Editing Tröpfchenmodell, Weizsäckersche Massenformel
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<noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=4|Abschnitt=0|Prof=Prof. Dr. P. Zimmermann|Thema=Kern- und Strahlungsphysik|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude> | <noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=4|Abschnitt=0|Prof=Prof. Dr. P. Zimmermann|Thema=Kern- und Strahlungsphysik|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude> | ||
Die nahezu konstante | Die nahezu konstante Nukleonendichte <math>\rho \approx 10^{17} kg/m^3</math> und der nahezu | ||
konstante B/A-Wert (" | konstante B/A-Wert ("Kondensationswärme") legt die Analogie zum | ||
Flüssigkeitstropfen nahe. | Flüssigkeitstropfen nahe. Weizsäcker Z. Phys. 96, 431 (1935) Massenformel | ||
Bindungsenergie setzt sich aus 5 Anteilen zusammen: | |||
:<math>B=\sum_{i=1}^5 B_i</math> | :<math>B=\sum_{i=1}^5 B_i</math> | ||
;1. | ;1. Volumenenergie: <math>B_1=a_1 A</math> Volumenenergie ("Kondensationswärme" ) vermindert um | ||
;2. | ;2. Oberflächenenergie: <math>B_2=-a_2 A^{2/3}</math> ~ Anzahl der Nukleonen an der | ||
Oberfläche, die weniger stark gebunden sind. | Oberfläche, die weniger stark gebunden sind. | ||
;3. | ;3. Coulombenergie: <math>B_3=- \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{5}{3} \frac{Z(Z-1)e^2}{R}=-a_3 \frac{Z(Z-1)}{A^{1/3}}</math> einer homogen geladenen Kugel | ||
Durch die Coulombenergie <math>B_3</math> würden für | Durch die Coulombenergie <math>B_3</math> würden für Isobare (A = const) zu stark | ||
Kerne mit vielen Neutronen bevorzugt. In Wirklichkeit ist jedoch <math>Z\approx N</math>. | Kerne mit vielen Neutronen bevorzugt. In Wirklichkeit ist jedoch <math>Z\approx N</math>. | ||
Genauer: Nuklidkarte | Genauer: Nuklidkarte | ||
[[Datei:Nuklidkarte_Stabile_Kerne_12.png | [[Datei:Nuklidkarte_Stabile_Kerne_12.png]] | ||
Als Gegengewicht | Als Gegengewicht ~egenüber dem Coulombterm deshalb: | ||
;4. | ;4. Asymmetrie-Energie: <math>B_4 = -a_4\frac{(N-Z)^2}{A}</math> | ||
Außerdem gilt folgende Regel, wenn man die Kerne bezüglich gerader oder ungerader Protonen- oder Neutronenzahl ordnet: | Außerdem gilt folgende Regel, wenn man die Kerne bezüglich gerader oder ungerader Protonen- oder Neutronenzahl ordnet: | ||
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\end{array}</math> | \end{array}</math> | ||
;5. | ;5. Parität: Deshalb <math>B_5= \delta = a_5 A^{-1/2}</math> | ||
mit <math>\begin{align} | mit <math>\begin{align} | ||
& \text{(g}\text{, g) : }\text{+}\delta \\ | & \text{(g}\text{, g) : }\text{+}\delta \\ | ||
Line 38: | Line 37: | ||
Anpassung der Formel an viele Massenwerte gibt einen optimalen Wertesatz für die 5 Parameter <math>a_i : a_1 = 16 MeV, a_2 = 18 MeV, a_3 = 0,7 MeV, a_4 = 23 MeV</math> und mit <math>a_5 = 12 MeV</math | Anpassung der Formel an viele Massenwerte gibt einen optimalen Wertesatz für die 5 Parameter <math>a_i : a_1 = 16 MeV, a_2 = 18 MeV, a_3 = 0,7 MeV, a_4 = 23 MeV</math> und mit <math>a_5 = 12 MeV</math> (Seeger Nucl. Phys. 25, 1(1961)). | ||
Genauigkeit <math>\approx 1% ab \approx 40</math>. | Genauigkeit <math>\approx 1% ab \approx 40</math>. | ||
Line 46: | Line 45: | ||
=== I. Isobarenregeln === | === I. Isobarenregeln === | ||
Für | Für Isobare (A = const.) ist die Massenformel quadratisch in Z, | ||
deshalb bekommt man für A = ungerade, d.h. für (u, g)- und (g, u) | deshalb bekommt man für A = ungerade, d.h. für (u, g)- und (g, u)Kerne | ||
eine Parabel und für A = gerade, d.h. für (g, g)- und (u, u)-Kerne zwei Parabeln, die durch den Abstand <math>2 \delta</math> der | eine Parabel und für A = gerade, d.h. für (g, g)- und (u, | ||
