Editing Ununterscheidbarkeit quantenmechanischer Teilchen

<noinclude>{{Scripthinweis|Thermodynamik|5|1}}</noinclude>

Betrachte N ununterscheidbare / identische Teilchen:

N- Teilchenzustand:

<math>\left| {{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{i}},...,{{a}_{N}} \right\rangle </math>

dabei ist ai  der Satz der 1- Teilchen - Quantenzahlen

Die Teilchennummer ist lediglich ein Platzhalter für die Stellung im Ket:

Führe ein: Permutationsoperator:

<math>{{\hat{P}}_{ij}}\Psi \left( {{{\bar{x}}}_{1}},{{{\bar{x}}}_{2}},...,{{{\bar{x}}}_{i}},...,{{{\bar{x}}}_{j}},.... \right):=\Psi \left( {{{\bar{x}}}_{1}},{{{\bar{x}}}_{2}},...,{{{\bar{x}}}_{j}},...,{{{\bar{x}}}_{i}},.... \right)</math>

Ununterscheidbarkeit verlangt:

<math>\begin{align}

& {{{\hat{P}}}_{ij}}\Psi \left( {{{\bar{x}}}_{1}},{{{\bar{x}}}_{2}},...,{{{\bar{x}}}_{i}},...,{{{\bar{x}}}_{j}},.... \right):=\Psi \left( {{{\bar{x}}}_{1}},{{{\bar{x}}}_{2}},...,{{{\bar{x}}}_{j}},...,{{{\bar{x}}}_{i}},.... \right)={{e}^{i\nu }}\Psi \left( {{{\bar{x}}}_{1}},{{{\bar{x}}}_{2}},...,{{{\bar{x}}}_{i}},...,{{{\bar{x}}}_{j}},.... \right) \\

& {{{\hat{P}}}_{ij}}^{2}=\bar{\bar{1}} \\

\end{align}</math>

Wegen der Ununterscheidbarkeit müssen alle Observablen mit <math>{{\hat{P}}_{ij}}</math>

vertauschen, insbesondere

<math>\left[ \hat{H},{{{\hat{P}}}_{ij}} \right]=0\Rightarrow {{\hat{P}}_{ij}}</math>

ist Erhaltungsgröße !

Es gilt:

<math>{{\hat{P}}_{ij}}^{2}=\bar{\bar{1}}</math>

Somit folgt:

<math>\begin{align}

& \Rightarrow {{{\hat{P}}}_{ij}}\Psi ={{\lambda }_{ij}}\Psi  \\

& {{\lambda }_{ij}}^{2}=1 \\

\end{align}</math>

Wichtig:

<math>{{\left| \Psi \left( {{{\bar{x}}}_{1}},{{{\bar{x}}}_{2}} \right) \right|}^{2}}={{\left| \Psi \left( {{{\bar{x}}}_{2}},{{{\bar{x}}}_{1}} \right) \right|}^{2}}</math>

Ansonsten wären die Teilchen unterscheidbar !
Also:
<math>\begin{align}
& {{\left| {{{\hat{P}}}_{ij}}\Psi \left( {{{\bar{x}}}_{1}},{{{\bar{x}}}_{2}} \right) \right|}^{2}}={{\left| \Psi \left( {{{\bar{x}}}_{2}},{{{\bar{x}}}_{1}} \right) \right|}^{2}}={{\left| \Psi \left( {{{\bar{x}}}_{1}},{{{\bar{x}}}_{2}} \right) \right|}^{2}}\Rightarrow {{\left| {{\lambda }_{ij}} \right|}^{2}}=1 \\
& \Rightarrow {{\lambda }_{ij}}=\pm 1 \\
\end{align}</math>

Charakteristikum des Zustandes, bzw. der '''Teilchensorte !'''

Betrachte speziell: 2- Teilchen- System:
Sei
<math>\left| a,b \right\rangle ={{\left| a \right\rangle }_{1}}{{\left| b \right\rangle }_{2}}\in H\times H</math>

Dann ist
<math>{{\left| a,b \right\rangle }_{s}}=\frac{1}{2}\left( 1+{{{\hat{P}}}_{12}} \right)\left| a,b \right\rangle </math>

ein Eigenzustand von
<math>{{\hat{P}}_{12}}</math>
zum Eigenwert +1, der symmetrische Zustand !

denn:

<math>{{\hat{P}}_{12}}{{\left| a,b \right\rangle }_{s}}={{\hat{P}}_{12}}\frac{1}{2}\left( 1+{{{\hat{P}}}_{12}} \right)\left| a,b \right\rangle =\frac{1}{2}\left( {{{\hat{P}}}_{12}}+{{{\hat{P}}}_{12}}^{2} \right)\left| a,b \right\rangle =\frac{1}{2}\left( {{{\hat{P}}}_{12}}+1 \right)\left| a,b \right\rangle ={{\left| a,b \right\rangle }_{s}}</math>

und

<math>{{\left| a,b \right\rangle }_{a}}=\frac{1}{2}\left( 1-{{{\hat{P}}}_{12}} \right)\left| a,b \right\rangle </math>

ist der antisymmetrische Zustand  von <math>{{\hat{P}}_{12}}</math>
zum Eigenwert -1, denn:
<math>{{\hat{P}}_{12}}{{\left| a,b \right\rangle }_{a}}=\frac{1}{2}\left( {{{\hat{P}}}_{12}}-1 \right)\left| a,b \right\rangle =-{{\left| a,b \right\rangle }_{a}}</math>

