Editing Transformationsverhalten der Ströme und Felder

<noinclude>{{Scripthinweis|Elektrodynamik|6|2}}</noinclude>

<u>'''Ziel: Ko- / Kontravariante Schreibweise der Elektrodynamik im Vakuum'''</u>

Grund: Die klassische Elektrodynamik ist bereits eine Lorentz- invariante Theorie!!

Historisch gab die  Maxwellsche Elektrodynamik und nicht die Mechanik den Anstoß zur Relativitätstheorie überhaupt!

'''Ladungserhaltung aus Kontinuitätsgleichung:'''

:<math>\begin{align}
& div\bar{j}+\frac{\partial \rho }{\partial t}=\frac{\partial {{j}_{x}}}{\partial x}+\frac{\partial {{j}_{y}}}{\partial y}+\frac{\partial {{j}_{z}}}{\partial z}+\frac{\partial c\rho }{\partial ct}=0 \\
& 0=\frac{\partial \rho }{\partial t}+\sum\limits_{\alpha =1}^{3}{{}}{{\partial }_{\alpha }}{{j}^{\alpha }} \\
\end{align}</math>

Somit gewinnen wir aber ebenfalls wieder einen Lorentz- Skalar, nämlich

:<math>{{\partial }_{\mu }}{{j}^{\mu }}=0</math>

in Viererschreibweise.
Die Vierer- Stromdichte ist

:<math>\left\{ {{j}^{\mu }} \right\}=\left\{ c\rho ,\bar{j} \right\}</math>
ebenfalls ein kontravarianter Vierer- Vektor. Er heißt Vierer- Stromdichte.
Die Kontinuitätsgleichung ist gleich
:<math>{{\partial }_{\mu }}{{j}^{\mu }}=0</math>

'''Forderung:'''
Ladungserhaltung soll in allen Inertialsystemen gelten!
→

:<math>{{j}^{\mu }}=0</math>
muss sich wie ein Vierervektor transformieren, damit  das Skalarprodukt
:<math>{{\partial }_{\mu }}{{j}^{\mu }}=0</math>
Lorentz- invariant ist!:

:<math>\begin{align}
& {{x}^{0}}\acute{\ }=\gamma \left( {{x}^{0}}-\beta {{x}^{1}} \right)\Leftrightarrow t\acute{\ }=\gamma \left( t-\frac{v}{{{c}^{2}}}{{x}^{1}} \right) \\
& {{x}^{1}}\acute{\ }=\gamma \left( {{x}^{1}}-\beta {{x}^{0}} \right)\Leftrightarrow {{x}^{1}}\acute{\ }=\gamma \left( {{x}^{1}}-vt \right) \\
& {{x}^{2}}\acute{\ }={{x}^{2}} \\
& {{x}^{3}}\acute{\ }={{x}^{3}} \\
\end{align}</math>

Also gilt für Ladungs- und Stromdichten:

:<math>\begin{align}
& {{j}^{0}}\acute{\ }=\gamma \left( {{j}^{0}}-\beta {{j}^{1}} \right)\Leftrightarrow \rho \acute{\ }=\gamma \left( \rho -\frac{v}{{{c}^{2}}}{{j}^{1}} \right) \\
& {{j}^{1}}\acute{\ }=\gamma \left( {{j}^{1}}-\beta {{j}^{0}} \right)\Leftrightarrow {{j}^{1}}\acute{\ }=\gamma \left( {{j}^{1}}-v\rho  \right) \\
& {{j}^{2}}\acute{\ }={{j}^{2}} \\
& {{j}^{3}}\acute{\ }={{j}^{3}} \\
\end{align}</math>

Merke: Es sollte kein Missverständnis geschehen: Ist ein Vektor in ein Lorentz- invariantes Skalarprodukt verwickelt, so ist es ein Vierervektor. Damit ist klar: Seine Komponenten transfornmieren nach der Lorentz- Trafo.
Dadurch aber ist die Trafo für seine Komponenten, die Beispielsweise Ladungs- und Stromdichten sind, gefunden.

