Editing Tröpfchenmodell, Weizsäckersche Massenformel

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<noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=4|Abschnitt=0|Prof=Prof. Dr. P. Zimmermann|Thema=Kern- und Strahlungsphysik|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude>
<noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=4|Abschnitt=0|Prof=Prof. Dr. P. Zimmermann|Thema=Kern- und Strahlungsphysik|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude>


Die nahezu konstante {{FB|Nukleonendichte}} <math>\rho \approx 10^{17} kg/m^3</math> und der nahezu
Die nahezu konstante Nukleonendichte <math>\rho \approx 10^{17} kg/m^3</math> und der nahezu
konstante B/A-Wert ("{{FB|Kondensationswärme}}") legt die Analogie zum
konstante B/A-Wert ("Kondensationswärme") legt die Analogie zum
Flüssigkeitstropfen nahe.  
Flüssigkeitstropfen nahe. Weizsäcker Z. Phys. 96, 431 (1935) Massenformel
Massenformel<ref>Weizsäcker Z. Phys. 96, 431 (1935)</ref>




{{FB|Bindungsenergie}} setzt sich aus 5 Anteilen zusammen:
Bindungsenergie setzt sich aus 5 Anteilen zusammen:
:<math>B=\sum_{i=1}^5 B_i</math>
:<math>B=\sum_{i=1}^5 B_i</math>


;1. {{FB|Volumenenergie}}: <math>B_1=a_1 A</math> Volumenenergie ("Kondensationswärme" ) vermindert um
;1. Volumenenergie: <math>B_1=a_1 A</math> Volumenenergie ("Kondensationswärme" ) vermindert um
;2. {{FB|Oberflächenenergie}}: <math>B_2=-a_2 A^{2/3}</math> ~ Anzahl der Nukleonen an der
;2. Oberflächenenergie: <math>B_2=-a_2 A^{2/3}</math> ~ Anzahl der Nukleonen an der
Oberfläche, die weniger stark gebunden sind.
Oberfläche, die weniger stark gebunden sind.
;3. {{FB|Coulombenergie}}: <math>B_3=- \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{5}{3} \frac{Z(Z-1)e^2}{R}=-a_3 \frac{Z(Z-1)}{A^{1/3}}</math> einer homogen geladenen Kugel
;3. Coulombenergie: <math>B_3=- \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{5}{3} \frac{Z(Z-1)e^2}{R}=-a_3 \frac{Z(Z-1)}{A^{1/3}}</math> einer homogen geladenen Kugel


Durch die Coulombenergie <math>B_3</math> würden für {{FB|Isobare}} (A = const) zu stark
Durch die Coulombenergie <math>B_3</math> würden für Isobare (A = const) zu stark
Kerne mit vielen Neutronen bevorzugt. In Wirklichkeit ist jedoch <math>Z\approx N</math>.
Kerne mit vielen Neutronen bevorzugt. In Wirklichkeit ist jedoch <math>Z\approx N</math>.


Genauer: Nuklidkarte
Genauer: Nuklidkarte
[[Datei:Nuklidkarte_Stabile_Kerne_12.png|miniatur|zentriert|hochkant=3|Nuklidkarte]]
[[Datei:Nuklidkarte_Stabile_Kerne_12.png]]


Als Gegengewicht genüber dem Coulombterm deshalb:
Als Gegengewicht ~egenüber dem Coulombterm deshalb:
;4. {{FB|Asymmetrie-Energie}}: <math>B_4 = -a_4\frac{(N-Z)^2}{A}</math>
;4. Asymmetrie-Energie: <math>B_4 = -a_4\frac{(N-Z)^2}{A}</math>
Außerdem gilt folgende Regel, wenn man die Kerne bezüglich gerader oder ungerader Protonen- oder Neutronenzahl ordnet:
Außerdem gilt folgende Regel, wenn man die Kerne bezüglich gerader oder ungerader Protonen- oder Neutronenzahl ordnet:


