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| ====Beweis:====
| | Youre a real deep thikenr. Thanks for sharing. |
| In Matrixform lautet diese Gleichung:
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| :<math>M=J{{\left( J{{M}^{-1}} \right)}^{T}}</math>
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| Die linke Seite (M) lautet:
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| :<math>M=\left( \begin{matrix}
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| \frac{\partial q}{\partial Q} & \frac{\partial q}{\partial P} \\
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| \frac{\partial p}{\partial Q} & \frac{\partial p}{\partial P} \\
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| \end{matrix} \right)</math>
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| Die rechte Seite lautet:
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| :<math>\begin{align}
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| & J{{\left( J{{M}^{-1}} \right)}^{T}}=\left( \begin{matrix}
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| 0 & 1 \\
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| -1 & 0 \\
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| \end{matrix} \right){{\left[ \left( \begin{matrix}
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| 0 & 1 \\
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| -1 & 0 \\
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| \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}
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| \frac{\partial Q}{\partial q} & \frac{\partial Q}{\partial p} \\
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| \frac{\partial P}{\partial q} & \frac{\partial P}{\partial p} \\
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| \end{matrix} \right) \right]}^{T}}=\left( \begin{matrix}
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| 0 & 1 \\
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| -1 & 0 \\
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| \end{matrix} \right){{\left( \begin{matrix}
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| \frac{\partial P}{\partial q} & \frac{\partial P}{\partial p} \\
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| -\frac{\partial Q}{\partial q} & -\frac{\partial Q}{\partial p} \\
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| \end{matrix} \right)}^{T}} \\
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| & =\left( \begin{matrix}
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| 0 & 1 \\
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| -1 & 0 \\
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| \end{matrix} \right){{\left( \begin{matrix}
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| {{\left( \frac{\partial P}{\partial q} \right)}^{T}} & -{{\left( \frac{\partial Q}{\partial q} \right)}^{T}} \\
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| {{\left( \frac{\partial P}{\partial p} \right)}^{T}} & -{{\left( \frac{\partial Q}{\partial p} \right)}^{T}} \\
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| \end{matrix} \right)}^{{}}}=\left( \begin{matrix}
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| {{\left( \frac{\partial P}{\partial p} \right)}^{T}} & -{{\left( \frac{\partial Q}{\partial p} \right)}^{T}} \\
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| -{{\left( \frac{\partial P}{\partial q} \right)}^{T}} & {{\left( \frac{\partial Q}{\partial q} \right)}^{T}} \\
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| \end{matrix} \right) \\
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| \end{align}</math>
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| Die Matrixform für die Erzeugenden läßt sich folgendermaßen äquivalent umformen:
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| :<math>\begin{align}
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| & M=J{{\left( J{{M}^{-1}} \right)}^{T}} \\
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| & \Rightarrow JM=-{{\left( J{{M}^{-1}} \right)}^{T}}=-{{\left( {{M}^{-1}} \right)}^{T}}{{J}^{T}} \\
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| & \Rightarrow {{M}^{T}}JM=-{{M}^{T}}{{\left( {{M}^{-1}} \right)}^{T}}{{J}^{T}}=-{{\left( {{M}^{-1}}M \right)}^{T}}{{J}^{T}}=-{{J}^{T}}=J \\
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| & {{M}^{T}}JM=J \\
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| \end{align}</math>
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| Dabei ist J der metrische Tensor und M die Matrix der 2. Ableitungen der Erzeugenden der kanonischen Transformation, also die Jacobi- Matrix für die Erzeugenden der kanonischen Trafo.
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| Dies bedeutet jedoch nichts anderes als: Die Metrik im Phasenraum ist invariant unter kanonischen Transformationen!