<u>'''4- Potenziale:'''</u>

<u>Die </u>Potenziale
:<math>\Phi ,\bar{A}</math>
sind in der Lorentz- Eichung
:<math>\nabla \cdot \bar{A}+\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\phi =0</math>
Lösungen von

:<math>\begin{align}
& \Delta \bar{A}\left( \bar{r},t \right)-\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j} \\
& \#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j} \\
& \#=-{{\partial }_{\mu }}{{\partial }^{\mu }} \\
& {{\mu }_{0}}c=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c} \\
& \#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j}\Leftrightarrow {{\partial }_{\mu }}{{\partial }^{\mu }}c{{A}^{\alpha }}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{\alpha }} \\
& \alpha =1,2,3 \\
\end{align}</math>

:<math>\begin{align}
& \Delta \phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}}=-{{\mu }_{0}}{{c}^{2}}\rho  \\
& \#\phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}}\Leftrightarrow {{\partial }_{\mu }}{{\partial }^{\mu }}\phi =\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{0}} \\
\end{align}</math>

Zusammen:

:<math>\begin{align}
& -\#{{\Phi }^{\mu }}={{\partial }_{\alpha }}{{\partial }^{\alpha }}{{\Phi }^{\mu }}={{\mu }_{0}}{{j}^{\mu }} \\
& {{\Phi }^{0}}:=\phi  \\
& {{\Phi }^{i}}:=c{{A}^{i}}\quad i=1..3 \\
\end{align}</math>

Da
:<math>{{j}^{\mu }}</math>
Vierervektoren sind (wie Vierervektoren transformieren), muss auch
:<math>{{\Phi }^{\mu }}</math>
wie ein Vierervektor transformieren.
Denn: Der d´Alembert- Operator ist Lorentz- invariant:

:<math>{{\partial }_{\alpha }}{{\partial }^{\alpha }}</math>
lorentz- invariant!:

:<math>\begin{align}
& {{\Phi }^{0}}\acute{\ }=\gamma \left( {{\Phi }^{0}}-\beta {{\Phi }^{1}} \right)\quad bzw.\quad \Phi \acute{\ }=\gamma \left( \Phi -v{{A}^{1}} \right) \\
& {{\Phi }^{1}}\acute{\ }=\gamma \left( {{\Phi }^{1}}-\beta {{\Phi }^{0}} \right)\quad bzw.\quad A{{\acute{\ }}^{1}}=\gamma \left( {{A}^{1}}-\frac{v}{{{c}^{2}}}\Phi  \right),{{A}^{\acute{\ }2}}={{A}^{2}},A{{\acute{\ }}^{3}}={{A}^{3}} \\
\end{align}</math>

Nun: Lorentz- Eichung:

:<math>\nabla \cdot \bar{A}+\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\phi =0</math>

Lorentz- Eichung ↔  Lorentz- Invarianz
:<math>{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }^{\mu }}=0</math>
(Gegensatz zur Coulomb- Eichung)

:<math>{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }^{\mu }}=0\Leftrightarrow \nabla \cdot \bar{A}+\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\phi =0</math>

<u>'''Umeichung:'''</u>

:<math>\begin{align}
& \tilde{\bar{A}}=\bar{A}+\nabla F \\
& \tilde{\phi }=\phi -\frac{\partial }{\partial t}F \\
& \Leftrightarrow  \\
& c{{{\tilde{A}}}^{\alpha }}=c{{A}^{\alpha }}+{{\partial }_{\alpha }}cF=c{{A}^{\alpha }}-{{\partial }^{\alpha }}cF \\
& {{{\tilde{\Phi }}}^{0}}={{\Phi }^{0}}-{{\partial }_{0}}cF={{\Phi }^{0}}-{{\partial }^{0}}cF \\
\end{align}</math>