====N- Teilchensystem====

Alle <math>{{\hat{P}}_{\left( ij \right)}}</math>
kommutieren mit dem Hamiltonoperator H, im Allgemeinen jedoch nicht untereinander !. Daher wären an sich komplizierte Symmetrieeigenschaften denkbar. Aber: In der Natur sind scheinbar nur die Zustände realisiert, die bei Vertauschung '''beliebiger ''' ununterscheidbarer Teilchen symmetrisch
<math>{{\lambda }_{ij}}=+1</math>
oder antisymmetrisch <math>{{\lambda }_{ij}}=-1</math>

sind !

* Reduktion des Hilbertraumes <math>H\times H\times ...\times H</math>
*  ( N- mal) auf einen symmetrischen, also <math>{{H}_{N}}^{+}</math>
*  und einen antisymmetrischen , also <math>{{H}_{N}}^{-}</math>
* Teilraum erlaubter Zustände !

<u>'''Bosonen '''</u> ( Teilchen mit symmetrischem Zustand), sind alle Teilchen mit ganzzahligem Spin:  s=0,1,2,...., wie Photonen, Phononen oder <math>^{4}{{H}_{e}}</math>

* <u>'''Bose- Einstein- Statistik'''</u>

<u>'''Fermionen '''</u> = Teilchen mit antisymmetrischem Zustand  sind alle Teilchen mit '''halbzahligem Spin: '''s= 1/2, 3/2, etc..., wie
Elektronen, Proton, Neutron, <math>^{3}{{H}_{e}}</math>

* <u>'''Fermi - Dirac- Statistik'''</u>

Erfahrungstatsache ! Beweis folgt erst aus der relativistischen Quantenfeldtheorie !

'''Bosonen- Hilbertraum:'''
<math>{{H}_{N}}^{+}=\hat{S}{{H}_{N}}=\frac{1}{N!}\sum\limits_{\rho =1}^{N!}{{}}{{\hat{P}}_{\left( \rho  \right)}}{{H}_{N}}</math>

Dabei charakterisiert der Index <math>\rho </math>
die <math>\rho </math>
- te Permutation von (123...N)

<math>\hat{S}</math>
ist der sogenannte Symmetrisierungsoperator
<math>{{\hat{S}}^{2}}=\hat{S}</math>
-><math>\hat{S}</math>
ist ein Projektor
* er projiziert auf den symmetrisierten Unterraum des Hilbertraums !

'''Fermionen- Hilbertraum:'''
<math>{{H}_{N}}^{-}=\hat{A}{{H}_{N}}=\frac{1}{N!}\sum\limits_{\rho =1}^{N!}{{}}{{\left( -1 \right)}^{\rho }}{{\hat{P}}_{\left( \rho  \right)}}{{H}_{N}}</math>

Dabei charakterisiert der Index <math>\rho </math>
die <math>\rho </math>
- te Permutation von (123...N)

<math>\hat{A}</math>
ist der sogenannte Antisymmetrisierungsoperator
<math>{{\hat{A}}^{2}}=\hat{A}</math>
-><math>\hat{A}</math>
ist ein Projektor
* er projiziert auf den antisymmetrisierten Unterraum des Hilbertraums !

'''Pauli- Prinzip'''

Wellenfunktionen total antisymmetrisch  -> 2 identische Fermionen können sich nicht im identischen Einteilchenzustand befinden !

====Hilbertraum  variabler Teilchenzahl  ( großkanonisches Ensemble)====

<math>H=\sum\limits_{N=0}^{\infty }{{}}{{H}_{N}}^{+}</math>

* Die Summe aller Hilberträume aller denkbaren N- Teilchenzustände und zwar jeweils einmal des symmetrisierten Hilbertraums und je einmal antisymmetrisierter Hilbertraum !

<math>H=\sum\limits_{N=0}^{\infty }{{}}{{H}_{N}}^{+}</math>
ist der sogenannte Fock- Raum !

<u>'''Ideales Gas'''</u>
( WW- freie, identische Teilchen):

Übergang zur Besetzungszahldarstellung:
<math>\left| {{a}_{1}},...,{{a}_{N}} \right\rangle \to \left| {{N}_{1}},...,{{N}_{j}},...,{{N}_{l}} \right\rangle </math>

links: Teilchen Nr. 1...N im Einteilchenzustand ai

rechts:  Besetzungzahl des 1- Teilchenzustandes <math>\left| j \right\rangle </math>
durch <math>\left| {{N}_{j}} \right\rangle </math>
charakterisiert  ( inkl. Spin!)

Bosonen:
<math>{{N}_{j}}=0,1,2,...</math>

Fermionen
<math>{{N}_{j}}=0,1</math>

dabei sind die Nj die Eigenwerte des Besetzungszahloperators <math>{{\hat{N}}_{j}}={{a}_{j}}^{+}{{a}_{j}}</math>