Editing Tröpfchenmodell, Weizsäckersche Massenformel
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<noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=4|Abschnitt=0|Prof=Prof. Dr. P. Zimmermann|Thema=Kern- und Strahlungsphysik|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude> | <noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=4|Abschnitt=0|Prof=Prof. Dr. P. Zimmermann|Thema=Kern- und Strahlungsphysik|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude> | ||
Die nahezu konstante | Die nahezu konstante Nukleonendichte <math>\rho \approx 10^{17} kg/m^3</math> und der nahezu | ||
konstante B/A-Wert (" | konstante B/A-Wert ("Kondensationswärme") legt die Analogie zum | ||
Flüssigkeitstropfen nahe. | Flüssigkeitstropfen nahe. Weizsäcker Z. Phys. 96, 431 (1935) Massenformel | ||
Bindungsenergie setzt sich aus 5 Anteilen zusammen: | |||
:<math>B=\sum_{i=1}^5 B_i</math> | :<math>B=\sum_{i=1}^5 B_i</math> | ||
;1. | ;1. Volumenenergie: <math>B_1=a_1 A</math> Volumenenergie ("Kondensationswärme" ) vermindert um | ||
;2. | ;2. Oberflächenenergie: <math>B_2=-a_2 A^{2/3}</math> ~ Anzahl der Nukleonen an der | ||
Oberfläche, die weniger stark gebunden sind. | Oberfläche, die weniger stark gebunden sind. | ||
;3. | ;3. Coulombenergie: <math>B_3=- \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{5}{3} \frac{Z(Z-1)e^2}{R}=-a_3 \frac{Z(Z-1)}{A^{1/3}}</math> einer homogen geladenen Kugel | ||
Durch die Coulombenergie <math>B_3</math> würden für | Durch die Coulombenergie <math>B_3</math> würden für Isobare (A = const) zu stark | ||
Kerne mit vielen Neutronen bevorzugt. In Wirklichkeit ist jedoch <math>Z\approx N</math>. | Kerne mit vielen Neutronen bevorzugt. In Wirklichkeit ist jedoch <math>Z\approx N</math>. | ||
Genauer: Nuklidkarte | Genauer: Nuklidkarte | ||
[[Datei:Nuklidkarte_Stabile_Kerne_12.png | [[Datei:Nuklidkarte_Stabile_Kerne_12.png]] | ||
Als Gegengewicht | Als Gegengewicht ~egenüber dem Coulombterm deshalb: | ||
;4. | ;4. Asymmetrie-Energie: <math>B_4 = -a_4\frac{(N-Z)^2}{A}</math> | ||
Außerdem gilt folgende Regel, wenn man die Kerne bezüglich gerader oder ungerader Protonen- oder Neutronenzahl ordnet: | Außerdem gilt folgende Regel, wenn man die Kerne bezüglich gerader oder ungerader Protonen- oder Neutronenzahl ordnet: | ||
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\end{array}</math> | \end{array}</math> | ||
;5. | ;5. Parität: Deshalb <math>B_5= \delta = a_5 A^{-1/2}</math> | ||
mit <math>\begin{align} | mit <math>\begin{align} | ||
& \text{(g}\text{, g) : }\text{+}\delta \\ | & \text{(g}\text{, g) : }\text{+}\delta \\ | ||
Line 38: | Line 37: | ||
Anpassung der Formel an viele Massenwerte gibt einen optimalen Wertesatz für die 5 Parameter <math>a_i : a_1 = 16 MeV, a_2 = 18 MeV, a_3 = 0,7 MeV, a_4 = 23 MeV</math> und mit <math>a_5 = 12 MeV</math | Anpassung der Formel an viele Massenwerte gibt einen optimalen Wertesatz für die 5 Parameter <math>a_i : a_1 = 16 MeV, a_2 = 18 MeV, a_3 = 0,7 MeV, a_4 = 23 MeV</math> und mit <math>a_5 = 12 MeV</math> (Seeger Nucl. Phys. 25, 1(1961)). | ||
Genauigkeit <math>\approx 1% ab \approx 40</math>. | Genauigkeit <math>\approx 1% ab \approx 40</math>. | ||
Line 46: | Line 45: | ||
=== I. Isobarenregeln === | === I. Isobarenregeln === | ||
Für | Für Isobare (A = const.) ist die Massenformel quadratisch in Z, | ||
deshalb bekommt man für A = ungerade, d.h. für (u, g)- und (g, u) | deshalb bekommt man für A = ungerade, d.h. für (u, g)- und (g, u)Kerne | ||
eine Parabel und für A = gerade, d.h. für (g, g)- und (u, u)-Kerne zwei Parabeln, die durch den Abstand <math>2 \delta</math> der | eine Parabel und für A = gerade, d.h. für (g, g)- und (u, | ||