'''Also:'''

:<math>{{\tilde{\Phi }}^{\mu }}={{\Phi }^{\mu }}-{{\partial }^{\mu }}cF</math>

'''Felder E und B:'''

:<math>\begin{align}
& \bar{E}=-grad\phi -\frac{\partial }{\partial t}\bar{A} \\
& \Rightarrow {{E}^{\alpha }}=-{{\partial }_{\alpha }}\phi -\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}c{{A}^{\alpha }}=-{{\partial }_{\alpha }}{{\Phi }^{0}}-{{\partial }_{0}}{{\Phi }^{\alpha }}={{\partial }^{\alpha }}{{\Phi }^{0}}-{{\partial }^{0}}{{\Phi }^{\alpha }} \\
\end{align}</math>

:<math>\begin{align}
& \bar{B}=\nabla \times \bar{A} \\
& \Rightarrow c{{B}^{1}}={{\partial }_{2}}c{{A}^{3}}-{{\partial }_{3}}c{{A}^{2}}={{\partial }_{2}}{{\Phi }^{3}}-{{\partial }_{3}}{{\Phi }^{2}}={{\partial }^{3}}{{\Phi }^{2}}-{{\partial }^{2}}{{\Phi }^{3}} \\
\end{align}</math>

Die anderen Komponenten gewinnt man durch zyklische Vertauschung:

:<math>\begin{align}
& c{{B}^{2}}={{\partial }^{1}}{{\Phi }^{3}}-{{\partial }^{3}}{{\Phi }^{1}} \\
& c{{B}^{3}}={{\partial }^{2}}{{\Phi }^{1}}-{{\partial }^{1}}{{\Phi }^{2}} \\
\end{align}</math>

Diese Gleichungen werden zusammengefasst durch den antisymmetrtischen Feldstärketensor:

:<math>\begin{align}
& \left\{ {{F}_{\mu \nu }} \right\}=\left\{ {{\partial }_{\mu }}{{\Phi }_{\nu }}-{{\partial }_{\nu }}{{\Phi }_{\mu }} \right\}=\left( \begin{matrix}
0 & \frac{1}{c}{{E}_{x}} & \frac{1}{c}{{E}_{y}} & \frac{1}{c}{{E}_{z}}  \\
-\frac{1}{c}{{E}_{x}} & 0 & -{{B}_{z}} & {{B}_{y}}  \\
-\frac{1}{c}{{E}_{y}} & {{B}_{z}} & 0 & -{{B}_{x}}  \\
-\frac{1}{c}{{E}_{z}} & -{{B}_{y}} & {{B}_{x}} & 0  \\
\end{matrix} \right) \\
& {{F}^{\mu \nu }}=\left\{ {{\partial }^{\mu }}{{\Phi }^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{\Phi }^{\mu }} \right\}=\left( \begin{matrix}
0 & -\frac{1}{c}{{E}_{x}} & -\frac{1}{c}{{E}_{y}} & -\frac{1}{c}{{E}_{z}}  \\
\frac{1}{c}{{E}_{x}} & 0 & -{{B}_{z}} & {{B}_{y}}  \\
\frac{1}{c}{{E}_{y}} & {{B}_{z}} & 0 & -{{B}_{x}}  \\
\frac{1}{c}{{E}_{z}} & -{{B}_{y}} & {{B}_{x}} & 0  \\
\end{matrix} \right) \\
& \Leftrightarrow {{F}^{\mu \nu }}=\left\{ {{\partial }^{\mu }}{{\Phi }^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{\Phi }^{\mu }} \right\}=\left( \begin{matrix}
0 & -{{E}^{1}} & -{{E}^{2}} & -{{E}^{3}}  \\
{{E}^{1}} & 0 & -c{{B}^{3}} & c{{B}^{2}}  \\
{{E}^{2}} & c{{B}^{3}} & 0 & -c{{B}^{1}}  \\
{{E}^{3}} & -c{{B}^{2}} & c{{B}^{1}} & 0  \\
\end{matrix} \right) \\
\end{align}</math>

Wegen der Antisymmetrie hat
:<math>{{F}^{\mu \nu }}</math>
nur 6 unabhängige Komponenten!