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| J definiert dabei eine Metrik über das verallgemeinerte schiefsymmetrische Skalarprodukt:
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| :<math>\left( \bar{x},\bar{y} \right):={{\bar{x}}^{T}}J\bar{y}=\sum\limits_{i,k=1}^{2f}{{{x}_{i}}{{J}_{ik}}{{y}_{k}}}</math>
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| es handelt sich dabei um eine schiefsymmetrische, nichtentartete Bilinearform
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| Eigenschaften:
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| # Schiefsymmetrie:
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| :<math>\left( \bar{x},\bar{y} \right)=-\left( \bar{y},\bar{x} \right)</math>,
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| Beweis:
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| :<math>\left( \bar{x},\bar{y} \right)={{\bar{x}}^{T}}J\bar{y}={{\left( {{{\bar{y}}}^{T}}{{J}^{T}}\bar{x} \right)}^{T}}=-{{\bar{y}}^{T}}{{J}^{{}}}\bar{x}=-\left( \bar{y},\bar{x} \right)</math>
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| # bilinear:
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| :<math>\left( \bar{x},{{\lambda }_{1}}{{{\bar{y}}}_{1}}+{{\lambda }_{2}}{{{\bar{y}}}_{2}} \right)={{\lambda }_{1}}\left( \bar{x},{{{\bar{y}}}_{1}} \right)+{{\lambda }_{2}}\left( \bar{x},{{{\bar{y}}}_{2}} \right)</math>
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| # nichtentartet:
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| :<math>\left( \bar{x},\bar{y} \right)=0\forall \bar{y}\Rightarrow \bar{x}=0</math>
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| Nebenbemerkung: Es gilt:
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| :<math>\left( \bar{x},\bar{x} \right)=0\forall \bar{x}</math>
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| Also Selbstorthogonalität
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| Beweis:
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| :<math>{{\bar{x}}^{T}}J\bar{x}=\left( \begin{matrix}
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| q & p \\
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| \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}
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| 0 & 1 \\
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| -1 & 0 \\
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| \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}
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| q \\
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| p \\
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| \end{matrix} \right)=qp-pq=0</math>
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| Die Symplektische Struktur auf dem
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| :<math>{{R}^{2f}}</math>
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| ist von einer euklidischen Metrik grundsätzlich zu unterscheiden:
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| :<math>{{\left( \bar{x},\bar{y} \right)}_{Eu}}=\sum\limits_{i}{{{x}_{i}}{{y}_{i}}=}{{\bar{x}}^{T}}g\bar{y}</math>
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| Mit dem metrischen Tensor g, einer 2fx2f dimensionalen Einheitsmatrix!
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| Im Euklidischen gelten jedoch die Relationen:
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| :<math>\begin{align}
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| & \left( \bar{x},\bar{y} \right)=\left( \bar{y},\bar{x} \right) \\
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| & \left( \bar{x},\bar{x} \right)\ge 0 \\
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| \end{align}</math>
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| ====Definition:==== | | ====Definition:==== |
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Line 204: |
| Dies ist die Symmetriegruppe der symplektischen Struktur. | | Dies ist die Symmetriegruppe der symplektischen Struktur. |
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| ====Gruppeneigenschaften====
| | Furrealz? That's marvelosluy good to know. |
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| 1.
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| :<math>{{M}_{1}},{{M}_{2}}\in S\Rightarrow {{M}_{3}}={{M}_{1}}{{M}_{2}}\in S</math>
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| Beweis:
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| :<math>{{M}_{3}}^{T}J{{M}_{3}}={{\left( {{M}_{1}}{{M}_{2}} \right)}^{T}}J\left( {{M}_{1}}{{M}_{2}} \right)={{M}_{2}}^{T}{{M}_{1}}^{T}J{{M}_{1}}{{M}_{2}}={{M}_{2}}^{T}J{{M}_{2}}=J</math>
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| 2. Assoziativität (matrixmultiplikation!)
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| 3. Einselement Einheitsmatrix!
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| # Inverse:
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| :<math>{{M}^{-1}}:={{J}^{-1}}{{M}^{T}}J</math>
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| Beweis:
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| :<math>{{M}^{-1}}M=\left( {{J}^{-1}}{{M}^{T}}J \right)M={{J}^{-1}}\left( {{M}^{T}}JM \right)={{J}^{-1}}J=1</math>
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| Dabei gilt :
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| :<math>{{M}^{T}},J\in S</math>
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| Beweis: Übungsaufgabe
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| # Weiter gilt:
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| :<math>\det M=1</math>
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| Beweis: Übungsaufgabe oder Scheck, S. 102
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| Fazit:
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| Die Invarianz der kanonischen Gleichungen
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| :<math>\dot{\bar{x}}:=A\bar{x}=J{{\bar{H}}_{,x}}</math>
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| kann durch di symplektische Struktur des Phasenraums beschrieben werden:
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| :<math>\begin{align}
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| & {{{\dot{y}}}_{i}}=\sum\limits_{k}^{{}}{\frac{\partial {{y}_{i}}}{\partial {{x}_{k}}}{{{\dot{x}}}_{k}}}\Leftrightarrow \dot{\bar{y}}={{M}^{-1}}\dot{\bar{x}}=\left( {{J}^{-1}}{{M}^{T}}J \right)J{{{\bar{H}}}_{,x}} \\
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| & \frac{\partial \bar{H}}{\partial {{y}_{i}}}=\sum\limits_{k}^{{}}{\frac{\partial \bar{H}}{\partial {{x}_{k}}}\frac{\partial {{x}_{k}}}{\partial {{y}_{i}}}\Leftrightarrow {{{\bar{H}}}_{,y}}={{M}^{T}}{{{\bar{H}}}_{,x}}} \\
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| & \Rightarrow \dot{\bar{y}}=\left( {{J}^{-1}}{{M}^{T}}J \right)J{{\left( {{M}^{T}} \right)}^{-1}}{{{\bar{H}}}_{,y}}=-J\left( -1 \right){{M}^{T}}{{\left( {{M}^{T}} \right)}^{-1}}{{{\bar{H}}}_{,y}}=J{{{\bar{H}}}_{,y}} \\
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| \end{align}</math>
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