Editing Ununterscheidbarkeit quantenmechanischer Teilchen
Jump to navigation
Jump to search
The edit can be undone. Please check the comparison below to verify that this is what you want to do, and then publish the changes below to finish undoing the edit.
Latest revision | Your text | ||
Line 47: | Line 47: | ||
:<math>{{\left| \Psi \left( {{{\bar{x}}}_{1}},{{{\bar{x}}}_{2}} \right) \right|}^{2}}={{\left| \Psi \left( {{{\bar{x}}}_{2}},{{{\bar{x}}}_{1}} \right) \right|}^{2}}</math> | :<math>{{\left| \Psi \left( {{{\bar{x}}}_{1}},{{{\bar{x}}}_{2}} \right) \right|}^{2}}={{\left| \Psi \left( {{{\bar{x}}}_{2}},{{{\bar{x}}}_{1}} \right) \right|}^{2}}</math> | ||
Ansonsten wären die Teilchen unterscheidbar! | Ansonsten wären die Teilchen unterscheidbar ! | ||
Also: | Also: | ||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
Line 54: | Line 54: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Charakteristikum des Zustandes, bzw. der '''Teilchensorte!''' | Charakteristikum des Zustandes, bzw. der '''Teilchensorte !''' | ||
{{Beispiel|Betrachte speziell: 2- Teilchen- System: | {{Beispiel|Betrachte speziell: 2- Teilchen- System: | ||
Sei | Sei | ||
Line 62: | Line 62: | ||
:<math>{{\left| a,b \right\rangle }_{s}}=\frac{1}{2}\left( 1+{{{\hat{P}}}_{12}} \right)\left| a,b \right\rangle </math> | :<math>{{\left| a,b \right\rangle }_{s}}=\frac{1}{2}\left( 1+{{{\hat{P}}}_{12}} \right)\left| a,b \right\rangle </math> | ||
ein Eigenzustand von <math>{{\hat{P}}_{12}}</math> zum Eigenwert '''+1''', der '''symmetrische Zustand'''! | ein Eigenzustand von <math>{{\hat{P}}_{12}}</math> zum Eigenwert '''+1''', der '''symmetrische Zustand''' ! | ||
denn: | denn: | ||
Line 77: | Line 77: | ||
==N- Teilchensystem== | ==N- Teilchensystem== | ||
Alle <math>{{\hat{P}}_{\left( ij \right)}}</math> kommutieren mit dem Hamiltonoperator H, im Allgemeinen jedoch '''nicht''' untereinander! Daher wären an sich komplizierte Symmetrieeigenschaften denkbar. Aber: In der Natur sind <u>scheinbar nur die Zustände realisiert</u>, die bei Vertauschung '''beliebiger ''' ununterscheidbarer Teilchen '''symmetrisch''' (<math>{{\lambda }_{ij}}=+1</math>)oder '''antisymmetrisch''' <math>{{\lambda }_{ij}}=-1</math> sind! | Alle <math>{{\hat{P}}_{\left( ij \right)}}</math> kommutieren mit dem Hamiltonoperator H, im Allgemeinen jedoch '''nicht''' untereinander! Daher wären an sich komplizierte Symmetrieeigenschaften denkbar. Aber: In der Natur sind <u>scheinbar nur die Zustände realisiert</u>, die bei Vertauschung '''beliebiger ''' ununterscheidbarer Teilchen '''symmetrisch''' (<math>{{\lambda }_{ij}}=+1</math>)oder '''antisymmetrisch''' <math>{{\lambda }_{ij}}=-1</math> sind ! | ||
Reduktion des Hilbertraumes <math>H\times H\times ...\times H</math>(N- mal) auf einen {{FB|symmetrischen Hilbertraumteilraum}} (also <math>{{H}_{N}}^{+}</math>) und einen {{FB|antisymmetrischen Himbertteilraum}} (also <math>{{H}_{N}}^{-}</math>) erlaubter Zustände! | Reduktion des Hilbertraumes <math>H\times H\times ...\times H</math>( N- mal) auf einen {{FB|symmetrischen Hilbertraumteilraum}} (also <math>{{H}_{N}}^{+}</math>) und einen {{FB|antisymmetrischen Himbertteilraum}} (also <math>{{H}_{N}}^{-}</math>) erlaubter Zustände ! | ||
{{Def|'''Bosonen ''' (Teilchen mit symmetrischem Zustand), sind alle Teilchen mit ganzzahligem Spin: s=0,1,2,....,|Bosonen}} | {{Def|'''Bosonen ''' ( Teilchen mit symmetrischem Zustand), sind alle Teilchen mit ganzzahligem Spin: s=0,1,2,....,|Bosonen}} | ||