Line 30: Line 29:
\end{array}</math>
\end{array}</math>


;5. {{FB|Parität}}: Deshalb <math>B_5= \delta = a_5 A^{-1/2}</math>  
;5. Parität: Deshalb <math>B_5= \delta = a_5 A^{-1/2}</math>  
mit <math>\begin{align}
mit <math>\begin{align}
   & \text{(g}\text{, g) : }\text{+}\delta  \\  
   & \text{(g}\text{, g) : }\text{+}\delta  \\  
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Anpassung der Formel an viele Massenwerte gibt einen optimalen Wertesatz für die 5 Parameter <math>a_i : a_1 = 16 MeV, a_2 = 18 MeV, a_3 = 0,7 MeV, a_4 = 23 MeV</math> und mit <math>a_5 = 12 MeV</math> <ref>(Seeger Nucl. Phys. 25, 1(1961)</ref>).
Anpassung der Formel an viele Massenwerte gibt einen optimalen Wertesatz für die 5 Parameter <math>a_i : a_1 = 16 MeV, a_2 = 18 MeV, a_3 = 0,7 MeV, a_4 = 23 MeV</math> und mit <math>a_5 = 12 MeV</math> (Seeger Nucl. Phys. 25, 1(1961)).
Genauigkeit <math>\approx 1% ab \approx 40</math>.
Genauigkeit <math>\approx 1% ab \approx 40</math>.


Line 46: Line 45:
=== I. Isobarenregeln ===
=== I. Isobarenregeln ===


Für {{FB|Isobare}} (A = const.) ist die Massenformel quadratisch in Z,
Für Isobare (A = const.) ist die Massenformel quadratisch in Z,
deshalb bekommt man für A = ungerade, d.h. für (u, g)- und (g, u)-Kerne
deshalb bekommt man für A = ungerade, d.h. für (u, g)- und (g, u)Kerne
eine Parabel und für A = gerade, d.h. für (g, g)- und (u, u)-Kerne zwei Parabeln, die durch den Abstand <math>2 \delta</math> der
eine Parabel und für A = gerade, d.h. für (g, g)- und (u,
{{FB|Paarungsenergie}} <math>\delta</math> getrennt sind.
u)-Kerne zwei Parabeln, die durch den Abstand 2 0 der
 
Paarungsenergie 0 getrennt sind .
[[Datei:IsobarenRegel13.png|miniatur|hochkant=3|zentriert|Isobarenparabeln{{AnMS|Siehe auch {{Quelle|vlkp|32|ab 10:30}}}}]]
[[Datei:IsobarenRegel13.png]]
 
M( Z, A
Trägt man die Massenwerte in die {{FB|Nuklidkarte}} auf der N-Z-Ebene
~
= const.) rv + M( Z, A = const . )
(u, g)
A ungerade !J (g, u)
1/ "r
(u, u)
1 20
(g, g)
L---~~-L--~~------7 Z
Jf~"'ie\ (,abC1J
Nur ein stabiles Isobar
)-;> -
l«cJ.J UAOJß cL.
Mehrere stabile Isobare möglich
mit LlZ = 2
Trägt man die Massenwerte in die Nuklidkarte auf der N-Z-Ebene
nach oben auf, dann sind die Isobarenparabeln Schnitte längs der
nach oben auf, dann sind die Isobarenparabeln Schnitte längs der
Linie '''A = Z + N = const'''. Die stabilen Kerne liegen in der
Linie A = Z + N = const. Die stabilen Kerne liegen in der
"Talsohle des Massetals".
"Talsohle des Massetals" .
 
z
 
- 9 umwandlung
Umwandlung durch Beta-Zerfall:
durch Beta-:erfall:
 
n-tp+e +LI
<math>\begin{align}
p -t n + e+ + LI
  {{\beta }^{+}}:\quad n &\to p+{{e}^{-}}+\tilde{\nu } \\
e +p-tn + LI Konkurrenzprozeß:
  {{\beta }^{-}}:\quad n &\to p+{{e}^{+}}+\nu  \\
K-Einfang
  {{e}^{-}}+p& \to n+\tilde{\nu } \\
\end{align}</math> Konkurrenzprozeß: {{FB|Kerneinfang}}