Das bedeutet, die Raum- Raum- Komponenten entsprechen

:<math>rot\bar{A}=\bar{B}</math>

während die Raum- zeit- Komponenten:

:<math>\bar{E}=-grad\phi -\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}</math>
erfüllen.

<u>'''Lorentz- Trafo der Felder:'''</u>

Der Feldstärketensor ist kovariant und transformiert demnach über die inverse Lorentz- Transformation.
Das heißt: Für die Transformation in ein in x- Richtung mit konstanter Geschwindigkeit
:<math>\bar{v}</math>
bewegtes System K´ gilt:

:<math>{{F}_{{}}}{{\acute{\ }}^{\mu \nu }}={{U}^{\mu }}_{\lambda }{{U}^{\nu }}_{\kappa }{{F}^{\lambda \kappa }}</math>

:<math>{{U}^{i}}_{k}=\left( \begin{matrix}
\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & \frac{-\beta }{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & 0 & 0  \\
\frac{-\beta }{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & \frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & 0 & 0  \\
0 & 0 & 1 & 0  \\
0 & 0 & 0 & 1  \\
\end{matrix} \right)</math>

Damit läßt sich nun das uns unbekannte Transformationsverhalten der Felder
:<math>\bar{E}</math> und <math>rot\bar{A}=\bar{B}</math>
berechnen, die auch kovariant transformieren müssen. Dabei sollte keinesfalls die Summation über die Indices auf der rechten Seite vergessen werden!!

:<math>\begin{align}
& E{{\acute{\ }}^{1}}=F{{\acute{\ }}^{10}}={{U}^{1}}_{\lambda }{{U}^{0}}_{\kappa }{{F}^{\lambda \kappa }}=-\beta \gamma {{U}^{0}}_{\kappa }{{F}^{0\kappa }}+\gamma {{U}^{0}}_{\kappa }{{F}^{1\kappa }}={{\left( \beta \gamma  \right)}^{2}}{{F}^{01}}+{{\gamma }^{2}}{{F}^{10}}= \\
& ={{\gamma }^{2}}\left( 1-{{\beta }^{2}} \right){{F}^{10}}={{E}^{1}} \\
& {{\gamma }^{2}}\left( 1-{{\beta }^{2}} \right)=1 \\
&  \\
& E{{\acute{\ }}^{2}}=F{{\acute{\ }}^{20}}={{U}^{2}}_{\lambda }{{U}^{0}}_{\kappa }{{F}^{\lambda \kappa }}={{U}^{0}}_{\kappa }{{F}^{2\kappa }}=\gamma {{F}^{20}}-\beta \gamma {{F}^{21}}=\gamma \left( {{E}^{2}}-v{{B}^{3}} \right) \\
\end{align}</math>

:<math>E{{\acute{\ }}^{3}}=F{{\acute{\ }}^{30}}={{U}^{0}}_{\kappa }{{F}^{3\kappa }}=\gamma {{F}^{30}}-\beta \gamma {{F}^{31}}=\gamma \left( {{E}^{3}}+v{{B}^{2}} \right)</math>

