Editing Tröpfchenmodell, Weizsäckersche Massenformel

<noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=4|Abschnitt=0|Prof=Prof. Dr. P. Zimmermann|Thema=Kern- und Strahlungsphysik|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude>

Die nahezu konstante Nukleonendichte <math>\rho \approx 10^{17} kg/m^3</math> und der nahezu
konstante B/A-Wert ("Kondensationswärme") legt die Analogie zum
Flüssigkeitstropfen nahe. Weizsäcker Z. Phys. 96, 431 (1935) Massenformel


Bindungsenergie setzt sich aus 5 Anteilen zusammen:
:<math>B=\sum_{i=1}^5 B_i</math>

;1. Volumenenergie: <math>B_1=a_1 A</math> Volumenenergie ("Kondensationswärme" ) vermindert um
;2. Oberflächenenergie: <math>B_2=-a_2 A^{2/3}</math> ~ Anzahl der Nukleonen an der
Oberfläche, die weniger stark gebunden sind.
;3. Coulombenergie: <math>B_3=- \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{5}{3} \frac{Z(Z-1)e^2}{R}=-a_3 \frac{Z(Z-1)}{A^{1/3}}</math> einer homogen geladenen Kugel

Durch die Coulombenergie <math>B_3</math> würden für Isobare (A = const) zu stark
Kerne mit vielen Neutronen bevorzugt. In Wirklichkeit ist jedoch <math>Z\approx N</math>.

Genauer: Nuklidkarte
[[Datei:Nuklidkarte_Stabile_Kerne_12.png]]

Als Gegengewicht ~egenüber dem Coulombterm deshalb:
;4. Asymmetrie-Energie: <math>B_4 = -a_4\frac{(N-Z)^2}{A}</math>
Außerdem gilt folgende Regel, wenn man die Kerne bezüglich gerader oder ungerader Protonen- oder Neutronenzahl ordnet:

<math>\begin{array}{*{35}{l}}
   {} & (g,g)\to  & (u,g), & (g,u)\to  & (u,u)\to \text{Abnahme der Stabilitaet} \\
   \text{stab}\text{.  Kerne}\quad  & 158 & 50, & 53 & 6  \\
\end{array}</math>

;5. Parität: Deshalb <math>B_5= \delta = a_5 A^{-1/2}</math> 
mit <math>\begin{align}
  & \text{(g}\text{, g) : }\text{+}\delta  \\ 
 & \text{(u}\text{, g) }\text{, (g}\text{, u) : }\text{0} \\ 
 & \text{(u}\text{, u) : }\text{-}\delta  \\ 
\end{align}</math>


Anpassung der Formel an viele Massenwerte gibt einen optimalen Wertesatz für die 5 Parameter <math>a_i : a_1 = 16 MeV, a_2 = 18 MeV, a_3 = 0,7 MeV, a_4 = 23 MeV</math> und mit <math>a_5 = 12 MeV</math> (Seeger Nucl. Phys. 25, 1(1961)).
Genauigkeit <math>\approx 1% ab \approx 40</math>.

== Folgerungen aus der Weizsäckerschen Massenformel ==


=== I. Isobarenregeln ===

Für Isobare (A = const.) ist die Massenformel quadratisch in Z,
deshalb bekommt man für A = ungerade, d.h. für (u, g)- und (g, u)Kerne
eine Parabel und für A = gerade, d.h. für (g, g)- und (u,
u)-Kerne zwei Parabeln, die durch den Abstand <math>2 \delta</math> der
Paarungsenergie <math>\delta</math> getrennt sind.

[[Datei:IsobarenRegel13.png]]

Trägt man die Massenwerte in die Nuklidkarte auf der N-Z-Ebene
nach oben auf, dann sind die Isobarenparabeln Schnitte längs der
Linie A = Z + N = const. Die stabilen Kerne liegen in der
"Talsohle des Massetals".


Umwandlung durch Beta-Zerfall:

<math>\begin{align}
   {{\beta }^{+}}:\quad n &\to p+{{e}^{-}}+\tilde{\nu } \\ 
  {{\beta }^{-}}:\quad n &\to p+{{e}^{+}}+\nu  \\ 
  {{e}^{-}}+p& \to n+\tilde{\nu } \\ 
\end{align}</math> Konkurrenzprozeß: K-Einfang

=== II. Kernspaltung und Fusion ===

Allgemein für leichtere Kerne Energiegewinn durch Fusion, für
schwerere Kerne durch Spaltung möglich. Spontane Fusion durch
Coulombabstoßung, spentane Spaltung durch Spaltschwelle behindert.


Stabilitätsbetrachtung bezüglich spontaner Spaltung

[[Datei:SpontaneSpaltung14.png]]

Stabilitätsbedingung gegenüber spontaner Spaltung: größere Zunahme
der Oberflächenenergie als Abnahme der Coulombenergie.
Rechnung: Z2/A ~ 51
Für <math>Z^2/A \lesssim 51</math> Spaltschwelle:


[[Datei:SpaltSchwelle15.png]]


Neutroneninduzierte Spaltung bei Uran durch freiwerdende Bindungsenergie bei Neutroneneinfang. Für thermische Neutronen ist diese Bindungsenergie

bei <math>^{235}U+n\to^{236}U+6,4MeV\quad(g,u)\underset{n}{\to}(g,g)</math>

bei <math>^{238}U+n\to^{239}U+4,8MeV\quad(g,g)\underset{n}{\to}(g,u)</math>

Die fehlende Paarungsenergie bei <math>^{239}U</math> bedingt die niedrigere Bind
dungsenergie, so daß bei <math>^{238}U</math> der Einbau thermischer Neutronen nicht zur Überwindung der Spaltschwelle ausreicht.


Allgemein Spaltprozeß:
<math>^{235}U+n\textrm{(thermisch)}\to^{236}U\to X+Y+kn</math>


Spaltbruchstücke X und Y instabil wegen Neutronenüberschuß, <math>\beta^-</math>-Zerfall,
z.B.

[[Datei:BSPSpaltprozess.png]]

Grobe Abschätzung für <math>^{235}U</math>-Verbrauch:
:<math>1kg\quad^{235}U:E=N\Delta E\backsimeq\frac{1000}{235}6\times10^{23}\times2\times10^{8}\times1,6\times10^{-19}{ Ws}\backsimeq8\times10^{13}{ Ws}\backsimeq10^{8}{ MWd}</math>


====Fusion====

Bei sehr leichten Kernen Durchtunneln des Coulombwalls oberhalb von <math>1 keV \approx 1,2 10^7 K</math> möglich (z.B. Sonneninnere mit <math>T \approx 1,5 10^7 K</math> und <math>\rho \approx 10^5 kg /m^3</math>).

Kontrollierte Fusion mit Deuterium und Trithium
<math>d+^{3}H\to\underset{3MeV}{^{4}He}+\underset{14MeV}{n}+17,6MeV</math>

<math>n+^{7}Li\to^{4}He+\underbrace{^{3}H}_{t_{1/2}\approx12a}+n-2,5MeV</math>

==siehe auch==
http://de.wikipedia.org/wiki/Bethe-Weizs%C3%A4cker-Formel
[[Datei:Isotopentabelle_Segre.svg|miniatur]]