=== II. Kernspaltung und Fusion ===
=== II. Kernspaltung und Fusion ===


Allgemein für leichtere Kerne Energiegewinn durch {{FB|Fusion}}, für
Allgemein für leichtere Kerne Energiegewinn durch Fusion, für
schwerere Kerne durch {{FB|Spaltung}} möglich. Spontane Fusion durch
schwerere Kerne durch Spaltung möglich. Spontane Fusion durch
Coulombabstoßung, spontane Spaltung durch {{FB|Spaltschwelle}} behindert.
Coulombabstoßung, spentane Spaltung durch Spaltschwelle behindert.
 
stabilitätsbetrachtung bezüglich spontaner Spaltung
====Spaltung====
[[Datei:SpontaneSpaltung14.png]]
 
R ..".....---; o + o
[[Datei:SpontaneSpaltung14.png|miniatur|hochkant=3|zentriert|Stabilitätsbetrachtung bezüglich spontaner Spaltung]]
Coulombenergie B3 -t B3(1 - !€)2 nimmt ab
;Coulombenergie: <math>B_3 \to B_3(1-\frac{1}{5}\epsilon)^2</math> nimmt '''ab'''.
5
;Oberflächenenergie: <math>B_2 \to B_2(1+\frac{2}{5}\epsilon)^2</math> nimmt '''zu'''.
Oberflächenenergie B2 -t B2(1 + 3.€) 2 nimmt zu ,"
5
Stabilitätsbedingung gegenüber spontaner Spaltung: größere Zunahme
Stabilitätsbedingung gegenüber spontaner Spaltung: größere Zunahme
der Oberflächenenergie als Abnahme der Coulombenergie.
der Oberflächenenergie als Abnahme der Coulombenergie.
Rechnung: Z2/A ~ 51
Für Z2/A ~ 51 Spaltschwelle:


Rechnung: <math>Z^2/A \lesssim 51</math>
Spaltschwelle, für Uran ~ 6 MeV 23sU: 5,8 Mev)
[[Datei:SpaltSchwelle15.png]]
( 238U: 6,3 MeV
Energiegewinn ca.
2350(8,5-7,5) MeV ~ 200 MeV
r o -t


Für <math>Z^2/A \lesssim 51</math> Spaltschwelle:
Neutroneninduzierte Spaltung bei Uran durch freiwerdende Bindungsenergie bei Neutroneneinfang. Für thermische Neutronen ist diese Bindungsenergie leichten Kernen Durchtunneln des Coulombwalls oberhalb
 
sehr
 
Bei
[[Datei:SpaltSchwelle15.png|miniatur|hochkant=3|zentriert|Spaltschwelle]]
bei 235U + n --l- 236U + 6,4 MeV (g, u) --l- (g, g)
 
n 1 keV ~ 1,2 0107 K möglich (z.B. Sonneninnere mit T ~ 1,5 010 7 K
 
bei 238U + n --l- 239U + 4,8 MeV (g, g) --l- (g, u) von 3
Neutroneninduzierte Spaltung bei Uran durch freiwerdende {{FB|Bindungsenergie}} bei {{FB|Neutroneneinfang}}. Für {{FB|thermische Neutronen}} ist diese Bindungsenergie
n und P ~ 105 kg/m ).
 
Kontrollierte Fusion mit Deuterium und Trithium
bei <math>^{235}U+n\to^{236}U+6,4MeV\quad(g,u)\underset{n}{\to}(g,g)</math>
Die fehlende Paarungsenergie bei 239U bedingt die niedrigere Bind
 
+ 3H --l- 4He + n + 17 , 6 MeV
bei <math>^{238}U+n\to^{239}U+4,8MeV\quad(g,g)\underset{n}{\to}(g,u)</math>
dungsenergie, so daß bei 238U der Einbau thermischer Neutronen 3MeV 14MeV
 
nicht zur Überwindung der Spaltschwelle ausreicht.
Die fehlende {{FB|Paarungsenergie}} bei <math>^{239}U</math> bedingt die niedrigere Bindungsenergie, so daß bei <math>^{238}U</math> der Einbau thermischer Neutronen nicht zur Überwindung der Spaltschwelle ausreicht.
3H + n - 2,5 MeV)
 