: wie Photonen, Phononen oder <math>^{4}{{H}_{e}}</math> | : wie Photonen, Phononen oder <math>^{4}{{H}_{e}}</math> -->{{FB|Bose-Einstein-Statistik}} | ||
{{Def|'''Fermionen ''' = Teilchen mit antisymmetrischem Zustand sind alle Teilchen mit '''halbzahligem Spin: '''s= 1/2, 3/2, etc...,|Fermionen}} | {{Def|'''Fermionen ''' = Teilchen mit antisymmetrischem Zustand sind alle Teilchen mit '''halbzahligem Spin: '''s= 1/2, 3/2, etc...,|Fermionen}} | ||
:wie Elektronen, Proton, Neutron, <math>^{3}{{H}_{e}}</math> | :wie Elektronen, Proton, Neutron, <math>^{3}{{H}_{e}}</math> -->{{FB|Fermi-Dirac-Statistik}} | ||
Erfahrungstatsache! Beweis folgt erst aus der relativistischen Quantenfeldtheorie! | Erfahrungstatsache! Beweis folgt erst aus der relativistischen Quantenfeldtheorie ! | ||
{{FB|Bosonen- Hilbertraum}}: | {{FB|Bosonen- Hilbertraum}}: | ||
Line 97: | Line 97: | ||
:<math>\hat{S}</math> ist der sogenannte {{FB|Symmetrisierungsoperator}} | :<math>\hat{S}</math> ist der sogenannte {{FB|Symmetrisierungsoperator}} | ||
:<math>{{\hat{S}}^{2}}=\hat{S}</math> | :<math>{{\hat{S}}^{2}}=\hat{S}</math> -> <math>\hat{S}</math> ist ein {{FB|Projektor}} er projiziert auf den symmetrisierten Unterraum des Hilbertraums ! | ||
{{FB|Fermionen- Hilbertraum}}: | {{FB|Fermionen- Hilbertraum}}: | ||
Line 105: | Line 105: | ||
:<math>\hat{A}</math> ist der sogenannte {{FB|Antisymmetrisierungsoperator}} | :<math>\hat{A}</math> ist der sogenannte {{FB|Antisymmetrisierungsoperator}} | ||
:<math>{{\hat{A}}^{2}}=\hat{A}</math> | :<math>{{\hat{A}}^{2}}=\hat{A}</math>-><math>\hat{A}</math> ist ein Projektor er projiziert auf den antisymmetrisierten Unterraum des Hilbertraums ! | ||
{{FB|Pauli- Prinzip}} | {{FB|Pauli- Prinzip}} | ||
Wellenfunktionen total antisymmetrisch | Wellenfunktionen total antisymmetrisch -> 2 identische Fermionen können sich nicht im identischen Einteilchenzustand befinden ! | ||
==Hilbertraum variabler Teilchenzahl== | ==Hilbertraum variabler Teilchenzahl== | ||
Line 116: | Line 116: | ||
:<math>H=\sum\limits_{N=0}^{\infty }{{}}{{H}_{N}}^{+}</math> | :<math>H=\sum\limits_{N=0}^{\infty }{{}}{{H}_{N}}^{+}</math> | ||
* Die Summe aller Hilberträume aller denkbaren N- Teilchenzustände und zwar jeweils einmal des symmetrisierten Hilbertraums und je einmal antisymmetrisierter Hilbertraum! | * Die Summe aller Hilberträume aller denkbaren N- Teilchenzustände und zwar jeweils einmal des symmetrisierten Hilbertraums und je einmal antisymmetrisierter Hilbertraum ! | ||
:<math>H=\sum\limits_{N=0}^{\infty }{{}}{{H}_{N}}^{+}</math> ist der sogenannte {{FB|Fock-Raum}}! | :<math>H=\sum\limits_{N=0}^{\infty }{{}}{{H}_{N}}^{+}</math> ist der sogenannte {{FB|Fock-Raum}} ! | ||
'''Ideales Gas''' (WW- freie, identische Teilchen): | '''Ideales Gas''' (WW- freie, identische Teilchen): | ||
Line 127: | Line 127: | ||
links: Teilchen Nr. 1...N im Einteilchenzustand a<sub>i</sub> | links: Teilchen Nr. 1...N im Einteilchenzustand a<sub>i</sub> | ||
rechts: Besetzungzahl des 1- Teilchenzustandes <math>\left| j \right\rangle </math> durch <math>\left| {{N}_{j}} \right\rangle </math> charakterisiert (inkl. Spin!) | rechts: Besetzungzahl des 1- Teilchenzustandes <math>\left| j \right\rangle </math> durch <math>\left| {{N}_{j}} \right\rangle </math> charakterisiert ( inkl. Spin!) | ||
Bosonen: | Bosonen: |