Editing
Tröpfchenmodell, Weizsäckersche Massenformel
Jump to navigation
Jump to search
Warning:
You are not logged in. Your IP address will be publicly visible if you make any edits. If you
log in
or
create an account
, your edits will be attributed to your username, along with other benefits.
Anti-spam check. Do
not
fill this in!
<noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=4|Abschnitt=0|Prof=Prof. Dr. P. Zimmermann|Thema=Kern- und Strahlungsphysik|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude> Die nahezu konstante {{FB|Nukleonendichte}} <math>\rho \approx 10^{17} kg/m^3</math> und der nahezu konstante B/A-Wert ("{{FB|Kondensationswärme}}") legt die Analogie zum Flüssigkeitstropfen nahe. Massenformel<ref>Weizsäcker Z. Phys. 96, 431 (1935)</ref> {{FB|Bindungsenergie}} setzt sich aus 5 Anteilen zusammen: :<math>B=\sum_{i=1}^5 B_i</math> ;1. {{FB|Volumenenergie}}: <math>B_1=a_1 A</math> Volumenenergie ("Kondensationswärme" ) vermindert um ;2. {{FB|Oberflächenenergie}}: <math>B_2=-a_2 A^{2/3}</math> ~ Anzahl der Nukleonen an der Oberfläche, die weniger stark gebunden sind. ;3. {{FB|Coulombenergie}}: <math>B_3=- \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{5}{3} \frac{Z(Z-1)e^2}{R}=-a_3 \frac{Z(Z-1)}{A^{1/3}}</math> einer homogen geladenen Kugel Durch die Coulombenergie <math>B_3</math> würden für {{FB|Isobare}} (A = const) zu stark Kerne mit vielen Neutronen bevorzugt. In Wirklichkeit ist jedoch <math>Z\approx N</math>. Genauer: Nuklidkarte [[Datei:Nuklidkarte_Stabile_Kerne_12.png|miniatur|zentriert|hochkant=3|Nuklidkarte]] Als Gegengewicht genüber dem Coulombterm deshalb: ;4. {{FB|Asymmetrie-Energie}}: <math>B_4 = -a_4\frac{(N-Z)^2}{A}</math> Außerdem gilt folgende Regel, wenn man die Kerne bezüglich gerader oder ungerader Protonen- oder Neutronenzahl ordnet: <math>\begin{array}{*{35}{l}} {} & (g,g)\to & (u,g), & (g,u)\to & (u,u)\to \text{Abnahme der Stabilitaet} \\ \text{stab}\text{. Kerne}\quad & 158 & 50, & 53 & 6 \\ \end{array}</math> ;5. {{FB|Parität}}: Deshalb <math>B_5= \delta = a_5 A^{-1/2}</math> mit <math>\begin{align} & \text{(g}\text{, g) : }\text{+}\delta \\ & \text{(u}\text{, g) }\text{, (g}\text{, u) : }\text{0} \\ & \text{(u}\text{, u) : }\text{-}\delta \\ \end{align}</math> Anpassung der Formel an viele Massenwerte gibt einen optimalen Wertesatz für die 5 Parameter <math>a_i : a_1 = 16 MeV, a_2 = 18 MeV, a_3 = 0,7 MeV, a_4 = 23 MeV</math> und mit <math>a_5 = 12 MeV</math> <ref>(Seeger Nucl. Phys. 25, 1(1961)</ref>). Genauigkeit <math>\approx 1% ab \approx 40</math>. == Folgerungen aus der Weizsäckerschen Massenformel == === I. Isobarenregeln === Für {{FB|Isobare}} (A = const.) ist die Massenformel quadratisch in Z, deshalb bekommt man für A = ungerade, d.h. für (u, g)- und (g, u)-Kerne eine Parabel und für A = gerade, d.h. für (g, g)- und (u, u)-Kerne zwei Parabeln, die durch den Abstand <math>2 \delta</math> der {{FB|Paarungsenergie}} <math>\delta</math> getrennt sind. [[Datei:IsobarenRegel13.png|miniatur|hochkant=3|zentriert|Isobarenparabeln{{AnMS|Siehe auch {{Quelle|vlkp|32|ab 10:30}}}}]] Trägt man die Massenwerte in die {{FB|Nuklidkarte}} auf der N-Z-Ebene nach oben auf, dann sind die Isobarenparabeln Schnitte längs der Linie '''A = Z + N = const'''. Die stabilen Kerne liegen in der "Talsohle des Massetals". Umwandlung durch Beta-Zerfall: <math>\begin{align} {{\beta }^{+}}:\quad n &\to p+{{e}^{-}}+\tilde{\nu } \\ {{\beta }^{-}}:\quad n &\to p+{{e}^{+}}+\nu \\ {{e}^{-}}+p& \to n+\tilde{\nu } \\ \end{align}</math> Konkurrenzprozeß: {{FB|Kerneinfang}} === II. Kernspaltung und Fusion === Allgemein für leichtere Kerne Energiegewinn durch {{FB|Fusion}}, für schwerere Kerne durch {{FB|Spaltung}} möglich. Spontane Fusion durch Coulombabstoßung, spontane Spaltung durch {{FB|Spaltschwelle}} behindert. ====Spaltung==== [[Datei:SpontaneSpaltung14.png|miniatur|hochkant=3|zentriert|Stabilitätsbetrachtung bezüglich spontaner