charakterisiert der Index <math>\rho </math> die <math>\rho </math>- te Permutation von (123...N)

:<math>\hat{S}</math> ist der sogenannte {{FB|Symmetrisierungsoperator}}
:<math>{{\hat{S}}^{2}}=\hat{S}</math> → <math>\hat{S}</math> ist ein {{FB|Projektor}}  er projiziert auf den symmetrisierten Unterraum des Hilbertraums !

{{FB|Fermionen- Hilbertraum}}:
:<math>{{H}_{N}}^{-}=\hat{A}{{H}_{N}}=\frac{1}{N!}\sum\limits_{\rho =1}^{N!}{{}}{{\left( -1 \right)}^{\rho }}{{\hat{P}}_{\left( \rho  \right)}}{{H}_{N}}</math>

Dabei charakterisiert der Index <math>\rho </math> die <math>\rho </math>- te Permutation von (123...N)

:<math>\hat{A}</math> ist der sogenannte {{FB|Antisymmetrisierungsoperator}}
:<math>{{\hat{A}}^{2}}=\hat{A}</math>→<math>\hat{A}</math> ist ein Projektor er projiziert auf den antisymmetrisierten Unterraum des Hilbertraums !

{{FB|Pauli- Prinzip}}

Wellenfunktionen total antisymmetrisch  → 2 identische Fermionen können sich nicht im identischen Einteilchenzustand befinden !

==Hilbertraum  variabler Teilchenzahl==
(großkanonisches Ensemble)

:<math>H=\sum\limits_{N=0}^{\infty }{{}}{{H}_{N}}^{+}</math>

* Die Summe aller Hilberträume aller denkbaren N- Teilchenzustände und zwar jeweils einmal des symmetrisierten Hilbertraums und je einmal antisymmetrisierter Hilbertraum !

:<math>H=\sum\limits_{N=0}^{\infty }{{}}{{H}_{N}}^{+}</math> ist der sogenannte {{FB|Fock-Raum}} !

'''Ideales Gas''' (WW- freie, identische Teilchen):

Übergang zur {{FB|Besetzungszahldarstellung}}:
:<math>\left| {{a}_{1}},...,{{a}_{N}} \right\rangle \to \left| {{N}_{1}},...,{{N}_{j}},...,{{N}_{l}} \right\rangle </math>

links: Teilchen Nr. 1...N im Einteilchenzustand a<sub>i</sub>

rechts:  Besetzungzahl des 1- Teilchenzustandes <math>\left| j \right\rangle </math> durch <math>\left| {{N}_{j}} \right\rangle </math> charakterisiert  ( inkl. Spin!)

Bosonen:
:<math>{{N}_{j}}=0,1,2,...</math>

Fermionen
:<math>{{N}_{j}}=0,1</math>

dabei sind die Nj die Eigenwerte des {{FB|Besetzungszahloperators}} <math>{{\hat{N}}_{j}}={{a}_{j}}^{+}{{a}_{j}}</math>