Allgemein Spaltprozeß: ........t~ ~ 12a
 
235U + n (thermisch) --l- 236U --l- X + Y + kon (schnell Rl 1 MeV, k ""- 2,5)
Allgemein Spaltprozeß:
Spaltbruchstücke X und Y instabil wegen Neutronenüberschuß, ß-Zerfall,
<math>^{235}U+n\textrm{(thermisch)}\to^{236}U\to X+Y+kn</math>
 
 
Spaltbruchstücke X und Y instabil wegen Neutronenüberschuß, <math>\beta^-</math>-Zerfall,
z.B.
z.B.
 
235U + n --l- 90Kr + 143Ba + 3n 92 36 56
[[Datei:BSPSpaltprozess.png|miniatur|hochkant=3|zentriert|instabile Spaltbruchstücke]]
!32S !208
 
90
Grobe Abschätzung für <math>^{235}U</math>-Verbrauch:
37Rb + 143
:<math>\begin{align}
57La
1kg\quad^{235}U:E=N\Delta E & \backsimeq\frac{1000}{235}6\cdot10^{23} \cdot 2 \cdot 10^{8} \cdot 1,6 \cdot 10^{-19}{ Ws}\\
!2min !14min
& \backsimeq8 \cdot 10^{13}{ Ws}\\
90
& \backsimeq10^{3}{ MWd}\end{align}</math>
38Sr + 143
 
58Ce
====Fusion====
!28a !33h
 
90y + 143pr 39 59
Bei sehr leichten Kernen Durchtunneln des {{FB|Coulombwalls}} oberhalb von <math>1 keV \approx 1,2 10^7 K</math> möglich (z.B. Sonneninnere mit <math>T \approx 1,5 10^7 K</math> und <math>\rho \approx 10^5 kg /m^3</math>).
!64h !l3d
 
40
Kontrollierte Fusion mit Deuterium und Trithium
90 Zr + 143
:<math>d+^{3}H\to\underset{3MeV}{^{4}He}+\underset{14MeV}{n}+17,6MeV</math>
60Nd
 
Grobe Abschätzung für 235U-Verbrauch:
:<math>n+^{7}Li\to^{4}He+\underbrace{^{3}H}_{t_{1/2}\approx12a}+n-2,5MeV</math>
1kg 235U: E = Noill: ~ [[Benutzer:Schubotz|Schubotz]]00601023i2.0108.:2:,6010~19ws
 
200 MeV
==Einzelnachweise==
==siehe auch==
<references />
http://de.wikipedia.org/wiki/Bethe-Weizs%C3%A4cker-Formel
==Weitere Informationen==
(gehört nicht zum Skript)
[http://de.wikipedia.org/wiki/Bethe-Weizs%C3%A4cker-Formel Wikipedia-Artikel]
[[Datei:Isotopentabelle_Segre.svg|miniatur]]
[[Datei:Tröpfchenmodell.PNG|miniatur]]
[[Datei:Mattauch1.PNG|miniatur]]
[[Datei:Doppelbeta-massenparabel.png|miniatur]]
===Prüfungsfragen===
 
* Äußere Eigenschaften eines Kerns
** Dichte (Größenordnungen)
*Bethe-Weizäcker Formel
**Tröpfcherunodell (B/A Graph, Weizsäckerformel)
**Erklärung der verschiedenen Terme. Wieso  proportional zu V?
***Oberflächenterm: -> weniger Bindungspartner
***Coulombterm: -> Protonenabstoßung (Vergleich mit Ladungsverteilung aus Streuexperimenten)
***Asymmetrieterm:-> Fermiegasherleitung angesprochen
***Paarungsterm:->Isobarenregel
*Spaltung/Fusion wo möglich?
*Warum keine spontane Fusion/Spaltung? (Bei Fusion wegen Coulombwall, bei Spaltung wegen Oberflächenenergieterm aus Tröpfchenmodell (Potential als Funktion der Deformation aufmalen)
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