u)-Kerne zwei Parabeln, die durch den Abstand <math>2 \delta</math> der | |||
Paarungsenergie <math>\delta</math> getrennt sind. | |||
[[Datei:IsobarenRegel13.png | [[Datei:IsobarenRegel13.png]] | ||
Trägt man die Massenwerte in die | Trägt man die Massenwerte in die Nuklidkarte auf der N-Z-Ebene | ||
nach oben auf, dann sind die Isobarenparabeln Schnitte längs der | nach oben auf, dann sind die Isobarenparabeln Schnitte längs der | ||
Linie | Linie A = Z + N = const. Die stabilen Kerne liegen in der | ||
"Talsohle des Massetals". | "Talsohle des Massetals". | ||
Line 65: | Line 65: | ||
{{\beta }^{-}}:\quad n &\to p+{{e}^{+}}+\nu \\ | {{\beta }^{-}}:\quad n &\to p+{{e}^{+}}+\nu \\ | ||
{{e}^{-}}+p& \to n+\tilde{\nu } \\ | {{e}^{-}}+p& \to n+\tilde{\nu } \\ | ||
\end{align}</math> Konkurrenzprozeß: | \end{align}</math> Konkurrenzprozeß: K-Einfang | ||
=== II. Kernspaltung und Fusion === | === II. Kernspaltung und Fusion === | ||
Allgemein für leichtere Kerne Energiegewinn durch | Allgemein für leichtere Kerne Energiegewinn durch Fusion, für | ||
schwerere Kerne durch | schwerere Kerne durch Spaltung möglich. Spontane Fusion durch | ||
Coulombabstoßung, | Coulombabstoßung, spentane Spaltung durch Spaltschwelle behindert. | ||
[[Datei:SpontaneSpaltung14.png | Stabilitätsbetrachtung bezüglich spontaner Spaltung | ||
[[Datei:SpontaneSpaltung14.png]] | |||
Stabilitätsbedingung gegenüber spontaner Spaltung: größere Zunahme | Stabilitätsbedingung gegenüber spontaner Spaltung: größere Zunahme | ||
der Oberflächenenergie als Abnahme der Coulombenergie. | der Oberflächenenergie als Abnahme der Coulombenergie. | ||
Rechnung: Z2/A ~ 51 | |||
Rechnung: | |||
Für <math>Z^2/A \lesssim 51</math> Spaltschwelle: | Für <math>Z^2/A \lesssim 51</math> Spaltschwelle: | ||
[[Datei:SpaltSchwelle15.png | [[Datei:SpaltSchwelle15.png]] | ||
Neutroneninduzierte Spaltung bei Uran durch freiwerdende | Neutroneninduzierte Spaltung bei Uran durch freiwerdende Bindungsenergie bei Neutroneneinfang. Für thermische Neutronen ist diese Bindungsenergie | ||
bei <math>^{235}U+n\to^{236}U+6,4MeV\quad(g,u)\underset{n}{\to}(g,g)</math> | bei <math>^{235}U+n\to^{236}U+6,4MeV\quad(g,u)\underset{n}{\to}(g,g)</math> | ||
Line 95: | Line 93: | ||
bei <math>^{238}U+n\to^{239}U+4,8MeV\quad(g,g)\underset{n}{\to}(g,u)</math> | bei <math>^{238}U+n\to^{239}U+4,8MeV\quad(g,g)\underset{n}{\to}(g,u)</math> | ||
Die fehlende | Die fehlende Paarungsenergie bei <math>^{239}U</math> bedingt die niedrigere Bind | ||
dungsenergie, so daß bei <math>^{238}U</math> der Einbau thermischer Neutronen nicht zur Überwindung der Spaltschwelle ausreicht. | |||
Allgemein Spaltprozeß: | Allgemein Spaltprozeß: | ||
Line 105: | Line 104: | ||
z.B. | z.B. | ||
[[Datei:BSPSpaltprozess.png | [[Datei:BSPSpaltprozess.png]] | ||
Grobe Abschätzung für <math>^{235}U</math>-Verbrauch: | Grobe Abschätzung für <math>^{235}U</math>-Verbrauch: | ||
:<math> | :<math>1kg\quad^{235}U:E=N\Delta E\backsimeq\frac{1000}{235}6\times10^{23}\times2\times10^{8}\times1,6\times10^{-19}{ Ws}\backsimeq8\times10^{13}{ Ws}\backsimeq10^{8}{ MWd}</math> | ||
1kg\quad^{235}U:E=N\Delta E | |||
====Fusion==== | ====Fusion==== | ||
Bei sehr leichten Kernen Durchtunneln des | Bei sehr leichten Kernen Durchtunneln des Coulombwalls oberhalb von <math>1 keV \approx 1,2 10^7 K</math> möglich (z.B. Sonneninnere mit <math>T \approx 1,5 10^7 K</math> und <math>\rho \approx 10^5 kg /m^3</math>). | ||
Kontrollierte Fusion mit Deuterium und Trithium | Kontrollierte Fusion mit Deuterium und Trithium | ||
==siehe auch== | |||
http://de.wikipedia.org/wiki/Bethe-Weizs%C3%A4cker-Formel | |||