u)-Kerne zwei Parabeln, die durch den Abstand <math>2 \delta</math> der | |||
Paarungsenergie <math>\delta</math> getrennt sind. | |||
[[Datei:IsobarenRegel13.png | [[Datei:IsobarenRegel13.png]] | ||
Trägt man die Massenwerte in die | Trägt man die Massenwerte in die Nuklidkarte auf der N-Z-Ebene | ||
nach oben auf, dann sind die Isobarenparabeln Schnitte längs der | nach oben auf, dann sind die Isobarenparabeln Schnitte längs der | ||
Linie | Linie A = Z + N = const. Die stabilen Kerne liegen in der | ||
"Talsohle des Massetals". | "Talsohle des Massetals". | ||
Line 65: | Line 65: | ||
{{\beta }^{-}}:\quad n &\to p+{{e}^{+}}+\nu \\ | {{\beta }^{-}}:\quad n &\to p+{{e}^{+}}+\nu \\ | ||
{{e}^{-}}+p& \to n+\tilde{\nu } \\ | {{e}^{-}}+p& \to n+\tilde{\nu } \\ | ||
\end{align}</math> Konkurrenzprozeß: | \end{align}</math> Konkurrenzprozeß: K-Einfang | ||
=== II. Kernspaltung und Fusion === | === II. Kernspaltung und Fusion === | ||
Allgemein für leichtere Kerne Energiegewinn durch | Allgemein für leichtere Kerne Energiegewinn durch Fusion, für | ||
schwerere Kerne durch | schwerere Kerne durch Spaltung möglich. Spontane Fusion durch | ||
Coulombabstoßung, | Coulombabstoßung, spentane Spaltung durch Spaltschwelle behindert. | ||
stabilitätsbetrachtung bezüglich spontaner Spaltung | |||
[[Datei:SpontaneSpaltung14.png]] | |||
R ..".....---; o + o | |||
[[Datei:SpontaneSpaltung14.png | Coulombenergie B3 -t B3(1 - !€)2 nimmt ab | ||
;Coulombenergie | 5 | ||
Oberflächenenergie B2 -t B2(1 + 3.€) 2 nimmt zu ," | |||
5 | |||
Stabilitätsbedingung gegenüber spontaner Spaltung: größere Zunahme | Stabilitätsbedingung gegenüber spontaner Spaltung: größere Zunahme | ||
der Oberflächenenergie als Abnahme der Coulombenergie. | der Oberflächenenergie als Abnahme der Coulombenergie. | ||
Rechnung: Z2/A ~ 51 | |||
Für Z2/A ~ 51 Spaltschwelle: | |||
Spaltschwelle, für Uran ~ 6 MeV 23sU: 5,8 Mev) | |||
[[Datei:SpaltSchwelle15.png]] | |||
( 238U: 6,3 MeV | |||
Energiegewinn ca. | |||
2350(8,5-7,5) MeV ~ 200 MeV | |||
r o -t | |||
Neutroneninduzierte Spaltung bei Uran durch freiwerdende Bindungsenergie bei Neutroneneinfang. Für thermische Neutronen ist diese Bindungsenergie leichten Kernen Durchtunneln des Coulombwalls oberhalb | |||
sehr | |||
Bei | |||
bei 235U + n --l- 236U + 6,4 MeV (g, u) --l- (g, g) | |||
n 1 keV ~ 1,2 0107 K möglich (z.B. Sonneninnere mit T ~ 1,5 010 7 K | |||
bei 238U + n --l- 239U + 4,8 MeV (g, g) --l- (g, u) von 3 | |||
Neutroneninduzierte Spaltung bei Uran durch freiwerdende | n und P ~ 105 kg/m ). | ||
Kontrollierte Fusion mit Deuterium und Trithium | |||
bei | Die fehlende Paarungsenergie bei 239U bedingt die niedrigere Bind | ||
+ 3H --l- 4He + n + 17 , 6 MeV | |||
bei | dungsenergie, so daß bei 238U der Einbau thermischer Neutronen 3MeV 14MeV | ||
nicht zur Überwindung der Spaltschwelle ausreicht. | |||
Die fehlende | 3H + n - 2,5 MeV) | ||
Allgemein Spaltprozeß: ........t~ ~ 12a | |||
235U + n (thermisch) --l- 236U --l- X + Y + kon (schnell Rl 1 MeV, k ""- 2,5) | |||
Allgemein Spaltprozeß: | Spaltbruchstücke X und Y instabil wegen Neutronenüberschuß, ß-Zerfall, | ||
Spaltbruchstücke X und Y instabil wegen Neutronenüberschuß, | |||
z.B. | z.B. | ||
235U + n --l- 90Kr + 143Ba + 3n 92 36 56 | |||
!32S !208 | |||
90 | |||
Grobe Abschätzung für | 37Rb + 143 | ||
57La | |||
1kg | !2min !14min | ||
90 | |||
38Sr + 143 | |||
58Ce | |||
!28a !33h | |||
90y + 143pr 39 59 | |||
!64h !l3d | |||
40 | |||
90 Zr + 143 | |||
: | 60Nd | ||
Grobe Abschätzung für 235U-Verbrauch: | |||
: | 1kg 235U: E = Noill: ~ [[Benutzer:Schubotz|Schubotz]]00601023i2.0108.:2:,6010~19ws | ||
200 MeV | |||
==siehe auch== | |||
http://de.wikipedia.org/wiki/Bethe-Weizs%C3%A4cker-Formel | |||
== | |||