:<math>\begin{align}
& B{{\acute{\ }}^{1}}=\frac{1}{c}F{{\acute{\ }}^{32}}=\frac{1}{c}{{U}^{3}}_{\lambda }{{U}^{2}}_{\kappa }{{F}^{\lambda \kappa }}=\frac{1}{c}{{F}^{32}}={{B}^{1}} \\
& B{{\acute{\ }}^{2}}=\frac{1}{c}F{{\acute{\ }}^{13}}=\frac{1}{c}{{U}^{1}}_{\lambda }{{U}^{3}}_{\kappa }{{F}^{\lambda \kappa }}=\frac{1}{c}{{U}^{1}}_{\kappa }{{F}^{\kappa 3}}=-\frac{\beta \gamma }{c}{{F}^{03}}+\frac{\gamma }{c}{{F}^{13}}=\gamma \left( {{B}^{2}}+\frac{v}{{{c}^{2}}}{{E}^{3}} \right) \\
\end{align}</math>

:<math>B{{\acute{\ }}^{3}}=\gamma \left( {{B}^{3}}-\frac{v}{{{c}^{2}}}{{E}^{2}} \right)</math>

'''Zusammenfassung'''

:<math>\begin{align}
& {{E}^{1}}\acute{\ }={{E}^{1}} \\
& {{E}^{2}}\acute{\ }=\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}}\left( {{E}^{2}}-v{{B}^{3}} \right) \\
& {{E}^{3}}\acute{\ }=\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}}\left( {{E}^{3}}+v{{B}^{2}} \right) \\
& {{B}^{1}}\acute{\ }={{B}^{1}} \\
& {{B}^{2}}\acute{\ }=\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}}\left( {{B}^{2}}+\frac{v}{{{c}^{2}}}{{E}^{3}} \right) \\
& {{B}^{3}}\acute{\ }=\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}}\left( {{B}^{3}}-\frac{v}{{{c}^{2}}}{{E}^{2}} \right) \\
\end{align}</math>

Elektrische und magnetische Felder werden beim Übergang zwischen verschiedenen Inertialsystemen ineinander transformiert!

<u>'''Umeichung:'''</u>

:<math>{{\tilde{\Phi }}^{\mu }}={{\Phi }^{\mu }}+{{\partial }^{\mu }}\phi </math>

Somit:

:<math>\begin{align}
& {{{\tilde{F}}}^{\mu \nu }}={{\partial }^{\mu }}{{{\tilde{\Phi }}}^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{{\tilde{\Phi }}}^{\mu }}={{\partial }^{\mu }}\left( {{\Phi }^{\nu }}+{{\partial }^{\nu }}\phi  \right)-{{\partial }^{\nu }}\left( {{\Phi }^{\mu }}+{{\partial }^{\mu }}\phi  \right) \\
& ={{\partial }^{\mu }}{{\Phi }^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{\Phi }^{\mu }}+{{\partial }^{\mu }}{{\partial }^{\nu }}\phi -{{\partial }^{\nu }}{{\partial }^{\mu }}\phi ={{F}^{\mu \nu }} \\
\end{align}</math>

<u>'''Homogene Maxwell- Gleichungen'''</u>

:<math>\begin{align}
& \nabla \cdot \bar{B}={{\partial }_{1}}{{B}^{1}}+{{\partial }_{2}}{{B}^{2}}+{{\partial }_{3}}{{B}^{3}}=0 \\
& \Rightarrow {{\partial }_{1}}{{F}^{32}}+{{\partial }_{2}}{{F}^{13}}+{{\partial }_{3}}{{F}^{21}}=0 \\
&  \\
\end{align}</math>

Mit

:<math>\begin{align}
& {{\partial }_{1}}=-{{\partial }^{1}} \\
& {{F}^{32}}=-{{F}^{23}} \\
& \Rightarrow {{\partial }^{1}}{{F}^{23}}+{{\partial }^{2}}{{F}^{31}}+{{\partial }^{3}}{{F}^{12}}=0 \\
&  \\
\end{align}</math>

+ zyklisch in (123)

'''innere Feldgleichung für E- Feld'''

:<math>\nabla \times \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\bar{B}</math>

# Komponente

:<math>{{\partial }_{2}}{{E}^{3}}-{{\partial }_{3}}{{E}^{2}}+\frac{\partial }{\partial t}{{B}^{1}}=0</math>