Spaltung]] ;Coulombenergie: <math>B_3 \to B_3(1-\frac{1}{5}\epsilon)^2</math> nimmt '''ab'''. ;Oberflächenenergie: <math>B_2 \to B_2(1+\frac{2}{5}\epsilon)^2</math> nimmt '''zu'''. Stabilitätsbedingung gegenüber spontaner Spaltung: größere Zunahme der Oberflächenenergie als Abnahme der Coulombenergie. Rechnung: <math>Z^2/A \lesssim 51</math> Für <math>Z^2/A \lesssim 51</math> Spaltschwelle: [[Datei:SpaltSchwelle15.png|miniatur|hochkant=3|zentriert|Spaltschwelle]] Neutroneninduzierte Spaltung bei Uran durch freiwerdende {{FB|Bindungsenergie}} bei {{FB|Neutroneneinfang}}. Für {{FB|thermische Neutronen}} ist diese Bindungsenergie bei <math>^{235}U+n\to^{236}U+6,4MeV\quad(g,u)\underset{n}{\to}(g,g)</math> bei <math>^{238}U+n\to^{239}U+4,8MeV\quad(g,g)\underset{n}{\to}(g,u)</math> Die fehlende {{FB|Paarungsenergie}} bei <math>^{239}U</math> bedingt die niedrigere Bindungsenergie, so daß bei <math>^{238}U</math> der Einbau thermischer Neutronen nicht zur Überwindung der Spaltschwelle ausreicht. Allgemein Spaltprozeß: <math>^{235}U+n\textrm{(thermisch)}\to^{236}U\to X+Y+kn</math> Spaltbruchstücke X und Y instabil wegen Neutronenüberschuß, <math>\beta^-</math>-Zerfall, z.B. [[Datei:BSPSpaltprozess.png|miniatur|hochkant=3|zentriert|instabile Spaltbruchstücke]] Grobe Abschätzung für <math>^{235}U</math>-Verbrauch: :<math>\begin{align} 1kg\quad^{235}U:E=N\Delta E & \backsimeq\frac{1000}{235}6\cdot10^{23} \cdot 2 \cdot 10^{8} \cdot 1,6 \cdot 10^{-19}{ Ws}\\ & \backsimeq8 \cdot 10^{13}{ Ws}\\ & \backsimeq10^{3}{ MWd}\end{align}</math> ====Fusion==== Bei sehr leichten Kernen Durchtunneln des {{FB|Coulombwalls}} oberhalb von <math>1 keV \approx 1,2 10^7 K</math> möglich (z.B. Sonneninnere mit <math>T \approx 1,5 10^7 K</math> und <math>\rho \approx 10^5 kg /m^3</math>). Kontrollierte Fusion mit Deuterium und Trithium :<math>d+^{3}H\to\underset{3MeV}{^{4}He}+\underset{14MeV}{n}+17,6MeV</math> :<math>n+^{7}Li\to^{4}He+\underbrace{^{3}H}_{t_{1/2}\approx12a}+n-2,5MeV</math> ==Einzelnachweise== <references /> ==Weitere Informationen== (gehört nicht zum Skript) [http://de.wikipedia.org/wiki/Bethe-Weizs%C3%A4cker-Formel Wikipedia-Artikel] [[Datei:Isotopentabelle_Segre.svg|miniatur]] [[Datei:Tröpfchenmodell.PNG|miniatur]] [[Datei:Mattauch1.PNG|miniatur]] [[Datei:Doppelbeta-massenparabel.png|miniatur]] ===Prüfungsfragen=== * Äußere Eigenschaften eines Kerns ** Dichte (Größenordnungen) *Bethe-Weizäcker Formel **Tröpfcherunodell (B/A Graph, Weizsäckerformel) **Erklärung der verschiedenen Terme. Wieso proportional zu V? ***Oberflächenterm: -> weniger Bindungspartner ***Coulombterm: -> Protonenabstoßung (Vergleich mit Ladungsverteilung aus Streuexperimenten) ***Asymmetrieterm:-> Fermiegasherleitung angesprochen ***Paarungsterm:->Isobarenregel *Spaltung/Fusion wo möglich? *Warum keine spontane Fusion/Spaltung? (Bei Fusion wegen Coulombwall, bei Spaltung wegen Oberflächenenergieterm aus Tröpfchenmodell (Potential als Funktion der Deformation aufmalen)
Summary:
Please note that all contributions to testwiki are considered to be released under the Creative Commons Attribution (see
Testwiki:Copyrights
for details). If you do not want your writing to be edited mercilessly and redistributed at will, then do not submit it here.
You are also promising us that you wrote this yourself, or copied it from a public domain or similar free resource.
Do not submit copyrighted work without permission!
Cancel
Editing help
(opens in new window)
Templates used on this page:
Template:AnMS
(
edit
)
Template:Anker
(
edit
)
Template:Anker/code
(
edit
)
Template:FB
(
edit
)
Template:Quelle
(
edit
)
Template:ScriptProf
(
edit
)
Template:Scriptnav
(
edit
)
Navigation menu
Personal tools
Not logged in
Talk
Contributions
Log in
Namespaces
Page
Discussion
English
Views
Read
Edit
Edit source
View history
More
Search
Navigation
Main page
Recent changes
Random page
Physikerwelt
Tools
What links here
Related changes
Special pages
Page information