:<math>\Rightarrow {{\partial }^{0}}{{F}^{23}}+{{\partial }^{2}}{{F}^{30}}+{{\partial }^{3}}{{F}^{02}}=0</math>
und zyklisch (023)

zyklische Permutation 1 → 2 → 3 → 1 und mit

:<math>{{F}^{ik}}=-{{F}^{ki}}</math>

liefert:

:<math>\begin{align}
& \Rightarrow {{\partial }^{0}}{{F}^{13}}+{{\partial }^{3}}{{F}^{01}}+{{\partial }^{1}}{{F}^{30}}=0\quad zyklisch(013) \\
& \Rightarrow {{\partial }^{0}}{{F}^{12}}+{{\partial }^{1}}{{F}^{20}}+{{\partial }^{2}}{{F}^{01}}=0\quad zyklisch(012) \\
\end{align}</math>

'''Zusammenfassung der homogenen Maxwellgleichungen'''

:<math>{{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}{{\partial }_{\lambda }}{{F}_{\mu \nu }}=0</math>

:<math>{{\varepsilon }_{\kappa \lambda \mu \nu }}{{\partial }^{\lambda }}{{F}^{\mu \nu }}=0</math>

Die "4- Rotation" des Feldstärketensors verschwindet!

'''Levi- Civita- Tensor:'''
'''+1 für gerade Permutation von 0123'''
'''-1 für ungerade Permutation von 0123'''
'''0, sonst'''

'''Bemerkungen'''

# Levi- Civita ist vollständig antisymmetrisch (per Definition).

#
# <math>{{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}</math>
#  transformiert unter Lorentz- Trafo

:<math>\begin{align}
& {{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}\acute{\ }={{U}^{\kappa }}_{\alpha }{{U}^{\lambda }}_{\beta }{{U}^{\mu }}_{\gamma }{{U}^{\nu }}_{\delta }{{\varepsilon }^{\alpha \beta \gamma \delta }} \\
& =\left| \begin{matrix}
{{U}^{\kappa }}_{0} & {{U}^{\kappa }}_{1} & {{U}^{\kappa }}_{2} & {{U}^{\kappa }}_{3}  \\
{{U}^{\lambda }}_{0} & {{U}^{\lambda }}_{1} & {{U}^{\lambda }}_{2} & {{U}^{\lambda }}_{3}  \\
{{U}^{\mu }}_{0} & {{U}^{\mu }}_{1} & {{U}^{\mu }}_{2} & {{U}^{\mu }}_{3}  \\
{{U}^{\nu }}_{0} & {{U}^{\nu }}_{1} & {{U}^{\nu }}_{2} & {{U}^{\nu }}_{3}  \\
\end{matrix} \right|=\left( \det U \right)\cdot {{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }} \\
& \left( \det U \right)=\pm 1 \\
\end{align}</math>

Damit nun der Levi- Civita- Tensor invariant unter Lorentz- Trafos wird, also

:<math>{{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}\acute{\ }={{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}</math>,
 muss vereinbart werden, dass die Transformation lautet

:<math>{{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}\acute{\ }=\left( \det U \right){{U}^{\kappa }}_{\alpha }{{U}^{\lambda }}_{\beta }{{U}^{\mu }}_{\gamma }{{U}^{\nu }}_{\delta }{{\varepsilon }^{\alpha \beta \gamma \delta }}</math>

Damit ist der Tensor aber ein Pseudotensor!

Insgesamt ist die vierdimensionale Schreibweise die gleiche Formalisierung wie im Dreidimensionalen:

:<math>{{\left( \nabla \times \bar{A} \right)}_{\alpha }}={{\varepsilon }^{\alpha \beta \gamma }}{{\partial }_{\beta }}{{A}_{\gamma }}</math>

Mit Pseudovektor

:<math>{{\left( \nabla \times \bar{A} \right)}_{\alpha }}</math>